初中數(shù)學九年級《垂直于弦的直徑》教學設計

1、垂直于弦的直徑教學設計一、教學目標（一）知識技能1知道圓是軸對稱圖形，能說出它的對稱軸；知道圓是中心對稱圖形，它的對稱中心是圓心。2掌握垂徑定理，并會用符號表示垂徑定理。（二）數(shù)學思考1通過垂徑定理探索它的推論，初步體會“分類討論”的數(shù)學思想。2通過觀察、猜想、驗證、歸納等數(shù)學活動，感受數(shù)學思考的條理性，發(fā)展數(shù)形結合思想。（三）解決問題1讓學生經(jīng)歷觀察、探究、歸納、總結等過程，獲得解決數(shù)學題的經(jīng)驗和方法，能夠利用垂徑定理及推論解決簡單的問題。2通過推論的拓展，形成解決問題的一些基本策略，發(fā)展學生用數(shù)學的意識；培養(yǎng)學生“方程的觀點”以及識別基本圖形的能力。（四）情感態(tài)度通過探究垂徑定理及其推論的

2、活動，培養(yǎng)學生合作交流的意識和大膽猜想，樂于探究的良好思維品質，培養(yǎng)學生觀察能力、好奇心和求知欲，并從數(shù)學學習活動中獲得成功的體驗，樹立自信心。二、教學重點探索垂徑定理及其推論，并能正確運用它們解決問題。三、教學難點垂徑定理推論的探索及應用。四、教學方法自主探究合作交流五、教學媒體多媒體六、教學過程活動一問題1，圓是軸對稱圖形嗎：是中心對稱圖形嗎？（類比思想）設計意圖：可請一位學生演示：沿著圓形紙片的任一條直徑對折，直徑兩側的兩個半圓會怎樣？從而得出：圓是軸對稱圖形，且有無數(shù)條對稱軸任何一條直徑所在的直線都是圓的對稱軸。讓學生把一個圓形紙片繞圓心旋轉180°后與原來的圓重合，說明圓是

3、中心對稱圖形，圓心是對稱中心。（注意：其實圓繞它的圓心旋轉任意角度都能與原來的圓重合，所以是特殊的中心對稱圖形，它的特殊性是具有旋轉不變性）這一性質后面將會用到。問題2，利用軸對稱圖形的性質探究，如圖：在o中，cd是直徑，ab是弦，且cdab，你在圓中能找出哪些相等的量？并證明。說出你猜想的結論。（分組討論，小組代表敘述結論） 教師重點關注：學生對軸對稱圖形性質的應用是否熟練，適當?shù)倪M行復習鞏固。 設計意圖： （1）這樣設計是想通過學生對圖形的觀察和對條件的分析，自己推測可能得到的結論，培養(yǎng)學生的觀察能力和直覺的猜想能力。（2）由于學生思維的差異，各人猜想得出的結論會不同，也不一定全面，教師要

4、認同這樣的差異，保護學生的積極性。（3）在學生猜對了全部結論后，師生再共同研究證明方法，（大屏幕投影已知、求證、證明全過程）由教師板書已知、求證和證明。（4）引導學生歸納結論，得出垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦并且平這條弦所對的兩條弧。幾何語言為cd為直徑，cdab。cd平分弦ab、cd平分弧ab、cd平分弧acb。問題3，請畫圖說明垂徑定理的條件和結論，（學生自己畫）并判斷下列圖形是否符合垂徑定理的基本要求。教師重點關注：學生對垂徑定理的理解是否全面、到位。設計意圖：1讓學生自己畫圖，分清垂徑定理的條件和結論，有利于學生清楚地認識該定理的條件和結論。條件是：cd為直徑，cdab。 結論是

5、：cd平分弦ab、cd平分弧ab 、cd平分弧acb。2認識定理中的垂徑，可以是直徑、半徑、過圓心且垂直于弦的直線或線段。活動二問題4，引申思考：垂徑定理可以改述為：一條直線滿足條件：1過圓心，2垂直于弦，則可以推出結論3平分弦所對的優(yōu)弧，4平分弦所對的劣弧，5平分弦。對于一個圓和一條直線來說，如果以1，2，3，4，5五個條件中的任意兩個作為題設那么其它三個就都是結論，這樣我們能得到9個推論都是正確的。本教材只介紹了一個推論即：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。即由1，3推出2，4，5。說明：這里對“弦”限制不能去掉，否則該結論不成立。大家都知道兩條直徑一定互相平分，但

6、不一定垂直。師生共同討論、證明，大屏幕投影已知、求證、證明全過程或由教師板書已知、求證和證明。設計意圖：這套教材削弱了對幾何證明的要求，所以推出格式?jīng)]有給出，其它幾個推論也沒有拓展出來，只作簡單說明而已，大屏幕投影給出推論的幾可語言?；顒尤龁栴}5，現(xiàn)在我們用垂徑定理解決本節(jié)前面提出的求趙州橋橋拱半徑的問題。學生思考：1如何把實際圖形轉換成幾何圖形。2利用垂徑定理構建什么直角三角形？應用八年級所學的什么定理？應用什么思想來解決這個問題？解決問題：如圖，用弧acb表示橋拱，設弧acb所在圓的圓心為o，半徑為r，連結ab，弦ab的長即為橋的跨度。 想一想：如何確定拱高（弧的中點到弦的距離） 即過圓心

7、作弦ab的垂線oc，垂足為d， oc與弧ab相交于點c， 則d是ab的中點，c是弧ab中點，cd即為拱高，然后利用勾股定理列出關于半徑r的方程即可解決問題。設計意圖：在本次活動中教師應關注：1學生能否正確的繪出幾何圖形，連出相關的線段。2學生能否正確的使用垂徑定理做出恰當?shù)妮o助線，找出相關的量。3學生能否把垂徑定理和勾股定理結合起來，得到半徑r，圓心到弦的距離d和弦長a之間的關系：r2 =d2 +()2 ,據(jù)此關系式在a、r、d三個量中，已知任意兩個可以求出第三個量，這就是十分重要的方程思想。4利用所學的數(shù)學知識，解決生活中的實際問題，加強數(shù)學與生活的聯(lián)系，體驗數(shù)學是描述現(xiàn)實世界的重要手段，即

8、培養(yǎng)學生用數(shù)學知識解決實際問題的能力，樹立了學生學好數(shù)學的信心。問題6，判斷1平分弦的直徑垂直于弦（ ） 2平分弦的直徑平分弦所對的兩條弧（ ）小馬利用垂徑定理的推論認為這兩句話是正確的。聰明的同學，你能告訴他究竟錯在哪里嗎？同桌討論：教師可提示將被平分的弦進行分類：它為直徑；它為非直徑。設計意圖：通過替人排憂解難，強化“推論”中對“弦”的限制條件不能丟失。問題7，課本30頁練習12在o中，弦ab的長為8cm，半徑r為5cm，e為弦ab的中點，求圓心o到弦ab的距離。教師重點關注：學生能否熟練應用垂徑定理及其推論。設計意圖：對學生進行推理訓練，讓學生明白解決問題要有依據(jù)，進一步提高學生的邏輯思

9、維能力和幾何語言表達能力，然后通過變式訓練加深對新知識的理解，培養(yǎng)學生分析、探究問題的能力。問題8，課本30頁練習2。教師重點關注：學生對矩形的證明思路是否明確。設計意圖：加強知識間聯(lián)系，達到復習鞏固的目的?；顒铀耐貜V探索：ab、cd為o的兩條平行弦，o的半徑為5cm，ab=8cm，cd=6cm，求ab、cd間的距離。學生試著自己完成。然后教師展示部分學生答案，加以訂正，最后教師給出圖形和完整解題過程。教師重點關注：學生能否將本題分為兩種情況來解決。設計意圖：培養(yǎng)學生用所學知識解決問題的能力，強化訓練分類討論的數(shù)學思想，使學生養(yǎng)成仔細審題、考慮問題全面的良好學習品質和個性思維品質，進一步提高學生自身的素質。七、小結這節(jié)課你有哪些收獲？有何體會？你認為自己的表現(xiàn)如何？教師引導學生回顧、思考、交流。教師重點關注：1學生的歸納總結能力。2能否對問題有進一步的思考。3