等差數(shù)列前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)

1、必修五 第二章第二節(jié)等差數(shù)列的前項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)高一數(shù)學(xué)組 柳兆波一、 教學(xué)目標(biāo)確立依據(jù)（一） 課程標(biāo)準(zhǔn)要求及解讀1課程標(biāo)準(zhǔn)要求（1）掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)方法和原理，記住等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式；（2）能利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式進(jìn)行計(jì)算和解決相關(guān)類型題目。 2課程標(biāo)準(zhǔn)解讀課程標(biāo)準(zhǔn)對等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的要求可以分為三個層次，一是要求學(xué)生經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程；二是要求學(xué)生能夠熟練的運(yùn)用公式進(jìn)行等差數(shù)列中基本量的計(jì)算；三是要求學(xué)生能夠利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式掌握求“等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題”。從第一個方面來看，通過引入高斯算法開始，設(shè)計(jì)從簡單到復(fù)雜，從特殊到一般的問題，層層鋪墊，教師再通過實(shí)物演示

2、等手段，組織和啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)換思維，從而能獲得公式的推導(dǎo)思路；第二個層面主要是讓學(xué)生熟悉公式，加強(qiáng)學(xué)生的運(yùn)算能力，強(qiáng)調(diào)對公式“正用”和“逆用”的運(yùn)算都必須做到熟練掌握；第三個層面，就是利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，能夠解決求“等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題”，要求在選題時避免技巧性過高的利用性質(zhì)的復(fù)雜問題，只要能夠做到充分利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式即可。（二） 教材分析等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是數(shù)列一章中的重要基礎(chǔ)知識，同時也是高考命題的熱點(diǎn)之一，而推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法“倒序相加法”更是學(xué)生在今后學(xué)習(xí)數(shù)列求和中的一種的重要的方法，所以本節(jié)課對后續(xù)知識的學(xué)習(xí)起到了非常重要的鋪墊作用。教材中首先通過具體的問題情

3、境引入，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和的方法：“倒序相加法”，然后又配備了三個例題，每道例題突出的重點(diǎn)不同。其中例1的目的是讓學(xué)生熟練運(yùn)用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式；例2的目的是讓學(xué)生掌握能利用等差數(shù)列前項(xiàng)和公式解決“等差數(shù)列前項(xiàng)和的最值問題”；其中例2涉及由求這個過程，因?yàn)楸竟?jié)課的重點(diǎn)是熟悉掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，所以這個過程可以考慮放在下一課時中進(jìn)行比較合適。例3是一個具體的實(shí)際問題，讓學(xué)生能夠在具體的實(shí)際問題中發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列，從而進(jìn)行求和，這個例題首先要求學(xué)生在熟練掌握等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的基礎(chǔ)上，同時要求學(xué)生具備一定的分析推理能力，加之第一課時的容量已經(jīng)比較充實(shí)了，所以可以適當(dāng)調(diào)整，放到第二課時

4、再處理比較合理。三道例題的設(shè)置可以說是層層遞進(jìn)，逐步加深難度，從教材的安排上可以看出本節(jié)課的重點(diǎn)是在于探索并掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，并且學(xué)會利用公式解決一些簡單的實(shí)際問題。（三）學(xué)情分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的相關(guān)知識及其性質(zhì)，也對高斯算法有所了解，這些都為本節(jié)課推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法提供了一定的基礎(chǔ)；因?yàn)閿?shù)列是一種特殊的函數(shù)，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù)的思想解決問題高斯算法與推導(dǎo)一般的等差數(shù)列前和方法還有一定的距離，所以如何從高斯“首尾配對”的算法中“解脫”出來，這是對學(xué)生思維方式的一個提升和考驗(yàn)！同時也是本節(jié)課的難點(diǎn)，需要在老師的特別引導(dǎo)、學(xué)生自主合作探究的基礎(chǔ)上解決問

5、題二、教學(xué)目標(biāo)1.學(xué)生通過對1+2+3+的求和方法的探究，會用倒序相加法推導(dǎo)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式； 2.學(xué)生能夠記住等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，并且能夠利用公式熟練的求解等差數(shù)列中有關(guān)的基本量； 3.學(xué)生能通過例1中的兩個小題的結(jié)果形式以及公式本身的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，能夠發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式是形如為常數(shù)）的形式； 4.學(xué)生能類比二次函數(shù)求最值的方法，會求等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值問題。三、評價設(shè)計(jì)目標(biāo)1評價：學(xué)生經(jīng)過小組合作討論后，小組代表能夠說出能差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程；目標(biāo)2評價：學(xué)生嘗試獨(dú)立求解問題，并且小組代表能夠敘述解題步驟和思路，同時通過板書、投影等手段進(jìn)行檢測；目標(biāo)3評價：學(xué)生能通過例1

6、中的兩個小題的結(jié)果形式，能夠發(fā)現(xiàn)其結(jié)果為二次函數(shù)的形式，并且能夠找到產(chǎn)生這種結(jié)果的原因，小組代表能夠準(zhǔn)確的給出解釋；目標(biāo)4評價：學(xué)生先獨(dú)立思考求解例3，并且小組代表能夠敘述解題思路和步驟，教師點(diǎn)撥引導(dǎo)、師生互動完成，然后學(xué)生能夠獨(dú)立思考完成例3的變式。 四、教學(xué)方法每個環(huán)節(jié)采用問題探究的模式，教師提出問題，學(xué)生獨(dú)立思考后進(jìn)行小組間的合作交流，然后進(jìn)行成果展示由于本節(jié)課的重點(diǎn)是等差數(shù)列前項(xiàng)和的兩個公式及其應(yīng)用，因此課堂上有非常必要給出一定的時間，讓學(xué)生先獨(dú)立求解問題，然后小組展示，學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題，教師點(diǎn)撥，師生合作共同解決問題。五、教學(xué)流程設(shè)計(jì)【課前準(zhǔn)備】溫故知新1等差數(shù)列定義：_；2等差數(shù)列的通

7、項(xiàng)公式：_；3.等差數(shù)列性質(zhì)：【設(shè)計(jì)意圖】通過回顧等差數(shù)列的相關(guān)知識，喚醒同學(xué)們的記憶，為學(xué)習(xí)新知識做好充分的準(zhǔn)備。（一）創(chuàng)設(shè)情境提出問題泰姬陵是印度最負(fù)盛名的旅游勝地 ，是十七世紀(jì)莫臥兒王朝皇帝沙賈罕為紀(jì)念他已故皇后所建,她宏偉壯觀，被譽(yù)為世界七大奇跡之一。傳說陵寢中有一個三角形圖案，以大小相同的圓寶石鑲飾而成共有100層。你知道這個圖案一共花了多少個寶石嗎？【設(shè)計(jì)意圖】通過泰姬陵這個非常唯美的歷史片段和畫面的展示，一下子能夠吸引住學(xué)生，調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和求知欲，引領(lǐng)學(xué)生步入高斯算法的階段，為新課的學(xué)習(xí)做了良好的鋪墊。（二）觀察歸納形成概念【問題探究1】計(jì)算：(1) S

8、=1+2+3+······+100=？(2) S=1+2+3+······+21=？(3) S=1+2+3+······+=？【學(xué)生活動設(shè)計(jì)】 學(xué)生能快速說出第（1）個問題的答案，并且能夠說出解法。對于第（2）個問題學(xué)生能夠提供解題思路。對于第（3）個問題，學(xué)生先經(jīng)過小組合作討論，然后由小組代表展示本組成果?！窘處熁顒釉O(shè)計(jì)】 根據(jù)學(xué)生對第（1）個和（2）個問題采用的“首尾配對”的計(jì)算方法，教師及時給與肯定。同時針對學(xué)

9、生解決第（3）個問題中分為奇數(shù)、偶數(shù)遇到的麻煩，教師動手演示把兩個“全等”三角形中的其中一個“倒置”過來，與原來的三角形補(bǔ)成了一個平行四邊形，通過這個動態(tài)過程的演示引導(dǎo)學(xué)生找到解決問題（2）和問題（3）的新方法，同時對同學(xué)的回答加以點(diǎn)評。 【設(shè)計(jì)意圖】 以學(xué)生非常熟悉的高斯算法引入第（1）個問題，降低學(xué)生的思維起點(diǎn)，但是學(xué)生對高斯算法的理解可能尚處于簡單模仿的認(rèn)知階段，所以設(shè)計(jì)了第（2）個和第（3）個問題，對于第（2）個問題，學(xué)生照樣能通過“留下”一個數(shù)或者“補(bǔ)上”一個數(shù)進(jìn)行“首尾配對”計(jì)算?？墒菍Φ冢?）個問題，學(xué)生要對分奇數(shù)、偶數(shù)進(jìn)行討論，這樣就比較麻煩了，可見學(xué)生思維仍然是停留在高斯“首

10、尾配對”的算法當(dāng)中。而這時教師通過教具：三角形倒置的動態(tài)演示，啟發(fā)了學(xué)生轉(zhuǎn)換思維方法，學(xué)生能通過把三角形的“倒置”，想到了把數(shù)列“倒置”過來，這是非常成功的設(shè)計(jì)！旨在讓學(xué)生初步體驗(yàn)“倒序相加法”的甜頭，從心理上完成了對“首尾配對”求和算法的改進(jìn),把課堂的學(xué)習(xí)氣氛推向高潮，此環(huán)節(jié)對完成教學(xué)目標(biāo)（1）做了很重要的鋪墊?！締栴}探究2】 【合作探究】 你如何推導(dǎo)一般的等差數(shù)列an前n項(xiàng)和呢？ 【學(xué)生活動設(shè)計(jì)】學(xué)生通過小組合作探究，形成結(jié)論小組派代表展示本組成果，并且能夠解釋其做法的合理性。 【教師活動設(shè)計(jì)】 巡視教室，對個別小組的討論加以指點(diǎn)，對小組代表的回答，教師及時給與點(diǎn)評，并且向?qū)W生拋出一個問題

11、，為什么相加后等式的右邊是呢？引導(dǎo)學(xué)生說出用到的等差數(shù)列的性質(zhì)，告訴學(xué)生像這樣把等差數(shù)列倒著寫一行再相加了，這樣的方法叫做：“倒序相加法”。再接著讓學(xué)生把等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式用表示出來，至此得到了等差數(shù)列前項(xiàng)和的兩個公式，【設(shè)計(jì)意圖】通過對前面1+2+3+的求和方法的探究，啟發(fā)了學(xué)生能夠類比推導(dǎo)出一般的等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的方法，再讓學(xué)生獨(dú)立推導(dǎo)出第二個公式這個過程是對學(xué)生認(rèn)知思維的一個很好的提升和檢驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，展示學(xué)生的思維過程，等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式正是本節(jié)課學(xué)習(xí)的重點(diǎn)。此環(huán)節(jié)是對教學(xué)目標(biāo)1的落實(shí)與檢測。（三）小試身手應(yīng)用公式【熱身訓(xùn)練】：根據(jù)下列條件，求相應(yīng)等差數(shù)列的前項(xiàng)和:

12、 （2）（3）求等差數(shù)列 9 ，7，5 , -11的各項(xiàng)的和。例1.求下列等差數(shù)列的前項(xiàng)和： （1）9 ，7，5 , (2)已知【學(xué)生活動設(shè)計(jì)】學(xué)生獨(dú)立思考求解問題，并且能夠準(zhǔn)確的說明其做法，同時對例1能夠做到板書工整?！窘處熁顒釉O(shè)計(jì)】組織學(xué)生獨(dú)立完成以上題目，教師及時給與點(diǎn)評和鼓勵，同時通過投影展示學(xué)生做法，并且讓學(xué)生解釋其做法。在學(xué)生上臺展示例1的做法后，師生合作一起進(jìn)行點(diǎn)評，強(qiáng)調(diào)在解題過程當(dāng)中需要注意對兩個公式的選擇性。 【設(shè)計(jì)意圖】以上兩個題目的設(shè)計(jì)是讓為了讓學(xué)生熟練運(yùn)用兩個公式，同時在學(xué)生回答解題思路后，教師及時引導(dǎo)學(xué)生如何恰當(dāng)運(yùn)用兩個公式，以此讓學(xué)生加深對公式的理解和鞏固，此環(huán)節(jié)是

13、對教學(xué)目標(biāo)（2）的初步落實(shí)與檢測【實(shí)戰(zhàn)訓(xùn)練】 例2 . 根據(jù)下列等差數(shù)列的條件，求解相應(yīng)的量： （1）；（2）；（3）；【學(xué)生活動設(shè)計(jì)】學(xué)生獨(dú)立思考解決問題，并且能夠解說自己的解題思路和步驟。【教師活動設(shè)計(jì)】組織學(xué)生展示自己的題目，對學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評，引導(dǎo)學(xué)生注意兩個公式的選擇性以及公式的“逆用”?！驹O(shè)計(jì)意圖】例2主要讓學(xué)生體會到，不僅僅可以根據(jù)題中條件求出前項(xiàng)和，還可以先知道前項(xiàng)和，求出公式當(dāng)中涉及的其它基本量等，體現(xiàn)公式的“逆用”，其中第（3）小題當(dāng)中特別注意。通過這個例題的設(shè)計(jì)讓不僅僅能夠加深學(xué)生對公式的理解和駕馭能力，更能考驗(yàn)學(xué)生的計(jì)算能力和邏輯思維能力，此環(huán)節(jié)是對教學(xué)目標(biāo)（2）的落

14、實(shí)與檢測（四）能力提升綜合應(yīng)用【問題探究3】通過求前面例1中等差數(shù)列前項(xiàng)和的練習(xí)，你能發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式從表達(dá)形式上看具有什么特點(diǎn)嗎？有什么依據(jù)嗎？【學(xué)生活動設(shè)計(jì)】學(xué)生觀察例1等差數(shù)列前項(xiàng)和的結(jié)果形式，能夠說出結(jié)論，同時學(xué)生能夠把寫成關(guān)于的二次函數(shù)的形式?！窘處熁顒釉O(shè)計(jì)】引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列前項(xiàng)和的結(jié)果形式，追溯根源，與學(xué)生共同把寫成，即當(dāng)時，是關(guān)于的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)形式，即能夠?qū)懗蔀槌?shù)）的形式?！驹O(shè)計(jì)意圖】 通過深入分析等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列的前項(xiàng)公式是關(guān)于的沒有常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)的本質(zhì)，以此更加深刻的讓學(xué)生從函數(shù)的角度來認(rèn)識等差數(shù)列的前項(xiàng)公式，這是對知識結(jié)構(gòu)體系的一

15、個升華，同時也是對學(xué)生能力提升的一個考察此環(huán)節(jié)是對教學(xué)目標(biāo)3的落實(shí)與檢測【問題探究4】 你能求出前面例1當(dāng)中等差數(shù)列的前項(xiàng)和的最值嗎？具體請看如下題目：例3. 求等差數(shù)列9 ，7，5 , 的前多少項(xiàng)的和最大？變式.求等差數(shù)列 8，6，4， 前多少項(xiàng)的和最大？【自主檢測】已知等差數(shù)列中， 求前多少項(xiàng)的和最?。俊緦W(xué)生活動設(shè)計(jì)】學(xué)生先進(jìn)行獨(dú)立思考，形成結(jié)論，然后展示其做法【教師活動設(shè)計(jì)】 組織學(xué)生展示自己的做法，同時對學(xué)生的做法進(jìn)行點(diǎn)評，通過類比變式，指出兩種做法中需要注意的問題。【設(shè)計(jì)意圖】類比二次函數(shù)，等差數(shù)列的前項(xiàng)和存在最值問題，學(xué)生剛剛接觸有一定的難度，但是因?yàn)榍斑叺膯栴}探究3中剛剛研究了等差數(shù)列前和的二次函數(shù)本質(zhì)，緊接著給出例3，學(xué)生應(yīng)該較容易上手，通過這樣循序漸進(jìn)、層層深入的方式設(shè)計(jì)題目，一方面體現(xiàn)了知識體系構(gòu)建的完善性，另一方面也能有效降低