人教A版高中數(shù)學(xué)必修2《二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系歐幾里得《原本》與公理化方法》教案_1

1、歐幾里得原本與公理化方法一 . 教材分析人教 A 版高中數(shù)學(xué)教科書設(shè)立了 “章頭圖和引言”、“閱讀與思考”、“探究與 發(fā)現(xiàn)”、“信息技術(shù)應(yīng)用”等拓展欄目 . “歐幾里得原本與公理化方法”是人 教 A 版高中數(shù)學(xué)教材必修二第二章章末的閱讀與思考， 是在已經(jīng)完整的學(xué)習(xí)立體 幾何的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的內(nèi)容， 也是基于學(xué)生對(duì)公理化方法有一定感性、 具體的認(rèn)識(shí) 之后學(xué)習(xí)的內(nèi)容， 因此本節(jié)閱讀材料的出現(xiàn)， 豐富了教材內(nèi)容， 激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí) 數(shù)學(xué)的興趣， 拓展了學(xué)生的數(shù)學(xué)活動(dòng)空間， 同時(shí)幫助學(xué)生理清第二章立體幾何的 知識(shí)脈絡(luò)，建立知識(shí)體系，學(xué)會(huì)整理知識(shí)結(jié)構(gòu)的學(xué)習(xí)方法 .本篇“閱讀與思考” 教材安排先介紹歐幾里得編著

2、 幾何原本的歷史及幾 何原本給世界帶來的重大影響， 然后介紹了什么是公理化方法及其作用， 因此 本節(jié)教材編寫的意圖在于使學(xué)生了解數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史， 豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)文化知識(shí)， 培養(yǎng)學(xué)生追求知識(shí)起源的動(dòng)力， 學(xué)習(xí)古人的數(shù)學(xué)精神， 并學(xué)會(huì)利用公理化的思想 方法去解決問題和認(rèn)識(shí)世界 . 歐幾里得幾何原本作為現(xiàn)代數(shù)學(xué)之源，它的重 要性并不在于書中提出的哪一條定理 . 書中提出的幾乎所有的定理在歐幾里德之 前就已經(jīng)為人知曉，使用的許多證明亦是如此 . 它的重要性在于建立了比較嚴(yán)格 的幾何體系，在這個(gè)體系中有四方面主要內(nèi)容，定義、公理、公設(shè)、命題（包括 作圖和定理），而整個(gè)的理論體系都是由定義、 公理和公設(shè)演

3、繹而出的 . 幾何原 本所表現(xiàn)的已不僅是數(shù)學(xué)中的真理， 更為重要的是它借助數(shù)學(xué)表現(xiàn)了一種認(rèn)識(shí) 世界、表述世界的理性的思維方式 .二 . 學(xué)情分析本節(jié)課是在學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了第二章立體幾何之后的一則閱讀材料， 在第二章 的點(diǎn)線面的位置關(guān)系中，有 4 條公理、 9條定理以及一些推論 . 本閱讀材料的學(xué) 習(xí)有利于學(xué)生宏觀了解數(shù)學(xué)幾何學(xué)體系， 使用公理化方法去整理第二章知識(shí)結(jié)構(gòu)， 從而達(dá)到進(jìn)一步理解、掌握立體幾何的知識(shí)，形成完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò) . 同時(shí)高二的 學(xué)生已經(jīng)具有一定的綜合、 分析、 歸納和遷移的能力， 能夠初步使用公理化方法 遷移整理其他章節(jié)的知識(shí)，或者現(xiàn)階段應(yīng)用于其他學(xué)科，從更長(zhǎng)遠(yuǎn)的角度來說， 還

4、可以幫助自己建立一個(gè)理性思維，甚至建立自己的公理化系統(tǒng) . 但是由于數(shù)學(xué) 公理化方法表述了數(shù)學(xué)理論的簡(jiǎn)捷性、 條理性、 以及結(jié)構(gòu)的和諧性， 學(xué)生要真切 深刻地理解公理化方法還有一定的難度，尤其很難深刻認(rèn)識(shí)公理化方法作用 . 因 此基于學(xué)生的實(shí)際情況， 教學(xué)的重點(diǎn)難點(diǎn)放在公理化方法及其作用上， 并且設(shè)計(jì) 一些具體的使用公理化方法的案例來突破難點(diǎn) .三. 教學(xué)目標(biāo)1. 了解古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得著作幾何原本 ，感受幾何原本對(duì)歷史 的重大價(jià)值，加強(qiáng)對(duì)公理化方法的重視 .2. 了解并體會(huì)前人證明定理的過程， 從而提煉出公理化方法的基本概念 .理解 什么是公理化方法，感受證明過程中的科學(xué)性、條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性

5、 .3. 了解公理化方法對(duì)其他學(xué)科的示范作用以及在促進(jìn)新理論時(shí)的作用， 提升 對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科的自豪感，養(yǎng)成用數(shù)學(xué)的眼光看世界的習(xí)慣 .教學(xué)重點(diǎn)：1. 歐幾里得著作幾何原本 .2. 了解并體會(huì)前人證明定理的過程，從而提煉出公理化方法的基本概念，理 解什么是公理化方法 .教學(xué)難點(diǎn)：了解并體會(huì)前人證明定理的過程， 從而提煉出公理化方法的基本概念， 理解 什么是公理化方法 .四. 難點(diǎn)突破策略分析讓學(xué)生通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)， 了解并體會(huì)前人證明定理的過程， 從而提煉出公 理化方法的基本概念， 理解什么是公理化方法是本節(jié)課的一個(gè)難點(diǎn)， 為此首先讓 同學(xué)們收集資料并同學(xué)介紹歐幾里得及其著作幾何原本 ，在其過程中加

6、強(qiáng)學(xué) 生對(duì)幾何原本價(jià)值、作用的認(rèn)識(shí)，從而提高體會(huì)前人證明定理的過程的興趣 與重視 .學(xué)生通過收集資料，初步認(rèn)識(shí)公理化方法，在理解幾何原本證明定 理的方法后，學(xué)生自己嘗試證明第二章的平面與直線判定定理等， 經(jīng)歷自主探究， 小組合作等渠道深入研究證明的過程， 體會(huì)在證明的過程中嚴(yán)密的邏輯思維， 更 進(jìn)一步理解公理化方法，達(dá)到循序漸進(jìn)突破難點(diǎn)的目的 .五、課前準(zhǔn)備課前安排小組提前查詢閱讀資料，解決以下幾個(gè)問題： 幾何原本 是什么背景下誕生的？之前的幾何學(xué)是什么樣的情況？ 幾何 原本有什么意義和影響？六. 教學(xué)方法 課前查資料、學(xué)生講解分享、小組探究討論、教師啟發(fā)引導(dǎo)式、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)證 明、類比 .七.

7、教學(xué)過程1.引入 師：學(xué)完必修二第二章，你們學(xué)到了什么幾何知識(shí)？ 生： 線面平行定理、線面垂直定理 師：這么多知識(shí)，你能有邏輯地排序嗎？能把他們歸納成完善的體系嗎？ 師： 如何構(gòu)建體系，我們不得不提到一位古人 .PPT：展示人物圖片 . 師：他是誰？ 生： 歐幾里得 .設(shè)計(jì)意圖： 從學(xué)完第二章出發(fā)，讓學(xué)生回顧所學(xué)知識(shí)，學(xué)生能報(bào)出一些知識(shí) 點(diǎn)，再追問他們能否構(gòu)建體系，學(xué)生會(huì)感覺到比較困難，從而引出歐幾里得幾 何原本的公理化方法，通過簡(jiǎn)單明了的歐幾里得圖片，引出本節(jié)課主題 .師：在課前，我請(qǐng)一小組同學(xué)們查詢了關(guān)于歐幾里得幾何原本的一些資 料，現(xiàn)在資料已放到我電腦里，那么今天也請(qǐng)同學(xué)們當(dāng)一回老師 .

8、請(qǐng)小組派代表 上講臺(tái)為同學(xué)們分享他們組收集到的信息 .2.學(xué)生分享 生：（PPT展示） 幾何原本作者簡(jiǎn)介：姓名? 歐幾里得國籍? 古希臘生卒? 公元前330年公 元前275年職業(yè)? 數(shù)學(xué)家代表作品? 幾何原本作為教材的影響兩千多年來，作為歐洲數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)， 幾何原本被廣泛的認(rèn)為是歷史上學(xué) 習(xí)數(shù)學(xué)幾何部分的最成功的教科書 .哥白尼、伽利略、笛卡爾、牛頓等許多蜚聲中外的學(xué)者都曾學(xué)習(xí)過幾何原 本，并從中吸取了豐富的營養(yǎng)，從而創(chuàng)造出許多令世人驚嘆的偉大成就 .愛因斯坦： “如果歐幾里得未激發(fā)你少年時(shí)代的科學(xué)熱情，那你肯定不是天 才科學(xué)家 .”幾何原本誕生背景： 在幾何原本出現(xiàn)之前，古希臘人已經(jīng)積累了許多

9、幾何學(xué)的知識(shí)，然而這 些知識(shí)缺乏系統(tǒng)性，大多數(shù)是零碎的知識(shí)，并沒有太多聯(lián)系，更不要說對(duì)其進(jìn)行 嚴(yán)格的邏輯論證和說明 .而隨著當(dāng)時(shí)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的繁榮和發(fā)展， 特別是隨著農(nóng)林畜牧業(yè)的發(fā)展、土地開 發(fā)和利用的增多，把這些幾何學(xué)知識(shí)加以條理化和系統(tǒng)化， 成為一整套可以自圓 其說、前后貫通的知識(shí)體系，已經(jīng)刻不容緩，成為科學(xué)進(jìn)步的大勢(shì)所趨 .歐幾里得敏銳地察覺到了幾何學(xué)理論的發(fā)展趨勢(shì)， 他詳盡地搜集了當(dāng)時(shí)的幾 何知識(shí)，把前人的數(shù)學(xué)成果加以系統(tǒng)地整理總結(jié)， 用嚴(yán)密的演繹邏輯，構(gòu)建出一 個(gè)嚴(yán)整的體系，寫成了數(shù)學(xué)史上早期的巨著幾何原本 .幾何原本內(nèi)容：這部書囊括了幾何學(xué)從公元前 7 世紀(jì)的古希臘，一直到公元前 4

10、世紀(jì)歐 幾里得生活時(shí)期總共 400多年的數(shù)學(xué)發(fā)展歷史 .幾何原本共有 13篇，首先給出的是一些定義和 5 個(gè)公理、 5個(gè)公設(shè)，竟 然嚴(yán)密地推理出全書 467 條定理和推論 .論證方法上的影響關(guān)于幾何論證的方法， 歐幾里得提出了綜合法、 分析法和歸謬法 （反證法） . 這些都是我們之前剛剛學(xué)過的證明方法 .幾何原本的傳播 中國最早的譯本是 1607 年徐光啟和意大利傳教士利瑪竇合譯的， 定名為幾 何原本，幾何的中文名稱就是由此而來 .該譯本確定了許多我們現(xiàn)在耳熟能詳?shù)?幾何學(xué)名詞，如點(diǎn)、直線、平面、相似等 .設(shè)計(jì)意圖： 以學(xué)生為主體，發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，激發(fā)學(xué)生的興趣，搜集 資料，并通過學(xué)生講

11、解鍛煉學(xué)生的表達(dá)能力 .同時(shí)學(xué)生講課，同學(xué)們反而更有興 趣，課堂更有效活躍 .了解古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得及其著作 幾何原本，感受幾 何原本對(duì)歷史的重大價(jià)值，強(qiáng)化對(duì)公理化方法的重視 .3. 回歸課本 師：是啊，幾何原本影響如此之大，甚至影響了一批又一批的偉大科學(xué) 家，那我們今天也來學(xué)一學(xué)幾何原本里面最有價(jià)值的公理化方法.首先，我們需要認(rèn)識(shí)一下什么是公理化方法，我們請(qǐng)語文課代表朗讀一下課本第 75 頁第4、5、6 段 .PPT：展示課本的圖片，對(duì)這幾段內(nèi)容放大 . 生： 數(shù)學(xué)公理化方法，就是從盡可能少的原始概念（基本概念）和盡可能少的一 組不加證明的原始命題（公理、公設(shè)）出發(fā)，應(yīng)用嚴(yán)格的邏輯推理，推

12、導(dǎo)出其余 的命題，使某一數(shù)學(xué)分支成為演繹系統(tǒng)的一種方法 .基本概念是一些不加定義的原始概念， 它們必須是真正基本的， 無法用更原 始、更基本的概念去定義的，如中學(xué)教學(xué)中的點(diǎn)、直線、平面、集合等都是基本 概念.公理是對(duì)基本概念間的相互關(guān)系和基本性質(zhì)所作的一種闡述和規(guī)定.如“過兩點(diǎn)至少有一條直線” “經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面”等 都是作為公理的命題 .設(shè)計(jì)意圖： 回歸課本，回歸教材，理解教材對(duì)公理化的解釋 .通過學(xué)生的閱 讀，能讓學(xué)生更好地學(xué)習(xí)較為枯燥的知識(shí) .4. 幾何原本案例師：同學(xué)們能理解這段話嗎？這段話有些抽象， 公理化方法到底是什么樣的 方法呢？我們不妨翻開幾何原本

13、，看看那時(shí)候歐幾里得是如何運(yùn)用公理化方 法證明如此多的命題PPT：（展示圖片）師：幾何原本有 23 個(gè)定義 . 師：什么是公設(shè)？幾何原本中有“公設(shè)”與“公理”之分，近代數(shù)學(xué)對(duì) 此不再區(qū)分，都稱“公理” .師：什么是公理？ 公理是指依據(jù)人類理性的不證自明的基本事實(shí)， 經(jīng)過人類長(zhǎng)期反復(fù)實(shí)踐的考驗(yàn)，不需要再加證明的基本命題師：那么公理與定理有什么區(qū)別？公理： 公理不用證明 .定理： 用公理經(jīng)過邏輯推理形成 .師： 定義、公理、公設(shè)就是幾何原本全書的基礎(chǔ) .全書以這些定義、公 理、公設(shè)為依據(jù)邏輯地展開他的各個(gè)部分的 .比如后面出現(xiàn)的每一個(gè)定理都寫明什么是已知、什么是求證 .都要根據(jù)前面的定義、公理、定

14、理進(jìn)行邏輯推理給予 仔細(xì)證明 .下面是幾何原本中的第一個(gè)命題 .生：（證明該命題） .師：（解釋命題證明過程） .設(shè)計(jì)意圖： 本節(jié)課介紹幾何原本 ，不能講到最后，學(xué)生連幾何原本里面什么樣都不了解 .通過幾何原本 簡(jiǎn)單的第一個(gè)命題初步認(rèn)識(shí) 幾何原本的內(nèi)容、結(jié)構(gòu)、書寫特點(diǎn)，以及了解歐幾里得是如何證明定理的.體會(huì)前人證明定理的過程， 提煉出公理化方法的基本概念， 從而對(duì)公理化方法有一個(gè)初步的印 象 .為接下來的公理化證明的小組合作做鋪墊， 為突破本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)做鋪墊 .PPT 采用圖片展示的模式，相較用文字，閱讀更省力，不枯燥 .5. 探索新知 師：歐幾里得就是這樣以僅僅 5 條公理、5 條公設(shè)和一

15、些定義一步步推出了467條定理和推論 .我們今天就來模仿一下歐幾里得證明定理的過程 .當(dāng)然我們選 取貼近我們現(xiàn)在知識(shí)的定理， 哪個(gè)定理呢？我們必修二的第二章的立體幾何內(nèi)容 剛好是幾何原本的一部分，而這則材料又在第二章末，那么我們就借助第二 章的知識(shí)來體驗(yàn)一下公理化方法吧 .師： 首先，我們需要確定有幾個(gè)定理 .同學(xué)們記得必修二第二章中有哪些公 理嗎？生： 翻書查找 .PPT：公理 1 如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi) .公理 2 過不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面 .公理 3 如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該 點(diǎn)的公共直線 .公理 4 平

16、行于同一條直線的兩條直線互相平行 . 師：那必修二第二章從這些公理推出了哪些定理？ 生： 平行判定與性質(zhì)定理、垂直判定與性質(zhì)定理、等角定理 .師： 請(qǐng)同學(xué)們小組討論證明線面平行的判定定理 .證明：（線面平行的判定定理） 若平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線 平行，那么這條直線與這個(gè)平面平行 .用符號(hào)語言表示： a ，b ，且 a|b a| .生：（小組討論） .生（上臺(tái)板演）：證明：（反證法）假設(shè)直線 a與 不平行 ，a，a與 相交，設(shè) a =A那么A b，否則 a b A與a|b矛盾；過點(diǎn) A在 內(nèi)作直線 c|b,a|b， a|c.A ，A c，即a c A，這與 a|c矛盾.假設(shè)不成立，原

17、命 題成立 .師：我們借助公理四和反證法證明了線面平行的判定定理， 接著你們能否證明：已知：不在同一平面的點(diǎn) A、B、C、D構(gòu)成空間四邊形 ABCD，E，F(xiàn) 分別是 線段 AB， AD的中點(diǎn) .求證： EF|平面 BCD.生：證明：連接BD，AE EB，AF FD，EF |BD （三角形中位線的性質(zhì) ）.EF 平面 BCD，BD 平面 BCD，由直線與平面的判定定理得EF |平面BCD.設(shè)計(jì)意圖：選取必修二第二章的知識(shí)證明， 更貼近學(xué)生所學(xué)的知識(shí)和實(shí)際需 求.通過具體的例子讓學(xué)生體驗(yàn)公理化證明，理解什么是公理化方法，感受證明 定理過程的科學(xué)性、條理性、嚴(yán)謹(jǐn)性 .第二個(gè)例子是想讓學(xué)生能聯(lián)想到從公

18、理推 出定理，再從已證的定理出發(fā)推出新的命題， 如此循環(huán)， 其實(shí)就是歐幾里得能從 這么少的公理推出這么多的命題的原因所在 .6. 深化概念師：我們借助之前的線面平行判定定理證明了剛剛的結(jié)論， 實(shí)際上，我們借 助剛剛的結(jié)論，又能推導(dǎo)出其他的幾何結(jié)論 .反思第二章，由 4 條公理，得到線 面、面面的位置關(guān)系，從而有了這些判定定理、性質(zhì)定理，同學(xué)們也是順著這個(gè)知識(shí)體系逐步學(xué)習(xí)的第二章點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系 .根據(jù)剛才我們的例子，同學(xué) 們能想象歐幾里得是如何通過 5 個(gè)公理、5 個(gè)公設(shè)為基礎(chǔ)，證明 467個(gè)命題和推 論嗎？生： 從公理出發(fā)推出定理，再以定理為條件推出更多的命題 . 師：同學(xué)們有很棒的猜想

19、， 那我們來看看歐幾里得是否跟同學(xué)們猜想的一樣 呢？PPT：師：（簡(jiǎn)單展示）我們剛才看了幾何原本的第一個(gè)命題，那我們來看下第二個(gè)、第三個(gè)命題是怎么證明的 .師：（簡(jiǎn)單展示）以命題 1 為條件，證明了命題 2.師：（簡(jiǎn)單展示）以命題 2 為條件，證明了命題 3.師：如此類推，同學(xué)們能理解歐幾里得如何通過公理化方法，從少數(shù)公理、 公設(shè)吃飯， 證明這么多個(gè)命題， 構(gòu)造出幾何體系了嗎？你們能描述一下什么是公 理化方法嗎？生：（回答什么是公理化方法） .師：幾何原本的重要性并不在于它所論證的哪條具體定理，書中幾乎所有的定理和證法在歐幾里得以前就為人所知曉 .歐幾里得的偉大貢獻(xiàn)在于他對(duì)教材的編排和大綱的制

20、訂 .他首先挑選出了經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐的反復(fù)檢驗(yàn)、證明其正確性的 5 條公理和 5 條公設(shè)作為基礎(chǔ)， 接著認(rèn)真地編排這些公理和公設(shè)， 一個(gè)定理 被證明以后，又可以用它作為理論依據(jù)，去推導(dǎo)出新的數(shù)學(xué)定理來 .這樣，就可 以用一根邏輯的鏈條， 把所有的定理都串聯(lián)起來， 讓每一個(gè)環(huán)節(jié)都銜接得絲絲入 扣，循序漸進(jìn)，無懈可擊 .他在必要的地方補(bǔ)充了缺少的步驟，提出了缺少的證 據(jù) .從此，古希臘豐富的幾何學(xué)知識(shí)，形成了一個(gè)邏輯嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)體系.由區(qū)區(qū) 5個(gè)公理 5 個(gè)公設(shè)，竟能推導(dǎo)出那么多的數(shù)學(xué)定理來，這是一個(gè)奇跡！ 2000 多年 后，大科學(xué)家愛因斯坦仍然懷著深深的敬意稱贊道： 這是“世界第一次目睹了一 個(gè)邏輯

21、體系的奇跡” .而且，這些公理公設(shè)，多一個(gè)顯得累贅，少一個(gè)則基礎(chǔ)不 鞏固，其中自有很深的奧秘 .后來，歐幾里得獨(dú)創(chuàng)的陳述方式，也就一直為歷代 數(shù)學(xué)家所沿用 .設(shè)計(jì)意圖： 通過幾何原本前三個(gè)命題的證明過程（簡(jiǎn)單展示） ，和之前 學(xué)生自己從公理推出定理， 再從已證的定理出發(fā)推出新的命題的循環(huán)， 讓學(xué)生理 解歐幾里得從 5 條公理和 5 條公設(shè)作為基礎(chǔ)構(gòu)造出幾何體系過程， 從而深化理解 公理化方法的概念與運(yùn)用方法 .7. 拓展提升師：這就是公理化方法，公理化方法的有哪些作用呢？師：（1）概括整理數(shù)學(xué)知識(shí) . 例如：歐幾里得用公理化方法把零散的幾何知識(shí)整理著成幾何原本 . 師：課后探索：小組合作，從必修二第二章的四個(gè)公理出