二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題

1、§7.3二元一次不等式(組)與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題1二元一次不等式表示的平面區(qū)域(1)一般地，二元一次不等式AxByC>0在平面直角坐標(biāo)系中表示直線AxByC0某一側(cè)所有點(diǎn)組成的平面區(qū)域我們把直線畫成虛線以表示區(qū)域不包括邊界直線當(dāng)我們?cè)谧鴺?biāo)系中畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時(shí)，此區(qū)域應(yīng)包括邊界直線，則把邊界直線畫成實(shí)線(2)由于對(duì)直線AxByC0同一側(cè)的所有點(diǎn)(x，y)，把它的坐標(biāo)(x，y)代入AxByC，所得的符號(hào)都相同，所以只需在此直線的同一側(cè)取一個(gè)特殊點(diǎn)(x0，y0)作為測(cè)試點(diǎn)，由Ax0By0C的符號(hào)即可判斷AxByC>0表示的直線是AxByC0哪一側(cè)的平面區(qū)域

2、2線性規(guī)劃相關(guān)概念名稱意義約束條件由變量x，y組成的一次不等式線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)線性目標(biāo)函數(shù)關(guān)于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題在線性約束條件下求線性目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值問題3.應(yīng)用利用線性規(guī)劃求最值，一般用圖解法求解，其步驟是(1)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出可行域(2)考慮目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，將目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行變形(3)確定最優(yōu)解：在可行域內(nèi)平行移動(dòng)目標(biāo)函數(shù)變形后的直線，從而確定最優(yōu)解(4)求最值：將最優(yōu)解代入目標(biāo)函數(shù)即可求出最大值或最

3、小值. 【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“×”)(1)不等式AxByC>0表示的平面區(qū)域一定在直線AxByC0的上方(×)(2)不等式x2y2<0表示的平面區(qū)域是一、三象限角的平分線和二、四象限角的平分線圍成的含有y軸的兩塊區(qū)域()(3)不等式組表示的平面區(qū)域是如圖所示的陰影部分(×)(4)線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解可能是不唯一的()(5)線性目標(biāo)函數(shù)取得最值的點(diǎn)一定在可行域的頂點(diǎn)或邊界上()(6)目標(biāo)函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距(×)1下列各點(diǎn)中，不在xy10表示的平面區(qū)域內(nèi)的是()A

4、(0,0) B(1,1)C(1,3) D(2，3)答案C解析把各點(diǎn)的坐標(biāo)代入可得(1,3)不適合，故選C.2若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組則該約束條件所圍成的平面區(qū)域的面積是()A3 B. C2 D2答案C解析因?yàn)橹本€xy1與xy1互相垂直，所以如圖所示的可行域?yàn)橹苯侨切危椎肁(0,1)，B(1,0)，C(2,3)，故|AB|，|AC|2，其面積為×|AB|×|AC|2.3若點(diǎn)(m,1)在不等式2x3y5>0所表示的平面區(qū)域內(nèi)，則m的取值范圍是()Am1 Bm1Cm<1 Dm>1答案D解析由2m35>0，得m>1.4(2014·湖南)若

5、變量x，y滿足約束條件且z2xy的最小值為6，則k_.答案2解析作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影部分所示，z2xy，則y2xz.易知當(dāng)直線y2xz過點(diǎn)A(k，k)時(shí)，z2xy取得最小值，即3k6，所以k2.題型一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域例1(1)若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線ykx分為面積相等的兩部分，則k的值是()A. B. C. D.(2)如圖陰影部分表示的區(qū)域可用二元一次不等式組表示為_答案(1)A(2)解析(1)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示由于直線ykx過定點(diǎn).因此只有直線過AB中點(diǎn)時(shí)，直線ykx能平分平面區(qū)域因?yàn)锳(1,1)，B(0,4)，所以AB中點(diǎn)D.當(dāng)ykx

6、過點(diǎn)時(shí)，所以k.(2)兩直線方程分別為x2y20與xy10.由(0,0)點(diǎn)在直線x2y20右下方可知x2y20，又(0,0)點(diǎn)在直線xy10左下方可知xy10，即為所表示的可行域思維升華二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測(cè)試點(diǎn)定域注意不等式中不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線測(cè)試點(diǎn)可以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過原點(diǎn)，則測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn)(1)在平面直角坐標(biāo)系中，若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于4，則a的值為()A5 B3 C5 D7(2)如圖所示的平面區(qū)域(陰影部分)滿足不等式_答案(1)D(2)xy1>0解析(1)直線ax

7、y10過點(diǎn)(0,1)，作出可行域如圖知可行域由點(diǎn)A(1,0)，B(1，a1)，C(0,1)組成的三角形的內(nèi)部(包括邊界)，且a>1，則其面積等于×(a1)×14，解得a7.(2)邊界對(duì)應(yīng)直線方程為xy10，且為虛線，區(qū)域中不含(0,0)，由以上可知平面區(qū)域(陰影部分)滿足xy1>0.題型二求線性目標(biāo)函數(shù)的最值例2(1)(2014·廣東)若變量x，y滿足約束條件且z2xy的最大值和最小值分別為m和n，則mn等于()A5 B6 C7 D8(2)(2013·課標(biāo)全國)已知a>0，x，y滿足約束條件若z2xy的最小值為1，則a_.答案(1)B(

8、2)解析(1)畫出可行域，如圖陰影部分所示由z2xy，得y2xz.由得A(1，1)由得B(2，1)當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，zmin2×(1)13n.當(dāng)直線y2xz經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，zmax2×213m，故mn6.(2)作出不等式組表示的可行域，如圖(陰影部分)易知直線z2xy過交點(diǎn)A時(shí)，z取最小值，由得zmin22a1，解得a.思維升華線性規(guī)劃問題的解題步驟：(1)作圖畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的那一條直線；(2)平移將l平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置；(3)求值解方程組求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)(即最優(yōu)解)，代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值(1)已知

9、平面直角坐標(biāo)系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定若M(x，y)為D上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，1)，則z·的最大值為()A3 B4 C3 D4(2)(2014·北京)若x，y滿足且zyx的最小值為4，則k的值為()A2 B2 C. D答案(1)B(2)D解析(1)由線性約束條件畫出可行域如圖陰影部分所示，目標(biāo)函數(shù)z·xy，將其化為yxz，結(jié)合圖形可知，目標(biāo)函數(shù)的圖象過點(diǎn)(，2)時(shí)，z最大，將點(diǎn)(，2)代入zxy得z的最大值為4.(2)作出可行域，如圖中陰影部分所示，直線kxy20與x軸的交點(diǎn)為A(，0)zyx的最小值為4，4，解得k，故選D.題型三線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用例3

10、某客運(yùn)公司用A、B兩種型號(hào)的車輛承擔(dān)甲、乙兩地間的長途客運(yùn)業(yè)務(wù)，每車每天往返一次A、B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運(yùn)成本分別為1 600元/輛和2 400元/輛，公司擬組建一個(gè)不超過21輛車的客運(yùn)車隊(duì)，并要求B型車不多于A型車7輛若每天運(yùn)送人數(shù)不少于900，且使公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小，那么應(yīng)配備A型車、B型車各多少輛？解設(shè)A型、B型車輛分別為x、y輛，相應(yīng)營運(yùn)成本為z元，則z1 600x2 400y.由題意，得x，y滿足約束條件作可行域如圖所示，可行域的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)由圖可知，當(dāng)直線z1 600x2 400y經(jīng)

11、過可行域的點(diǎn)P時(shí)，直線z1 600x2 400y在y軸上的截距最小，即z取得最小值故應(yīng)配備A型車5輛、B型車12輛，可以滿足公司從甲地去乙地的營運(yùn)成本最小思維升華解線性規(guī)劃應(yīng)用問題的一般步驟：(1)分析題意，設(shè)出未知量；(2)列出線性約束條件和目標(biāo)函數(shù)；(3)作出可行域并利用數(shù)形結(jié)合求解；(4)作答某企業(yè)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每噸甲產(chǎn)品要用A原料3噸、B原料2噸；生產(chǎn)每噸乙產(chǎn)品要用A原料1噸、B原料3噸銷售每噸甲產(chǎn)品可獲得利潤5萬元、每噸乙產(chǎn)品可獲得利潤3萬元，該企業(yè)在一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)消耗A原料不超過13噸、B原料不超過18噸，那么該企業(yè)可獲得的最大利潤是_萬元答案27解析設(shè)生產(chǎn)甲產(chǎn)品x噸

12、、乙產(chǎn)品y噸，則獲得的利潤為z5x3y.由題意得可行域如圖陰影所示由圖可知當(dāng)x、y在A點(diǎn)取值時(shí)，z取得最大值，此時(shí)x3，y4，z5×33×427(萬元)題型四求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值例4(1)設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足則的最大值為_(2)已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,0)，若點(diǎn)M(x，y)為平面區(qū)域上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則|的最小值是_答案(1)(2)解析(1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率，在點(diǎn)(1，)處取到最大值(2)依題意得，(x1，y)，|可視為點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(1,0)間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，在該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)中，由點(diǎn)(1,0)

13、向直線xy2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，且與點(diǎn)(1,0)的距離最小，因此|的最小值是.思維升華常見代數(shù)式的幾何意義有(1)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)的距離；(2)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)之間的距離；(3)表示點(diǎn)(x，y)與原點(diǎn)(0,0)連線的斜率；(4)表示點(diǎn)(x，y)與點(diǎn)(a，b)連線的斜率跟蹤訓(xùn)練4(1)設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是1，平面區(qū)域2是與1關(guān)于直線3x4y90對(duì)稱的區(qū)域，對(duì)于1中的任意一點(diǎn)A與2中的任意一點(diǎn)B，|AB|的最小值等于()A. B4 C. D2(2)設(shè)變量x，y滿足若直線kxy20經(jīng)過該可行域，則k的最大值為_答案(1)B(2)1解析(1)由題意知，所

14、求的|AB|的最小值，即為區(qū)域1中的點(diǎn)到直線3x4y90的距離的最小值的兩倍，畫出已知不等式表示的平面區(qū)域，如圖所示，可看出點(diǎn)(1,1)到直線3x4y90的距離最小，故|AB|的最小值為2×4，選B.(2)畫出可行域如圖，k為直線ykx2的斜率，直線過定點(diǎn)(0,2)，并且直線過可行域，要使k最大，此直線需過B(2,4)點(diǎn)，所以k1.利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標(biāo)函數(shù)的最值典例：(12分)變量x、y滿足(1)設(shè)z，求z的最小值；(2)設(shè)zx2y2，求z的取值范圍；(3)設(shè)zx2y26x4y13，求z的取值范圍思維點(diǎn)撥點(diǎn)(x，y)在不等式組表示的平面區(qū)域內(nèi)，表示點(diǎn)(x，y)和原點(diǎn)連線的斜

15、率；x2y2表示點(diǎn)(x，y)和原點(diǎn)距離的平方；x2y26x4y13(x3)2(y2)2表示點(diǎn)(x，y)和點(diǎn)(3,2)的距離的平方規(guī)范解答解(1)由約束條件作出(x，y)的可行域如圖所示由解得A.由解得C(1,1)由解得B(5,2)4分z.z的值即是可行域中的點(diǎn)與原點(diǎn)O連線的斜率觀察圖形可知zminkOB.6分(2)zx2y2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離中，dmin|OC|，dmax|OB|.2z29.9分(3)zx2y26x4y13(x3)2(y2)2的幾何意義是可行域上的點(diǎn)到點(diǎn)(3,2)的距離的平方結(jié)合圖形可知，可行域上的點(diǎn)到(3,2)的

16、距離中，dmin1(3)4，dmax8.16z64.12分溫馨提醒(1)本題是線性規(guī)劃的綜合應(yīng)用，考查的是非線性目標(biāo)函數(shù)的最值的求法(2)解決這類問題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，給目標(biāo)函數(shù)賦于一定的幾何意義(3)本題錯(cuò)誤率較高出錯(cuò)原因是，很多學(xué)生無從入手，缺乏數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用意識(shí)，不知道從其幾何意義入手解題.方法與技巧1平面區(qū)域的畫法：線定界、點(diǎn)定域(注意實(shí)虛線)2求最值：求二元一次函數(shù)zaxby (ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉(zhuǎn)化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值最優(yōu)解在頂點(diǎn)或邊界取得3解線性規(guī)劃應(yīng)用題，可先找出各變量之間的關(guān)系，最好列成表格，然后用字母表示變

17、量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)，轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃問題4利用線性規(guī)劃的思想結(jié)合代數(shù)式的幾何意義可以解決一些非線性規(guī)劃問題失誤與防范1畫出平面區(qū)域避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化2在通過求直線的截距的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)b>0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z也取最大值；截距取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)b<0時(shí)，截距取最大值時(shí)，z取最小值；截距取最小值時(shí)，z取最大值.A組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練(時(shí)間：45分鐘)1在直角坐標(biāo)平面內(nèi)，不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為，則t的值為()A或 B3或1C1 D.答案C解析不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示由解得交點(diǎn)B(t，t

18、1)，在yx1中，令x0得y1，即直線yx1與y軸的交點(diǎn)為C(0,1)，由平面區(qū)域的面積S，得t22t30，解得t1或t3(不合題意，舍去)，故選C.2在平面直角坐標(biāo)系xOy中，滿足不等式組的點(diǎn)(x，y)的集合用陰影表示為下列圖中的()答案C解析|x|y|把平面分成四部分，|x|y|表示含y軸的兩個(gè)區(qū)域；|x|<1表示x±1所夾含y軸的帶狀區(qū)域3不等式組表示面積為1的直角三角形區(qū)域，則k的值為()A0 B1 C2 D3答案B解析畫出平面區(qū)域如圖所示：直線ykx一定垂直xy40，即k1，只有這樣才可使圍成的區(qū)域?yàn)橹苯侨切?，且面積為1.4(2014·安徽)x，y滿足約束

19、條件若zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實(shí)數(shù)a的值為()A.或1 B2或C2或1 D2或1答案D解析如圖，由yaxz知z的幾何意義是直線在y軸上的截距，故當(dāng)a>0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a2；當(dāng)a<0時(shí)，要使zyax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則a1.5(2014·課標(biāo)全國)設(shè)x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為()A10 B8 C3 D2答案B解析畫出可行域如圖所示由z2xy，得y2xz，欲求z的最大值，可將直線y2x向下平移，當(dāng)經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，且滿足在y軸上的截距z最小時(shí)，即得z的最大值，如圖，可知當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)z最大，由得即A(5,2)，則zmax

20、2×528.6在平面直角坐標(biāo)系中，不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_答案4解析作出可行域?yàn)锳BC(如圖)，則SABC4.7設(shè)z2xy，其中x，y滿足若z的最大值為6，則k的值為_，z的最小值為_答案22解析在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域及直線2xyz，結(jié)合圖形分析可知，要使z2xy的最大值是6，直線yk必過直線2xy6與xy0的交點(diǎn)，即必過點(diǎn)(2,2)，于是有k2；平移直線2xy6，當(dāng)平移到經(jīng)過該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(2,2)時(shí)，相應(yīng)直線在y軸上的截距達(dá)到最小，此時(shí)z2xy取得最小值，最小值是z2×(2)22.8鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2的排放量

21、b及每萬噸鐵礦石的價(jià)格c如表：ab(萬噸)c(百萬元)A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9(萬噸)鐵，若要求CO2的排放量不超過2(萬噸)，則購買鐵礦石的最少費(fèi)用為_(百萬元)答案15解析設(shè)購買鐵礦石A、B分別為x萬噸，y萬噸，購買鐵礦石的費(fèi)用為z(百萬元)，則目標(biāo)函數(shù)z3x6y，由得記P(1,2)，畫出可行域可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z3x6y過點(diǎn)P(1,2)時(shí)，z取到最小值15.9若直線xmym0與以P(1，1)、Q(2,3)為端點(diǎn)的線段不相交，求m的取值范圍解直線xmym0將坐標(biāo)平面劃分成兩塊區(qū)域，線段PQ與直線xmym0不相交，則點(diǎn)P、Q在同一區(qū)域內(nèi)，于是，或所以，m的取值范圍是

22、m<.10某玩具生產(chǎn)公司每天計(jì)劃生產(chǎn)衛(wèi)兵、騎兵、傘兵這三種玩具共100個(gè)，生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵需5分鐘，生產(chǎn)一個(gè)騎兵需7分鐘，生產(chǎn)一個(gè)傘兵需4分鐘，已知總生產(chǎn)時(shí)間不超過10小時(shí)若生產(chǎn)一個(gè)衛(wèi)兵可獲利潤5元，生產(chǎn)一個(gè)騎兵可獲利潤6元，生產(chǎn)一個(gè)傘兵可獲利潤3元(1)試用每天生產(chǎn)的衛(wèi)兵個(gè)數(shù)x與騎兵個(gè)數(shù)y表示每天的利潤(元)；(2)怎樣分配生產(chǎn)任務(wù)才能使每天的利潤最大，最大利潤是多少？解(1)依題意每天生產(chǎn)的傘兵個(gè)數(shù)為100xy，所以利潤5x6y3(100xy)2x3y300.(2)約束條件為整理得目標(biāo)函數(shù)為2x3y300，作出可行域，如圖所示，作初始直線l0：2x3y0，平移l0，當(dāng)l0經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，有最

23、大值，由得最優(yōu)解為A(50,50)，此時(shí)max550元故每天生產(chǎn)衛(wèi)兵50個(gè)，騎兵50個(gè)，傘兵0個(gè)時(shí)利潤最大，且最大利潤為550元B組專項(xiàng)能力提升(時(shí)間：15分鐘)11設(shè)變量x、y滿足約束條件且不等式x2y14恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A8,10 B8,9C6,9 D6,10答案A解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，顯然a8，否則可行域無意義由圖可知x2y在點(diǎn)(6，a6)處取得最大值2a6，由2a614得，a10.12(2014·課標(biāo)全國)設(shè)x，y滿足約束條件且zxay的最小值為7，則a等于()A5 B3 C5或3 D5或3答案B解析當(dāng)a5時(shí)，作出不等式組表示的可行域，如圖(1)(陰影部分)由得交點(diǎn)A(3，2)，則目標(biāo)函數(shù)zx5y過A點(diǎn)時(shí)取得最大值z(mì)max35×(2)7，不滿足題意，排除A，C選項(xiàng)當(dāng)a3時(shí)，作出不等式組表示的可行域，如圖(2)(陰影部分)由得交點(diǎn)B(1,2)，則目標(biāo)函數(shù)zx3y過B點(diǎn)時(shí)取得最小值z(mì)min13×27，滿足題意13(2014·山東)已知x，y滿足約