海淀高三一模數(shù)學理科含答案

1、海淀區(qū)高數(shù)學（理科）年級第二學期期中練習2012.04 .05、選擇題：本大題共 8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求1、2、3、4、5、6、7、的.已知集合A=x x> 1(B)在等比數(shù)列an中，a1 =（A）116在極坐標系中,(A)(C)已知向量sinsinB =x x<(C)且AU B= R ,那么(D)m的值可以是8, a4 = a3a5,貝U a7=（B）8(C) 4(D)一 3過點（2, 3-）且平行于極軸的直線的極坐標萬 2a=(1, x),(A) I(B)程是(B)cos = - 2(D)cos = 2b=( - 1, x

2、),若2a b與b垂直，則踮(C)(D) 4開始n=5, k=0n 3n 1n n 2n為偶數(shù)是否執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的(A) 4從甲、乙等(A) 12(B) 5 (Q 6k值是(D)5個人中選出3人排成一列,則甲不在排頭的排(B) 24(C) 36(D) 48k=k+1否n=1是法種數(shù)是已知函數(shù)f （x）ax 1,ax,x 1,右 x1 ,x2,x 1,R,Xi X2 ,使輸出k結(jié)束f（X1） f（x2）成立，則實數(shù)a的取值范圍是(A) a< 2 (B) a> 2(C) - 2< a<2(D) a>2或 a< - 28、在正方體ABCD-A'

3、;B'C'D'中,若點 P（異于點B）是棱上一點，則A'BC'BP與AC'所成的角為45 °的點P的個數(shù)為B'(A) 0(B) 3(C) 4(D) 6二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分，把答案填在題中橫線上a+ 2i9、復(fù)數(shù)a-i在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點在虛軸上，那么實數(shù)a =1- i2210、過雙曲線 -= 1的右焦點，且平行于經(jīng)過一、三象限的漸近線的直線方程是 9161 一 一11、右 tan = 5,則 cos(2 +EQ , 12、設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q = 100- 5P,其中Q, P分別表示需求量和價格，

4、如果商品需求彈性三Q大于1EPEQ Q'，P的取值范圍是 (其中，=-、P Q'是Q的導數(shù))，則商品價格 EP Q13、如圖，以 ABC的邊AB為直徑的半圓交 AC于點EF A AB于點 F , AF = 3BF , BE = 2EC = 2 , DCDE=, CD=.1,x? Q, 14、已知函數(shù)f(x)= ?則?0,x?&Q,(i) f(f(x)=；(ii)給出下列三個命題：函數(shù)f(x)是偶函數(shù)；存在為？ R(i 1,2,3),使得以點(xi, f (xi)(i = 1,2,3)為頂點的三角形是等腰直角三角形;存在xi?R(i 1,2,3, 4),使得以點(為，f(

5、xj)(i= 1,2,3, 4)為頂點的四邊形為菱形.其中，所有真命題的序號是三、解答題：本大題共 6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15、(本小題滿分13分)在 ABC中，角A, B, C的對邊分別為a,b,c且A, B, C成等差數(shù)列.(I)若b=底,a= 3,求c的值；(n )設(shè)t sin AsinC ,求t的最大值.16、(本小題滿分14分)在四棱錐 P- ABCD 中，AB / CD , AB a AD AB= 4,AD = 2a/2,CD = 2, PAA 平面 ABCD , PA= 4. (I)設(shè)平面PABI平面PCD m,求證：CD/ m ; (n)求證

6、：BD 平面PAC；(出)設(shè)點Q為線段PB上一點，且直線 QC與平面PAC所成角的正弦值為 個，求 甜 的值.17、(本小題滿分13分)某學校隨機抽取部分新生調(diào)查其上學所需時間(單位：分鐘)，并將所得數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖(如圖)，其中，上學所需時間的范圍是0,100,樣本數(shù)據(jù)分組為0,20) , 20,40)40,60) , 60,80) , 80,100.(I)求直方圖中x的值；(n)如果上學所需時間不少于1小時的學生可申請在學校住宿，請估計學校600名新生中有多少名學生可以申請住宿；(出)從學校的新生中任選 4名學生，這4名學生中上學所需時間少于 20分鐘的人數(shù)記為 X ,求X的分布列

7、和數(shù)學期望.(以直方圖中新生上學所需時間少于20分鐘的頻率作為每名學生上學所需時間少于20分鐘的概率)18、(本小題滿分13分)1已知函數(shù) f(x) e kx(x2 x ) (k 0). k(I )求f (x)的單調(diào)區(qū)間;(n)是否存在實數(shù) k ,使得函數(shù)f (x)的極大值等于3e2 ?若存在，求出k的值；若不存在，請說明理由19、(本小題滿分13分)在平面直角坐標系xOy中，橢圓G的中心為坐標原點，左焦點為F1( 1,0)P為橢圓G的上頂點，且PF1O 45 .(I)求橢圓G的標準方程;(n)已知直線l1 ： y kx m1與橢圓G交于A , B兩點，直線l2： y kx m2m2)與橢圓G

8、交于C , D兩點，且| AB | |CD |,如圖所示.(i )證明:m1mt0;(ii)求四邊形 ABCD的面積S的最大值.20、(本小題滿分14分)對于集合M定義函數(shù)fM(x)1x M.對于兩個集合 M N,定義集合 M1,x M.N x fM (x) N(x)1.已知 A= 2,4,6,8,10 , B= 1,2,4,8,16).(I)寫出fA。)和fB(1)的值，并用列舉法寫出集合(n)用Card(M表示有限集合 M所含元素的個數(shù)，求Card (X A) Card (XB)的最小值;且(P A) (Q B) A B(出)有多少個集合對(P, Q,滿足P,Q AU B ,海淀區(qū)高三年級

9、第二學期期中練習學（理科）參考答案.選擇題：本大題共 8小題，每小題5分，共40分.題 號12345678答 案DBACBDAB.填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.9、210、4x- 3y- 20= 011、- f 12、(10,20)513、60。，Ml ;14、1 ,13三.解答題：本大題共6小題，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟15、（本小題滿分13分）解：（I）因為 A,B,C成等差數(shù)列，所以2B A C.因為A B C , 所以B -. 2分3因為 b = 713, a = 3 , b2 a2 c2 2accosB所以c2 3c 4 0. 5分所以c 4或

10、c 1 (舍去). 6分2 2 一 一3_1. _(n)因為 A C -,所以 t sinAsin( A) sin A(cos A -sin A)3 322員sin2A 1(L2A4221-sin(2A10分一一 2一 7因為0 A 所以 一2A 3666所以當2A一,即A 時,t有最大值23413分16、（本小題滿分14分）(I)證明： 因為ABCD, CD 平面PAB, AB 平面PAB,所以CD平面PAB. 2分因為CD 平面PCD ,平面PAB I平面PCD m ,所以CD/ m.（n）證明：因為 APA平面ABCD, ABA AD,所以以A為坐標原點，AB, AD, AP所在的直線分

11、別為 x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系,則 B(4,0,0) , P(0,0,4) , D(0,2,/2,0) , C(2,2V2,0)所以uuuAP所以uurBD所以因為PA所以uuur_ uuur _BD ( 4,272,0) , AC (2,272,0),(0,0, 4)，uuur uuurBD AC(4) 2 2短 2 夜 0 0 0,uuu_AP ( 4) 0 2,2 0 0 4 0.BD AC , BD AP.API AC A, AC 平面 PAC , 平面PAC , BD 平面PAC.9分(出)解：設(shè)PQ=(其中0 #PBuuuruuu所以PQ= PB .1）, Q（x,y,z

12、）,直線QC與平面PAC所成角為所以(x, y, z- 4) = (4,0, - 4).14(4 4 0- - v?.UJUTC4+ > 44 + -o: 4Q(4死 c 2 pI -: :4 2+ -uur由（n）知平面 PAC的一個法向量為BD(4,242,0)12分因為sinuuur uuur cos< CQ, BD >解得 0,1.所以 1217、（本小題滿分13分）解：（I）由直方圖可得：20 x 所以 x= 0.0125.（n）新生上學所需時間不少于uur uurCQ >BDuuj| |uuurCQ| 怛DPQ 7PB 124(42) 82 6 . (42)

13、2 8 ( 44)214分0.025 20 0.0065 20 0.003 2 20 1.1小時的頻率為：0.003 2 20 0.12,2分4分因為600 0.12 72，所以600名新生中有72名學生可以申請住宿. 6分（出）X的可能取值為0, 1, 2, 3, 4.由直方圖可知，每位學生上學所需時間少于20分鐘的概率為P(X0)81256P(X1)c42764P(X2)C2磊,P(X3) C3364P(X4)12568127EX 01 25664所以X的數(shù)學期望為1.271284 -642561.(或 EX 411) 413分所以X的分布列為:X01234P812727312566412

14、86425612分18、(本小題滿分13分)解：(I) f(x)的定義域為R.f,(x), kx / 2ke (xx；)kx(2x1)e kx kx2 (2 k)x 2,即 f'(x)e kx(kx2)(x1)(k0).令 f '(x)2 時,f'(x)2x22e (x 1)0,故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(-? , ?).k 0時,x(令2 k(2,1)1(1,)f'(x)00f(x)Z極大值極小值Zf(x)f '(x)隨x的變化情況如下:22所以，函數(shù)f(x)的單倜遞增區(qū)間是(，和(1,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(-,1).5分當k 2時,f (x) , f

15、'(x)隨x的變化情況如下:x(,1)1(1令2 k華)f'(x)00f(x)Z極大值極小值Z22所以，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(,1)和(2,)，單調(diào)遞減區(qū)間是(1,-). kk 7分(n)當k= - 1時，f(x)的極大值等于3e2.理由如下：當k 2時，f(x)無極大值.0時，f(x)的極大值為f解得k、，4 人1或k (舍).3因為因為2時,f(x)的極大值為f( 1)10分綜上所述，當所以3e2,所以f(x)的極大值不可能等于 3e2.12分k 1時,f(x)的極大值等于3e2.13分19、(本小題滿分13分)(I )解：設(shè)橢圓2G的標準方程為三 ay21(a b

16、 0).因為 F1( 1,0)PF1O 45.222_c= 1.所以 a = b + c = 2.所以橢圓G的標準方程為y2 1.C(x3,y3) ， D(x* yj .(n)設(shè) A(Xi, y1), B(x2,y2),(i )證明：由y2 x 萬kx m1,1.消去 y 得：(1 2k2)x2 4kmiX 2m； 2 0.x1X28(2k2 m2 1) 0,4kmi1 2k2X1X22m2 2 1 2k2所以 |AB| (% X2)2 (y1 y2)2一 1 k2、(x X2)2 4X1X2E簿)2 4琮25”丁同理1團2我帚魯因為| AB |CD1,所以2 應(yīng) G%mp2點亦耳手因為m1m

17、2,所以 rn)1m20.(ii)解：由題意得四邊形設(shè)兩平行線 AB,CD間的距離為d ,則d =m1 - m21+ k2因為m1m2ABCD是平行四邊形,0 ,所以10分所以S |AB|d 2向TT叵二口 縣1 2k 1 k2222 2kmim4 2(2k2 m11)” 4 222 2.1 2k21 2k22 24-2-7(或 S 4丘 QkDmy2m 4以 - I)2 12卮% (1 2k2)2f 1 2k2 24所以當2k2 1 2m；時,四邊形ABCD的面積S取得最大值為2-J2.13分20、(本小題滿分14分)(n)根據(jù)題意可知：對于集合解：(I) fA(1)=1, fB(1)=-1

18、, A B 1,6,10,16.C,X ,若 a? C 且 a? X ,則 Card (C (X Ua) Card(C X) 1 ；若 a? C 且a? X ,則 Card(C (X Ua) Card(C X) 1.所以 要使Card (X A) Card (X B)的值最小，2, 4, 8一定屬于集合 X ; 1, 6, 10, 16是否屬于X不影響Card (X A) Card (X B)的值；集合 X不能含有AU B之外的元素.所以 當X為集合1,6,10,16的子集與集合 2,4,8的并集時，Card (X A) Card (X B)取到最小值4. 8 分(出)因為 A B x|fA(x) fB(x)1,所以 A B B A.由定