復(fù)積分計(jì)算總結(jié)

1、復(fù)積分的計(jì)算方法孟小云 20072115025（數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 2007級(jí)3班）指導(dǎo)老師 海泉摘要：本文歸納了計(jì)算復(fù)積分的多種方法，并舉例說明了它們的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：復(fù)變函數(shù)；復(fù)積分在復(fù)變函數(shù)的分析理論中，復(fù)積分是研究解析函數(shù)的重要工具，解析函數(shù)的許多重要性質(zhì)都要利用復(fù)積分來表述和證明的，因此，對(duì)復(fù)積分及其計(jì)算的研究顯得尤為重要。本文介紹了復(fù)變函數(shù)積分常規(guī)的計(jì)算方法、利用級(jí)數(shù)法、拉普拉斯變換法及對(duì)數(shù)留數(shù)與輻角原理進(jìn)行復(fù)積分計(jì)算方法。利用這些方法可以使一些復(fù)雜的復(fù)積分計(jì)算變得簡(jiǎn)單、快捷。接下來要介紹計(jì)算復(fù)積分的常見的一些方法。方法1：參數(shù)方程法定理：設(shè)光滑曲線c:z=z(t)=x

2、(t)+iy(t) (),在上連續(xù)，且0，又設(shè)沿c連續(xù)，則。1、 若曲線c為直線段，先求出c的參數(shù)方程。c為過兩點(diǎn)的直線段，c：為始點(diǎn)為終點(diǎn)。例1 計(jì)算積分，路徑為直線段.解：設(shè)原式=2、 若曲線為圓周或圓周的一部分，例如c為以為心為半徑的圓。設(shè)c：即（曲線的正方向?yàn)槟鏁r(shí)針）例2 計(jì)算積分c為從到的下半單位圓周.推薦精選解：設(shè)原式注：上述方法只適用于積分曲線式特殊類型的曲線。方法2：利用柯西積分定理柯西積分定理：設(shè)函數(shù)在復(fù)平面上的單連通區(qū)域內(nèi)解析，c為內(nèi)任一條周線，則例3 計(jì)算c為單位圓周.解：是的解析區(qū)域內(nèi)的一閉曲線，由柯西定理有注：此題可用參數(shù)方法，但計(jì)算要復(fù)雜得多，而用柯西定理很簡(jiǎn)單。1

3、、 柯西積分定理可推廣到復(fù)周線的情形，這也是計(jì)算復(fù)積分的一個(gè)有利工具，即復(fù)函數(shù)沿區(qū)域外邊界曲線的積分等于沿區(qū)域內(nèi)邊界積分的和。適用于積分曲線內(nèi)部含被積函數(shù)奇點(diǎn)的情形。例4 計(jì)算的值，c為包含圓周的任何正向簡(jiǎn)單閉曲線.解；分別以為心作兩完全含于c內(nèi)且互不相交的圓周則有原式2、 若積分與路徑無關(guān)的條件下也可直接按實(shí)積分中的牛頓萊布尼茨公式計(jì)算。例5 計(jì)算.解：因?yàn)樵趶?fù)平面上處處解析，所以積分與路徑無關(guān)。原式=注：利用柯西積分定理也有一定的局部性，主要體現(xiàn)在被積函數(shù)上，只有某些特殊的函數(shù)或能拆成若干個(gè)特殊函數(shù)的函數(shù)計(jì)算起來較方便。推薦精選方法3：利用柯西積分公式1、 柯西積分公式：設(shè)區(qū)域的邊界是周線

4、（復(fù)周線）c，函數(shù)在內(nèi)解析，在內(nèi)連續(xù)，則 例6 計(jì)算，其中為圓周.解：因被積函數(shù)的兩個(gè)奇點(diǎn)是分別以這兩點(diǎn)為心作兩個(gè)完全含于c而且互不相交的圓周原式= =此題是柯西積分公式與柯西積分定理應(yīng)用的結(jié)合，比單獨(dú)應(yīng)用柯西積分定理容易方便得地多。2、 柯西積分公式解決的是形如的積分，那形如的積分怎樣計(jì)算呢？利用解析函數(shù)的無窮可微性可解決此問題。例7 計(jì)算c為.解：因被積函數(shù)的兩個(gè)奇點(diǎn)是分別以這兩點(diǎn)為心作兩個(gè)完全含于c而且互不相交的圓周 原式=推薦精選 注：柯西積分公式與解析函數(shù)的無窮可微性在計(jì)算復(fù)積分時(shí)的主要區(qū)別在于被積函數(shù)分母的次數(shù)，二者在計(jì)算時(shí)都常與柯西積分定理相結(jié)合。方法4：利用柯西留數(shù)定理柯西留數(shù)

5、定理：在周線（復(fù)周線）c所圍區(qū)域內(nèi)除外解析，在閉區(qū)域上除外連續(xù)，則例8 計(jì)算.解：，在圓周內(nèi)有一階極點(diǎn)z=0,二階極點(diǎn)由留數(shù)定理原式方法5：借助于沿封閉曲線的復(fù)積分當(dāng)計(jì)算不封閉曲線為積分路徑的復(fù)積分時(shí)，可把積分路徑作為部分曲線來構(gòu)造封閉曲線，首先計(jì)算沿封閉曲線的復(fù)積分，再計(jì)算最初的沿不封閉曲線的積分。例9 計(jì)算，其中是以為起點(diǎn)、為終點(diǎn)的光滑曲線.分析：構(gòu)造封閉曲線，易求沿的復(fù)積分，利用復(fù)積分的性質(zhì)求原復(fù)積分。解：設(shè)，其中是以為起點(diǎn)，為終點(diǎn)的直線段，參數(shù)方程是z=x,x是由2變到1，所以設(shè)，則推薦精選由于所以方法6：利用積分換元公式關(guān)于復(fù)積分的變量替換，與定積分的變量替換類似，要求變換是一對(duì)一的

6、且可微。設(shè)在區(qū)域內(nèi)單葉解析，c是內(nèi)一條簡(jiǎn)單光滑曲線：那么(1)在變換之下，c的像也是W平面上一條簡(jiǎn)單光滑曲線；(2)若函數(shù)沿連續(xù)，則有積分換元公式例10 計(jì)算積分，,.解：令，它在上半平面單葉解析，把半圓變成圓，即，由換元公式得因在圍線內(nèi)僅有一個(gè)一階極點(diǎn)，由留數(shù)定理：注：對(duì)非單葉的變換，使用換元公式要特別小心，這時(shí)簡(jiǎn)單曲線的像不再是簡(jiǎn)單曲線，但可把它分為幾段簡(jiǎn)單曲線之和，即化為局部單葉變換的情形來處理。例11 計(jì)算積分，.解：令，則，的像曲線為雙重圓，推薦精選把分解為兩個(gè)單圓：，；它們分別對(duì)應(yīng)于原像之兩段：分段利用積分換元公式得 方法7：積分估值法積分估值：若沿曲線c，函數(shù)連續(xù)，且有正數(shù)使，為

7、c長(zhǎng)，則例12 設(shè)在復(fù)平面上解析，且有界，求極限，為常數(shù)，由此證明劉維爾定理.解：且則對(duì)于充分大的，總可以使位于圓內(nèi)，于是，在圓上，因，固有 所以 （1） 另一方面 （2）綜合（1）和（2）得，特別取有，由的任意性，知在平面上必為常數(shù)。推薦精選以上計(jì)算方法在復(fù)積分計(jì)算中是經(jīng)常使用的方法，比較簡(jiǎn)單普遍，在復(fù)積分計(jì)算時(shí)很容易想到。下面介紹一些不常用的，且?guī)в幸欢记尚缘姆椒?。方?：級(jí)數(shù)法連續(xù)性逐項(xiàng)積分定理：設(shè)在曲線c上連續(xù)，在c上一致收斂于，則在曲線c上連續(xù)，并且沿c可逐項(xiàng)積分：，將函數(shù)展成泰勒級(jí)數(shù)或洛朗級(jí)數(shù)就解決了該類復(fù)積分的有關(guān)問題。例13 計(jì)算積分.解：在內(nèi)，所以方法9：拉普拉斯變換法定義

8、：設(shè)是定義在上的實(shí)值函數(shù)或復(fù)值函數(shù)，如果含復(fù)變量（為實(shí)數(shù)）的積分在的某個(gè)區(qū)域內(nèi)存在，則由此積分定義的復(fù)函數(shù)，稱為函數(shù)的拉普拉斯變換法（簡(jiǎn)稱拉氏變換），簡(jiǎn)記為計(jì)算該類復(fù)積分時(shí)，可先運(yùn)用拉普拉斯變換的基本運(yùn)算法則，將該類復(fù)積分化為的形式，再參照拉普拉斯變換表，得出相應(yīng)的復(fù)積分的結(jié)果。例14 計(jì)算積分.解：令，則由相似定理有推薦精選由拉普拉斯變換表得所以方法10：運(yùn)用對(duì)數(shù)留數(shù)定理與輻角原理具有以下形式的積分稱為關(guān)于曲線c的對(duì)數(shù)留數(shù)。1.對(duì)數(shù)留數(shù)定理：如果在簡(jiǎn)單曲線c上解析且不為零，在c的內(nèi)部除去有限個(gè)極點(diǎn)外也處處解析，則=.其中為在c內(nèi)零點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，為在c內(nèi)極點(diǎn)的總個(gè)數(shù)，且c取正向。在計(jì)算零點(diǎn)與極點(diǎn)

9、的個(gè)數(shù)時(shí)，m階的零點(diǎn)或極點(diǎn)算作m個(gè)零點(diǎn)或極點(diǎn)。2.輻角原理：如果在簡(jiǎn)單閉曲線c上與c內(nèi)解析，且在c上不等于零，則在c內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)等于乘以當(dāng)沿c的正向繞行一周時(shí)輻角變量，即.例15 計(jì)算積分，其中.解：在上解析且不等于零。又在的內(nèi)部解析，零點(diǎn)個(gè)數(shù)，極點(diǎn)個(gè)數(shù)由對(duì)數(shù)留數(shù)定理有總結(jié)：以上總共給了計(jì)算復(fù)積分的10種方法，其中一些是常見的最基本的方法。級(jí)數(shù)法、拉普拉斯變換法、運(yùn)用對(duì)數(shù)留數(shù)與輻角原理是對(duì)常用復(fù)積分計(jì)算方法的補(bǔ)充，具有一定的技巧，文中以例題說明了其具體運(yùn)用的巧妙和簡(jiǎn)捷之處。可見靈活運(yùn)用這些計(jì)算技巧，可以使繁瑣的積分過程得以簡(jiǎn)化，為解決實(shí)際問題提供了一條便捷之路。推薦精選參考文獻(xiàn)：1鐘玉泉，復(fù)變函數(shù)論（第三版）M.北京：高等教育出版社，2004，2.2潘永亮，復(fù)變函數(shù)M.北京：科學(xué)出版社，2004.3龔冬寶，復(fù)變函數(shù)典型題M.西安：西安交通大學(xué)出版社，2003.4剛家泰，復(fù)變函數(shù)全程學(xué)習(xí)指