實驗二 LTI系統(tǒng)的時域分析

1、實驗二   LTI系統(tǒng)的時域分析一、  實驗目的1. 理解卷積的含義，熟悉連續(xù)時間信號與離散時間信號的卷積計算方法。2. 熟悉應用MATLAB求解連續(xù)與離散系統(tǒng)在任意激勵下響應的求解方法3.熟悉連續(xù)時間系統(tǒng)的單位沖激響應、階躍響應的意義及求解方法二、 實驗原理1.連續(xù)時間系統(tǒng)的描述對于連續(xù)的LTI系統(tǒng)，當系統(tǒng)輸入為f(t)，輸出為y(t)，則輸入與輸出之間滿足如下的線性常系數(shù)微分方程：。MATLAB中，用兩個向量完全表征系統(tǒng)，注意兩個向量對應的冪次由高到低排列。2. 連續(xù)時間系統(tǒng)的響應當系統(tǒng)輸入為單位沖激信號(t)時產生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的單

2、位沖激響應，用h(t)表示。若輸入為單位階躍信號(t)時，系統(tǒng)產生的零狀態(tài)響應則稱為系統(tǒng)的單位階躍響應，記為g(t)，如下圖所示。系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)包含了系統(tǒng)的固有特性，它是由系統(tǒng)本身的結構及參數(shù)所決定的，與系統(tǒng)的輸入無關。我們只要知道了系統(tǒng)的沖激響應，即可求得系統(tǒng)在不同激勵下產生的響應。因此，求解系統(tǒng)的沖激響應h(t)對我們進行連續(xù)系統(tǒng)的分析具有非常重要的意義。單位沖激與單位階躍響應在MATLAB中有專門用于求解連續(xù)系統(tǒng)沖激響應和階躍響應， 并繪制其時域波形的函數(shù)impulse( ) 和step( )。如果系統(tǒng)輸入為f(t)，沖激響應為h(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為y(t)，則有：。若

3、已知系統(tǒng)的輸入信號及初始狀態(tài)，我們便可以用微分方程的經典時域求解方法，求出系統(tǒng)的響應。但是對于高階系統(tǒng)，手工計算這一問題的過程非常困難和繁瑣。在MATLAB中，應用lsim( )函數(shù)很容易就能對上述微分方程所描述的系統(tǒng)的響應進行仿真，求出系統(tǒng)在任意激勵信號作用下的響應。lsim( )函數(shù)不僅能夠求出連續(xù)系統(tǒng)在指定的任意時間范圍內系統(tǒng)響應的數(shù)值解，而且還能同時繪制出系統(tǒng)響應的時域波形圖。以上各函數(shù)的調用格式如下： impulse( ) 函數(shù)    函數(shù)impulse( )將繪制出由向量a和b所表示的連續(xù)系統(tǒng)在指定時間范圍內的單位沖激響應h(t)的時域波形圖，并能求出

4、指定時間范圍內沖激響應的數(shù)值解。l       impulse(b,a)     以默認方式繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)的沖激響應的時域波形。l       impulse(b,a ,t0)        繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在0 t0時間范圍內沖激響應的時域波形。l     

5、60; impulse(b,a,t1:p:t2)      繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1 t2時間范圍內，并且以時間間隔p均勻取樣的沖激響應的時域波形。l       y=impulse(b,a,t1:p:t2)     只求出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在t1 t2時間范圍內，并且以時間間隔p均勻取樣的沖激響應的數(shù)值解，但不繪出其相應波形。  step( ) 函數(shù)函數(shù)step( )將繪制出由向量a和b所表

6、示的連續(xù)系統(tǒng)的階躍響應，在指定的時間范圍內的波形圖，并且求出數(shù)值解。和impulse( )函數(shù)一樣，step( )也有如下四種調用格式：step( b,a)step(b,a,t0)step(b,a,t1:p:t2)y=step(b,a,t1:p:t2) 上述調用格式的功能和impulse( )函數(shù)完全相同，所不同只是所繪制（求解）的是系統(tǒng)的階躍響應g(t)，而不是沖激響應h(t)。卷積的計算Conv()函數(shù)可以實現(xiàn)兩個信號的卷積；舉例：x1 = 0:0.1:2; x2 = 3:0.1:6; t1 = -1:0.1:1; t2 = -2:0.1:1;s = conv(x1, x2);tmin =

7、 t1(1) + t2(1);tmax = t1(end) + t2(end);plot(tmin:0.1:tmax, s); 零輸入響應與零狀態(tài)響應 (1) lsim( )函數(shù)求零狀態(tài)響應與全響應根據系統(tǒng)有無初始狀態(tài)，lsim( )函數(shù)有如下兩種調用格式：系統(tǒng)無初態(tài)時，調用lsim( )函數(shù)可求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應，其格式如下：l         lsim(b,a,x,t)    繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在輸入為x和t所定義的信號時，系統(tǒng)零狀態(tài)響應的時域仿真波形，且時

8、間范圍與輸入信號相同。其中x和t是表示輸入信號的行向量，t為表示輸入信號時間范圍的向量，x則是輸入信號對應于向量t所定義的時間點上的取樣值。l         y=lsim(b,a,x,t)   與前面的impulse 和step函數(shù)類似，該調用格式并不繪制出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應曲線，而只是求出與向量t定義的時間范圍相一致的系統(tǒng)零狀態(tài)響應的數(shù)值解。系統(tǒng)有初始狀態(tài)時，調用lsim( )函數(shù)可求出系統(tǒng)的全響應，格式如下：l       

9、;  lsim(A,B,C,D,e,t,X0)     繪出由系數(shù)矩陣A,B,C,D所定義的連續(xù)時間系統(tǒng)在輸入為e和t所定義的信號時，系統(tǒng)輸出函數(shù)的全響應的時域仿真波形。t為表示輸入信號時間范圍的向量，e則是輸入信號e(t)對應于向量t所定義的時間點上的取樣值，X0表示系統(tǒng)狀態(tài)變量X=x1,x2,.xn'在t=0時刻的初值。l         Y,X= lsim(A,B,C,D,e,t,X0)  不繪出全響應波形，而只是求出與向量t定義的時間范圍相

10、一致的系統(tǒng)輸出向量Y的全響應以及狀態(tài)變量X的數(shù)值解。顯然，函數(shù)lsim( )對系統(tǒng)響應進行仿真的效果取決于向量t的時間間隔的密集程度，t的取樣時間間隔越小則響應曲線越光滑，仿真效果也越好。說明：（1）當系統(tǒng)有初始狀態(tài)時，若使用lsim( )函數(shù)求系統(tǒng)的全響應，就要使用系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述法，即首先要根據系統(tǒng)給定的方式，寫出描述系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。假如系統(tǒng)原來給定的是微分方程或系統(tǒng)函數(shù)，則可用相變量法或對角線變量等方法寫出系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程。其轉換原理如前面實驗四所述。（2）顯然利用lsim( )函數(shù)不僅可以分析單輸入單輸出系統(tǒng)，還可以分析復雜的多輸入多輸出系統(tǒng)。例題1： 若某連續(xù)系統(tǒng)

11、的輸入為e(t)，輸出為r(t)，系統(tǒng)的微分方程為：求該系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)及其單位階躍響應g(t)。若 求出系統(tǒng)的零狀態(tài)響應y(t)分析：    求沖激響應及階躍響應的MATLAB程序：a=1  5  6;b=3  2;subplot(2,1,1), impulse(b,a,4)subplot(2,1,2), step(b,a,4)運行結果如右：    求零狀態(tài)響應的MATLAB程序：a=1  5  6;b=3  2;p1=0.01;   

12、;         %定義取樣時間間隔為0.01t1=0:p1:5;           %定義時間范圍x1=exp(-2*t1);       %定義輸入信號lsim(b,a,x1,t1),       %對取樣間隔為0.01時系統(tǒng)響應進行仿真hold on;   &

13、#160;         %保持圖形窗口以便能在同一窗口中繪制多條曲線p2=0.5;             %定義取樣間隔為0.5t2=0:p2:5;           %定義時間范圍x2=exp(-2*t2);       %定義輸

14、入信號lsim(b,a,x2,t2), hold off   %對取樣間隔為0.5時系統(tǒng)響應進行仿真并解除保持運行結果如下： 零輸入響應描述n階線性時不變（LTI）連續(xù)系統(tǒng)的微分方程為： 已知y及各階導數(shù)的初始值為y(0),y(1)(0)， y(n-1)(0)， 求系統(tǒng)的零輸入響應。 當LIT系統(tǒng)的輸入為零時，其零輸入響應為微分方程的其次解（即令微分方程的等號右端為零），其形式為（設特征根均為單根）其中p1,p2,pn是特征方程a1n+a2n-1+an+an=0的根，它們可以用root(a)語句求得。各系數(shù) 由y及其各階導數(shù)的初始值來確定。對此有寫成矩陣形式為:

15、即 VC=Y0 其解為：C=VY0 式中V為范德蒙矩陣，在MATLAB的特殊矩陣庫中有vander。以下面式子為例：y(t)+3y(t)+6y(t)=6f(t)-8f(t)初始條件為y(0_)=0,y(0_)=10; MATLAB程序：a=1,3,6;n=length(a)-1;Y0=0,10;p=roots(a);V=rot90(vander(p);c=VY0'dt=0.002;te=9;t=0:dt:te;y=zeros(1,length(t);for k=1:n y=y+c(k)*exp(p(k)*t);endplot(t,y);gridxlabel('t') ;

16、ylabel('y');title('零輸入響應');離散時間系統(tǒng)LTI離散系統(tǒng)中，其輸入和輸出的關系由差分方程描述：         （前向差分方程）        （后向差分方程）當系統(tǒng)的輸入為單位序列(k)時產生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的單位函數(shù)響應，用h(k)表示。當輸入為 (k)時產生的零狀態(tài)響應稱為系統(tǒng)的單位階躍應，記為：g(k)，如下圖所示。如果系統(tǒng)輸入為e(k)，沖激響應為h(k)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應為y

17、(k)，則有：。與連續(xù)系統(tǒng)的單位沖激響應h(t)相類似，離散系統(tǒng)的單位函數(shù)響應h(k)也包含了系統(tǒng)的固有特性，與輸入序列無關。我們只要知道了系統(tǒng)的單位函數(shù)響應，即可求得系統(tǒng)在不同激勵信號作用下產生的響應。因此，求解系統(tǒng)的單位函數(shù)響應h(k)對我們進行離散系統(tǒng)的分析也同樣具有非常重要的意義。MATLAB中為用戶提供了專門用于求解離散系統(tǒng)單位函數(shù)響應， 并繪制其時域波形的函數(shù)impz( )。同樣也提供了求離散系統(tǒng)響應的專用函數(shù)filter( )，該函數(shù)能求出由差分方程所描述的離散系統(tǒng)在指定時間范圍內的輸入序列作用時，產生的響應序列的數(shù)值解。當系統(tǒng)初值不為零時，可以使用dlsim( )函數(shù)求出離散系

18、統(tǒng)的全響應，其調用方法與前面連續(xù)系統(tǒng)的lsim( )函數(shù)相似。另外，求解離散系統(tǒng)階躍響應可以通過如下兩種方法實現(xiàn)：一種是直接調用專用函數(shù)dstep( ),其調用方法與求解連續(xù)系統(tǒng)階躍響應的專用函數(shù)step( )的調用方法相似；另一種方法是利用求解離散系統(tǒng)零狀態(tài)響應的專用函數(shù)filter( )，只要將其中的激勵信號看成是單位階躍信號(k)即可。函數(shù)的調用格式分別如下： impz( )函數(shù)l         impz(b,a)     以默認方式繪出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)單

19、位函數(shù)響應的時域波形。l         impz(b,a,n)     繪出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)在0 n （n必須為整數(shù)）的離散時間范圍內單位函數(shù)響應的時域波形。l         impz(b,a,n1:n2)      繪出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)在n1 n2 （n1、n2必須為整數(shù)）的離散時間范圍內單位函數(shù)響應的時域波形。l&#

20、160;        y=impz(b,a,n1:n2)     求出由向量a和b所定義的離散系統(tǒng)在n1 n2 （n1、n2必須為整數(shù)）的離散時間范圍內單位函數(shù)響應的數(shù)值解，但不繪出波形。 filter( ) 函數(shù)l         filter(b,a,x)     其中a和b與前面相同，x是包含輸入序列非零樣值點的的行向量。此命令將求出系統(tǒng)在與x的取樣時間點相同

21、的輸出序列樣值。例題：已知描述離散系統(tǒng)的差分方程為：，且已知系統(tǒng)輸入序列為， 求出系統(tǒng)的單位函數(shù)響應h(k)在-3 10離散時間范圍內響應波形。 求出系統(tǒng)零狀態(tài)響應在0 15區(qū)間上的樣值；并畫出輸入序列的時域波形以及系統(tǒng)零狀態(tài)響應的波形   分析：求系統(tǒng)的單位函數(shù)響應的MATLAB程序：      a=1,-0.25,0.5;      b=1,1,0;           &

22、#160;    impz(b,a,-3:10), title('單位響應')           %繪出單位函數(shù)響應在-3 10區(qū)間上的波形      運行結果如圖a。求零狀態(tài)響應的MATLAB程序：a=1,-0.25,0.5;b=1,1,0k=0:15;             

23、  %定義輸入序列取值范圍x=(1/2).k;           %定義輸入序列表達式y(tǒng)=filter(b,a,x)         %求解零狀態(tài)響應樣值subplot(2,1,1),stem(k,x)    %繪制輸入序列的波形    title('輸入序列')subplot(2,1,2),stem(k,y) %繪制零狀態(tài)響應的

24、波形title('輸出序列')運行結果如下：y =  Columns 1 through 10     1.0000    1.7500    0.6875   -0.3281   -0.2383 0.1982    0.2156   -0.0218   -0.1015   -0.0086  Columns 11 through 16 0.0

25、515    0.0187   -0.0204   -0.0141    0.0069 0.0088圖a. 運行結果 圖b. 運行結果三、  實驗內容1. 已知描述系統(tǒng)的微分方程和激勵信號e(t) 分別如下，用MATLAB繪出系統(tǒng)單位沖激響應、單位階躍響應以及系統(tǒng)零狀態(tài)響應的波形4。； a=1 4 4;b=1 3;subplot(2,2,1); impulse(b,a,4),title('單位沖激響應');subplot(2,2,2);step(b,

26、a,4),title('單位階躍響應');subplot(2,2,3);t=0:0.01:5;x=exp(-1*t);lsim(b,a,x,t),title('零狀態(tài)響應'); 2. 請用MATLAB分別求出下列差分方程所描述的離散系統(tǒng)，在020時間范圍內的單位脈沖響應、階躍響應和系統(tǒng)零狀態(tài)響應的數(shù)值解，并繪出其波(1)； 單位沖激響應 y=1 -1 3 -4 5 -6 7 -8 9 -10 11 -12 13 -14 15 -16 17 -18 19 -20 21 單位階躍響應y =1.000 0 -0.1353 -0.0996 -0.05

27、49 -0.0270 -0.0124 -0.0055 -0.0023 -0.0010 -0.0004 -0.0002 -0.0001 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 -0.0000 零狀態(tài)響應y = Columns 1 through 8 0.1250 0 0.1250 0 0.1250 0 0.1250 0 Columns 9 through 16 0.1250 0 0.1250 0 0.1250 0 0.1250 0 Columns 17 through 21 0.1250 0 0.1250 0 0.1250a

28、=1,2,1;b=1,0,0;k=0:20;x=0.25.*heaviside(k);y=filter(b,a,x)subplot 311;impz(b,a,0:20),title('單位脈沖響應');subplot 312;dstep(b,a,0:20),title('單位階躍響應');subplot(3,1,3),stem(k,y)title('零狀態(tài)響應'); (2) 一帶通濾波器可由下列差分方程描述：， 其中為系統(tǒng)輸入， 為系統(tǒng)輸出。請求出當激勵為（選取適當?shù)膎值）時濾波器的穩(wěn)態(tài)輸出。a=1,0,0.81;b=1,0,-1;k=

29、0:10;x=10+10.*cos(2.*k)+10.*cos(4.*k);y=filter(b,a,x);subplot 311;impz(b,a,0:20),title('單位脈沖響應');subplot 312;step(b,a,0:20),title('單位階躍響應');subplot 313;stem(k,y),title('零狀態(tài)響應');3. 編程實現(xiàn)下面兩個信號，并畫出兩個信號的卷積，看是否與理論計算值相一致。思考：卷積后的信號長度與區(qū)間與原來兩個信號相比，有什么關系。t1=-2:0.01:2;f1=2*rectpuls(t1,2

30、);t2=-3:0.01:3;f2=rectpuls(t2,4);a=conv(double(f1),double(f2);tmin=t1(1)+t2(1);tmax=t1(end)+t2(end);plot(tmin:0.01:tmax,a)實驗總結經過這次MATLAB的實驗我學會了使用函數(shù)求解零輸入響應和零狀態(tài)響應，對于連續(xù)函數(shù)求單位沖激響應h（t）使用impulse函數(shù)，impulse(b,a ,t0) 繪出由向量a和b所定義的連續(xù)系統(tǒng)在0 t0時間范圍內沖激響應的時域波形。求單位階躍響應g（t）使用step函數(shù)，零狀態(tài)響應使用lsim函數(shù)。對于離散序列，可以用差分方程求單位沖激響應h（n）使用impz，求單位階躍響應g（n）使用dstep函數(shù)，零狀態(tài)響應使用filter函數(shù)，對于零輸入響應就是齊次方程，直接根據