微分方程穩(wěn)定性理論簡介

1、(1)第五節(jié)微分方程穩(wěn)定性理論簡介這里簡單介紹下面將要用到的有關(guān)內(nèi)容:一階方程的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性設(shè)有微分方程dx不（X）右端不顯含自變量t，代數(shù)方程f (x) =0(2)的實(shí)根x=xo稱為方程（1）的平衡點(diǎn)（或奇點(diǎn)），它也是方程（1）的解（奇解）如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（1）的解x（t）都滿足lim x(t)二 x0t廠(3)則稱平衡點(diǎn)xo是穩(wěn)定的（穩(wěn)定性理論中稱 漸近穩(wěn)定）；否則，稱Xo是不穩(wěn)定的（不漸近穩(wěn)定）。判斷平衡點(diǎn)Xo是否穩(wěn)定通常有兩種方法，利用定義即（3）式稱間接法，不求方程（1）的解x（t），因而不利用（3）式的方法稱直接法，下面介紹直接法。將f（x）在xo做泰勒展開，只

2、取一次項(xiàng)，則方程（1）近似為:dx f '（x）（x -Xo） dt（4）稱為（1）的近似線性方程。xo也是（4）的平衡點(diǎn)。關(guān)于平衡點(diǎn)X。的(4)穩(wěn)定性有如下的結(jié)論：若f'（xj<o，則xo是方程（1）、（ 4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)。若f'（xo）>0，則Xo不是方程（1）、（ 4）的穩(wěn)定的平衡點(diǎn)xo對于方程（4）的穩(wěn)定性很容易由定義（3）證明，因?yàn)椋?）的一般解是x(tcef，(x)tX。(5)其中C是由初始條件決定的常數(shù)(6)二階（平面）方程的平衡點(diǎn)和穩(wěn)定性方程的一般形式可用兩個一階方程表示為晉"（X1,X2）dt響弋（X1,X2）.dt右端不顯含t

3、，代數(shù)方程組(7)f （XI，X2）= 0g（Xi,X2）=0的實(shí)根（x10,x2）稱為方程（6）的平衡點(diǎn)。記為Po（x10,x0）如果從所有可能的初始條件出發(fā)，方程（6）的解Xi（t）,X2（t）都滿足tmxi(t)=x0im x2(t)二x0(8)則稱平衡點(diǎn)F0（x10,x0）是穩(wěn)定的（漸近穩(wěn)定）；否則，稱Po是不穩(wěn)定的（不漸 近穩(wěn)定）。為了用直接法討論方法方程（6）的平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，先看線性常系數(shù)方程空©"iXi biX2(9)dt=a 2 Xib?X2dx2(t).dt系數(shù)矩陣記作bjb2并假定A的行列式det A = 0于是原點(diǎn)F0（0,0）是方程（9）的唯一平衡

4、點(diǎn)，它的穩(wěn)定性由的特征方程det(A；1) = 0的根（特征根）決定，上方程可以寫成更加明確的形式：G 2丄 口丄扎十p扎十q = 0 p （印 b2）（ 10）q =det A將特征根記作J2，則12' 1, ' 2 = / p _ 4q） （11）方程（9）的解一般有形式qe" +c2e於（人打2）或（G +c2t）e兀6 =入2 = ）Ci,C2為任意實(shí)數(shù)。由定義（8）,當(dāng)廠2全為負(fù)數(shù)或有負(fù)的實(shí)部時P0（O,O）是穩(wěn)定 的平衡點(diǎn)，反之，當(dāng)，“有一個為正數(shù)或有正的實(shí)部時 R（0,0）是不穩(wěn)定的平衡 占八、微分方程穩(wěn)定性理論將平衡點(diǎn)分為結(jié)點(diǎn)、焦點(diǎn)、鞍點(diǎn)、中心等類型，

5、完全由 特征根、，2或相應(yīng)的p,q取值決定，下表簡明地給出了這些結(jié)果，表中最后一 列指按照定義（8）式得下馬看花關(guān)于穩(wěn)定性的結(jié)論。表1由特征方程決定的平衡點(diǎn)的類型和穩(wěn)定性打，為p,q平衡點(diǎn)類型穩(wěn)定性入V人2 < 0p>0,q>0,p >4q穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定>、一 2 > 0pc0,q>0, p2 >4q不穩(wěn)定結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定入瓷0 扎7q <0鞍點(diǎn)不穩(wěn)定»1 =人2 £ 0p>0,q>0, p2 =4q穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)穩(wěn)定人=、'一 2 > 0pc0,q>0, p2 T不穩(wěn)定退化結(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定人，熱

6、7; 0 2 < 0p>0,q>0, p c4q穩(wěn)定焦點(diǎn)穩(wěn)定人,爲(wèi)=0 ± 0 3 > 0pc0,q>0, p2 v4q不穩(wěn)定焦點(diǎn)不穩(wěn)定人，爲(wèi)± P =0p =0,q >0中心不穩(wěn)定由上表可以看出，根據(jù)特征方程的系數(shù)p,q的正負(fù)很容易判斷平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，準(zhǔn)則如下：若p 0,q 0（ 12）則平衡點(diǎn)穩(wěn)定，若p ：0 或 q ：0（ 13）則平衡點(diǎn)不穩(wěn)定以上是對線性方程（9）的平衡點(diǎn)P°（0,0）穩(wěn)定性的結(jié)論，對于一般的非線性dxi （t） ! dtdx2（t）.dt方程（6），可以用近似線性方法判斷其平衡點(diǎn)Po（x°,x

7、0）的穩(wěn)定性，在Po（x°,x0）點(diǎn) 將f （Xi, X2）和g（X,X2）作泰勒展開，只取一次項(xiàng)，得（6）的近似線性方程 二 J （X；,X；）（Xi -Xi0） fx2（Xi0,X；）（X2 -x；）（14）二 gx（Xi0,x0）（Xi -Xi0） gx2（Xi0,x；）（x2 -X；）A = figX2P）（x0，x2）系數(shù)矩陣記作特征方程系數(shù)為P （fxi gx2）p（x0,x0）, q =detA顯然，P）（Xi0,x°）點(diǎn)對于方程（i4）的穩(wěn)定性由表i或準(zhǔn)則（i2）、（i3）決定, 而且已經(jīng)證明了如下結(jié)論：若方程（i4）的特征根不為零或?qū)嵅坎粸榱?，則 P）（x

8、i0,x0）點(diǎn)對于方程（6） 的穩(wěn)定性與對于近似方程（i4）的穩(wěn)定性相同。這樣，丘（為0公0）點(diǎn)對于方程（6）的穩(wěn)定性也由準(zhǔn)則（i2）、（ i3）決定。第六節(jié)種群的相互競爭與相互依存當(dāng)某個自然環(huán)境中只有一種生物的群體（生態(tài)學(xué)上稱為種群）生存時，人們常用Logistic模型來描述這個群數(shù)量的演變過程，即f（i）dtNx（ t）是種群在時刻t的數(shù)量,（1）r是固有增長率,N是環(huán)境資源容許的種群最大數(shù)量，在前面我們曾應(yīng)用過這種模型，由方程（1）可以直接得到，Xo=N是穩(wěn)定平衡點(diǎn)，即t時x（t） f N,從模型本身的意義看這是明顯的結(jié)果。如果一個自然環(huán)境中有兩個或兩個以上種群生存，那么它們之間就要存在

9、著 或是相互競爭，或是相互依存，或是弱肉強(qiáng)食（食餌與捕食者）的關(guān)系。這里將從穩(wěn)定狀態(tài)的角度分別討論這些關(guān)系、種群的相互競爭當(dāng)兩個種群為了爭奪有限的食物來源和生活空間而進(jìn)行生存競爭時，最常見的結(jié)局是競爭力較弱的種群滅絕，競爭力較強(qiáng)的種群達(dá)到環(huán)境容許的最大數(shù)量。 人們今天可以看到自然界長期演變成的這樣的結(jié)局，例如一個小島上雖然有四種 燕子棲息，但是它們的食物來源各不相同，一種只在陸地上覓食，另兩種分別在 淺水的海灘上和離岸稍遠(yuǎn)的海中捕魚，第四種則飛越寬闊的海面到遠(yuǎn)方攫取海 味，每一種燕子在它各自生存環(huán)境中的競爭力明顯地強(qiáng)于其它幾種，這里我們建立一個模型解釋類似的現(xiàn)象，并分析產(chǎn)生這種結(jié)局的條件。模型

10、建立 有甲乙兩個種群，當(dāng)它們獨(dú)自在一個自然環(huán)境中生存時， 數(shù)量的 演變均遵從Logistic 規(guī)律，記Xi（t）,X2（t）是兩個種群的數(shù)量，”丄是它們的固有 增長率，N、NN是它們的最大容量， 于是對于種群甲有其中因子（1-dt二隅（1N11N2)）反映由于甲方有限資源的消耗導(dǎo)致的對它本身增長的阻滯作用，互可解釋為相對于N而言單位數(shù)量的甲消耗的供養(yǎng)甲的食物量（設(shè)食物Ni總量為1）0當(dāng)兩個種群在同一自然環(huán)境中生存時，考察由于乙消耗同一種有限資源對甲的增長產(chǎn)生的影響，可以合理地在因子 （1-互）中再減去一項(xiàng)，該項(xiàng)與種群乙的N1數(shù)量X2 （相對于2而言）成正比，得到種群甲方增長的方程這里J的意義是

11、，單位數(shù)量乙（相對 M而言）消耗的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相對N）消耗的供養(yǎng)甲的食物量的5倍。類似地，甲的存在也影響了乙的增長，種群乙的方程應(yīng)該是dx2一 _ x-ix2、應(yīng)=護(hù)2（1八2兀-皿）對二2可作相應(yīng)的解釋在兩種群的相互競爭中G、二2是兩個關(guān)鍵指標(biāo)，從上面對它們的解釋可知,G >1表示在消耗供養(yǎng)甲的資源中，乙的消耗多于甲，因而對甲增長的阻滯作用 乙大于甲，即乙的競爭力強(qiáng)于甲，對 6 > 1可作相應(yīng)的理解。般地說，G與二2之間沒有確定的關(guān)系，但是可以把下面這種特殊情況作為較常見的一類實(shí)際情況的典型代表，即兩個種群在消耗資源中對甲增長的阻作 用對乙增長的阻滯作用相同，具體

12、地說就是，因?yàn)閱挝粩?shù)量的甲和乙消耗的供養(yǎng) 甲方食物量之比是1：二i，消耗的供養(yǎng)甲方食物量之比是 匚2 : 1,所謂阻滯作用相同即11=72 : 1,所以這種特殊情形可以定量地表示為=1（4）即G、匚2互為倒數(shù)，可以簡單地理解為，如果一個乙消耗的食物是一個甲的-1 = k倍，則一個甲消耗的食物是一個乙的 2=1/ k。下面我們?nèi)匀挥懻揊、二2相互獨(dú)立的一般情況，而將條件（4）下對問題的 分析留給大家討論。穩(wěn)定性分析 為了研究兩個種群相互競爭的結(jié)局，即t 時x.,（t）, x2（t）的趨 向，不必要解方程（2）、（3）,只需對它的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析。首先根據(jù)微分方程（2）、（ 3）解代數(shù)方程組L

13、f（0X2）=汕（1-善-6 乎）=0N1N2t12（5）x1x2g（x1,xO =2X2（1-67；）=0IN1 N2得到4個平衡點(diǎn)：叫（1 一牛）N2（1 仃 2）R（N1,0）, P2（0, N2）,P3（ 12-）, P4（0,0）1-C21-C2因?yàn)閮H當(dāng)平衡點(diǎn)們于平面坐標(biāo)系的第一象限時（X1,X2 -0 ）才有實(shí)際意義，所以對F3而言要求二1、匚2同時小于1，或同時大于1。按照判斷平衡點(diǎn)性的方法（見前面）計算gXl；1 x2N2ric1x1N2r2c2x22x2N2p = -(fx gx2)p,i =1,234 q =detAp,i =1,2,3,4將4個平衡點(diǎn)p、q的結(jié)果及穩(wěn)定條件

14、列入下表）表1種群競爭模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)pq穩(wěn)定條件耳叫。）1 2(1)-心(1-)S c1q2 >1B(0,N2)-1(1 -。1)+ r2_rr 2(1 - w)W > 1戸2 c1cf 口1)N2(1口2) , ) 1 _口1口21021（1 。1 ）+2（1。2）12（1 口 1）（1 一 2）v1,b2 c11 ° 1。21 円。2巳(0,0)一（1十叨12不穩(wěn)定注：表中最后一列“穩(wěn)定條件”除了要求p>0,q>0以外，還有其他原因，見下面的具體分析 為了便于對平衡點(diǎn)R、P2、P3的穩(wěn)定條件進(jìn)行分析，在相平面上討論它們。 在代數(shù)方程組（5）中記

15、：(x1, x2)一 ¥ 7 乎=0N1N2PM斜行0對于J、2的不同取值范圍，直線：=0和t =0在相平面上的相對位置不同， 下面給出它們的4種情況;并對這4種情況進(jìn)行分析1、S<1®2>1。由表1知對于P（N1,0）有p >0, q V 0, P穩(wěn)定；P的穩(wěn)定性還可以從t -X時相軌線的趨向來分析，圖 1中=0和 =0兩條直線將相平面（為_0,X2 一0）劃分為3個區(qū)域:圖 16 <1,CT2 >1 P 穩(wěn)定S|：dxi/dt 0,dx2/dt 0(6)S2: dxi / dt 0,dx2/dt ：0(7)Ss: dx-! /dt : 0,

16、 dx2/dt : 0(8)可以證明，不論軌線從哪個區(qū)域出發(fā)，t -X時都將趨向Pi(N, 0)。若軌線從Si出發(fā)，由(6)可知隨著t的增加軌線向右上方運(yùn)動，必然進(jìn)入若軌線從S出發(fā)，由(7)可知軌線向右下方運(yùn)動，那么它或者趨向Pi點(diǎn),或者進(jìn)入Ss,但是進(jìn)入S是不可能的，因?yàn)?，如果設(shè)軌線在某時刻ti經(jīng)直線=0進(jìn)入Ss，則d xi(t i)/ dt =0,由方程(2)不難算出2 _ d 為ni、，dx2=Xidt2N2 dt由(7)、(8)知 dx2 /dt v 0,故 d2xi/dt>0，表明 (t)在 11達(dá)到極小值，而這是不可能的，因?yàn)樵?S2中dx,/dt >0,即xi(t)

17、一直是增加的；若軌線從S3出發(fā)，由(8)可知軌線向左下方運(yùn)動，那么它或者趨向Pi點(diǎn),或者進(jìn)入S,而進(jìn)入S2后，根據(jù)上面的分析最終也將趨向 Pi綜上分析可以畫出軌線示意圖(圖1),因?yàn)橹本€=0上dxi =0,所以在® =0上軌線方向垂直于xi軸；在'-：=0上dx2=0,軌線方向平行于xi軸2、匚i 1,；1，類似的分析可知F2(0,N2)穩(wěn)定。圖2.1匸2：1F2穩(wěn)定3、二1 <12 <1，由表1知對于P點(diǎn)P >0, q >0,故P穩(wěn)定，對軌線趨勢 的分析見圖3。二 1 叮，二2 :：1F3 穩(wěn)定4、；i 12 1，由表1知對于P3點(diǎn)q v0,故F3不

18、穩(wěn)定（鞍點(diǎn)），軌線或者 趨向R，或者趨向P，由軌線的初始位置決定，示意圖見圖 4,在這種情況下R 和R2都不能說是穩(wěn)定的，正因?yàn)檫@樣，所以R穩(wěn)定（與初始條件無關(guān)）的條件需 要加上G ：1，R穩(wěn)定的條件加上二2 <1 °圖4.1,6 - 1F3不穩(wěn)定結(jié)果解釋 根據(jù)建模過程中cr1r2的含義，說明R、P2、F3點(diǎn)穩(wěn)定在生態(tài)上 的意義。1、 G ：1,二2 1，- 1 1意味著在對供養(yǎng)甲的資源的競爭中乙弱于甲， 匚2 1 意味著在對供養(yǎng)乙的資源的競爭中甲強(qiáng)于乙， 于是種群乙終滅絕，種群甲趨向最 大容量，即為必趨向平衡點(diǎn)R（N1,0）2、二1 -12 <1，情況與1正好的相反。3

19、、二1 ：1,；2 :：1，因?yàn)樵诟偁幖椎馁Y源中乙較弱，而在競爭乙的資源中甲較弱，于是可以達(dá)到一個雙方共存的穩(wěn)定的平衡狀態(tài)R3，這是種群競爭中很少出現(xiàn)的情況。4、f 12 1，請大家作出解釋生態(tài)學(xué)中有一個競爭排斥原理；若兩個種群的單個成員消耗的資源差不多相 同，而環(huán)境能承受的種群甲的最大容量比種群乙大，那么種群乙終將滅亡，用本節(jié)的模型很容解釋這個原理。將方程（2）、（ 3）改寫為NiN1X22 )以1 X2原理的兩個條件相當(dāng)于1吐十21 N22 N1= 1,N1 N2從這3個式子顯然可得 耳<1q2 >1，這正是P穩(wěn)定，即種群乙滅絕的條件、種群的相互依存自然界中處于同一環(huán)境下兩個種

20、群相互依存而共生的現(xiàn)象是很普遍的，植物可以獨(dú)立生存。昆蟲的的授粉作用又可以提高植物的增長率，而以花粉為食物的昆蟲卻不能離開植物單獨(dú)存活，人類與人工飼養(yǎng)的牲畜之間也有類似的關(guān)系，這種共生現(xiàn)象可以描述如下。設(shè)種群甲可以獨(dú)立存在，按 Logistic 規(guī)律增長，種群乙為甲提供食物，有 助于甲的增長，類似于前面的方程（2），種群甲的數(shù)量演變規(guī)律可以寫作（n、 Ni、N的意義同前）dx1一 X1X2、(9)dTr1X1（1 卞二憶）5前面的-號這里變成+號，表示乙不是消耗甲的資源而是為甲提供食物，J的含義是：單位數(shù)量乙（相對于NO提供的供養(yǎng)甲的食物量為單位數(shù)量甲（相 對于Ni）消耗的供養(yǎng)甲食物量的G倍。

21、種群乙沒有甲的存在會滅亡，設(shè)其死亡率為2，則乙單獨(dú)存在時有dx2/dt 二-r2x2（10）甲為乙提供食物，于是（2）式右端應(yīng)加上甲對乙增長的促進(jìn)作用，有dx2/dt =-r2x2（1-二 2 互）（11）N1顯然僅當(dāng)匚2乞 1時種群乙的數(shù)量才會增長，與此相同乙的增長又會受到自 Ni身的阻滯作用，所以93）式右端還要添加Logistic項(xiàng)，方程變?yōu)閐x2 /dt = r2x2（1 b2 乞 +生）（12）N1N2方程（9）、（ 12）構(gòu)成相互依存現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，下面利用平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性 分析，討論時間足夠長以后兩個種群的變化趨向。類似于前面的作法將方程（9）、（ 12）的平衡點(diǎn)及其穩(wěn)定性分析的結(jié)果列入 表2表2種群依存模型的平衡點(diǎn)及穩(wěn)定性平衡點(diǎn)Pq穩(wěn)定條件R（N1,0）r1 -2（口2 -1）_rT 2 ©2 -1）cr2 成1,嚇2 £1p（N1（1-F）N2&2-1）1 _嚇2 ' 1 -円匹r1（1 一坊1）+ r2（<J2 一1）r1r2 （1 一 °1 ）（2 UW <1,6 >1,1 -嚇21 嚇2£1P3（0,0）-r<2不穩(wěn)定顯然，P2點(diǎn)穩(wěn)定才表明兩個種群在同一環(huán)境里相互依存而共生，我們著重分析P2穩(wěn)定的條件。由P2的表達(dá)式容易看出，要使平衡點(diǎn) P2有實(shí)際意義，即位于