工程流體力學(xué)8

1、主講主講: 馮馮 進(jìn)進(jìn)長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院長(zhǎng)江大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院 對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際工程問(wèn)題，目前求解流體對(duì)于復(fù)雜的實(shí)際工程問(wèn)題，目前求解流體運(yùn)動(dòng)的基本方程在數(shù)學(xué)上存在困難。因此，在運(yùn)動(dòng)的基本方程在數(shù)學(xué)上存在困難。因此，在求解流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助量綱分析和相求解流體力學(xué)問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常借助量綱分析和相似原理來(lái)建立實(shí)際工程問(wèn)題有關(guān)的各物理量之似原理來(lái)建立實(shí)際工程問(wèn)題有關(guān)的各物理量之間的關(guān)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行研究，獲得一間的關(guān)系，并通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法進(jìn)行研究，獲得一定范圍內(nèi)符合實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)公式。所以，量綱分定范圍內(nèi)符合實(shí)際的經(jīng)驗(yàn)公式。所以，量綱分析和相似原理是發(fā)展流體力學(xué)理論，解決實(shí)際析和相似原理是發(fā)展流體力

2、學(xué)理論，解決實(shí)際工程問(wèn)題的有力工具。工程問(wèn)題的有力工具。 一、量綱和單位一、量綱和單位 1.量綱量綱 在流體力學(xué)中，通常用長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、在流體力學(xué)中，通常用長(zhǎng)度、時(shí)間、質(zhì)量、密度、速度、加速度和力等各種物理量來(lái)表述密度、速度、加速度和力等各種物理量來(lái)表述運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這些物理量按其性質(zhì)運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象及其運(yùn)動(dòng)規(guī)律。這些物理量按其性質(zhì)不同可分為各種類(lèi)別，量綱是各種類(lèi)別物理量不同可分為各種類(lèi)別，量綱是各種類(lèi)別物理量的標(biāo)志（幾何學(xué)量綱、運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱、動(dòng)力學(xué)量的標(biāo)志（幾何學(xué)量綱、運(yùn)動(dòng)學(xué)量綱、動(dòng)力學(xué)量綱等），量綱又稱(chēng)為因次。綱等），量綱又稱(chēng)為因次。 2.量綱分類(lèi)量綱分類(lèi) 量綱可分為基本量綱和誘導(dǎo)量綱，

3、基本量量綱可分為基本量綱和誘導(dǎo)量綱，基本量綱不能從其它基本量綱中推導(dǎo)出來(lái)，而誘導(dǎo)量綱不能從其它基本量綱中推導(dǎo)出來(lái)，而誘導(dǎo)量綱由基本量綱推導(dǎo)出來(lái)。綱由基本量綱推導(dǎo)出來(lái)。 例如基本量綱為長(zhǎng)度例如基本量綱為長(zhǎng)度L、時(shí)間、時(shí)間T和質(zhì)量和質(zhì)量M，那么物理量那么物理量x的量綱可表示為由基本量綱的指的量綱可表示為由基本量綱的指數(shù)乘積形式，數(shù)乘積形式， 。 MTLx dim 3單位單位 單位是度量各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，單位是度量各種物理量數(shù)值大小的標(biāo)準(zhǔn)，同一物理量因單位的不同，其數(shù)值大小也不同。同一物理量因單位的不同，其數(shù)值大小也不同。例如長(zhǎng)度為例如長(zhǎng)度為1m，也可表示為，也可表示為100cm或或1000

4、mm等不同的單位，但量綱一樣，都是長(zhǎng)度量綱等不同的單位，但量綱一樣，都是長(zhǎng)度量綱L。 單位和量綱都關(guān)于量度的概念，單位決定單位和量綱都關(guān)于量度的概念，單位決定量度的數(shù)量，而量則綱表示量度的性質(zhì)。量度的數(shù)量，而量則綱表示量度的性質(zhì)。 當(dāng)物理量當(dāng)物理量x x的量綱的量綱 時(shí)，有時(shí)，有 式中式中=0=0，物理量，物理量x x稱(chēng)為無(wú)量綱量或無(wú)稱(chēng)為無(wú)量綱量或無(wú)因次量。因次量。 無(wú)量綱量有兩個(gè)特點(diǎn)：（無(wú)量綱量有兩個(gè)特點(diǎn)：（1 1）無(wú)量綱量的數(shù)）無(wú)量綱量的數(shù)值大小與采用的單位制無(wú)關(guān)；（值大小與采用的單位制無(wú)關(guān)；（2 2）無(wú)量綱量可）無(wú)量綱量可進(jìn)行超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指數(shù)、三角函數(shù)等）運(yùn)算。進(jìn)行超越函數(shù)（對(duì)數(shù)、指

5、數(shù)、三角函數(shù)等）運(yùn)算。 1dimxMTLx dim 凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各凡是正確反映客觀規(guī)律的物理方程，其各項(xiàng)的量綱都必須相同，這就是量綱和諧原理項(xiàng)的量綱都必須相同，這就是量綱和諧原理。只有兩個(gè)同類(lèi)型的物理量才能相加減，否。只有兩個(gè)同類(lèi)型的物理量才能相加減，否則是沒(méi)有意義的。例如則是沒(méi)有意義的。例如hjgVzpzgVp2222221211 在量綱和諧的方程式中，一般來(lái)講系數(shù)和在量綱和諧的方程式中，一般來(lái)講系數(shù)和常數(shù)應(yīng)該是無(wú)量綱量。經(jīng)驗(yàn)公式在沒(méi)有理論分常數(shù)應(yīng)該是無(wú)量綱量。經(jīng)驗(yàn)公式在沒(méi)有理論分析的情況下，根據(jù)部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸出來(lái)的公析的情況下，根據(jù)部分實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)回歸出來(lái)的公式，常含帶

6、量綱的的系數(shù)，這類(lèi)經(jīng)驗(yàn)公式的量式，常含帶量綱的的系數(shù)，這類(lèi)經(jīng)驗(yàn)公式的量綱是不和諧的，在使用這些公式時(shí)必須用規(guī)定綱是不和諧的，在使用這些公式時(shí)必須用規(guī)定的單位。的單位。 一、瑞利法一、瑞利法 瑞利法的基本原理是某物理過(guò)程與瑞利法的基本原理是某物理過(guò)程與n個(gè)物個(gè)物理量有關(guān)，即理量有關(guān)，即 其中某個(gè)物理量其中某個(gè)物理量xi可表示為其它物理量的指數(shù)可表示為其它物理量的指數(shù)乘積形式，即乘積形式，即0,21nxxxfmnbaixxkxx121 用量綱形式為：用量綱形式為： 根據(jù)量綱和諧原理，確定待定指數(shù)根據(jù)量綱和諧原理，確定待定指數(shù)a、b、c、m，可求得該物理過(guò)程的方程式，可求得該物理過(guò)程的方程式，式中的

7、待定系數(shù)式中的待定系數(shù)k必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析加以確必須通過(guò)實(shí)驗(yàn)和分析加以確定。定。 mnbaixxxx121,dimdim 例例1：已知作用在作圓周運(yùn)動(dòng)物體上的離：已知作用在作圓周運(yùn)動(dòng)物體上的離心力心力F與物體的質(zhì)量與物體的質(zhì)量m、速度、速度和圓周半徑和圓周半徑r有有關(guān)，試用瑞利法給出離心力的表達(dá)式。關(guān)，試用瑞利法給出離心力的表達(dá)式。 解：（解：（1）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系（2）將物理量）將物理量m 、 、 r和寫(xiě)成指數(shù)乘積形式和寫(xiě)成指數(shù)乘積形式rmfF,cbarkmF （3）選擇基本量綱）選擇基本量綱L、T和和M，表示各物理量，表示各物理量的量綱的量綱 （4）由

8、量綱和諧原理，求各指數(shù)）由量綱和諧原理，求各指數(shù) L：b+c=1 T：-b=-2 M：a=1 解得解得a=1 ， b=2 ， c=-1cbaLLTMMLT12（5）代入指數(shù)乘積形式，得）代入指數(shù)乘積形式，得rkmF2 例例2：由實(shí)驗(yàn)可知流體在圓管作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)，：由實(shí)驗(yàn)可知流體在圓管作層流運(yùn)動(dòng)時(shí)，通過(guò)的流量通過(guò)的流量Q與流體的動(dòng)力粘度與流體的動(dòng)力粘度、管道半徑、管道半徑R、管道長(zhǎng)度管道長(zhǎng)度l和管段兩端的壓差和管段兩端的壓差p有關(guān)。試用瑞有關(guān)。試用瑞利法給出流量的表達(dá)式。利法給出流量的表達(dá)式。 解：（解：（1）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系lpRfQ, （2）將物理量）將物

9、理量、p/l和和R寫(xiě)成指數(shù)乘積形寫(xiě)成指數(shù)乘積形 （3）選擇基本量綱）選擇基本量綱L、T和和M，表示各物理量，表示各物理量的量綱的量綱cbalpRkQ （4）由量綱和諧原理，求各指數(shù)）由量綱和諧原理，求各指數(shù) L：-a+b-2c=3 T：-a-2c=-1 M：a+c=1 解得解得a=-1 ， b=4 ， c=1（5）代入指數(shù)乘積形式，得）代入指數(shù)乘積形式，得lpRkQ4 1.基本物理量的判斷方法基本物理量的判斷方法 若若x1、x2和和x3是基本物理量，它們的量綱是基本物理量，它們的量綱為：為：1111dimcbaMTLx 2222dimcbaMTLx 3333dimcbaMTLx 若若x1、x2

10、和和x3可以組成一個(gè)無(wú)量綱的量，則可以組成一個(gè)無(wú)量綱的量，則 3333222211113213211dimkcbakcbakcbakkkMTLMTLMTLxxx000332211332211332211kckckckbkbkbkakaka000321321321321kkkcccbbbaaa0321321321cccbbbaaa若若k1、k2、k3不全為零，系數(shù)行列的值必為零，即不全為零，系數(shù)行列的值必為零，即 說(shuō)明任意一個(gè)物理量可以用另外兩個(gè)物理量導(dǎo)說(shuō)明任意一個(gè)物理量可以用另外兩個(gè)物理量導(dǎo)出，這與假設(shè)相矛盾。因此，出，這與假設(shè)相矛盾。因此，x1、x2和和x3 量綱量綱獨(dú)立的條件是：獨(dú)立的條件

11、是： 或或 0321321321cccbbbaaa0333222111cbacbacba 2. 2. 定理定理 若某一物理過(guò)程與若某一物理過(guò)程與n個(gè)物理量有關(guān)，可表個(gè)物理量有關(guān)，可表示為如下函數(shù)示為如下函數(shù) 其中有其中有m個(gè)基本物理量（一般個(gè)基本物理量（一般m3），其余），其余（n-m）個(gè)物理量可表達(dá)為（）個(gè)物理量可表達(dá)為（n-m）個(gè)無(wú)量綱）個(gè)無(wú)量綱量：量：0,21nxxxf1112111mmbamxxxx)()()(222212122 mnmnmnmmbanmnmmbamxxxxxxxx描述該物理過(guò)程的（描述該物理過(guò)程的（n-m）個(gè)無(wú)量綱量組合量）個(gè)無(wú)量綱量組合量所表達(dá)的關(guān)系為：所表達(dá)的關(guān)系

12、為：0,21mnF 例例3：已知繞球體的流阻力：已知繞球體的流阻力D與流體的物理性與流體的物理性質(zhì)（密度質(zhì)（密度和動(dòng)力黏度和動(dòng)力黏度）、球體直徑）、球體直徑d和流動(dòng)和流動(dòng)速度速度有關(guān)，試用建立有關(guān)，試用建立D的表達(dá)式。的表達(dá)式。 解：（解：（1）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系0,dDf （2）在流體物性、幾何特性和運(yùn)動(dòng)特性三方面）在流體物性、幾何特性和運(yùn)動(dòng)特性三方面選擇基本物理量，即選擇基本物理量，即、d和和作為基本物理量作為基本物理量 103dimMTL001dimMTLd 011dimMTL01011001103（3）n-3=5-3=2，列出，列出2無(wú)量綱量無(wú)量綱量

13、1111cbadD2222cbad（4）根據(jù)量綱和諧原理，有）根據(jù)量綱和諧原理，有 L：-3a3a1 1+b+b1 1+c+c1 1=1 =1 T：-c1=-2 M：a1=1 解得解得a1=1 ， b1=2 ， c1=2 111132cbaLTLMLMLT221dD L：-3a3a2 2+b+b2 2+c+c2 2=-1 =-1 T：-c2=-1 M：a2=1 解得解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1 2221311cbaLTLMLTMLRe12d （5）寫(xiě)出無(wú)量綱方程）寫(xiě)出無(wú)量綱方程 0Re1,22dDF224Re8Re22222ACdfdfDd例例4：已知輸送液體的壓力管路的壓降：已知

14、輸送液體的壓力管路的壓降p與流體與流體的物理性質(zhì)（密度的物理性質(zhì)（密度和動(dòng)力黏度和動(dòng)力黏度）、幾何特性）、幾何特性（管長(zhǎng)（管長(zhǎng)l、管徑、管徑d、粗糙度、粗糙度k）和運(yùn)動(dòng)特征（流）和運(yùn)動(dòng)特征（流動(dòng)速度動(dòng)速度）有關(guān)，試用建立的表達(dá)式。）有關(guān)，試用建立的表達(dá)式。解：（解：（1）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系）根據(jù)已知條件，建立函數(shù)關(guān)系 0,kdlpf （2）在流體物性、幾何特性和運(yùn)動(dòng)特性三方面）在流體物性、幾何特性和運(yùn)動(dòng)特性三方面選擇基本物理量，即選擇基本物理量，即、d和和作為基本物理量作為基本物理量 （3）n-3=7-3=4，列出，列出4無(wú)量綱量無(wú)量綱量1111cbadp2222cbad3333cba

15、dl4444cbadk （4）根據(jù)量綱和諧原理，有）根據(jù)量綱和諧原理，有 解得解得a1=1 ， b1=0 ， c1=2 1111321cbaLTLMLTML21p 解得解得a2=1 ， b2=1 ， c2=1 解得解得a3=0 ， b3=1 ， c3=0 2221311cbaLTLMLTMLRe12d 3331300cbaLTLMLLTMdl3 解得解得a4=0 ， b4=1 ， c4=0 （5）寫(xiě)出無(wú)量綱方程）寫(xiě)出無(wú)量綱方程 4441300cbaLTLMLLTMdk40,Re1,2 dkdlpF22Re,2Re,222dldldkfdldkfp 目前對(duì)實(shí)際流體運(yùn)動(dòng)的研究，多數(shù)是靠實(shí)目前對(duì)實(shí)際

16、流體運(yùn)動(dòng)的研究，多數(shù)是靠實(shí)驗(yàn)研究來(lái)解決。流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法之一就是進(jìn)驗(yàn)研究來(lái)解決。流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)方法之一就是進(jìn)行模型實(shí)驗(yàn)。流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的手段主要是通過(guò)行模型實(shí)驗(yàn)。流體力學(xué)實(shí)驗(yàn)的手段主要是通過(guò)室內(nèi)的風(fēng)洞、船池、水工模型等設(shè)備模擬自然室內(nèi)的風(fēng)洞、船池、水工模型等設(shè)備模擬自然界的流體運(yùn)動(dòng)。界的流體運(yùn)動(dòng)。 通常做一個(gè)較實(shí)物小多少倍的幾何相似模通常做一個(gè)較實(shí)物小多少倍的幾何相似模型，然后在模型上做實(shí)驗(yàn)并得到所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)型，然后在模型上做實(shí)驗(yàn)并得到所需的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到原實(shí)際問(wèn)題。據(jù)，并將實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換到原實(shí)際問(wèn)題。 這樣自然產(chǎn)生了模擬的運(yùn)動(dòng)和被模擬的運(yùn)這樣自然產(chǎn)生了模擬的運(yùn)動(dòng)和被模擬的運(yùn)動(dòng)之間的相

17、似問(wèn)題，分析模型與實(shí)物（原型）動(dòng)之間的相似問(wèn)題，分析模型與實(shí)物（原型）間的相似關(guān)系的基本理論。間的相似關(guān)系的基本理論。 相似理論：若兩個(gè)流動(dòng)之間相互對(duì)應(yīng)的流相似理論：若兩個(gè)流動(dòng)之間相互對(duì)應(yīng)的流動(dòng)參量（與流動(dòng)相關(guān)的物理量，如密度，速度，動(dòng)參量（與流動(dòng)相關(guān)的物理量，如密度，速度，壓力，粘度）間的比值保持一定的比例關(guān)系，壓力，粘度）間的比值保持一定的比例關(guān)系，并按照同樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)這兩個(gè)流動(dòng)為相并按照同樣的規(guī)律運(yùn)動(dòng)，則稱(chēng)這兩個(gè)流動(dòng)為相似的流動(dòng)。相似條件：幾何相似，運(yùn)動(dòng)相似，似的流動(dòng)。相似條件：幾何相似，運(yùn)動(dòng)相似，動(dòng)力相似。動(dòng)力相似。 1 1幾何相似幾何相似 幾何相似要求模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)有相似幾

18、何相似要求模型流動(dòng)與實(shí)物流動(dòng)有相似的邊界形狀，一切對(duì)應(yīng)的線性尺寸對(duì)應(yīng)成比例的邊界形狀，一切對(duì)應(yīng)的線性尺寸對(duì)應(yīng)成比例且為一定常數(shù)，實(shí)物夾角與模型夾角對(duì)應(yīng)相等。且為一定常數(shù)，實(shí)物夾角與模型夾角對(duì)應(yīng)相等。設(shè)原型邊界上任一線段長(zhǎng)度為設(shè)原型邊界上任一線段長(zhǎng)度為L(zhǎng) Ln n ，模型邊界，模型邊界對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度為對(duì)應(yīng)線段長(zhǎng)度為L(zhǎng) Lm m，則：，則：方向：方向： 線段比：線段比： 面積比：面積比： 體積比：體積比：mnmsLLL222LmnmnALLAA333LmnmnVLLVV 2運(yùn)動(dòng)相似運(yùn)動(dòng)相似 在滿足原型與模型幾何相似條件下，如果在滿足原型與模型幾何相似條件下，如果對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上流動(dòng)速度方向分別相同且大小

19、都對(duì)應(yīng)空間點(diǎn)上流動(dòng)速度方向分別相同且大小都成一定比例關(guān)系，而且通過(guò)相應(yīng)線段的時(shí)間成成一定比例關(guān)系，而且通過(guò)相應(yīng)線段的時(shí)間成比例，則這兩個(gè)流動(dòng)稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)相似流動(dòng)。設(shè)原比例，則這兩個(gè)流動(dòng)稱(chēng)為運(yùn)動(dòng)相似流動(dòng)。設(shè)原型流在某點(diǎn)的速度為型流在某點(diǎn)的速度為n和相應(yīng)位移線段的時(shí)間和相應(yīng)位移線段的時(shí)間為為tn ，模型對(duì)點(diǎn)的速度為，模型對(duì)點(diǎn)的速度為m 和通過(guò)相應(yīng)位移和通過(guò)相應(yīng)位移線段的時(shí)間為線段的時(shí)間為tm ， 則：則：方向：方向： 時(shí)間比例尺：時(shí)間比例尺： 速度比例尺：速度比例尺： 加速度比例尺：加速度比例尺：mnmnttttLmmnnmntLtL/2tLtmmnnmnattaa 3動(dòng)力相似動(dòng)力相似 流體運(yùn)動(dòng)和它所

20、受到的力有著密切的關(guān)系，流體運(yùn)動(dòng)和它所受到的力有著密切的關(guān)系，為了保證流動(dòng)的力學(xué)相似，除了幾何相似和運(yùn)為了保證流動(dòng)的力學(xué)相似，除了幾何相似和運(yùn)動(dòng)相似之外，還應(yīng)該有動(dòng)力相似。所謂動(dòng)力相動(dòng)相似之外，還應(yīng)該有動(dòng)力相似。所謂動(dòng)力相似是指原型流動(dòng)與模型流動(dòng)對(duì)應(yīng)受到的同種外似是指原型流動(dòng)與模型流動(dòng)對(duì)應(yīng)受到的同種外力作用，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)上作用力成一定比例且方力作用，而且對(duì)應(yīng)點(diǎn)上作用力成一定比例且方向相同。設(shè)原型流在某點(diǎn)受到的作用力為向相同。設(shè)原型流在某點(diǎn)受到的作用力為Fn，模型對(duì)點(diǎn)受到的作用力為模型對(duì)點(diǎn)受到的作用力為Fm ， 則：則： 方向：方向： 密度比例尺：密度比例尺： 質(zhì)量比例尺：質(zhì)量比例尺： 力的比例尺

21、：力的比例尺： mnmn3LmmnnmnmVVmm24tLmmmnnnmmnnmnFaVaVamamFF 4 4初始條件和邊界條件相似初始條件和邊界條件相似 初始條件和邊界條件相似是保證兩流動(dòng)相初始條件和邊界條件相似是保證兩流動(dòng)相似的充分條件，正如初始條件和邊界條件是微似的充分條件，正如初始條件和邊界條件是微分方程的定解條件一樣。分方程的定解條件一樣。 對(duì)非恒定流動(dòng)，初始條件是必須的。對(duì)恒對(duì)非恒定流動(dòng)，初始條件是必須的。對(duì)恒定流動(dòng)，初始條件失去實(shí)際意義。定流動(dòng)，初始條件失去實(shí)際意義。 邊界條件相似是指兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)邊界性質(zhì)邊界條件相似是指兩個(gè)流動(dòng)相應(yīng)邊界性質(zhì)相同，如固體邊界上的法線流速都為零，自

22、由相同，如固體邊界上的法線流速都為零，自由界面上的壓強(qiáng)均為大氣壓，對(duì)模型和原型都是界面上的壓強(qiáng)均為大氣壓，對(duì)模型和原型都是一樣的。一樣的。 對(duì)粘性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫流動(dòng)。質(zhì)對(duì)粘性不可壓縮流體的穩(wěn)定等溫流動(dòng)。質(zhì)量守恒方程：量守恒方程： 運(yùn)動(dòng)方程：運(yùn)動(dòng)方程：0zuyuxuzyx222222zuyuxuxpgzuuyuuxuuxxxxxzxyxx 若原型與模型在對(duì)點(diǎn)上流動(dòng)相似，相似常數(shù)有：若原型與模型在對(duì)點(diǎn)上流動(dòng)相似，相似常數(shù)有： mznzmynymxnxuuuuuu pmnpp mn mngmznzmynymxnxggggggLmnmnmnzzyyxx 進(jìn)行相似變換，對(duì)原型，連續(xù)性方程和進(jìn)行相

23、似變換，對(duì)原型，連續(xù)性方程和X方向運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：方向運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：0nzyxzuyuxunxxxnnnxnxzxyxxnzuyuxuxpgzuuyuuxuu222222對(duì)模型，連續(xù)性方程和對(duì)模型，連續(xù)性方程和X方向運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：方向運(yùn)動(dòng)方程可寫(xiě)成：0mzyxzuyuxumxxxmmmxmxzxyxxmzuyuxuxpgzuuyuuxuu222222由相似常數(shù)將模型進(jìn)行變換，得：由相似常數(shù)將模型進(jìn)行變換，得： 0nzyxLzuyuxunxxxnLnpLnxgnxzxyxxnLzuyuxuxpgzuuyuuxuu222222221將上式中將上式中X方向運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行整理，得：方向運(yùn)動(dòng)方程進(jìn)行整

24、理，得：nxxxnLnpnxLgnxzxyxxnzuyuxuxpgzuuyuuxuu22222222Lg2p2L12Lg12p1L 上式表明，原型與模型流動(dòng)相似，其相似指上式表明，原型與模型流動(dòng)相似，其相似指標(biāo)等于標(biāo)等于1。稱(chēng)為相似指標(biāo)，相似指標(biāo)是由相似常數(shù)所組成稱(chēng)為相似指標(biāo)，相似指標(biāo)是由相似常數(shù)所組成的數(shù)群。要保持原型流動(dòng)微分方程式不變，各的數(shù)群。要保持原型流動(dòng)微分方程式不變，各相似指標(biāo)必有：相似指標(biāo)必有： 兩流動(dòng)要實(shí)現(xiàn)動(dòng)力相似，作用在相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)兩流動(dòng)要實(shí)現(xiàn)動(dòng)力相似，作用在相應(yīng)質(zhì)點(diǎn)上的各種作用力的比例尺要滿足一定的約束關(guān)上的各種作用力的比例尺要滿足一定的約束關(guān)系，我們把這種關(guān)系稱(chēng)為相似準(zhǔn)則。系

25、，我們把這種關(guān)系稱(chēng)為相似準(zhǔn)則。 1雷諾準(zhǔn)則雷諾準(zhǔn)則 若兩流動(dòng)相似，雷諾數(shù)相等，這就是雷諾若兩流動(dòng)相似，雷諾數(shù)相等，這就是雷諾相似準(zhǔn)則。當(dāng)作用的粘性力為主時(shí)，用雷諾準(zhǔn)相似準(zhǔn)則。當(dāng)作用的粘性力為主時(shí)，用雷諾準(zhǔn)則進(jìn)行相似判斷。則進(jìn)行相似判斷。 1LmnmnmmnnnnLLReRe 2 2弗勞德準(zhǔn)則弗勞德準(zhǔn)則 Fr稱(chēng)為弗勞德數(shù)，表示慣性力與重力的比。若稱(chēng)為弗勞德數(shù)，表示慣性力與重力的比。若兩流動(dòng)相似，弗勞德數(shù)相等，這就是弗勞德相兩流動(dòng)相似，弗勞德數(shù)相等，這就是弗勞德相似準(zhǔn)則。似準(zhǔn)則。 12LgmnmmmnnnLgFrFrLgLg2221 3歐拉準(zhǔn)則歐拉準(zhǔn)則 Eu稱(chēng)為歐拉數(shù)，表示壓力與慣性力的比。若稱(chēng)為

26、歐拉數(shù)，表示壓力與慣性力的比。若兩流動(dòng)相似，歐拉數(shù)相等，這就是歐拉相似準(zhǔn)兩流動(dòng)相似，歐拉數(shù)相等，這就是歐拉相似準(zhǔn)則。則。 12pmnmmmnnnppEuEupp222211一、模型律的選擇一、模型律的選擇 對(duì)于不可壓縮流體，若兩個(gè)流動(dòng)相似，要對(duì)于不可壓縮流體，若兩個(gè)流動(dòng)相似，要求雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)和歐拉數(shù)分別相等。但由求雷諾數(shù)、弗勞德數(shù)和歐拉數(shù)分別相等。但由于歐拉準(zhǔn)則是導(dǎo)出準(zhǔn)則，歐拉數(shù)是被決定的相于歐拉準(zhǔn)則是導(dǎo)出準(zhǔn)則，歐拉數(shù)是被決定的相似準(zhǔn)數(shù)，因此，只要兩個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)和弗勞似準(zhǔn)數(shù)，因此，只要兩個(gè)流動(dòng)的雷諾數(shù)和弗勞德數(shù)分別相等，就可以做到動(dòng)力相似。實(shí)際上，德數(shù)分別相等，就可以做到動(dòng)力相似。實(shí)際上

27、，要使雷諾準(zhǔn)則和弗勞德準(zhǔn)則同時(shí)滿足也是困難要使雷諾準(zhǔn)則和弗勞德準(zhǔn)則同時(shí)滿足也是困難的，也就是說(shuō)模型和原型兩個(gè)流動(dòng)很難做到完的，也就是說(shuō)模型和原型兩個(gè)流動(dòng)很難做到完全相似。全相似。 模型試驗(yàn)一般只能做到近似相似，也就是模型試驗(yàn)一般只能做到近似相似，也就是只能保證對(duì)流動(dòng)起主要作用的力相似。對(duì)于管只能保證對(duì)流動(dòng)起主要作用的力相似。對(duì)于管道流動(dòng)，一般分兩種情況進(jìn)行研究：道流動(dòng)，一般分兩種情況進(jìn)行研究：1 1）雷諾）雷諾數(shù)較小時(shí)（在層流區(qū)、臨界過(guò)渡區(qū)、紊流光滑數(shù)較小時(shí)（在層流區(qū)、臨界過(guò)渡區(qū)、紊流光滑區(qū)和紊流過(guò)渡區(qū)），影響速度和流動(dòng)阻力的主區(qū)和紊流過(guò)渡區(qū)），影響速度和流動(dòng)阻力的主要因素是粘性力，采用雷諾準(zhǔn)

28、則進(jìn)行模型設(shè)計(jì)；要因素是粘性力，采用雷諾準(zhǔn)則進(jìn)行模型設(shè)計(jì)；2 2）雷諾數(shù)較大時(shí)（流動(dòng)進(jìn)入紊流粗糙區(qū)），）雷諾數(shù)較大時(shí)（流動(dòng)進(jìn)入紊流粗糙區(qū)），流動(dòng)阻力與雷諾數(shù)無(wú)關(guān)，只與粗糙度有關(guān)，即流動(dòng)阻力與雷諾數(shù)無(wú)關(guān)，只與粗糙度有關(guān)，即流動(dòng)進(jìn)入自模區(qū)。這是，只要保證流動(dòng)幾何相流動(dòng)進(jìn)入自模區(qū)。這是，只要保證流動(dòng)幾何相似，流動(dòng)就達(dá)到動(dòng)力相似。似，流動(dòng)就達(dá)到動(dòng)力相似。 在模型設(shè)計(jì)中，一般先根據(jù)原型要求的試在模型設(shè)計(jì)中，一般先根據(jù)原型要求的試驗(yàn)范圍、現(xiàn)有試驗(yàn)場(chǎng)地的大小、模型制作和測(cè)驗(yàn)范圍、現(xiàn)有試驗(yàn)場(chǎng)地的大小、模型制作和測(cè)量條件，選擇長(zhǎng)度比例尺。然后根據(jù)對(duì)流動(dòng)受量條件，選擇長(zhǎng)度比例尺。然后根據(jù)對(duì)流動(dòng)受力情況的分析，滿足

29、對(duì)流動(dòng)起主要作用的力相力情況的分析，滿足對(duì)流動(dòng)起主要作用的力相似，選定模型律。按所選用的相似準(zhǔn)則，根據(jù)似，選定模型律。按所選用的相似準(zhǔn)則，根據(jù)原型的最大流量，計(jì)算模型所要求的流量，檢原型的最大流量，計(jì)算模型所要求的流量，檢查實(shí)驗(yàn)室是否滿足模型試驗(yàn)的流量要求；如不查實(shí)驗(yàn)室是否滿足模型試驗(yàn)的流量要求；如不滿足，需調(diào)整長(zhǎng)度比例尺或加大實(shí)驗(yàn)室的供水滿足，需調(diào)整長(zhǎng)度比例尺或加大實(shí)驗(yàn)室的供水能力。能力。 1按雷諾準(zhǔn)則確定比例尺按雷諾準(zhǔn)則確定比例尺 在確定在確定L、和和比例尺后，其它比例尺比例尺后，其它比例尺的確定方法如下：的確定方法如下：L2LQLtta2p 2按弗勞德準(zhǔn)則確定比例尺按弗勞德準(zhǔn)則確定比例尺

30、 一般重力加速度相同。在確定一般重力加速度相同。在確定L和和比例比例尺后，其它比例尺的確定方法如下：尺后，其它比例尺的確定方法如下：LLt1tal252LLQLp2 例例4： 儲(chǔ)水池放水模型實(shí)驗(yàn)，已知模型長(zhǎng)儲(chǔ)水池放水模型實(shí)驗(yàn)，已知模型長(zhǎng)度比尺為度比尺為225，開(kāi)閘后，開(kāi)閘后10min水全部放空，試水全部放空，試求放空儲(chǔ)水池所需的時(shí)間。求放空儲(chǔ)水池所需的時(shí)間。 解：本題屬重力相似，取相似準(zhǔn)則為解：本題屬重力相似，取相似準(zhǔn)則為Fr相相等，即等，即15225 L1515225Ltmin1501510mtntt 例例5：一油池通過(guò)直徑為：一油池通過(guò)直徑為0.25m的圓管輸送原油，的圓管輸送原油，流量為流量為140L/s，運(yùn)動(dòng)粘度為，運(yùn)動(dòng)粘度為0.7510-4m2/s。在。在1：5模型中作試驗(yàn)，通過(guò)選擇試驗(yàn)流體的運(yùn)動(dòng)粘度，模型中作試驗(yàn)，通