四元數(shù)微分方程的推導(dǎo)

1、精品資料歡迎下載1、四元數(shù)定義Q q0q1i q2 j q3k包括一個(gè)實(shí)數(shù)單位1 和三個(gè)虛數(shù)單位 i, j, kiij jkk1ijkjijkikjkijik2、旋轉(zhuǎn)四元數(shù)一個(gè)有固定點(diǎn)的剛體通過繞該點(diǎn)的某個(gè)軸轉(zhuǎn)過特定角度可達(dá)到任何姿態(tài)轉(zhuǎn)軸的方向可以表示成一個(gè)單位矢量:ncosicosjcosk則描述該轉(zhuǎn)動(dòng)的四元數(shù)可以表示成:Qcossinn22cossincosisincosjsincosk2222Qq0q1iq2jq3k （規(guī)范化四元數(shù)）四元數(shù)既反映了轉(zhuǎn)動(dòng)的方向又反映了轉(zhuǎn)動(dòng)的幅值。3、四元數(shù)性質(zhì)（ 1）矢量旋轉(zhuǎn)：在坐標(biāo)系OXYZ 中，向量R 繞轉(zhuǎn)軸 n 轉(zhuǎn)過角度得到向量R' ，則R&

2、#39; QRQ*QR Q 1（2） Q*為 Q 的共軛四元數(shù) Q *q0q1iq2 jq3k（3） Q1與Q互逆，Q Q 112Q Q*q02q12q22q32（4）四元數(shù)的范數(shù)：Q（5）規(guī)范化四元數(shù)： Q1（ 6 ）坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)：矢量固定不動(dòng)，坐標(biāo)系OXYZ 按照四元數(shù) Q轉(zhuǎn)動(dòng)，得到新坐標(biāo)系OX 'Y' Z '，設(shè)矢量 V 在兩坐標(biāo)系中的映像分別為Ve 、 Ve ' ，則 Ve 'Q 1 Ve Q精品資料歡迎下載4、四元數(shù)方向余弦矩陣一個(gè)矢量 V 相對(duì)于坐標(biāo)系 OXYZ 固定： Vxi yj zk ；坐標(biāo)系 OXYZ 轉(zhuǎn)動(dòng)了 Q 得到一個(gè)新坐標(biāo)系OX

3、' Y'Z ' ： V x'i ' y' j ' z' k'設(shè)四元數(shù) Ve 、 Ve 'Ve xiyjzkVe ' x' iy' jz' k則 Ve ' Q 1 Ve Q設(shè) Qq0q1iq2 jq3k則 Q 1q0q iq2jqk13Ve ' x'i y' jz' kq0q1i q2 jq3k 0 xi yj zk q0q1i q2 j q3 kx' q02q12q22q32 x 2 q1q2q0 q3 y 2 q1q3q0q2 zy&

4、#39; 2 q1q2q0 q3 x q02q12q22q32 y 2 q2q3q0 q1 zz' 2 q1q3q0q2 x 2 q2q3q0q1 y q02q12q22 q32 zx'q02q12q22q322 q1q2q0 q32 q1q3q0q2xy'2 q q2q0q3q2q 2q2q22 qq3qq1y1012320z'2 q1q3q0q22 q2 q3q0 q1q02q12q22q32z將地理坐標(biāo)系利用四元素轉(zhuǎn)換為載體坐標(biāo)系時(shí)，其方向余弦矩陣為精品資料歡迎下載捷聯(lián)慣導(dǎo)中的姿態(tài)更新實(shí)質(zhì)上是如何計(jì)算四元數(shù)。5、四元數(shù)微分方程由于載體的運(yùn)動(dòng)，四元數(shù)Q 是變

5、量，即 q0 、 q1 、 q2 、 q3 是時(shí)間的函數(shù)。剛體繞瞬時(shí)轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)過角，其角速度為：nn （式 1）nb設(shè)這個(gè)運(yùn)載體坐標(biāo)系（b系）和地理坐標(biāo)系（n系）之間的變換四元數(shù)的三角形式為：Q cossin n （式 2） 角對(duì)時(shí)間 t 的導(dǎo)數(shù)22對(duì)式 2求導(dǎo)可得：dQ1sind1cosdnsind n （式 3）dt22dt 22dt2dtd n前導(dǎo)后不導(dǎo)加上后導(dǎo)前不導(dǎo)因?yàn)樾D(zhuǎn)軸未變化則0dtdQ1 sind1 cosdndt22 dt22 dt即： Q1 sin1 cos2n222有 n n 1Q1 sin1 cosn22222ncossinn221nQ2nb由于捷聯(lián)慣性導(dǎo)航系統(tǒng)的慣性器件是直接固聯(lián)在運(yùn)載體上的，所以陀螺測(cè)量得到的角速度是沿運(yùn)載體坐標(biāo)系的絕對(duì)角速度，因此上式應(yīng)用式不方便，需要進(jìn)行進(jìn)一步變換。由性質(zhì)（ 6）可知：bQ1nQQ*nQnbnbnb又因?yàn)?Q Q*Q *Q1nQbQ1QbQ*nbnbnb精品資料歡迎下載將式 10寫成矩陣形式為：q0q0q11 q1q22 q2則Q 1Q 2q1q2q0q3q3q0bnbq30q2bx（式 11）q1bybq3q3q2q1q0zq00bq11xbq22ybq3zb bxy0bzb0zb byxbq0zbq1y（式 12）bq2x0q3式中，b x