初中數學幾何輔助線作法小結

1、幾何輔助線作法小結三角形中常見輔助線的作法：延長中線構造全等三角形；利用翻折，構造全等三角形；引平行線構造全等三角形；作連線構造等腰三角形。常見輔助線的作法有以下幾種：1) 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”2) 遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“旋轉”3) 遇到角平分線，可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線，利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定理或逆定理4) 過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換

2、中的“平移”或“翻轉折疊”5) 截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明這種作法，適合于證明線段的和、差、倍、分等類的題目特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起來，利用三角形面積的知識解答（一）、倍長中線（線段）造全等1：已知，如圖ABC中，AB=5，AC=3，則中線AD的取值范圍是_.2：如圖，ABC中，E、F分別在AB、AC上，DEDF，D是中點，試比較BE+CF與EF的大小.3：如圖，ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中點，求證：AD平分BAE

3、.中考應用以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰Rt和等腰Rt，連接DE，M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數量關系（1）如圖 當為直角三角形時，AM與DE的位置關系是 ，線段AM與DE的數量關系是 ；（2）將圖中的等腰Rt繞點A沿逆時針方向旋轉(0<<90)后，如圖所示，（1）問中得到的兩個結論是否發(fā)生改變？并說明理由（二）、截長補短1.如圖，中，AB=2AC，AD平分，且AD=BD，求證：CDAC2：如圖，ACBD，EA,EB分別平分CAB,DBA，CD過點E，求證;ABAC+BD3：如圖，已知在內，P，Q分別在BC，CA上，并且AP，BQ分別是，的角平分線

4、。求證：BQ+AQ=AB+BP4：如圖，在四邊形ABCD中，BCBA,ADCD，BD平分，求證：5:如圖在ABC中，ABAC，12，P為AD上任意一點，求證;AB-ACPB-PC中考應用（三）、平移變換1.AD為ABC的角平分線，直線MNAD于A.E為MN上一點，ABC周長記為，EBC周長記為.求證.2：如圖，在ABC的邊上取兩點D、E，且BD=CE，求證：AB+AC>AD （四）、借助角平分線造全等1：如圖，已知在ABC中，B=60°，ABC的角平分線AD,CE相交于點O，求證：OE=OD2：如圖，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （

5、1）說明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的長.中考應用如圖，OP是MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在ABC中，ACB是直角，B=60°，AD、CE分別是BAC、BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量關系；(第23題圖)OPAMNEBCDFACEFBD圖圖圖（2）如圖，在ABC中，如果ACB不是直角，而(1)中的其它條件不變，請問，你在(1)中所得結論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由。（五）、旋轉1：正方形ABCD

6、中，E為BC上的一點，F(xiàn)為CD上的一點，BE+DF=EF，求EAF的度數.2：D為等腰斜邊AB的中點，DMDN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（1） 當繞點D轉動時，求證DE=DF。（2） 若AB=2，求四邊形DECF的面積。3.如圖，是邊長為3的等邊三角形，是等腰三角形，且，以D為頂點做一個角，使其兩邊分別交AB于點M，交AC于點N，連接MN，則的周長為 ；中考應用1、已知四邊形中，繞點旋轉，它的兩邊分別交（或它們的延長線）于當繞點旋轉到時（如圖1），易證當繞點旋轉到時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段，又有怎樣的數量關系？（圖1）（圖2

7、）（圖3）2、已知:PA=,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點落在直線AB的兩側.(1)如圖,當APB=45°時,求AB及PD的長;(2)當APB變化,且其它條件不變時,求PD的最大值,及相應APB的大小.3、在等邊的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N，D為外一點，且,BD=DC. 探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時，BM、NC、MN之間的數量關系及的周長Q與等邊的周長L的關系圖1 圖2 圖3（I）如圖1，當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數量關系是 ； 此時 ； （II）如圖2，點M、N邊AB、AC上，且當DMDN時，猜

8、想（I）問的兩個結論還成立嗎？寫出你的猜想并加以證明； （III） 如圖3，當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=，則Q= （用、L表示）圓中作輔助線的常用方法（1）作弦心距，以便利用弦心距與弧、弦之間的關系與垂徑定理。（2）若題目中有“弦的中點”和“弧的中點”條件時，一般連接中點和圓心，利用垂徑定理的推論得出結果。（3）若題目中有“直徑”這一條件，可適當選取圓周上的點，連結此點與直徑端點得到90度的角或直角三角形。（4）連結同弧或等弧的圓周角、圓心角，以得到等角。（5）若題中有與半徑（或直徑）垂直的線段，如圖1，圓O中，BDOA于D，經常是：如圖1（上）延長BD交圓于C，利用垂徑定

9、理。如圖1（下）延長AO交圓于E，連結BE，BA，得RtABE。 圖1（上） 圖1（下）（6）若題目中有“切線”條件時，一般是：對切線引過切點的半徑，（7）若題目中有“兩圓相切”（內切或外切），往往過切點作兩圓的切線或作出它們的連心線（連心線過切點）以溝通兩圓中有關的角的相等關系。（8）若題目中有“兩圓相交”的條件，經常作兩圓的公共弦，使之得到同弧上的圓周角或構成圓內接四邊形解決，有時還引兩連心線以得到結果。（9）有些問題可以先證明四點共圓，借助于輔助圓中角之間的等量關系去證明。（10）對于圓的內接正多邊形的問題，往往添作邊心距，抓住一個直角三角形去解決。例題1：如圖，在圓O中，B為的中點，B

10、D為AB的延長線，OAB=500，求CBD的度數。例題2:如圖3,在圓O中,弦AB、CD相交于點P，求證：APD的度數=（弧AD+弧BC）的度數。 一、造直角三角形法1.構成Rt,常連接半徑例1. 過O內一點M ,最長弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM長;2.遇有直徑,常作直徑上的圓周角例2. AB是O的直徑,AC切O于A,CB交O于D,過D作O的切線,交AC于E. 求證:CE = AE;3.遇有切線,常作過切點的半徑例3 .割線AB交O于C、D,且AC=BD,AE切O于E,BF切O于F.求證:OAE = OBF;4.遇有公切線,常構造Rt(斜邊長為圓心距,一直角邊為兩半

11、徑的差,另一直角邊為公切線長)例4 .小 O1與大O2外切于點A,外公切線BC、DE分別和O1、O2切于點B、C和D、E，并相交于P，P = 60°。求證：O1與O2的半徑之比為1：3；5正多邊形相關計算常構造Rt例5.O的半徑為6,求其內接正方形ABCD與內接正六邊形AEFCGH的公共部分的面積.二、欲用垂徑定理常作弦的垂線段例6. AB是O的直徑,CD是弦,AECD于E,BFCD于F.(1)求證:EC = DF;(2)若AE = 2,CD=BF=6,求O的面積;三、轉換割線與弦相交的角，常構成圓的內接四邊形例7. AB是O直徑,弦CDAB,M是上一點,AM延長線交DC延長線于F.

12、求證: F = ACM;四、切線的綜合運用1已知過圓上的點，常_例8.如圖， 已知：O1與O2外切于P，AC是過P點的割線交O1于A，交O2于C，過點O1的直線AB BC于B.求證： BC與O2相切. 例9.如圖，AB是O的直徑，AE平分BAF交O于E，過E點作直線與AF垂直交AF延長線于D點，且交AB于C點求證：CD與O相切于點E2.兩個條件都沒有,常_例10. 如圖，AB是半圓的直徑， AMMN，BNMN，如果AM+BNAB，求證: 直線MN與半圓相切；例11.等腰ABC中,AB=AC,以底邊中點D為圓心的圓切AB邊于E點. 求證:AC與D相切;例12菱形ABCD兩對角線交于點O，O與AB

13、相切。求證：O也與其他三邊都相切；五、兩圓相關題型1兩圓相交作_例13.O1與O2相交于A、B，過A點作直線交O1于C點、交O2于D點，過B點作直線交O1于E點、交O2于F點. 求證:CEDF;2.相切兩圓作_例14. O1與O2外切于點P,過P點的直線分別交O1與O2于A、B兩點，AC切O1于A點，BC交O2于D點。 求證：BAC = BDP；3兩圓或三圓相切作_例15.以AB=6為直徑作半O,再分別以OA、OB為直徑在半O內作半O1與半O2，又O3與三個半圓兩兩相切。求O3的半徑；4一圓過另一圓的圓心，作_例16.兩個等圓O1與O2相交于A、B 兩點，且O1過點O2，過B點作直線交O1于C

14、點、交O2于D點. 求證：ACD是等邊三角形；六、開放性題目例17已知：如圖，以的邊為直徑的交邊于點，且過點的切線平分邊（1）與是否相切？請說明理由；（第23題）（2）當滿足什么條件時，以點，為頂點的四邊形是平行四邊形？并說明理由新文章哦· 劉項原來不讀書 (魏伯河) · 高考恢復三十年回顧：幾多歡欣幾多愁 () · 萬寧調研（二）大茂初級中學 (吳益平) · 如何引導學生"開口說" (梁珠) · 高考改革三十年：在迷霧中尋找方向 () · 我要做太陽 (無淚淚痕) · 上海是怎樣取得高考自主權的 ()

15、· 教學拾萃（一） (文昌市會文中心小學 華春雨)四邊形輔助線做法一、 和平行四邊形有關的輔助線作法1利用一組對邊平行且相等構造平行四邊形例1 如圖1，已知點O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.2利用兩組對邊平行構造平行四邊形例2 如圖2，在ABC中，E、F為AB上兩點，AE=BF，ED/AC，F(xiàn)G/AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC. 3利用對角線互相平分構造平行四邊形例3 如圖3，已知AD是ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.二、和菱形有關的輔助線的作法 和菱形有關的輔助線

16、的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質定定理解決問題.例4 如圖5，在ABC中，ACB=90°，BAC的平分線交BC于點D，E是AB上一點，且AE=AC，EF/BC交AD于點F，求證：四邊形CDEF是菱形. 例5如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點，F(xiàn)是AC上一個動點，求證EF+BF的最小值等于DE長.3 與矩形有輔助線作法 和矩形有關的題型一般有兩種：（1）計算型題，一般通過作輔助線構造直角三角形借助勾股定理解決問題；（2）證明或探索題，一般連結矩形的對角線借助對角線相等這一性質解決問題和矩形有關的試題的輔助線的作法較少.例6 如圖7，已知矩形ABCD

17、內一點，PA=3，PB=4，PC=5.求 PD的長. 例7如圖8，過正方形ABCD的頂點B作BE/AC，且AE=AC，又CF/AE.求證：BCF=AEB.五、 與梯形有關的輔助線的作法和梯形有關的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：（1）作一腰的平行線構造平行四邊形和特殊三角形；（2）作梯形的高，構造矩形和直角三角形；（3）作一對角線的平行線，構造直角三角形和平行四邊形；（4） 延長兩腰構成三角形；（5）作兩腰的平行線等.例8 已知，如圖9，在梯形ABCD中，AD/BC，AB=AC，BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點0.求證：CO=CD. 例9 如圖10，在等腰梯形A

18、BCD中，AD/BC，ACBD，AD+BC=10，DEBC于E.求DE的長.六、 和中位線有關輔助線的作法例10 如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點，EF分別交AC、BD于點H、G.求證：OG=OH.中考數學經典幾何證明題1. （1）如圖1所示，在四邊形中，=，與相交于點，分別是的中點，聯(lián)結，分別交、于點，試判斷的形狀，并加以證明； （2）如圖2，在四邊形中，若，分別是的中點，聯(lián)結FE并延長，分別與的延長線交于點，請在圖2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，若有，請直接寫出結論： ； （3）如圖3，在中，點在上，分別是的中點，聯(lián)結并延長，與的延長線交于點，若，判斷點與以AD為直徑的圓的位置關系，并簡要說明理由 圖