第六屆周培源大學(xué)生力學(xué)競賽試題解析PPT課件

1、一、聲東擊西的射擊手（30 分）射擊的最高境界，不僅是指哪打哪，還要知道往哪兒指。歡迎來到這個(gè)與眾不同的射擊場。在這里，共有10 個(gè)小球Pi （號碼從0 到9），你需要把某個(gè)小球放在圓弧的適當(dāng)位置上，然后靜止釋放小球即可。假設(shè)系統(tǒng)在同一豎直平面內(nèi)（如圖所示），不考慮摩擦。圓弧AB 的半徑為R ，B 點(diǎn)與地面的高度為H 。均質(zhì)細(xì)桿CD的質(zhì)量為M ，長為L= 0.5H，懸掛點(diǎn)C與B 處于同一水平位置，BC 距離為S 。小球Pi 質(zhì)量均為m ，不計(jì)半徑，小球Pi 與CD桿或地面碰撞的恢復(fù)因數(shù)均為ei ，且滿足/9iei, (i= 0,1,2 ,9)。第1頁/共66頁（1）為使小球P1 擊中桿上D點(diǎn)，

2、試確定靜止釋放時(shí)的 ，距離S 有何限制？（2）假設(shè)某小球擊中CD桿上的E 點(diǎn)，為使E 點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離D點(diǎn)，試確定該小球的號碼及靜止釋放時(shí)的 ，此時(shí)CE 的距離是多少？（3）假設(shè)某小球擊中CD桿上的E 點(diǎn)，為使懸掛點(diǎn)C 處的沖量盡可能小，試確定該小球的號碼及靜止釋放時(shí)的 ，此時(shí)CE 的距離是多少？沖量有多大？第2頁/共66頁第3頁/共66頁21(1 cos ),22(1 cos )BBmgRmvvgR20,12BBxv txxvygygtyHgt 22(1 cos )1122SgRtHHgt2SHR一、聲東擊西的射擊手（30分）解 （1）為使小球P1擊中桿上D點(diǎn)，試確定靜止釋放時(shí)的，距離S有何限制

3、？小球從初始位置運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，豎直速度為零，水平速度為 小球離開B點(diǎn)后作平拋運(yùn)動(dòng)，以B下方的地面為坐標(biāo)系原點(diǎn)，有把參數(shù)帶入小球的位移表達(dá)式，有 S的限制為第4頁/共66頁2/tH g22(1 cos ) 2/SNgRH g（2）假設(shè)某小球擊中CD桿上的E點(diǎn)，為了使E點(diǎn)盡可能遠(yuǎn)離D點(diǎn)，試確定小球的號碼及靜止釋放時(shí)的，此時(shí)CE的距離是多少？ 直觀上看，當(dāng)e=1（小球的號碼為9）時(shí)反彈得最高，有可能擊中C點(diǎn)。此時(shí)E點(diǎn)離D點(diǎn)最遠(yuǎn)，距離為CE=0。 根據(jù)運(yùn)動(dòng)方程，在豎直方向，小球離開B點(diǎn)后與地面碰撞的時(shí)間為 e=1時(shí)，根據(jù)落下與反彈的軌跡對稱性，設(shè)小球與地面碰撞N次，于是有 S=2NvBt， 第5頁/共

4、66頁第6頁/共66頁23H212yvmgH2yvgH（3）假設(shè)小球擊中CD桿上的E點(diǎn)，為了使懸掛點(diǎn)C處的沖量盡可能小，試確定小球的號碼及靜止釋放時(shí)的，此時(shí)CE的距離是多少？沖量有多大？ 根據(jù)碰撞的理論，當(dāng)沖量IE與桿垂直，且 時(shí)，C點(diǎn)的碰撞沖量IC=0。 上述結(jié)論可以表示為：小球要在反彈最高點(diǎn)碰撞，且碰撞點(diǎn)與地面的高度為由于水平方向速度與豎直方向速度獨(dú)立，下面只考慮豎直方向：小球落地時(shí)速度大小為。碰撞后方向上的速度大小為 再利用上式，得反彈的最大高度為2ie H。所以 第7頁/共66頁第8頁/共66頁二、驕傲自滿的大力士（35 分）有位大力士總是自命不凡，他夫人決定找機(jī)會教訓(xùn)他一下。正好附近

5、足球場的球門壞了一半，剩下的半邊球門如圖：立柱OA垂直固定于水平地面上，沿x 軸方向，高為H = 2.4m，橫梁AB 平行于地面，沿z 軸負(fù)方向，長為L=H。立柱和橫梁均為實(shí)心圓柱，直徑均為D = 0.06m 。夫人經(jīng)過計(jì)算后想出了主意：和丈夫比賽，看誰能把球門拉倒。比賽規(guī)則是：通過系在橫梁B 端中點(diǎn)的繩索，只能用靜力拉球門；繩索上有且只有B 點(diǎn)系在與地面固定的物體上。繩索的重量不計(jì)，長度不限。球門不計(jì)自重，采用第三強(qiáng)度理論，材料的屈服應(yīng)力s =57MPa 。 大力士認(rèn)為自己肯定不會輸，因?yàn)樗纼扇诵着c地面摩擦系數(shù)都是 = 0.5 ，自己重量為G1 = 700N ，夫人重量為G2 = 51

6、0N 。為了顯示自己的大度，他允許夫人享受一點(diǎn)點(diǎn)優(yōu)惠條件。于是夫人以B 在地面的投影C 為圓心，在地面上畫了一個(gè)半徑R = 0.8m 的圓圈，要求丈夫身體在地面的投影不能進(jìn)該圓圈，但她自己不受限制。大力士認(rèn)為這么個(gè)小圓圈沒什么了不起，就同意了。 第9頁/共66頁大力士抽簽先上場，他決定讓繩索與xy 平面平行，但繩索與地面的夾角 不知多大為好，于是他在不同的角度試了多次，盡管每次都用了最大力氣，但是球門居然紋絲不動(dòng)，也看不出有明顯的變形。而夫人上場后一用力就把球門拉倒了（1）當(dāng)大力士讓繩索與地面成 角度，繩索中的拉力最大為多大？該最大拉力與大力士拉繩的姿勢有無關(guān)系？（2）當(dāng)大力士讓繩索與地面成

7、角度，球門中最危險(xiǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)值是多少？（3）在限制條件下， 角為多少時(shí)大力士最接近把球門拉倒？夫人可能采用什么方式把球門拉倒？第10頁/共66頁TxTy第11頁/共66頁第12頁/共66頁TxTy第13頁/共66頁第14頁/共66頁第15頁/共66頁TxTy第16頁/共66頁三、顧此失彼的挑戰(zhàn)者（30 分） 魔術(shù)正式開始前，魔術(shù)師邀請觀眾上臺了解道具，并體驗(yàn)如何讓水晶球在板上平衡，有位觀眾自告奮勇要挑戰(zhàn)魔術(shù)師的問題。魔術(shù)師首先介紹道具（如圖所示）：兩個(gè)透明的水晶圓球O1 和O2 ；一個(gè)滾軸D；一個(gè)透明的水晶平板AB ，A 端水平固定在墻中，不考慮自重時(shí)AB 板與水平面平行。在表演時(shí)，滾軸D可以根

8、據(jù)需要安裝在AB 板的任意位置，且A 與D總在同一高度。假設(shè)水晶板是均質(zhì)等截面板，長度為l ，單位長度重量為q ，彎曲剛度為EI 。兩均質(zhì)水晶圓球的半徑均為r ，重量均為P=ql。假設(shè)表演中板的撓度和轉(zhuǎn)角都是小量，球與板之間有滑動(dòng)摩擦，但不考慮球與板的接觸變形和滾動(dòng)摩擦。觀眾發(fā)現(xiàn)，水晶板由于自重而微微彎曲，如果不安裝滾軸D，水晶球在板上可以擺放的任意位置都不能平衡。第17頁/共66頁魔術(shù)師的問題如下：（1）如果把滾軸D安裝在AB 板的B 處，此時(shí)AB 板由于自重所導(dǎo)致的最大撓度在何處？（2）如果把滾軸D安裝在AB 板之間的某處，有可能使水晶球O1 在板上靜止，且球與板的接觸點(diǎn)恰好是B 點(diǎn)。如果

9、不需要具體計(jì)算，如何說明滾軸D是更靠近A點(diǎn)還是更靠近B 點(diǎn)？定性畫出此時(shí)AB 板撓度的示意圖。（3）如果把滾軸D安裝在AB 板的中點(diǎn)，能否讓水晶球 O 1在AD 之間某位置平衡，接觸點(diǎn)為C1 ；同時(shí)讓水晶球O2 在DB之間某位置平衡，接觸點(diǎn)為 C 2 。觀眾試著擺弄了很久，總是顧此失彼，最終也沒有成功。如果你認(rèn)為本問題有解， AC1和AC2 的水平距離是多少？如果沒有解，如何證明？第18頁/共66頁第19頁/共66頁解：第20頁/共66頁第21頁/共66頁第22頁/共66頁第23頁/共66頁四、技高一籌的魔術(shù)師（25 分）魔術(shù)正式開始，仍用上一題中的道具（板和球的具體參數(shù)見第三題）。 魔術(shù)師首

10、先撤去了滾軸D ，觀眾看到兩個(gè)水晶球在板上任意位置靜止釋放，都會從板的B 端掉下去。但是細(xì)心的觀眾發(fā)現(xiàn)，即使兩水晶球放在板的相同位置，掉下去所需時(shí)間卻明顯不同。 魔術(shù)師解釋說，雖然兩水晶球的尺寸和重量完全相同，但有一個(gè)水晶球的表面涂了透明的新型材料，很光滑。說完在后落下的水晶球O1 表面貼上了小紙片以示區(qū)別（假設(shè)小紙片的尺寸和重量相對水晶球均是小量）。 只見魔術(shù)師對兩個(gè)水晶球吹了吹，聲稱已經(jīng)把魔力注入其中，然后小心地把貼有紙片的O1 球靜止放在板上（接觸點(diǎn)為B 點(diǎn)），同時(shí)讓紙片遠(yuǎn)離接觸位置，松手后水晶球 O 1竟然真的可以一直穩(wěn)穩(wěn)地停留在板上B 點(diǎn)。 在觀眾的掌聲中，魔術(shù)師撤走了O1 球，把O

11、2 球拿了起來。“這個(gè)水晶球不太聽話，我的魔力只能管1 分鐘?！蹦g(shù)師說完把O2 球轉(zhuǎn)了轉(zhuǎn)，然后更加小心地把O2球也放在板上（接觸點(diǎn)為B 點(diǎn)）。觀眾發(fā)現(xiàn)， O 2 球在B 點(diǎn)停留了大約1 分鐘，然后在沒有外界干擾的情況下突然從板上B 端掉了下來第24頁/共66頁（1）根據(jù)題目敘述，試判斷哪個(gè)水晶球涂了新型材料？（2）水晶球O1 可在B 點(diǎn)一直穩(wěn)穩(wěn)地停留，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。（3）水晶球O2 只能在B 點(diǎn)停留很短的時(shí)間，簡要敘述其原理，分析其中所涉及的關(guān)鍵參數(shù)，以及各參數(shù)應(yīng)滿足的必要條件或關(guān)系。注：第四題解答中所用的參數(shù)都應(yīng)在第三、第四題中提及過。第25頁/共66頁解：第26頁/共66頁第27頁/共66頁第28頁/共66頁第29頁/共66頁注：本題也許有不同的答案，只要能解釋清楚，并且所需要的物體或條件在題目中都有交待，也可以給分。如果解答涉及的某些條件沒有出現(xiàn)在題目中，如考慮浮力、透明的繩子懸掛、在B處挖一個(gè)凹槽等等，算錯(cuò)誤。第30頁/共66頁第31頁/共66頁第32頁/共66頁第33頁/共66頁第34頁/共66頁第35頁/共66頁第36頁/共66頁第37頁/共66頁第38頁/共66頁第39頁/共66頁第40頁/共66頁第41頁/共66頁第42頁/共66頁第43頁/共66頁第44頁/共66頁第45頁/共66頁第46頁/共6