整式的乘除競賽題(共39頁)

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上初二上加深提高部分整式的乘除復習題1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題例：若x=×，y=×，試比較x、y的大小解：設=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a.x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-20xy看完后，你學到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準行！問題：計算1.345×0.345×2.69-1.3453-1.345×0.3452解：設1.345=x，那么：原式=x（x-1）2x-x3-x（x-1）2

2、，=（2x3-2x2）-x3-x（x2-2x+1），=2x3-2x2-x3-x3+2x2-x，=-1.3454、我們把符號“n!”讀作“n的階乘”，規(guī)定“其中n為自然數(shù)，當n0時，n!=n（n-1）（n-2）21，當n=0時，0!=1”例如：6!=6×5×4×3×2×1=720又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運算時，應先計算階乘，再乘除，后加堿，有括號就先算括號里面的”按照以上的定義和運算順序，計算：（1）4!= ；（2）（3+2）!-4!= ；（3）用具體數(shù)試驗一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？12. 小明和小強平時是愛思考的

3、學生，他們在學習整式的運算這一章時，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結(jié)果很有特點，例如：（x-1）（x2+x+1）=x3-1，（2a+b）（4a2-2ab+b2）=8a3+b3，小明說：“這些整式乘法左邊都是一個二項式跟一個三項式相乘，右邊是一個二項式”，小強說：“是?。《矣疫叾伎梢钥闯墒悄硟身椀牧⒎降暮停ɑ虿睿毙∶髡f：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個二項式和最后的結(jié)果有點像”小強說：“對啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個三項式好像是個完全平方式，不對，又好像不是，中間不是兩項積的2倍”小明說：“二項式中間的符號、三項式中間項的符號和右邊結(jié)果中間的符號也有點聯(lián)系”親愛的同學們，你能參與到他們的討論中并找到相應的規(guī)律嗎？（1）能否

4、用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（2）你能利用上面的規(guī)律來計算（-x-2y）（x2-2xy+4y2）嗎？2、一個單項式加上多項式9（x-1）2-2x-5后等于一個整式的平方，試求所有這樣的單項式3、化簡：（1）；（2）多項式x2-xy與另一個整式的和是2x2+xy+3y2，求這一個整式解：（1）原式=2a2-ab+a2-8ab-ab=a2-9ab；（2）（2x2+xy+3y2）-（x2-xy）=2x2+xy+3y2-x2+xy=x2+2xy+3y2這個整式是x2+2xy+3y2點評：（1）關(guān)鍵是去括號按5、設，求整式的值6、已知整式2x2+ax-y+6與整式2bx2-3x+5y-1的差與字母x的值無

5、關(guān)，試求代數(shù)式7（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）的值解：（2x2+ax-y+6）-（2bx2-3x+5y-1）=2x2+ax-y+6-2bx2+3x-5y+1=（2-2b）x2+（a+3）x-6y+7，因為它們的差與字母x的取值無關(guān)，所以2-2b=0，a+3=0，解得a=-3，b=12（ab2+2b3-a2b）+3a2-（2a2b-3ab2-3a2）=6a2-4a2b+5ab2+4b3=6×（-3）2-4×（-3）2×1+5×（-3）×1+4×1=78。在盒子里放有四張分別寫有整式3x2-3，x2-x

6、，x2+2x+1，2的卡片，從中隨機抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母（1）求能組成分式的概率；（2）在抽取的能組成分式的卡片中，請你選擇其中能進行約分的一個分式，并化簡這個式解：（1）四張分別寫有整式3x2-3，x2-x，x2+2x+1，2的卡片，從中隨機抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母共有4×3=12種結(jié)果，其中以“2” 作分母的3個，不能組成分式，故可以組成9個分式，能組成分式的概率為=；（2）答案不唯一如，=，9. 甲乙兩人共同計算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄錯了第一個多項式中a的符號，得到的結(jié)果為6x2+11x-10；由

7、于乙漏抄了第二個多項中的x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2x2-9x+10請你計算出a、b的值各是多少，并寫出這道整式乘法的正確結(jié)果解：設第二個多項中的x的系數(shù)為Z，（2x+a）（Zx+b）=2Zx2+2bx+aZx+ab=2x2-9x+10，Z=1，第二個多項中的x的系數(shù)是1，（2x+a）（x+b）=2x2-9x+10，2b+a=-9，ab=10，b=-2，a=-5，（2x+a）（3x+b）=（2x-5）（3x-2）=6x2-19x+10；13. 由于看錯了運算符號，某學生把一個整式減去-4a2+2b2+3c2誤以為是加上-4a2+2b2+3c2，結(jié)果得出的答案是a2-4b2-2c2，求原題的正確答案

8、 解：設原來的整式為A則A+（-4a2+2b2+3c2）=a2-4b2-2c2A=5a2-6b2-5c2A-（-4a2+2b2+3c2）=5a2-6b2-5c2-（-4a2+2b2+3c2）=9a2-8b2-8c2原題的正確答案為9a2-8b2-8c210. 根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單項式還是多項式（1）友誼商店實行貨物七五折優(yōu)惠銷售，則定價為x元的物品，售價是多少元？（2）一列火車從A站開往B站，火車的速度是a千米/小時，A，B兩站間的距離是120千米，則火車從A站開往B站需要多長時間？（3）某行政單位原有工作人員m人，現(xiàn)精簡機構(gòu)，減少25%的工作人員，后又引進

9、人才，調(diào)進3人，該單位現(xiàn)有多少人？解：（1）根據(jù)題意得，售價為：75%x，是整式，是單項式；（2）根據(jù)題意，t=，不是整式；（3）根據(jù)題意得，現(xiàn)在人數(shù)為：（1-25%）m+3，是整式，是多項式11. 某村小麥種植面積是a畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3倍（1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m，試用含口的整式表示m；（2）當a=102畝時，求m的值 解：（1）m=3a-（a+5），=3a-a-5，=2a-5；（2）當a=102時，m=2×102-5，=199（畝）14. 紅星中學校辦工廠，生產(chǎn)并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價為每塊20元，若由廠

10、家直銷，每塊售價30元，同時每月要消耗其他人工費用1200元；若委托商場銷售，出廠批發(fā)價為每塊24元（1）若每月銷售x塊，用整式分別表示兩種銷售方式所獲得的利潤（注：利潤=銷售總額-成本-其他費用）（2）新學期各學校教學黑板維修較多，銷路較好，預計11月份可銷售300塊，采取哪一種銷售方式獲得的利潤多？（3）若你是紅星中學校辦工廠的廠長，請你進行決策：當預計銷售200塊黑板時，應選擇哪一種銷售方式較好？解：（1）廠家直銷的利潤為（30-20）x-1200；委托商場銷售的利潤為（24-20）x；（2）當x=300時，廠家直銷的利潤為10×300-1200=1800（元）；委托商場銷售的

11、利潤為（24-20）×300=1200（元）；采取廠家直銷的利潤大；（3）當x=200時，廠家直銷的利潤為10×200-1200=800（元）；委托商場銷售的利潤為4×200=800（元）；兩種銷售方式一樣16、探究應用：（1）計算（a-2）（a2+2a+4）= （2x-y）（4x2+2xy+y2）=（2）上面的整式乘法計算結(jié)果很簡潔，你又發(fā)現(xiàn)一個新的乘法公式：（請用含ab的字母表示）（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是A（a-3）（a2-3a+9）B（2m-n）（2m2+2mn+n2）C（4-x）（16+4x+x2）D（m-n）（m2+2mn+n2）（4）

12、直接用公式計算：（3x-2y）（9x2+6xy+4y2）=（2m-3）（4m2+6m+9）=17. 閱讀下面學習材料：已知多項式2x3-x2+m有一個因式是2x+1，求m的值解法一：設2x3-x2+m=（2x+1）（x2+ax+b），則2x3-x2+m=2x3+（2a+1）x2+（a+2b）x+b比較系數(shù)得：，解得，所以m=0.5解法二：設2x3-x2+m=A（2x+1）（A為整式）由于上式為恒等式，為了方便計算，取x=-0.5，得2×（-0.5）3-0.52+m=0，解得m=0.5根據(jù)上面學習材料，解答下面問題：已知多項式x4+mx3+nx-16有因式x-1和x-2，試用兩種方法求

13、m、n的值解：解法1：設x4+mx3+nx-16=（x-1）（x-2）（x2+ax+b），（1分）則x4+mx3+nx-16=x4+（a-3）x3+（b-3a+2）x2+（2a-3b）x+2b（2分）比較系數(shù)得：，解得，所以m=-5，n=20 （4分）18. （1）化簡：3x2y-2xy-（xy-x2y+2xy）（2）已知A=2x2+xy+3y2，B=x2-xy+2y2，C是一個整式，且A+B+C=0，求C解：（1）原式=3x2y-2xy-3xy+x2y，（2分）=3x2y-x2y+xy，=x2y+xy；解：（2）A+B=2x2+xy+3y2+x2-xy+2y2=3x2+5y2（2分），A+B

14、+C=0，C=-（A+B），=-3x2-5y2（4分）19、問題1：同學們已經(jīng)體會到靈活運用乘法公式給整式乘法及多項式的因式分解帶來的方便，快捷相信通過下面材料的學習、探究，會使你大開眼界，并獲得成功的喜悅例：用簡便方法計算195×205解：195×205=（200-5）（200+5）=2002-52=39975（1）例題求解過程中，第步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（2）用簡便方法計算：9×11×101×10001問題2：對于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成（x+a）2的形式但對于二次三項式x2+2ax-3a2

15、，就不能直接運用公式了此時，我們可以在二次三項式x2+2ax-3a2中先加上一項a2，使它與x2+2ax的和成為一個完全平方式，再減去a2，整個式子的值不變，于是有：x2+2ax-3a2=（x2+2ax+a2）-a2-3a2=（x+a）2-（2a）2=（x+3a）（x-a）像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”（1）利用“配方法”分解因式：a2-4a-12問題3：若x-y=5，xy=3，求：x2+y2；x4+y4的值15.閱讀解答題：在數(shù)學中，有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決例：若x=×，y=×

16、，試比較x、y的大小解：設=a，那么x=（a+1）（a-2）=a2-a-2，y=a（a-1）=a2-a，x-y=（a2-a-2）-（a2-a）=-20，xy看完后，你學到了這種方法嗎？不妨嘗試一下，相信你準行！問題：計算3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562解：設3.456為a，則2.456=a-1，5.456=a+2，1.456=a-2，可得：3.456×2.456×5.456-3.4563-1.4562=a×（a-1）×（a+2）-a3-（a-2）2=a3+a2-2a-a3-a2+4a-4=2a-4，a=3

17、.456，原式=2a-4=2×3.456-4=2.91220.計算：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）（3a3b2）（2）2（a2x）3-9ax5÷（3ax3）（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2（4）運用整式乘法公式計算1232-124×122（5）（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4÷（xy），其中x=10，y=-解：（1）（-8a4b5c）÷（4ab5）（3a3b2），=-2a3c（3a3b2），=-6a6b2c；（2）2（a2x）3-9ax5÷（3ax3），=2a6x3-9ax5÷

18、（3ax3），=；（3）（3mn+1）（-1+3mn）-（3mn-2）2，=（9m2n2-1）-（9m2n2-12mn+4），=9m2n2-1-9m2n2+12mn-4，=12mn-5；（4）1232-124×122，=1232-（123+1）×（123-1），=1232-（1232-1），=1232-1232+1，=1；（5）（xy+2）（xy-2）-2x2y2+4÷（xy），=x2y2-4-2x2y2+4÷（xy），=（-x2y2）÷（xy），=-xy；當x=10，y=-時，原式=-10×（-）=21、一個角的補角是它的余角的度數(shù)

19、的3倍，則這個角的度數(shù)是多少？ (這個角是45°) 22、如圖所示，是一個正方體的平面展開圖，標有字母A的面是正方體的正面，如果正方體的相對的兩個面上標注的代數(shù)式的值與相對面上的數(shù)字相等，求x、y的值23、已知一個角的補角等于這個角的余角的4倍，求這個角的度數(shù)(60)先化簡后求值：（x-y）2+（x+y）（x-y）÷2x，其中x=3，y=1.5（1.5）（2001寧夏）設a-b=-2，求的值（2）計算：解：由題意可設字母n=12346，那么12345=n-1，12347=n+1，于是分母變?yōu)閚2-（n-1）（n+1）應用平方差公式化簡得n2-（n2-12）=n2-n2+1=

20、1，即原式分母的值是1，所以原式=24690（2007淄博）根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20（1）試將以上各乘積分別寫成一個“2-2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論（不要求證明分析：（1）根據(jù)要求求出兩數(shù)的平均數(shù)，再寫成平方差的形式即可（2）減去的數(shù)越大，

21、乘積就越小，據(jù)此規(guī)律填寫即可（3）根據(jù)排列的順序可得，兩數(shù)相差越大，積越小解答：解：（1）11×29=202-92；12×28=202-82；13×27=202-72；14×26=202-62；15×25=202-52；16×24=202-42；17×23=202-32；18×22=202-22；19×21=202-12；20×20=202-02 （4分）例如，11×29；假設11×29=2-2，因為2-2=（+）（-）；所以，可以令-=11，+=29解得，=20，=9故11

22、×29=202-92（或11×29=（20-9）（20+9）=202-92（2）這10個乘積按照從小到大的順序依次是：11×2912×2813×2714×2615×2516×2417×2318×2219×2120×20整式的乘除復習題一學新知識應用 1、閱讀解答題：有些大數(shù)值問題可以通過用字母代替數(shù)轉(zhuǎn)化成整式問題來解決，請先閱讀下面的解題過程，再解答后面的問題例：若x=×，y=×，比較x、y的大小解：設=a，那么x=（a+1）（a-2）=，y=a（a-1）

23、=.x-y=-（）=-20xy看完后，你學到了這種方法嗎再親自試一試吧，你準行！問題：計算1.345×0.345×2.69-1.345×計算3.456×2.456×5.456-2、我們把符號“n!”讀作“n的階乘”，規(guī)定“其中n為自然數(shù)，當n0時，n!=n（n-1）（n-2）21，當n=0時，0!=1”例如：6!=6×5×4×3×2×1=720又規(guī)定“在含有階乘和加、減、乘、除運算時，應先計算階乘，再乘除，后加堿，有括號就先算括號里面的”按照以上的定義和運算順序，計算：（1）4!= ；（2）（3

24、+2）!-4!= ；（3）用具體數(shù)試驗一下，看看等式（m+n）!=m!+n!是否成立？3. 小明和小強平時是愛思考的學生，他們在學習整式的運算這一章時，發(fā)現(xiàn)有些整式乘法結(jié)果很有特點，例如：（x-1）=，（2a+b）（）=，小明說：“這些整式乘法左邊都是一個二項式跟一個三項式相乘，右邊是一個二項式”，小強說：“是?。《矣疫叾伎梢钥闯墒悄硟身椀牧⒎降暮停ɑ虿睿毙∶髡f：“還有，我發(fā)現(xiàn)左邊那個二項式和最后的結(jié)果有點像”小強說：“對啊，我也發(fā)現(xiàn)左邊那個三項式好像是個完全平方式，不對，又好像不是，中間不是兩項積的2倍”小明說：“二項式中間的符號、三項式中間項的符號和右邊結(jié)果中間的符號也有點聯(lián)系”親愛的

25、同學們，你能參與到他們的討論中并找到相應的規(guī)律嗎？（1）能否用字母表示你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？（2）你能利用上面的規(guī)律來計算（-x-2y）嗎？（3）下列各式能用你發(fā)現(xiàn)的乘法公式計算的是A（a-3）（）B（2m-n）（2）C（4-x）（16+4x+）D（m-n）（）（4）直接用公式計算：（3x-2y）（）=（2m-3）（+9）=4、問題1：同學們已經(jīng)體會到靈活運用乘法公式給整式乘法及多項式的因式分解帶來的方便，快捷相信通過下面材料的學習、探究，會使你大開眼界，并獲得成功的喜悅例：用簡便方法計算195×205解：195×205=（200-5）（200+5）=2002-52=39975（

26、1）例題求解過程中，第步變形是利用（填乘法公式的名稱）；（2）用簡便方法計算：9×11×101×10001問題2：對于形如這樣的二次三項式，可以用公式法將它分解成的形式但對于二次三項式，就不能直接運用公式了此時，我們可以在二次三項式中先加上一項，使它與的和成為一個完 全平方式，再減去，整個式子的值不變，于是有：=-=像這樣，先添一適當項，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個項，使整個式子的值不變的方法稱為“配方法”（1）利用“配方法”分解因式：二乘法公式應用 5、一個單項式加上多項式后等于一個整式的平方，試求所有這樣的單項式6、設，求整式的值若x-y=5，xy=3，求

27、：；的值三整式的計算 7、化簡：（1）；（2）多項式與另一個整式的和是，求這一個整式解：8、已知整式與整式的差與字母x的值無關(guān)，試求代數(shù)式7（）+-（）的值9. 甲乙兩人共同計算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄錯了第一個多項式中a的符號，得到的結(jié)果為6+11x-10；由于乙漏抄了第二個多項中的x的系數(shù)，得到的結(jié)果為2-9x+10請你計算出a、b的值各是多少，并寫出這道整式乘法的正確結(jié)果解：10. 由于看錯了運算符號，某學生把一個整式減去-4+2+3誤以為是加上-4+2+3，結(jié)果得出的答案是-4-2，求原題的正確答案11. 根據(jù)題意列出代數(shù)式，并判斷是否為整式，如果是整式指明是單

28、項式還是多項式（1）友誼商店實行貨物七五折優(yōu)惠銷售，則定價為x元的物品，售價是多少元？（2）一列火車從A站開往B站，火車的速度是a千米/小時，A，B兩站間的距離是120千米，則火車從A站開往B站需要多長時間？（3）某行政單位原有工作人員m人，現(xiàn)精簡機構(gòu)，減少25%的工作人員，后又引進人才，調(diào)進3人，該單位現(xiàn)有多少人？12. 某村小麥種植面積是a畝，水稻種植面積比小麥種植面積多5畝，玉米種植面積是小麥種植面積的3倍（1）玉米種植面積與水稻種植面積的差為m，試用含口的整式表示m；（2）當a=102畝時，求m的值13. 紅星中學校辦工廠，生產(chǎn)并出售某種規(guī)格的楚天牌黑板，其成本價為每塊20元，若由廠家

29、直銷，每塊售價30元，同時每月要消耗其他人工費用1200元；若委托商場銷售，出廠批發(fā)價為每塊24元（1）若每月銷售x塊，用整式分別表示兩種銷售方式所獲得的利潤（注：利潤=銷售總額-成本-其他費用）（2）新學期各學校教學黑板維修較多，銷路較好，預計11月份可銷售300塊，采取哪一種銷售方式獲得的利潤多？（3）若你是紅星中學校辦工廠的廠長，請你進行決策：當預計銷售200塊黑板時，應選擇哪一種銷售方式較好？14. （1）化簡：3y-2xy-（xy-y+2xy）（2）已知A=2+xy+3，B=-xy+2，C是一個整式，且A+B+C=0，求C15、如圖所示，是一個正方體的平面展開圖，標有字母A的面是正方

30、體的正面，如果正方體的相對的兩個面上標注的代數(shù)式的值與相對面上的數(shù)字相等，求x、y的值16計算：（1）（-8c）÷（4a）（3） （2）-9a÷（3a）（3）（3mn+1）（-1+3mn）- （4）運用整式乘法公式計算-124×122三寫多項式方法 17. 閱讀下面學習材料：已知多項式2-+m有一個因式是2x+1，求m的值根據(jù)上面學習材料，解答下面問題：已知多項式+m+nx-16有因式x-1和x-2，試用兩種方法求m、n的值四余角和補角 18、一個角的補角是它的余角的度數(shù)的3倍，則這個角的度數(shù)是多少？ 19、已知一個角的補角等于這個角的余角的4倍，求這個角的度數(shù)小

31、測驗 姓名 1.在盒子里放有四張分別寫有整式3-3，-x，+2x+1，2的卡片，從中隨機抽取兩張卡片，把兩張卡片上的整式分別作為分子和分母（1）求能組成分式的概率；（2）在抽取的能組成分式的卡片中，請你選擇其中能進行約分的一個分式，并化簡這個式2. 先化簡后求值 +（x+y）（x-y）÷2x，其中x=3，y=1.53. 設a-b=-2，求的值4. 計算5根據(jù)以下10個乘積，回答問題：11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25；16×24； 17×23； 18×22； 19×

32、;21； 20×20（1）試將以上各乘積分別寫成一個“2-2”（兩數(shù)平方差）的形式，并寫出其中一個的思考過程；（2）將以上10個乘積按照從小到大的順序排列起來；（3）試由（1）、（2）猜測一個一般性的結(jié)論（不要求證明）初中數(shù)學競賽專題培訓第一講：因式分解(一)專心-專注-專業(yè)多項式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用于初等數(shù)學之中，是我們解決許多數(shù)學問題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對于培養(yǎng)學生的解題技能，發(fā)展學生的思維能力，都有著十分獨特的作用初中數(shù)學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分

33、解法和十字相乘法本講及下一講在中學數(shù)學教材基礎(chǔ)上，對因式分解的方法、技巧和應用作進一步的介紹1運用公式法在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(1)a2-b2=(a+b)(a-b)；(2)a2±2ab+b2=(a±b)2；(3)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補充幾個常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；(7)an-bn=(a-b)

34、(an-1+an-2b+an-3b2+abn-2+bn-1)其中n為正整數(shù)；(8)an-bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-+abn-2-bn-1)，其中n為偶數(shù)；(9)an+bn=(a+b)(an-1-an-2b+an-3b2-abn-2+bn-1)，其中n為奇數(shù)運用公式法分解因式時，要根據(jù)多項式的特點，根據(jù)字母、系數(shù)、指數(shù)、符號等正確恰當?shù)剡x擇公式例1 分解因式：(1)-2x5n-1yn+4x3n-1yn+2-2xn-1yn+4；(2)x3-8y3-z3-6xyz；(3)a2+b2+c2-2bc+2ca-2ab；(4)a7-a5b2+a2b5-b7解 (1)原式=-2xn

35、-1yn(x4n-2x2ny2+y4)=-2xn-1yn(x2n)2-2x2ny2+(y2)2=-2xn-1yn(x2n-y2)2 =-2xn-1yn(xn-y)2(xn+y)2(2)原式=x3+(-2y)3+(-z)3-3x(-2y)(-Z) =(x-2y-z)(x2+4y2+z2+2xy+xz-2yz)(3)原式=(a2-2ab+b2)+(-2bc+2ca)+c2(a-b)2+2c(a-b)+c2=(a-b+c)2本小題可以稍加變形，直接使用公式(5)，解法如下：原式=a2+(-b)2+c2+2(-b)c+2ca+2a(-b)=(a-b+c)2(4)原式=(a7-a5b2)+(a2b5-b

36、7) =a5(a2-b2)+b5(a2-b2) =(a2-b2)(a5+b5) =(a+b)(a-b)(a+b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4) =(a+b)2(a-b)(a4-a3b+a2b2-ab3+b4)例2 分解因式：a3+b3+c3-3abc本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式(6)分析 我們已經(jīng)知道公式(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3的正確性，現(xiàn)將此公式變形為a3+b3=(a+b)3-3ab(a+b)這個式也是一個常用的公式，本題就借助于它來推導解 原式=(a+b)3-3ab(a+b)+c3-3abc =(a+b)3+c3-3ab(a+b+c) =(

37、a+b+c)(a+b)2-c(a+b)+c2-3ab(a+b+c) =(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)說明 公式(6)是一個應用極廣的公式，用它可以推出很多有用的結(jié)論，例如：我們將公式(6)變形為a3+b3+c3-3abc顯然，當a+b+c=0時，則a3+b3+c3=3abc；當a+b+c0時，則a3+b3+c3-3abc0，即a3+b3+c33abc，而且，當且僅當a=b=c時，等號成立如果令x=a30，y=b30，z=c30，則有等號成立的充要條件是x=y=z這也是一個常用的結(jié)論例3 分解因式：x15+x14+x13+x2+x+1分析 這個多項式的特點是：有16項，從最

38、高次項x15開始，x的次數(shù)順次遞減至0，由此想到應用公式an-bn來分解解 因為x16-1=(x-1)(x15+x14+x13+x2+x+1)，所以說明 在本題的分解過程中，用到先乘以(x-1)，再除以(x-1)的技巧，這一技巧在等式變形中很常用2拆項、添項法因式分解是多項式乘法的逆運算在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合并為一項，或?qū)蓚€僅符號相反的同類項相互抵消為零在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合并或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱為拆項，后者稱為添項拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解例4

39、分解因式：x3-9x+8分析 本題解法很多，這里只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧解法1 將常數(shù)項8拆成-1+9原式=x3-9x-1+9=(x3-1)-9x+9=(x-1)(x2+x+1)-9(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法2 將一次項-9x拆成-x-8x原式=x3-x-8x+8=(x3-x)+(-8x+8)=x(x+1)(x-1)-8(x-1)=(x-1)(x2+x-8)解法3 將三次項x3拆成9x3-8x3原式=9x3-8x3-9x+8=(9x3-9x)+(-8x3+8)=9x(x+1)(x-1)-8(x-1)(x2+x+1)=(x-1)(x2+

40、x-8)解法4 添加兩項-x2+x2原式=x3-9x+8=x3-x2+x2-9x+8=x2(x-1)+(x-8)(x-1)=(x-1)(x2+x-8)說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什么項并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種例5 分解因式：(1)x9+x6+x3-3；(2)(m2-1)(n2-1)+4mn；(3)(x+1)4+(x2-1)2+(x-1)4；(4)a3b-ab3+a2+b2+1解 (1)將-3拆成-1-1-1原式=x9+x6+x3-1-1-1=(x9-1)+(x6-1)+(x3

41、-1)=(x3-1)(x6+x3+1)+(x3-1)(x3+1)+(x3-1)=(x3-1)(x6+2x3+3)=(x-1)(x2+x+1)(x6+2x3+3)(2)將4mn拆成2mn+2mn原式=(m2-1)(n2-1)+2mn+2mn=m2n2-m2-n2+1+2mn+2mn=(m2n2+2mn+1)-(m2-2mn+n2)=(mn+1)2-(m-n)2=(mn+m-n+1)(mn-m+n+1)(3)將(x2-1)2拆成2(x2-1)2-(x2-1)2原式=(x+1)4+2(x2-1)2-(x2-1)2+(x-1)4=(x+1)4+2(x+1)2(x-1)2+(x-1)4-(x2-1)2=

42、(x+1)2+(x-1)22-(x2-1)2=(2x2+2)2-(x2-1)2=(3x2+1)(x2+3)(4)添加兩項+ab-ab原式=a3b-ab3+a2+b2+1+ab-ab=(a3b-ab3)+(a2-ab)+(ab+b2+1)=ab(a+b)(a-b)+a(a-b)+(ab+b2+1)=a(a-b)b(a+b)+1+(ab+b2+1)=a(a-b)+1(ab+b2+1)=(a2-ab+1)(b2+ab+1)說明 (4)是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復雜，所以不易想到添加+ab-ab，而且添加項后分成的三項組又無公因式，而是先將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式這道題目使

43、我們體會到拆項、添項法的極強技巧所在，同學們需多做練習，積累經(jīng)驗3換元法換元法指的是將一個較復雜的代數(shù)式中的某一部分看作一個整體，并用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰例6 分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)-12分析 將原式展開，是關(guān)于x的四次多項式，分解因式較困難我們不妨將x2+x看作一個整體，并用字母y來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的二次三項式的因式分解問題了解 設x2+x=y，則原式=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體

44、，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學不妨試一試例7 分解因式：(x2+3x+2)(4x2+8x+3)-90分析 先將兩個括號內(nèi)的多項式分解因式，然后再重新組合解 原式=(x+1)(x+2)(2x+1)(2x+3)-90 =(x+1)(2x+3)(x+2)(2x+1)-90 =(2x2+5x+3)(2x2+5x+2)-90令y=2x2+5x+2，則原式=y(y+1)-90=y2+y-90=(y+10)(y-9)=(2x2+5x+12)(2x2+5x-7)=(2x2+5x+12)(2x+7)(x-1)說明 對多項式適當?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略?y)的基礎(chǔ)例8 分解因式：(

45、x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2解 設x2+4x+8=y，則原式=y2+3xy+2x2=(y+2x)(y+x)=(x2+6x+8)(x2+5x+8)=(x+2)(x+4)(x2+5x+8)說明 由本題可知，用換元法分解因式時，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項式例9 分解因式：6x4+7x3-36x2-7x+6解法1 原式=6(x4+1)7x(x2-1)-36x2=6(x4-2x2+1)+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+2x2+7x(x2-1)-36x2=6(x2-1)2+

46、7x(x2-1)-24x2=2(x2-1)-3x3(x2-1)+8x=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)說明 本解法實際上是將x2-1看作一個整體，但并沒有設立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設置新元來代替整體解法2 原式=x26(t2+2)+7t-36=x2(6t2+7t-24)=x2(2t-3)(3t+8)=x22(x-1/x)-33(x-1/x)+8=(2x2-3x-2)(3x2+8x-3)=(2x+1)(x-2)(3x-1)(x+3)例10 分解因式：(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)分析 本題含有兩個字母，且當

47、互換這兩個字母的位置時，多項式保持不變，這樣的多項式叫作二元對稱式對于較難分解的二元對稱式，經(jīng)常令u=x+y，v=xy，用換元法分解因式解 原式=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則原式=(u2-v)2-4v(u2-2v)=u4-6u2v+9v2=(u2-3v)2=(x2+2xy+y2-3xy)2=(x2-xy+y2)2練習一1分解因式： (2)x10+x5-2；(4)(x5+x4+x3+x2+x+1)2-x52分解因式：(1)x3+3x2-4； (2)x4-11x2y2+y2；(3)x3+9x2+26x+24；(4)x4-12x+3233分解因式：(1)

48、(2x2-3x+1)2-22x2+33x-1；(2)x4+7x3+14x2+7x+1；(3)(x+y)3+2xy(1-x-y)-1；(4)(x+3)(x2-1)(x+5)-20初中數(shù)學競賽專題培訓第二講：因式分解(二)1雙十字相乘法分解二次三項式時，我們常用十字相乘法對于某些二元二次六項式(ax2+bxy+cy2+dx+ey+f)，我們也可以用十字相乘法分解因式例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3我們將上式按x降冪排列，并把y當作常數(shù)，于是上式可變形為2x2-(5+7y)x-(22y2-35y+3)，可以看作是關(guān)于x的二次三項式對于常數(shù)項而言，它是關(guān)于y的二次三項式，也可以

49、用十字相乘法，分解為即：-22y2+35y-3=(2y-3)(-11y+1)再利用十字相乘法對關(guān)于x的二次三項式分解所以，原式=x+(2y-3)2x+(-11y+1) =(x+2y-3)(2x-11y+1)上述因式分解的過程，實施了兩次十字相乘法如果把這兩個步驟中的十字相乘圖合并在一起，可得到下圖：它表示的是下面三個關(guān)系式：(x+2y)(2x-11y)=2x2-7xy-22y2；(x-3)(2x+1)=2x2-5x-3；(2y-3)(-11y+1)=-22y2+35y-3這就是所謂的雙十字相乘法用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：(1)用十字相乘法

50、分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖(有兩列)；(2)把常數(shù)項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的ey，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的dx例1 分解因式：(1)x2-3xy-10y2+x+9y-2；(2)x2-y2+5x+3y+4；(3)xy+y2+x-y-2；(4)6x2-7xy-3y2-xz+7yz-2z2解 (1)原式=(x-5y+2)(x+2y-1)(2)原式=(x+y+1)(x-y+4)(3)原式中缺x2項，可把這一項的系數(shù)看成0來分解原式=(y+1)(x+y-2)(4)原式=(2x-3y+z)(3x+y-2z)說

51、明 (4)中有三個字母，解法仍與前面的類似2求根法我們把形如anxn+an-1xn-1+a1x+a0(n為非負整數(shù))的代數(shù)式稱為關(guān)于x的一元多項式，并用f(x)，g(x)，等記號表示，如f(x)=x2-3x+2，g(x)=x5+x2+6，當x=a時，多項式f(x)的值用f(a)表示如對上面的多項式f(x)f(1)=12-3×1+2=0；f(-2)=(-2)2-3×(-2)+2=12若f(a)=0，則稱a為多項式f(x)的一個根定理1(因式定理) 若a是一元多項式f(x)的根，即f(a)=0成立，則多項式f(x)有一個因式x-a根據(jù)因式定理，找出一元多項式f(x)的一次因式的

52、關(guān)鍵是求多項式f(x)的根對于任意多項式f(x)，要求出它的根是沒有一般方法的，然而當多項式f(x)的系數(shù)都是整數(shù)時，即整系數(shù)多項式時，經(jīng)常用下面的定理來判定它是否有有理根定理2的根，則必有p是a0的約數(shù)，q是an的約數(shù)特別地，當a0=1時，整系數(shù)多項式f(x)的整數(shù)根均為an的約數(shù)我們根據(jù)上述定理，用求多項式的根來確定多項式的一次因式，從而對多項式進行因式分解例2 分解因式：x3-4x2+6x-4分析 這是一個整系數(shù)一元多項式，原式若有整數(shù)根，必是-4的約數(shù)，逐個檢驗-4的約數(shù)：±1，±2，±4，只有f(2)=23-4×22+6×2-4=0，

53、即x=2是原式的一個根，所以根據(jù)定理1，原式必有因式x-2解法1 用分組分解法，使每組都有因式(x-2)原式=(x3-2x2)-(2x2-4x)+(2x-4)=x2(x-2)-2x(x-2)+2(x-2)=(x-2)(x2-2x+2)解法2 用多項式除法，將原式除以(x-2)，所以原式=(x-2)(x2-2x+2)說明 在上述解法中，特別要注意的是多項式的有理根一定是-4的約數(shù)，反之不成立，即-4的約數(shù)不一定是多項式的根因此，必須對-4的約數(shù)逐個代入多項式進行驗證例3 分解因式：9x4-3x3+7x2-3x-2分析 因為9的約數(shù)有±1，±3，±9；-2的約數(shù)有±1，±為：所以，原式有因式9x2-3x-2解 9x4-3x3+7x2-3x-2=9x4-3x3-2x2+9x2-3x-2=x2(9x3-3x-2)+9x2-3x-2=(9x2-3x-2)(x2+1)=(3x+1)(3x-2)(x2+1)說明 若整系數(shù)多項式有分數(shù)根，可將所得出的含有分數(shù)的因式化為整系數(shù)因式，如上題中的因式可以化