中考解直角三角形知識點整理復(fù)習(xí)[寶典]

1、中考解直角三角形考點一、直角三角形的性質(zhì)1、直角三角形的兩個銳角互余：可表示如下：C=90 ° A+B=90°2、在直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半。3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半4、勾股定理： 如果直角三角形的兩直角邊長分別為 a，b，斜邊長為 c，那么 a2 b2 c2. 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方B弦 ca 勾ACb 股勾：直角三角形較短的直角邊股：直角三角形較長的直角邊弦：斜邊勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a， b， c 有下面關(guān)系：a2 b2 c2，那么這個三角形是直角三角形?？键c二、直角三角形的判定1、有

2、一個角是直角的三角形是直角三角形、有兩個角互余的三角形是直角三角形2、如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。3、勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長222，那么這個三角形是直角三角形。（經(jīng)典直角三角a、 b、 c 滿足 a +b =c形：勾三、股四、弦五）用它判斷三角形是否為直角三角形的一般步驟是：（ 1）確定最大邊（不妨設(shè)為 c）；（ 2）若 c2a2b2，則 ABC 是以 C 為直角的三角形；若 a2 b2 c2，則此三角形為鈍角三角形（其中c 為最大邊）；若 a2 b2 c2，則此三角形為銳角三角形（其中c 為最大邊）4. 勾股定理的作用：（1）已知直角三角形

3、的兩邊求第三邊。（2）已知直角三角形的一邊，求另兩邊的關(guān)系。（3）用于證明線段平方關(guān)系的問題。（4）利用勾股定理，作出長為n 的線段考點三、銳角三角函數(shù)的概念1、如圖，在ABC中， C=90°銳角 A 的對邊與斜邊的比叫做A 的正弦，記為sinA ，即銳角 A 的鄰邊與斜邊的比叫做A 的余弦，記為cosA，即銳角 A 的對邊與鄰邊的比叫做A 的正切，記為tanA ，即銳角 A 的鄰邊與對邊的比叫做A 的余切，記為cotA ，即A的對邊asin A斜邊cA的鄰邊bcos A斜邊cA的對邊atan AA的鄰邊bA的鄰邊bcotAA的對邊a2、銳角三角函數(shù)的概念銳角 A 的正弦、余弦、正切

4、、余切都叫做A 的銳角三角函數(shù)3、一些特殊角的三角函數(shù)值三角函數(shù)30 °45 °60 °sin 123222cos321222tan3133cot31334、各銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系（ 1）互余關(guān)系： sinA=cos(90 ° A) ，cosA=sin(90 ° A) ；（ 2）平方關(guān)系：sin 2 Acos2 A1（ 3）倒數(shù)關(guān)系： tanA tan(90 °A)=1（ 4）商（弦切）關(guān)系： tanA= sin Acos A5、銳角三角函數(shù)的增減性當(dāng)角度在 0°90°之間變化時，（ 1）正弦值隨著角度的增大（或

5、減?。┒龃螅ɑ驕p小）；（ 2）余弦值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅?；（ 3）正切值隨著角度的增大（或減?。┒龃螅ɑ驕p?。?；（ 4）余切值隨著角度的增大（或減?。┒鴾p?。ɑ蛟龃螅┛键c四、解直角三角形1、解直角三角形的概念在直角三角形中，除直角外，一共有五個元素，即三條邊和兩個銳角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的過程叫做解直角三角形。2、解直角三角形的理論依據(jù)在 RtABC 中， C=90 °， A ， B ， C 所對的邊分別為a， b，c（ 1）三邊之間的關(guān)系： a 2 b2 c 2 （勾股定理）（ 2）銳角之間的關(guān)系： A+ B=90°（

6、 3）邊角之間的關(guān)系：正弦sin ，余弦 cos，正切 tan(4)面積公式：（ hc 為 c 邊上的高）考點五、解直角三角形應(yīng)用1、將實際問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中，用銳角三角函數(shù)、代數(shù)和幾何知識綜合求解2、仰角、俯角、坡面知識點及應(yīng)用舉例：(1)仰角 ：視線在水平線上方的角；俯角 ：視線在水平線下方的角。視線鉛垂線仰角水平線俯角視線hi h : ll(2)坡面的鉛直高度 h 和水平寬度 l 的比叫做 坡度 (坡比 )。用字母 i 表示，即 ih。坡度一般寫成 1: m 的形式，如hli 1: 5等。 把坡面與水平面的夾角記作(叫做 坡角 )，那么 itan 。l3、從某點的指北方向按順時針轉(zhuǎn)到

7、目標(biāo)方向的水平角，叫做方位角。如圖3， OA 、 OB、 OC、 OD 的方向角分別是： 45°、 135°、 225°。解直角三角形的基本類型及其解法公式（總結(jié)）1、解直角三角形的類型與解法已知、解法三角已知條件解法步驟類型兩直角邊（如a，b）由 tan A a，求 A； B 90° A， cRt ABCb兩斜邊，一直角邊（如 c， a）由 Sin A a，求 A； B 90° A， bBcc邊a一一角邊銳角，鄰邊 B 90° A，a b· Sin A ， cb cosAAb C邊（如 A， b）cosA一和銳角，對邊 B

8、 90° A，b a ，c a角一銳角（如 A， a）tanAsinAa2b 2c2 - a2斜邊，銳角（如c， A） B 90° A，a c· Sin A ， b c· cos A2、測量物體的高度的常見模型1）利用水平距離測量物體高度數(shù)學(xué)模型所用應(yīng)測數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)工具原理tan ， tan x 1x 2 x1x2 a·tan· tan直角a側(cè)傾 、 、tan tan三角器水平距離 atan tan 形的x皮尺ax邊角關(guān)系 a·tan· tantan tanax2) 測量底部可以到達(dá)的物體的高度數(shù)學(xué)模型所用應(yīng)測

9、數(shù)據(jù)數(shù)量關(guān)系根據(jù)工具原理h a1 ， h a1 a3皮尺目高 a1a3a2a2反射a1鏡子h水平距離2定律a3鏡子aa2水平距離 a3h皮尺標(biāo)桿高 a1a1標(biāo)桿標(biāo)桿影長2a3aa2物體影長 a3h側(cè)傾器高 a1水平距離 aa1a22皮尺傾斜角 側(cè)傾h1器h仰角 a1h2俯角 水平距離a13）測量底部不可到達(dá)的物體的高度（1）數(shù)學(xué)模型所用應(yīng)測數(shù)據(jù)工具h(yuǎn)1h仰角 俯角 x高度 a皮尺 側(cè)傾a器俯角 俯角 xh高度測量底部不可到達(dá)的物體的高度（2）數(shù)字模型所用應(yīng)測距離工具Ah1仰角 ，h仰角 a2axh a3 ,h a1a3a1a2a2tan ha1 ,a2ha1 a2tan tan h1 , ta

10、n h2a1a1h h1 h2 a1（ tan tan ）數(shù)量關(guān)系tan h1， tan axxh a h1 atan a a(1 tan )tantantan a h, tan axx xa haatantan h atantan數(shù)量關(guān)系tan h1tan h1a1xx h1 a1 tantantantan同一時刻物高與影長成正比矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系根據(jù)理論矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系根據(jù)原理水平距離1a側(cè)傾器高2h a2 h1 a2 a1 tantanatantan皮尺tan h, tan h axxh1側(cè)傾htan器仰角 tan tan仰角

11、 hh atanh高度 atan x, tan x、htan tanaxa仰角 ha h仰角 tan x, tan xh高度 atan hxtab tan矩形的性質(zhì)和直角三角形的邊角關(guān)系第三部分真題分類匯編詳解2007-2012（ 2007） 19（本小題滿分 6分）一艘輪船自西向東航行，在A處測得東偏北 21.3°方向有一座小島 C，繼續(xù)向東航行 60 海里到達(dá) B 處，測得小島 C 此時在輪船的東偏北63. 5°方向上之后，輪船繼續(xù)向東航行多少海里，距離小島C 最近？（參考數(shù)據(jù)： sin21.3°9 ， tan21. 3° 2 ， sin63.5&#

12、176; 9 ， tan63.5° 2）25510北C東AB（ 2008）19（本小題滿分6 分）在一次課題學(xué)習(xí)課上，同學(xué)們?yōu)榻淌掖皯粼O(shè)計一個遮陽蓬，小明同學(xué)繪制的設(shè)計圖如圖所示， 其中， AB 表示窗戶， 且 AB 2米， BCD 表示直角遮陽蓬， 已知當(dāng)?shù)匾荒曛性谖鐣r的太陽光與水平線CD 的最小夾角為 18.6 ，最大夾角為 64.5請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)， 幫助小明同學(xué)計算出遮陽蓬中CD 的長是多少米？ （結(jié)果保留兩個有效數(shù)字）（參考數(shù)據(jù)： sin18.60.32 ， tan18.60.34 ， sin 64.50.90 ， tan 64.52.1）CDBFGEAABD 第 19題圖

13、（ 2009）19（本小題滿分6 分）在一次數(shù)學(xué)活動課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們?nèi)y量一座古塔CD 的高度他們首先從A 處安置測傾器，測得塔頂C 的仰角CFE21°，然后往塔的方向前進(jìn)50 米到達(dá) B 處，此時測得仰角CGE37°，已知測傾器高1.5 米，請你根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算出古塔CD 的高度（參考數(shù)據(jù)：sin 37° 3 ， tan 37° 3 ， sin 21° 9 ， tan 21° 3 ）54258（ 2010） 19（本小題滿分6 分）小明家所在居民樓的對面有一座大廈，80米為測量這座居民樓與大廈之間ABAB的距離，小明從自己家的窗

14、戶C處測得大廈頂部A 的仰角為37°，大廈底部 B 的俯角為 48°求小明家所在居民樓與大廈的距離 CD的長度（結(jié)果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)： sin37oooo11 ）A3 ， tan373 ， sin 487 ， tan48541010解：37°D48°CB第 19題圖A（ 2011） 19 (6 分 ) 某商場準(zhǔn)備改善原有樓梯的安全性能，把傾斜角由原來的 40o 減至 35o已知原樓梯 AB長為 5m，調(diào)整后的樓梯所占地35o40o面 CD有多長？CBD( 結(jié)果精確到0.1m 參考數(shù)據(jù)： sin40 o0.64 ， cos40 o 0.77 ， sin

15、35 o 0.57 ， tan35 o 0.70)（ 2012）20. （ 8 分）附歷年真題標(biāo)準(zhǔn)答案：（ 2007） 19（本小題滿分6 分）解：過 C 作 AB 的垂線，交直線AB 于點 D ，得到 RtACD 與 Rt BCD C設(shè) BD x 海里，在 RtBCD 中， tan CBD CD ， CD x ·tan63.5 °BD在 RtACD 中， AD AB BD (60 x)海里， tan A CD ， ABDAD CD( 60 x ) tan21·.3 °x·tan63.5 °(60 x) ·tan21.3 &

16、#176;，即260 x解得， x 152x5答：輪船繼續(xù)向東航行15 海里，距離小島C 最近 6（ 2008）19（本小題滿分6 分）解：設(shè) CD為 x ，在 Rt BCD中， BDC18.6 ，BC， BC CD tanBDC 0.34x ········2 tan BDCCD在 Rt ACD中，ADC64 .5 ， tan ADCAC2.1x ， AC CD tan ADCCD ABAC BC ， 2 2.1x0.34x x 1.14 C答：長約為 1.14米CD（ 2009） 19（本小題滿分 6 分）解：

17、由題意知 CD AD ， EF AD ， CEF90°，設(shè) CEx ，F(xiàn)GECE ，則 EF在 RtCEF 中， tanCFECEx8 x ；EFtanCFEtan 21° 3ABDCE ，則 GE在 RtCEG 中， tanCGEtanCEx4 x第 19題圖GECGEtan 37° 3EF FGEG ，8 x504 x x37.5 ， CDCEED37.5 1.539 （米）33答：古塔的高度約是39 米 ···································