概率統(tǒng)計 概率統(tǒng)計習題選講

1、.1概率統(tǒng)計概率統(tǒng)計 習題選講習題選講.25 5二維隨機變量及其分布二維隨機變量及其分布 P64-65P64-652 2、一口袋裝有編號為、一口袋裝有編號為1 1，2 2，2 2，3 3的四個球。從中任取的四個球。從中任取一個球，不放回，再取一個球。以一個球，不放回，再取一個球。以X X、Y Y分別表示兩次分別表示兩次取出的球上的號碼，求取出的球上的號碼，求(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合分布列，并計算概的聯(lián)合分布列，并計算概率率P(X=Y).P(X=Y).解：解：X,YX,Y的可能取值都為的可能取值都為1 1，2 2，3.3.(1,1)(3,3)0;P XYP XY(1,2)P XY(1) (21

2、)P XP YX121;436(1,3)P XY(1) (31)P XP YX111;4312其他類似可求得其他類似可求得. .3(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為XY1 12 23 31 12 23 30 01/61/121/61/61/61/121/60 01.6()P XY(1)(2)(3)P XYP XYP XY.43 3、箱子中裝有、箱子中裝有1010件產(chǎn)品，其中件產(chǎn)品，其中2 2件次品，每次從箱件次品，每次從箱子中任取一件，取子中任取一件，取2 2次。定義隨機變量次。定義隨機變量X,YX,Y如下：如下：0,0,1,1,XY第一次取出正品；第二次取出正品；第一次取出次品

3、.第二次取出次品.按照放回抽樣和不放回抽樣分別寫出按照放回抽樣和不放回抽樣分別寫出(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合分布。的聯(lián)合分布。解：解：X,YX,Y的可能取值都為的可能取值都為0 0，1.1.（1 1）放回抽樣：）放回抽樣： (0,0)P XY(0) (0)P XP Y880.64;1010(0,1)P XY(0) (1)P XP Y820.16;1010.528(1,0)0.16;1010P XY22(1,1)0.04.1010P XY(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為XY0 01 10 01 10.160.160.040.040.160.160.640.64.6（2 2）不放回

4、抽樣：）不放回抽樣：(0,0)P XY(0) (00)P XP YX870.6222;109(0,1)P XY(0) (10)P XP YX820.1788;109(1,0)P XY(1) (01)P XP YX280.1788;109(1,1)P XY210.0222;109.76 6、求在、求在D D上服從均勻分布的隨機變量上服從均勻分布的隨機變量(X,Y)(X,Y)的密度函的密度函數(shù)和分布函數(shù)，其中數(shù)和分布函數(shù)，其中D D為為x軸，軸，y軸及直線所軸及直線所圍成的三角形區(qū)域。圍成的三角形區(qū)域。21yx120 01 1解：如圖所示解：如圖所示1111.224DS 4,( , );( , )

5、0,( , ).x yDf x yx yD( , )( , )xyF x yf x y dxdy 必須按照必須按照x, ,y的不同取值分別計算上面的積分。的不同取值分別計算上面的積分。.8120 01 1(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)(5)(5)1,0( , )0;2xyF x y 當或時，0,1( , )1;xyF x y當且時，10,212xyx當且0時，( , )2 (21);2yF x yyx0,01xy當且時，( , )2 (1);2yF x yy10,212xyx當-且時，1( , )4(.2F x yx2).9120 01 1yx10,212xyx(3)當且0時

6、，( , )F x y1024yxydydx2 (21).2yyx注：因為是均勻分布，也注：因為是均勻分布，也可以利用面積比來計算?？梢岳妹娣e比來計算。( , )F x y12y2 (21).2yyx1111()()222211122yyyxy.10120 01 1(4)(4)0,01xy當且時，10,212xyx當-且時，( , )F x y( , )F x y( , )x y12y211(1)1221/422.yyyy120 01 1(5)(5)x21x11()(21)221/ 414(.2xxx2).11所以，所以，X X的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是10 ,0;21 ,0,1;11( ,

7、)4(0,21;2212 (21),0,21;222 (1) ,0,01.2xyxyF x yxxyxyyxxyxyyxy 2或且)，-且且0且.127 7、寫出第、寫出第6 6題中題中X,YX,Y的邊緣密度。的邊緣密度。( )( , )xXfxf x y dy( )( , )yYfyf x y dx210144(21),0;20,.xdyxx其他01242(1),01;0,.ydxyy其他120 01 1.131313、已知、已知(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 (1) ,01,0;( , )0 ,.kx yxyxf x y其他(1); (2),(3),kX YX Y求常數(shù)的邊緣

8、密度；是否獨立？( , )R Rf x y dxdy100(1)xdxkx ydy124.k 2024(1)12(1),01;( )0 ,.xXx ydyxxxfx其他1224(1)12 (1) ,01;( )0 ,.yYx ydxxyyfy其他.14(10)3/5, ;,P YXa b X Y且,求是否獨立？(1,0)(0) (10)P YXP XP YX解：解：2(0)25P Xb23()255bb325b1425a不獨立不獨立 .156 6隨機變量函數(shù)的分布隨機變量函數(shù)的分布 P75-76P75-764 4、對圓片直徑進行測量，測量值、對圓片直徑進行測量，測量值X X服從服從(5,6)(

9、5,6)上的均勻上的均勻分布，求圓面積分布，求圓面積Y Y的概率密度。的概率密度。1,56;( )0,.Xxfx其他21.4YX454( )5.yXyfx dx415 ,yy259 .4Y解：解：( )()YFyP Yy21()4PXy4(5)yPX( ) ( )YYfyFy259 .4Y.169 9、設二維隨機變量、設二維隨機變量(X,Y)(X,Y)的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為XY1 12 23 31 11414181818182 23 30 00 00 0求下列隨機變量的分布列：求下列隨機變量的分布列： (1);(2);(3)2;(4).XYXYXXY.17解：解：( (X,Y) ) 的聯(lián)

10、合分布列也可以表示為的聯(lián)合分布列也可以表示為(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)(, )X YP1418181818140 00 00 01+11+11+21+21+3 1+3 2+12+12+22+22+32+33+13+13+23+23+33+3XYP1418181818140 00 00 0XYP2 23 34 45 5141838146 60 0.181010、設隨機變量、設隨機變量X,YX,Y相互獨立，相互獨立， 11(1, ),(1, ).

11、44XBYB(1)(2)2ZXYUX求:的分布律；的分布律.解：解：X,YX,Y相互獨立，且都服從相互獨立，且都服從 0 01 1分布分布. .XY或P0 01 11/43/4(0)(0,0)(0) (0)9/16P XYP XYP XP Y(1)(0,1)(1,0)6/16P XYP XYP XY(2)(1,1)(1) (1)1/16P XYP XYP XP YXY0 0，1 1，2.2.19ZXY 的分布Z ZP P0 1 20 1 29161166162UX的分布U UP P0 20 23414注：分布相同的隨機變量不一定相同。注：分布相同的隨機變量不一定相同。.201111、設二維隨機

12、變量、設二維隨機變量(X,Y)(X,Y)的分布律為的分布律為XY1 2 31 2 31/92/92/91/92/91/90 00 00 0(1)max(, )(2)min(, )UX YVX Y求的分布;的分布.解：解法同第解：解法同第9 9題題. .U UP P1 12 23 31 12 23 3193959V VP P1 12 23 3193959.211212、設二維隨機變量、設二維隨機變量(X,Y)(X,Y)服從服從D D上的均勻分布，其中上的均勻分布，其中D D為直線為直線 0,0,2,2xyxy所圍成的正方形區(qū)域所圍成的正方形區(qū)域. . 求求 的分布。的分布。 XY解：解： 的可能

13、取值范圍是：的可能取值范圍是：ZXY22.Z 2 22 22xy2xy xy在這兩條平行直線之間，滿足在這兩條平行直線之間，滿足22zxy .22( )()().ZFzP ZzP XYz22.z 2 22 2xyxyzxz()?P XYz( , ).f x yxyz在直線上方區(qū)域的二重積分.xyzyxzxyz與的位置有關？即與即與z z的取值范圍有關的取值范圍有關. .yz0z 或者用面積比計算或者用面積比計算. .23xzxyzxyzyz 02z當時，20z當時，()P XYz221(2)1211(2) ;2 28zz 2 22 2()P XYz221(2)12(2) .2 28zz.24所以，有所以，有( )ZFz 0,2;z 1,2.z 02;z211(2) ,