概率初步全章復(fù)習(xí)測試

1、概率全章復(fù)習(xí)與鞏固【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別.2.會用互斥事件的概率加法公式求互斥事件的概率.3.理解古典概型及其概率計算公式，會計算一些隨機事件發(fā)生的概率.4.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率，初步體會幾何概型的意義.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一：隨機事件的概率1.隨機事件的概念在一定的條件下所出現(xiàn)的某種結(jié)果叫做事件.(1)隨機事件：在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件；(2)必然事件：在一定條件下必然要發(fā)生的事件；(3)不可能事件：在一定條件下不可能發(fā)生的事件.2.隨機事件的概率事件A的概率：在大量重復(fù)進行同一試

2、驗時，事件A發(fā)生的頻率總接近于某個常數(shù)，在它附近擺動，這時就把這個常數(shù)叫做事件A的概率，記作P(A).由定義可知0P(A)1，顯然必然事件的概率是1，不可能事件的概率是0.3.事件間的關(guān)系(1)互斥事件：不能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件.(2)對立事件：不能同時發(fā)生，但必有一個發(fā)生的兩個事件叫做對立事件.(3)包含：事件A發(fā)生時事件B一定發(fā)生，稱事件A包含于事件B(或事件B包含事件A).要點詮釋：1.隨機事件是指在一定條件下出現(xiàn)的某種結(jié)果，隨著條件的改變其結(jié)果也會不同，因此強調(diào)同一事件必須在相同的條件下進行研究.隨機事件可以重復(fù)地進行大量實驗，每次的實驗結(jié)果不一定相同，但隨著實驗的重復(fù)進行，

3、其結(jié)果呈現(xiàn)規(guī)律性.2.頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：概率從數(shù)量上反映了隨機事件發(fā)生的可能性的大小.頻率在大量重復(fù)試驗的前提下可以近似地作為這個事件的概率.3.從集合角度理解互斥事件為兩事件交集為空，對立事件為兩事件互補.若兩事件A與B對立，則A與B必為互斥事件，而若事件A與B互斥，則不一定是對立事件.要點二：古典概型1.基本事件：試驗結(jié)果中不能再分的最簡單的隨機事件稱為基本事件.基本事件的特點：(1)每個基本事件的發(fā)生都是等可能的.(2)因為試驗結(jié)果是有限個，所以基本事件也只有有限個.(3)任意兩個基本事件都是互斥的，一次試驗只能出現(xiàn)一個結(jié)果，即產(chǎn)生一個基本事件.(4)基本事件是試驗中不能再分的最簡

4、單的隨機事件，其他事件都可以用基本事件的和的形式來表示.2.古典概型的定義：(1)有限性：試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個；(2)等可能性：每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等；我們把具有上述兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型.3.計算古典概型的概率的基本步驟為：(1)計算所求事件A所包含的基本事件個數(shù)m；(2)計算基本事件的總數(shù)n；(3)應(yīng)用公式計算概率.4.古典概型的概率公式：.應(yīng)用公式的關(guān)鍵在于準(zhǔn)確計算事件所包含的基本事件的個數(shù)和基本事件的總數(shù).要點詮釋：古典概型的判斷：如果一個概率模型是古典概型，則其必須滿足以上兩個條件，有一條不滿足則必不是古典概型.如“擲均勻的骰子和硬幣

5、”問題滿足以上兩個條件，所以是古典概型問題；若骰子或硬幣不均勻，則每個基本事件出現(xiàn)的可能性不同，從而不是古典概型問題；“在線段AB上任取一點C，求AC>BC的概率”問題，因為基本事件為無限個，所以也不是古典概型問題.要點三：幾何概型1.幾何概型的概念：對于一個隨機試驗，我們將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣；而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點.這里的區(qū)域可以是線段，平面圖形，立體圖形等.用這種方法處理隨機試驗，稱為幾何概型.2.幾何概型的基本特點：(1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；(

6、2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等.3.幾何概型的概率：一般地，在幾何區(qū)域中隨機地取一點，記事件該點落在其內(nèi)部一個區(qū)域內(nèi)為事件，則事件發(fā)生的概率.說明：(1)的測度不為；(2)其中測度的意義依確定，當(dāng)分別是線段，平面圖形，立體圖形時，相應(yīng)的測度分別是長度，面積和體積；(3)區(qū)域為開區(qū)域；(4)區(qū)域內(nèi)隨機取點是指：該點落在區(qū)域內(nèi)任何一處都是等可能的，落在任何部分的可能性大小只與該部分的測度成正比而與其形狀位置無關(guān).要點詮釋：幾種常見的幾何概型(1)設(shè)線段是線段L的一部分，向線段L上任投一點，若落在線段上的點數(shù)與線段的長度成正比，而與線段在線段L上的相對位置無關(guān)，則點落在線段上的概率為：P=的長度/

7、L的長度(2)設(shè)平面區(qū)域g是平面區(qū)域G的一部分，向區(qū)域G上任投一點，若落在區(qū)域g上的點數(shù)與區(qū)域g的面積成正比，而與區(qū)域g在區(qū)域G上的相對位置無關(guān)，則點落在區(qū)域g上概率為：P=g的面積/G的面積(3)設(shè)空間區(qū)域上v是空間區(qū)域V的一部分，向區(qū)域V上任投一點，若落在區(qū)域v上的點數(shù)與區(qū)域v的體積成正比，而與區(qū)域v在區(qū)域V上的相對位置無關(guān)，則點落在區(qū)域v上的概率為：P=v的體積/V的體積要點四：隨機數(shù)的產(chǎn)生1.隨機數(shù)的概念 隨機數(shù)是在一定范圍內(nèi)隨機產(chǎn)生的數(shù)，并且得到這個范圍內(nèi)任何一個數(shù)的機會是均等的.它可以幫助我們模擬隨機試驗，特別是一些成本高、時間長的試驗，用隨機模擬的方法可以起到降低成本，縮短時間的

8、作用.2.隨機數(shù)的產(chǎn)生方法：一般用試驗的方法，如把數(shù)字標(biāo)在小球上，攪拌均勻，用統(tǒng)計中的抽簽法等抽樣方法，可以產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù).在計算器或計算機中可以應(yīng)用隨機函數(shù)產(chǎn)生某個范圍的偽隨機數(shù)，當(dāng)作隨機數(shù)來應(yīng)用.3.隨機模擬法(蒙特卡羅法)：用計算機或計算器模擬試驗的方法，具體步驟如下：(1)用計算器或計算機產(chǎn)生某個范圍內(nèi)的隨機數(shù)，并賦予每個隨機數(shù)一定的意義；(2)統(tǒng)計代表某意義的隨機數(shù)的個數(shù)M和總的隨機數(shù)個數(shù)N；(3)計算頻率作為所求概率的近似值.要點詮釋：1.對于抽簽法等抽樣方法試驗，如果親手做大量重復(fù)試驗的話，花費的時間太多，因此利用計算機或計算器做隨機模擬試驗可以大大節(jié)省時間.2.隨機函數(shù)

9、RANDBETWEEN(a，b)產(chǎn)生從整數(shù)a到整數(shù)b的取整數(shù)值的隨機數(shù).3. 隨機數(shù)具有廣泛的應(yīng)用，可以幫助我們安排和模擬一些試驗，這樣可以代替我們自己做大量重復(fù)試驗，比如現(xiàn)在很多城市的重要考試采用產(chǎn)生隨機數(shù)的方法把考生分配到各個考場中.4.在區(qū)間a，b上的均勻隨機數(shù)與整數(shù)值隨機數(shù)的共同點都是等可能取值，不同點是均勻隨機數(shù)可以取區(qū)間內(nèi)的任意一個實數(shù)，整數(shù)值隨機數(shù)只取區(qū)間內(nèi)的整數(shù).5.利用幾何概型的概率公式，結(jié)合隨機模擬試驗，可以解決求概率、面積、參數(shù)值等一系列問題，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用價值.6.用隨機模擬試驗不規(guī)則圖形的面積的基本思想是，構(gòu)造一個包含這個圖形的規(guī)則圖形作為參照，通過計算機產(chǎn)生某

10、區(qū)間內(nèi)的均勻隨機數(shù)，再利用兩個圖形的面積之比近似等于分別落在這兩個圖形區(qū)域內(nèi)的均勻隨機點的個數(shù)之比來解決.7.利用計算機和線性變換Y=X*(b-a)a，可以產(chǎn)生任意區(qū)間a，b上的均勻隨機數(shù).要點五：求解概率問題應(yīng)當(dāng)注意的問題1.求解概率問題應(yīng)首先分清是哪類概率問題，針對不同的概型靈活選擇相應(yīng)的方法及公式.2.求解概率的應(yīng)用問題一般可分為三步：用字母恰當(dāng)?shù)乇硎鞠嚓P(guān)事件；明確事件之間的關(guān)系，如互斥、對立、獨立等；運用正確的計算公式.3.對于稍微復(fù)雜的事件的概率求解時，通常有兩種方法，一是將所求事件轉(zhuǎn)化為彼此互斥的事件的和，二是先求出此事件的對立事件(適用于“至多”“至少”型的事件概率)的概率.4.

11、幾何概型問題時常借助圖形的直觀幫助分析.【典型例題】要點一：隨機事件與概率例1某射手在相同條件下進行射擊，結(jié)果如下： (1)問該射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少? (2)假設(shè)該射手射擊了300次，估計擊中靶心的次數(shù)是多少? 【思路點撥】弄清頻率和概率的含義及它們之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵 【解析】(1)由表可知概率約為0.9； (2)估計擊中靶心的次數(shù)為300×0.9270(次)【總結(jié)升華】本題中利用概率知識估計擊中靶心的次數(shù)是一種非?？茖W(xué)的決策方法舉一反三：【變式1】若在同等條件下進行次重復(fù)試驗得到某個事件A發(fā)生的頻率，則隨著的逐漸增大，有( )A.與某個常數(shù)相等 B.與某個常數(shù)的

12、差逐漸減小C.與某個常數(shù)的差的絕對值逐漸減小 D.與某個常數(shù)的附近擺動并趨于穩(wěn)定【答案】本題選D，根據(jù)概率的定義.要點二：互斥事件與對立事件例2經(jīng)統(tǒng)計，在某儲蓄所一個營業(yè)窗口等候的人數(shù)及相應(yīng)概率如下：(1)至多2人排隊等候的概率是多少?(2)至少3人排隊等候的概率是多少?【思路點撥】利用互斥事件概率加法公式計算【解析】記“等候的人數(shù)為0”為事件A，“1人等候”為事件B，“2人等候”為事件C，“3人等候”為事件D，“4人等候”為事件E，“5人及5人以上等候”為事件F，則易知A、B、C、D、E、F互斥 (1)記“至多2人排隊等候”為事件G，則GABC， P(G)P(A+B+C)P(A)+P(B)+

13、P(C) 0.1+0.16+0.30.56 (2)記“至少3人排隊等候”為事件H，則HDEF， P(H)P(D+E+F)P(D)+P(E)+P(F)0.3+0.1+0.040.44【總結(jié)升華】第(2)問也可以這樣解：因為G與H是對立事件，所以P(H)1P(G)10.560.44舉一反三：【變式1】某地區(qū)的年降水量在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：年降水量(單位：mm)概率0.120.250.160.14(1)求年降水量在內(nèi)的概率；(2)求年降水量在內(nèi)的概率.【答案】（1）（2）【解析】(1)記這個地區(qū)的年降水量在、范圍內(nèi)分別為事件，這4個事件是彼此互斥的，根據(jù)互斥事件的概率加法公式，年降水量在范圍

14、內(nèi)的概率是年降水量在范圍內(nèi)的概率是.(2)年降水量在范圍內(nèi)的概率是年降水量在范圍內(nèi)的概率是.要點三：古典概型例35張獎券中有2張是中獎的，首先由甲抽一張，然后由乙抽一張，求： (1)甲中獎的概率P(A)； (2)甲、乙都中獎的概率P(B)； (3)只有乙中獎的概率P(C)； (4)乙中獎的概率P(D) 【思路點撥】先確定事件總數(shù)，再確定四個事件中包含的基本事件個數(shù)，用古典概率公式求解【解析】甲、乙兩人按順序各抽一張，5張獎券分別為A1，A2，B1，B2，B3，其中A1，A2為中獎券，則基本事件為(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A1)，(A2，B1)，(A

15、2，B2)，(A2，B3)，(B1，A1)，(B1，A2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，A1)，(B2，A2)，(B2，B1)，(B2，B3)，(B3，A1)，(B3，A2)，(B3，B1)，(B3，B2)，共20種(1)若“甲中獎”，則有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，共8種，故P(A) (2)甲、乙都中獎含有的基本事件有(A1，A2)，(A2，A1)，共2種，所以P(B)(3)“只有乙中獎”的基本事件有(B1，A1)，(B2，A1)，(B3，A1)，(B1，A2)，(B2，A2)，(

16、B3，A2)，共6種，故(4)“乙中獎”的基本事件有(A2，A1)，(B1，A1)，(B2，A1)，(B3，A1)，(Al，A2)，(B1，A2)，(B2，A2)，(B3，A2)，共8種，故【總結(jié)升華】1、利用古典概型的計算公式時應(yīng)注意兩點：(1)所有的基本事件必須是互斥的；(2)m為事件A所包含的基本事件數(shù)，求m值時，要做到不重不漏.2、古典概型解題步驟：(1)閱讀題目，搜集信息；(2)判斷是否是等可能事件，并用字母表示事件；(3)求出基本事件總數(shù)和事件所包含的結(jié)果數(shù)；(4)用公式求出概率并下結(jié)論.舉一反三：【變式1】在甲、乙兩個盒子中分別裝有標(biāo)號為1、2、3、4的四個球，現(xiàn)從甲、乙兩個盒子

17、中各取出1個球，每個小球被取出的可能性相等.()求取出的兩個球上標(biāo)號為相鄰整數(shù)的概率；()求取出的兩個球上標(biāo)號之和能被3整除的概率.【答案】() ()【解析】設(shè)從甲、乙兩個盒子中各取1個球，其數(shù)字分別為，用表示抽取結(jié)果，則所有可能有，共16種. ()所取兩個小球上的數(shù)字為相鄰整數(shù)的結(jié)果有， ， ， ， ，共6種. 故所求概率.()所取兩個球上的數(shù)字和能被3整除的結(jié)果有， ， ， ， ，共5種. 故所求概率為.【變式2】從含有兩件正品a1，a2和一件次品b1的三件產(chǎn)品中，每次任取一件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次，求取出的兩件產(chǎn)品中恰有一件次品的概率.【答案】【解析】每次取出一個，取后不放回地連

18、續(xù)取兩次，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有6個，即(a1，a2)和，(a1，b1)，(a2，a1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2).其中小括號內(nèi)左邊的字母表示第1次取出的產(chǎn)品，右邊的字母表示第2次取出的產(chǎn)用A表示“取出的兩種中，恰好有一件次品”這一事件，則A=(a1，b1)，(a2，b1)，(b1，a1)，(b1，a2)，事件A由4個基本事件組成，因而，P(A)=.要點四：幾何概型例4、從甲地到乙地有一班車在到到達，若某人從甲地坐該班車到乙地轉(zhuǎn)乘到出發(fā)的汽車到丙地去，問他能趕上車的概率是多少？【思路點撥】此題中班車出發(fā)的時間與甲到達的時間都是隨機的，設(shè)為兩個變量. 然后把這兩個

19、變量所滿足的條件寫成集合形式，并把所研究事件A的集合也分析得出. 把兩個集合用平面區(qū)域表示，特別注意不等式所表示區(qū)域.【解析】到達乙地的時間是到之間的任一時刻，某人從乙地轉(zhuǎn)乘的時間是到之間的任一時刻，如果在平面直角坐標(biāo)系中用軸表示班車到達乙地的時間，軸表示從乙地出發(fā)的時間，因為到達乙地時間和從乙地出發(fā)的時間是隨機的，則試驗的全部結(jié)果可看作是邊長為0.5的正方形.設(shè)“他能趕上車”為事件，則事件的條件是，構(gòu)成事件的區(qū)域為圖中的陰影部分.由幾何概型公式，得，即他能趕上車的概率為0.875.【總結(jié)升華】在概率問題中，與面積有關(guān)或可以轉(zhuǎn)化為二維空間的，可以采取幾何概型的方法去解決.直接與面積有關(guān)的，可直接計算，有時需要先進行轉(zhuǎn)化成二維空間，然后利用幾何概型.舉一反三：【變式1】在01之間隨機選擇兩個數(shù)，這兩個數(shù)對應(yīng)的點把長度為1的線段分成了三條線段，試求這三條線段能構(gòu)成三角形的概率 【解析】設(shè)三條線段的長度分別為x，y，1-x-y，則即