圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型

1、圓錐曲線中的定點(diǎn)定值問(wèn)題的四種模型定點(diǎn)問(wèn)題是常見(jiàn)的出題形式，化解這類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直 線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量。直線過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題通法， 是設(shè)出直線方程，通過(guò)韋達(dá)定理和已知條件找出 k 和m的一次函數(shù)關(guān)系式，代入直線方程即可。技巧在于：設(shè)哪一條直線？如何轉(zhuǎn) 化題目條件？圓錐曲線是一種很有趣的載體，自身存在很多性質(zhì)，這些性質(zhì)往往 成為出題老師的參考。如果能夠熟識(shí)這些常見(jiàn)的結(jié)論，那么解題必然會(huì)事半功倍。 下面總結(jié)圓錐曲線中幾種常見(jiàn)的幾種定點(diǎn)模型：模型一：“手電筒”模型2 2例題、已知橢圓C: 1若直線I: y kx m與橢圓C相交于A

2、, B兩點(diǎn)43(A, B不是左右頂點(diǎn))，且以AB為直徑的圓過(guò)橢圓 C的右頂點(diǎn)。求證：直線I過(guò)定 點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。y kx m222解： 設(shè) A(xi, yi), B(x2, y2)，由22 得(3 4k )x 8mkx 4(m 3) 0，3x 4y 1264m2k2 16(3 4k2)(m23)0，3 4k2 m20Q以AB為直徑的圓過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)D(2,0),且kAD kBD1，1， y2 乂兇 2(x1 X2)23 4k34k23整理得:7m216mk4k2當(dāng)m2k時(shí)，l :yk(x當(dāng)m2k時(shí),l: yk(x0，4k2比丫2為 2 x223(m2 4k2)4(m23) 16mk直線

3、過(guò)定點(diǎn)2k，且滿足3 4k27(2,0),與已知矛盾；22k, m2m202)，2厶)，直線過(guò)定點(diǎn)(,0)綜上可知，直線I過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為(學(xué),0).方法總結(jié)：本題為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角” 的一個(gè)例子：圓錐曲線如橢圓上任 意一點(diǎn)P做相互垂直的直線交圓錐曲線于 AB，則 AB必過(guò)定點(diǎn)2 2 2 2(羋 斗，啓 斗)。(參考百度文庫(kù)文章：“圓錐曲線的弦對(duì)定點(diǎn)張直角的一組 a b a b性質(zhì)”)模型拓展：本題還可以拓展為“手電筒”模型：只要任意一個(gè)限定 AP與BP 條件(如kAP?kBp定值，kAP kBP定值)，直線AB依然會(huì)過(guò)定點(diǎn)(因?yàn)槿龡l直線 形似手電筒，固名曰手電筒模型)。此模型解題步驟：St

4、ep1 :設(shè)AB直線y kx m,聯(lián)立曲線方程得根與系數(shù)關(guān)系，求出參數(shù)范圍；Step2 :由 AP與 BP關(guān)系(如 kAP ?kBP1 )，得一次函數(shù)k f(m)或者m f(k);Step3 :將 k f(m)或者 m f(k)代入 y kx m,得 y k(x x 定)y定。類(lèi)型題訓(xùn)練練習(xí)1:過(guò)拋物線M: y2 2px上一點(diǎn)P (1,2 )作傾斜角互補(bǔ)的直線 PA與PB, 交M于A、B兩點(diǎn)，求證：直線 AB過(guò)定點(diǎn)。(注：本題結(jié)論也適用于拋物線與雙曲 線)練習(xí)2：過(guò)拋物線M:y2 4x的頂點(diǎn)任意作兩條互相垂直的弦OA OB求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)。練習(xí)3：過(guò)2x2 y2 1上的點(diǎn)作動(dòng)弦 AB AC

5、且 kAB?kac 3，證明BC恒過(guò)定點(diǎn)。 練習(xí):4 :設(shè)A、B是軌跡C : y2 2px(P 0)上異于原點(diǎn)0的兩個(gè)不同點(diǎn)，直線OA和OB的傾斜角分別為和，當(dāng)，變化且時(shí)，證明直線AB恒過(guò)定4點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo)。 練習(xí)5：已知?jiǎng)訄A過(guò)定點(diǎn)A(4,0),且在y軸上截得的弦MN的長(zhǎng)為8.(I)求動(dòng)圓圓心的軌跡C的方程；(n)已知點(diǎn)B(-1,0),設(shè)不垂直于x軸的直線I與軌跡C交于不同的兩點(diǎn)P, Q若x軸是PBQ的角平分線，證明直線l過(guò)定點(diǎn).練習(xí)6：已知點(diǎn)B 1,0 ,C 1,0 ,P是平面上一動(dòng)點(diǎn)，且滿足|PC| |BC| PB Cb(1)求點(diǎn)P的軌跡C對(duì)應(yīng)的方程；2)已知點(diǎn)A(m,2)在曲線C

6、上，過(guò)點(diǎn) A作曲線C的兩條弦 AD和AE，且 AD AE，判斷：直線DE是否過(guò)定點(diǎn)？試證明你的結(jié)論.【解】(1)設(shè) p(x，y)代入PCBC PB CB得.(x 1)2 y2 1 x,化簡(jiǎn)得 y2 4x. (5 分)直線DE過(guò)定點(diǎn)(5, 2).(定點(diǎn)(1,2)不滿足題意)練習(xí)7：已知點(diǎn)A (- 1，0)，B (1，- 1)和拋物線.C: y2 4x，O為坐標(biāo)原0躋OP為定值(I)證明:點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的動(dòng)直線l交拋物線C于M P，直線ME交拋物線C于另一點(diǎn)Q如圖.第22題(II )若厶POM勺面積為5，求向量OM，與OP的2夾角；(川)證明直線 PQ恒過(guò)一個(gè)定點(diǎn).2 2解：(I )設(shè)點(diǎn) M (里，y

7、d P(里，y2), P、M A三 44點(diǎn)共線，(II)設(shè)/ PO=a，貝y |OM | |OP| cos 5.5S ROM , | OM | | OP | sin5.由此可得 tan2a =1.又 (0, ),45 ,故向量OM與OP勺夾角為45 .2(川)設(shè)點(diǎn)Q(匹，y3), M、B Q三點(diǎn)共線，kBQkQM ,4即4( y2y3) yy 4 °.(*)即(y y2)(y2 由(*)式，2y3)4x y2,即 y(y2 y3) 怕3 4x.y2y34(y2 y3) 4,代入上式，得(y 4)® y3)4(x 1).由此可知直線PQ過(guò)定點(diǎn)E (1，- 4).模型二：切點(diǎn)弦

8、恒過(guò)定點(diǎn)例題：有如下結(jié)論：“圓x22 ”x°yy°y r,類(lèi)比也有結(jié)論：“橢圓2r2 x-2 a2y上一點(diǎn)P(x°, y°)處的切線方程為2爲(wèi) 1(a b 0)上一點(diǎn) P(X0,y°)處的切 b1的右準(zhǔn)線l上任意一點(diǎn)M引橢圓C2臂1 ”，過(guò)橢圓C：-b24的兩條切線，切點(diǎn)為 A、B.(1) 求證：直線 AB恒過(guò)一定點(diǎn)；(2) 當(dāng)點(diǎn)M在的縱坐標(biāo)為1時(shí)，求 ABM的面積。【解】(1)設(shè)M(蘭3,t)(tR), A(X1,yJ, Bgy),則MA的方程為線方程為竽ax1xy1y 134點(diǎn)M在MA上 X1 ty1 1 同理可得山X2 ty2 133.3

9、-x ty 1,即 x . 3(1 ty)3滿足式，故 AB恒過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F ( . 3,0)2.3(1 y)代入y21化簡(jiǎn)得7y 6y4由知AB的方程為易知右焦點(diǎn)F ( ,3,0)(2)把AB的方程x1罟1又M到AB的距離d3J1 3|AB|、1 3 亠8 蘭716、321“尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下”，優(yōu)酷視頻蝴蝶定理，資料7 ABM的面積 S 丄 | AB | d2方法點(diǎn)評(píng)：切點(diǎn)弦的性質(zhì)雖然可以當(dāng)結(jié)論用，但是在正式的考試過(guò)程中直 接不能直接引用，可以用本題的書(shū)寫(xiě)步驟替換之，大家注意過(guò)程。方法總結(jié)：什么是切點(diǎn)弦？解題步驟有哪些？ 參考：PPT圓錐曲線的切線及切點(diǎn)弦方程，百度文庫(kù) 參考拓展：

10、相交弦的蝴蝶特征練習(xí)1:(2013年廣東省數(shù)學(xué)(理)卷)已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，其焦點(diǎn)F 0,C C 0到直線I: X y 2 0的距離為也.設(shè)P為直線I上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條2切線PA, PB ,其中A, B為切點(diǎn).(I )求拋物線C的方程；(n )當(dāng)點(diǎn)P x°,y°為直線l上的定點(diǎn)時(shí)，求直線AB的方程；(川)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí)，求 | AF BF|的最小值.【答案】(I )依題意，設(shè)拋物線C的方程為x2 4cy ,由I0 C 2 玄結(jié)合c 0,邁 2解得c 1.所以拋物線C的方程為x2 4y .(II)拋物線C的方程為x2 4y,即y -x2,求導(dǎo)得y -

11、x422 2 設(shè) A x-,y- , B X2, y2 (其中 y- 土，y? 空)，44則切線PA, PB的斜率分別為-x-,帳,2 22所以切線 PA : y y x- x x!,即 y乞 ,即 XiX 2y 2yi 02 2 2同理可得切線PB的方程為X2X 2y 2y2 0因?yàn)榍芯€PA,PB均過(guò)點(diǎn) P Xo, yo ,所以 XiXo 2yo 2yi 0, X2X0 2yo 2y2 0所以x1,y1 , x2,y2為方程xox 2y。2y 0的兩組解.所以直線AB的方程為xox 2y 2y00 .(川)由拋物線定義可知|AF y1 1, IBF y2 1,所以 |AF BF| Y1 1

12、Y2 1 y2% Y2 1聯(lián)立方程X2X 2y 2yo 0,消去X整理得y2 2yo Xo2 y y。2 0x 4y由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得y1 y2 Xo2 2yo, y°2 yo2所以AFBF 沁*22Y21YoXo2yo1又點(diǎn)P x0,y0在直線1上，所以xo yo 2 ,所以yo2Xo22 yo122192yo 2y° 5 2 yo 一2 2所以當(dāng)yo2時(shí)，AFBF取得最小值，且最小值為9練習(xí)2 : (2013年遼寧數(shù)學(xué)(理)如圖，拋物線 G：x2 4y,C2：x2 2py p 0 ,點(diǎn) M x0,y0在拋物線C2上，過(guò)M作C1的切線，切點(diǎn)為代B(M為原點(diǎn)O

13、時(shí)，A,B重合 于O)x0 1 2 ,切線MA.的斜率為-*(I)求p的值；(11)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方.A,B重合于O時(shí)，中點(diǎn)為O .【答案】模型三：相交弦過(guò)定點(diǎn)相交弦性質(zhì)實(shí)質(zhì)是切點(diǎn)弦過(guò)定點(diǎn)性質(zhì)的拓展，結(jié)論同樣適用。參考尼爾森數(shù)學(xué)第一季_3下，優(yōu)酷視頻。但是具體解題而言，相交弦過(guò)定點(diǎn)涉及坐標(biāo)較多，計(jì) 算量相對(duì)較大，解題過(guò)程一定要注意思路，同時(shí)注意總結(jié)這類(lèi)題的通法。例題：如圖，已知直線L: xmyx21過(guò)橢圓C : 22 y b21(a b 0)的右焦點(diǎn)F，且交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A B在直線G:x a2上的射影依次為點(diǎn) D E。連接 AE、BD試探索當(dāng) m變化時(shí)，直

14、線 AE BD是否相交于一定點(diǎn) N?若交于定點(diǎn)N,法一：解：F(1,0),k (a2,0)先探索，當(dāng)m=0時(shí)，直線L±ox軸，則ABED為請(qǐng)求出N點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則說(shuō)明理由矩形，由對(duì)稱性知,AE與BD相交于FK中點(diǎn)N ,且0N（j猜想:當(dāng)m變化時(shí),AE與BD相交于定點(diǎn)N(?1,0)2證明：設(shè) A(x<i, yj, B(x2, y2)，E(a2, y2), D(a2, yj當(dāng) m變化時(shí)首先 AE過(guò)定點(diǎn) N n=Ken A N E三點(diǎn)共線同理可得 B、N、D三點(diǎn)共線a 1 AE與BD相交于定點(diǎn)N (里1,0)2法2:本題也可以直接得出 AE和BD方程，令y=0，得與x軸交點(diǎn)

15、M N,然后 兩個(gè)坐標(biāo)相減=0.計(jì)算量也不大。方法總結(jié)：方法1采用歸納猜想證明，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，是證明定點(diǎn)問(wèn)題一 類(lèi)的通法。這一類(lèi)題在答題過(guò)程中要注意步驟。2例題、已知橢圓C: y2 1，若直線l:x t(t 2)與x軸交于點(diǎn)點(diǎn)P為直 4線I上異于點(diǎn)T的任一點(diǎn)，直線PA,PA2分別與橢圓交于 M N點(diǎn)，試問(wèn)直線MN是 否通過(guò)橢圓的焦點(diǎn)？并證明你的結(jié)論。方法1:點(diǎn)A、A的坐標(biāo)都知道，可以設(shè)直線PA、PA的方程，直線PA和橢圓交點(diǎn)是A(-2,0)和M通過(guò)韋達(dá)定理，可以求出點(diǎn) M的坐標(biāo)，同理可以求出點(diǎn) N 的坐標(biāo)。動(dòng)點(diǎn)P在直線l : x t(t 2)上，相當(dāng)于知道了點(diǎn)P的橫坐標(biāo)了，由直線PA、 PA的

16、方程可以求出P點(diǎn)的縱坐標(biāo)，得到兩條直線的斜率的關(guān)系，通過(guò)所求的M N點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線 MN的方程，將交點(diǎn)的坐標(biāo)代入，如果解出的t>2，就可以了，否則就不存在。解：設(shè)M(X1,yJ， N(X2,y2)，直線AM的斜率為k“，則直線AM的方程為消 y 整理得（1 4k；）x2 16k2x 16k： 4y K（x 2），由 y2 丫： 7x 4y 4Q 2和捲是方程的兩個(gè)根，2X1 聲 :則為 乙単1 4k；y14匕2 ，1 4k1即點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2 8k,28k24k同理，設(shè)直線AN的斜率為k2,則得點(diǎn)N的坐標(biāo)為(常'咼)Q直線MN的方程為：yk1 k22k1 k2t '令

17、y=0，得xy y2 力x x1 x2 x1，x2y1為，將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代入，化簡(jiǎn)后得：x -y1y2又Qt 2,0 4 2Q橢圓的焦點(diǎn)為G 3,0)4 3，即t - 3tt3故當(dāng)t 4 3時(shí)，MN過(guò)橢圓的焦點(diǎn)。3方法總結(jié)：本題由點(diǎn) A(-2,0)的橫坐標(biāo)一2是方程（1x（14ki2)x2 16k?x 16ki2 4 0的一個(gè)根，結(jié)合韋達(dá)定理，得到點(diǎn)M的橫縱坐標(biāo)：y 整理得y2咼很快。屮，yi半；其實(shí)由I k2（X 2）消1 4k：14kfx2 4y24224k；）x216k?x16k；4 0，得到2x2些 :，即 x2處2，1 4k；1 4k：2不過(guò)如果看到：將2X1常中的.用 k2換下來(lái)

18、，X1前的系數(shù)2 用- 2換下來(lái),2就得點(diǎn)N的坐標(biāo)(墜 2, 冬)，如果在解題時(shí)，能看到這一點(diǎn)，計(jì)算量將減少,1 4k2 1 4k2這樣真容易出錯(cuò)，但這樣減少計(jì)算量。本題的關(guān)鍵是看到點(diǎn)P的雙重身份：點(diǎn) P即在直線 AM上也在直線 AN上，進(jìn)而得到-，由直線 MN的方程ki k2t仝丄呈丄得直線與x軸的交點(diǎn)，即橫截距x X"1 x1y2，將點(diǎn)M N的坐標(biāo)代x x1 x2 x1y1 y2入，化簡(jiǎn)易得x 4，由-,3解出t ，到此不要忘了考察t倬是否滿足t t33t 2。方法2:先猜想過(guò)定點(diǎn)，設(shè)弦MN勺方程，得出RM、A2N方程，進(jìn)而得出與T交 點(diǎn)Q S,兩坐標(biāo)相減=0.如下：方法總結(jié)：法

19、2計(jì)算量相對(duì)較小，細(xì)心的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)，這其實(shí)是上文“切點(diǎn)弦恒 過(guò)定點(diǎn)”的一個(gè)特例而已。因此，法2采用這類(lèi)題的通法求解，就不至于思路混亂了。 相較法1,未知數(shù)更少，思路更明確。2 2x y練習(xí)1： (10江蘇)在平面直角坐標(biāo)系xoy中，如圖，已知橢圓-+5=1的左右頂 點(diǎn)為A,B，右焦點(diǎn)為F,設(shè)過(guò)點(diǎn)T(t,m)的直線TA,TB與橢圓分別交于點(diǎn) M(X1,yJ， N(x2,y 2)，其中 m>0y>0,y 2<0.設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足PF" PB=4,求點(diǎn)P的軌跡1 一設(shè)x1=2,x 2=3，求點(diǎn)T的坐標(biāo)設(shè)t=9,求證：直線 MN必過(guò)x軸上的一定點(diǎn)(其坐標(biāo)與m無(wú)關(guān)) 解析：?jiǎn)?與

20、上題同。練習(xí)2:已知橢圓E中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，且經(jīng)過(guò)A( 2,0)、B(2,0)、C 1,3三點(diǎn).過(guò)橢圓的右焦點(diǎn) F任做一與坐標(biāo)軸不平行的直線I與橢圓E交于M、2N兩點(diǎn)，AM與BN所在的直線交于點(diǎn) Q.(1)求橢圓E的方程：2)是否存在這樣直線m，使得點(diǎn)Q恒在直線m上移動(dòng)？若存在，求出直線m方程,若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解析：(1)設(shè)橢圓方程為 mx2 my2 1(m 0,n 0),3將A( 2,0)、B(2,0)、C(1,-)代入橢圓E的方程，得24m 1,29 解得m丄小1. 橢圓E的方程m n 14344(也可設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，知a 2類(lèi)似計(jì)分)2)可知：將直線l : y k(x 1

21、)2 2代入橢圓E的方程 L 1并整理.得(3 4k2)x243設(shè)直線l與橢圓E的交點(diǎn)M (X1, y1), N(X2, y2),214( k 3)2, X1X23 4k2由根系數(shù)的關(guān)系，得x1x2直線AM的方程為：y由直線AM2y- i38k2x 4(k23)03 4 k2 k(xi 1)七(x 2),即y x12匕(x 2)，即y2與直線BN的方程消去y，得與直線BN的交點(diǎn)在直線x 4上.的方程為：yX2由直線直線模型四：動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題AMAMXi2(Xk(X2X22)故這樣的直線存在動(dòng)圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題本質(zhì)上是垂直向量的問(wèn)題，也可以理解為“弦對(duì)定點(diǎn)張直角”的 新應(yīng)用。例題1.已知橢圓C:乂匚1

22、(a b 0)的離心率為,并且直線y X b是拋物線a b2y2 4x的一條切線。(I )求橢圓的方程；(U)過(guò)點(diǎn)S(0,】)的動(dòng)直線L交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，試問(wèn)：在坐標(biāo)平面上是否3存在一個(gè)定點(diǎn)T，使得以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)T?若存在，求出點(diǎn)T的坐標(biāo)；若 不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(I )由 y2 x b 消去 y 得:X2(2b4)x b20y 4x因直線y x b與拋物線y2 4x相切(2b 4)2 4b2 0 b 12 以 4一2Qe C ,a2 b2 c2,丄，a 血，故所求橢圓方程為 y2 1. (II )a 2a 22當(dāng)L與x軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2 (y丄)2 (4)

23、23 3當(dāng)L與X軸平行時(shí)，以AB為直徑的圓的方程：x2 y2 1 ,由1x2(y 3)(4)2(3)解得y即兩圓相切于點(diǎn)(0, 1)因此，所求的點(diǎn)T如果存在，只能是(0, 1).事實(shí)上，點(diǎn)T (0, 1)就是所求的 點(diǎn)，證明如下。當(dāng)直線L垂直于x軸時(shí)，以AB為直徑的圓過(guò)點(diǎn) T(0，1)若直線L不垂直于x軸，可設(shè)直線L: y kxy2 x2kx13消去y得:(18k229)x12 kx 16記點(diǎn) A(x1, y1)x1x2B(X2, y2),則12k218k9又因?yàn)門(mén)A (*,%uir1),TB 區(qū)必 1),16218k29 TA!TB，即以AB為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn) T (0，1),故在坐標(biāo)平面上存

24、在一個(gè)定點(diǎn) T (0，1)滿足條件.方法總結(jié)：圓過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題，可以先取特殊值或者極值，找出這個(gè)定點(diǎn)，再證明 用直徑所對(duì)圓周角為直角。22HZ例題2:如圖，已知橢圓C:篤 篤1(a b 0)的離心率是 ，AA分別是橢圓Ca b2的左、右兩個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn) F是橢圓C的右焦點(diǎn)。點(diǎn)D是x軸上位于A，右側(cè)的一點(diǎn)， 且滿足2。|aq| Ad| |fd|(1)求橢圓C的方程以及點(diǎn)D的坐標(biāo)；2)過(guò)點(diǎn)D作x軸的垂線n，再作直線l : y kx m 與橢圓C有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線丨交直線n于點(diǎn) Q。求證：以線段PQ為直徑的圓恒過(guò)定點(diǎn)，并求出定 點(diǎn)的坐標(biāo)解：(1) A, a,0), A2(a,0), F(c,0)由爲(wèi)

25、又FD再作直線l1_A，D2有二x，設(shè) D(x,0)，1,(c 1a)(ca)，又 Q -ac 1, a于是-c遼2、2,b(2)iyOADnQ 12c，橢圓Cx2y方法 1 : Q Q(2,2 k m)，設(shè) P(x°,y。)，由 x22kx m1，且 D(2,0)。y2 127 (kx m)2 122 2(2 k 1)x 4kmx2 m22 0 ,4(2k2 21)(2 m2)02k2m2102 m2X04kmX2km 由(*) 2km2k2k2 12k212 mm，2k21P(2k1、m ,J),mmmmumruurn而由韋達(dá)定理:yokxo m由MP2 2x 2( kx m)

26、由于16k2m2M (x, y),設(shè)以線段PQ為直徑的圓上任意一點(diǎn)2k1(x )(x 2) (y -)(y (2 k m) mm由對(duì)稱性知定點(diǎn)在x軸上，令y 0，取x 法2:本題又解：取極值，PQ與AD平行, 相似證明PF丄FQ 問(wèn)題得證。2 練習(xí)：(10廣州二模文)已知橢圓G :冷 a0 x2(空mMQ 0有2y1時(shí)滿足上式，故過(guò)定點(diǎn)K(1,0)易得與X軸相交于F( 1,0 )。接下來(lái)用2)x (2k m-)y (1 ) 0 mmo2與1(a b 0)的右焦點(diǎn)F2與拋物線 bC2: y2 4x的焦點(diǎn)重合，橢圓C1與拋物線C2在第一象限的交點(diǎn)為P , I PF2 I -.圓C3 的圓心T是拋物

27、線C2上的動(dòng)點(diǎn)，圓C3與y軸交于M , N兩點(diǎn)，且|MN I 4.(1) 求橢圓G的方程；(2) 證明:無(wú)論點(diǎn)T運(yùn)動(dòng)到何處，圓C3恒經(jīng)過(guò)橢圓C1上一定點(diǎn).(1)解法1 : 拋物線C2： y2橢圓G的左焦點(diǎn)F1的坐標(biāo)為R(標(biāo)為(X1,yj ,由拋物線的定義可知4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0) ,點(diǎn)F2的坐標(biāo)為(1,0).1,0),拋物線C2的準(zhǔn)線方程為x 1.設(shè)點(diǎn)P的坐 ，二 X1 1 5 ,解得 X1 .333pf2 為 1, / pf2由y124x-|V6. 點(diǎn)p的坐標(biāo)為,V6 .333在橢圓2xC1 : 2a2yb21(ab 0)中,(I 1)2 評(píng) 0)2 居 2 22,b 、.a2 c2.3. 橢圓G的方程為11.432a |PR