兩個自由度體系的自由振動

1、多自由度體系§4-1兩個自由度體系的自由振動多層房屋振動不等高排架振動簡化二多自由度體系(a)多層房星(b)計算簡圖圖39多質(zhì)點體系r剛度法(平衡方程)多自由度體系建立運動方程I柔度法(位移協(xié)調(diào))1.剛度法(d)R1 io 3(1無阻尼自由振動微分方程取質(zhì)量加1和加2作隔離體1慣性力-"耳和隔離體2.彈性力rx和r2根據(jù)達(dá)朗伯原理，列平衡方程廠加1 + “ =0(a)<m2y2 + r2=Q圖10-30c中，結(jié)構(gòu)所受的力"、廠2與結(jié)構(gòu)的位移必、丁2之間 滿足剛度方程。人二31+心2<(b)丫2 *2*1 + 際2$2%是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)(圖10-30d)

2、 代入式(b)塵仝A式(a),得：(4-1)J 加 1 耳+心 1 y (0+12(0 = 0 加2 % + 爲(wèi) 1X + k22 % (" = °廠兩個自由度無阻尼體系的自由振動微分方程(4-1)mJ (O + Si (t) + kny2 (0 = 0求解:假設(shè)兩個質(zhì)點為簡諧振動，則式(4-1)的解可設(shè):(c)IX (0 = Yx sin(s?Z + a) y2(0 = Y? sin(vt + a) 式(c)所示運動的特點：1) 在運動過程中，兩質(zhì)點具有相同的頻率和相同的相 位角，乙和嶺是位移幅值；2) 兩質(zhì)點的位移在數(shù)值上隨時間而變化，但二者比 值始終保持不變。二常數(shù)這

3、種結(jié)構(gòu)位移形狀保持不變的振動形式稱為主振型或 振型。式(C)代入式(4-1),得：J&iQ%)Z+£2 嶺=0(4-2)疋2上 +(七22 0%2)E 二。F1和環(huán)全為零的解答，則：D"耳&22=0 (4-3a)他 122 _ ® 加2式(43a)稱為頻率方程或特征方程，可求頻率。將式(4-3小展開：&i -)(k22 - co ) - 122i 二。(4-3b)h 1 | *22嚴(yán)I m2氣 k代11|傀222)2 _° 2 + '1伙22 -'12*21 Qmm2宀丄 '11*22 -'12*2

4、1(44)可見：具有兩個自由度的體系有兩個自振頻率。©其中最小的圓頻率，稱為第一圓頻率或基本圓頻率。 馬:第二圓頻率。111由自振圓頻率©和2,確定它們各自相應(yīng)的頻率。©代入2m1)yi + kl2Y2 = 0 2二2)乙二0伙 11 k2Y +伙22 Em(4-2)*122i kn-mx(4-5a)第一振型中質(zhì)點2的振幅這個比值確定的振動形式：第一圓頻率©相對應(yīng) 的振型，稱為第一振型或基本振型。(4-5b)求出的兩個振型分別如圖10-31b、C(b)第二主振型，第二頻率®第主振型，基木頻率®圖 10-31在一般情況下，兩個自由振動體

5、系的自由振動可 看作是兩個頻率及其主振型的組合振動，即，y (0 = 4乙sin(©f + 內(nèi))+sin(6?2/ + a2)y2(t) = AY2 sinp + Q) + 242E2 sin(砂+ 勺)I從以上的討論中，歸納:G)1(2)兩個(多個)自由度體系的自振頻率不止一個，其個數(shù)與自由度 的個數(shù)相等。自振頻率可由特征方程求出。S)1 (3)每個自振頻率有自己相應(yīng)的主振型。主振型就是多自由度體系 能夠按單自由度振動時所具有的特定形式。 1¥1(4)與單自由度系統(tǒng)相同，多自由度的自振頻率和主振型也是本身的 固有性質(zhì)。Cq頻率和主振型。分兩種情況討論:(1)當(dāng) =m,ki

6、 =k2=k 時,圖 10-32例圖10-32a所示兩層剛架、其橫梁為無限剛性。設(shè)質(zhì) 量集中在樓層上，第一、第二層的質(zhì)量分別為m、m20層 間側(cè)移剛度分別為lq、k即層間產(chǎn)生單位相對側(cè)移時候所 施加的力，如圖1032b所示。試求剛架水平振動時的自振解：由圖10-32c和d可求出結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)： kn =ki-k2 k2l = k2*12 = 一*2“22 = “2將剛度系數(shù)代入到 式（43b）,得：此時式（a）變?yōu)椋?k _ 6y2m）（Zc _ cni）-k2 =0由此求得:©2 =（3"）± = 0.38197 土2 mm亦=（3 + 潔）± = 2

7、.61803土2 mmk© = 0.61803m=1.61803km求主振型時，可由式（45a）和（45b）求出振幅比值，從 而畫出振型圖。 k _1Y2l 2-0.381971.618丫2|=1618第一主振型圖10 一 33乙一 k 廠 嶺 2 2k 2.61803k0.618(2)當(dāng) “ =nnt2也=nk：2 時,此時式(a)變?yōu)?+ l)k2 _ co1 nm?conTTi) = 0由此求得:如當(dāng)心9()時，Yu _ 1 Yn _1Y = 10 = 9在振動中引起巨大反響的現(xiàn)象, 稱為鞭稍效應(yīng)。代入式(4-5a)和(4-5b),可求出主振型:由此可知，當(dāng)頂部質(zhì)量和剛度 突然

8、變小時，頂部位移比下部 位移大很多。建筑結(jié)構(gòu)中，這 種因頂部質(zhì)量和剛度突然變小,2 柔度法思路：在自振運動中的任一時刻t ,質(zhì)量"、加2的位 移M）鼻應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時慣性力-噸e 、噸2（r） 作用下所產(chǎn)生的靜力位移。據(jù)此可列方程如下：X=一"月久加2%$2 力=一加1爲(wèi)1 一厲力竝(4-6)(u:m2Y2柔度系數(shù)（3）斗瀘一刃莎W1 /7>i(0（C）6)2" Y圖 1()34下面求微分方程（4七）的解。仍設(shè)解為如下形式:y(/)=乙 sin(d + &) y2(t) = Y2 sin(a)t + a)這里，假設(shè)多自由度體系按某一主振型象單自由度

9、體系那樣 作自由振動，乙和乙是兩質(zhì)點的振幅（圖1024c） 有式（a） 可知兩質(zhì)點的慣性力為：-mxyx(/) = -mxco2Y sin(血/ + a) -m2y2(t) = -m2a)2Y2 sin(a)t + a)（Q）3）代入式(4-6) / SY二S “乙）久+加2場）力122 2Y2（CD加必）心1 +9加2呂）22質(zhì)點慣性力的振幅(4-7)(4-7)主振型的位移幅值（乙、匕）Y = (co2mYi)31 + co2m1Y2)8n<2 2=co 加餡)§2+S 肌2丫2)§22主振型慣性力幅值（莎勺乙、弘匕） 作用下所引起的靜力位移。1 >、q 1&

10、quot;-2Yx +dnm2Y2 = 0kCD )/1 、爲(wèi)1"乙+力22加22£=0CD丿（C）/J1、0、12zX+P2W Hof 二 yJx + 912 J WHO I (， 0C'(c)dhfjP2Wf f I8'Ho52228 J P12J2 一JH 052加2心1加1WI &22皿2 2CD )A2 SXmA + 爲(wèi)2加2)免 + © Q22"® &2心1%2)= 0（久“ +爲(wèi)2加2）±（久加1 +522加2）2-4爲(wèi)2-12力21）加1加2（化）2CD =G)lCO= co2主振型(4

11、-9)(4-9)例42試求圖10-35a所示等截面簡支梁的自振頻率和主振型。設(shè)梁在三分點1和2處有兩個相等的集中質(zhì)量mmmf1X圖 l()35解：先求柔度系數(shù)。為此， 作網(wǎng)、必圖如圖1035b、 c所示。由圖乘法求得：11=22 =12=21 =4/3243E/7/3486E/然后代入式（4-8）,得:A =（硏1+禹2）加二15ml3486E/ =（41一42）加=ml3486EZ園b)，得從而求得兩個自振圓頻率:由式（49a.乙2_ 13.主振型的正交性現(xiàn)以圖1037所示體系的兩個主振型為例來說明o圖10-37a為軒主振型，頻 率為© ,振幅為（蛤、乙卩）其 值正好等于相應(yīng)慣性力

12、 刈人、©沁即所產(chǎn)生的靜位移。圖10-37b為筆二主振型，頻 率為力2，振幅為（乙2、込2）其 值正好等于相應(yīng)慣性力 （述必、 話f Q所產(chǎn)生的靜位移。上述兩種靜力平衡用功的互等定理，可得：（呦卑匕）片2 + （ 221 ）22 = （©甲并2 ）11 + （© hXll ）21加1X12 + 22122 = °加1X12 + 22122 = °（& 一&）（卑乙必2 +加2追1蛉2）=0加1X12 + 22122 = °§4-2兩個自由度體系在簡諧荷載下的強迫振動1.剛度法ffi 10-38所示兩個自由度體

13、系為例，在在動荷載下的振動方程:圖 1() 38辭+se+32(x6(4_10) 加2 % 0+31 (0 + 心2歹2 (0 二 Fp2 (0Ryi (0+ii % (0+為力=o (4) 加2 % (0 + 211(0 + k22y2 (0 二 0如果荷載是簡諧荷載，即：F/,1(r) = Fplsin'l(a)則在平穩(wěn)振動階段，各質(zhì)點也 作簡諧震動：X (0 =片 sin 9t y2 (t) = Y2 sin 0t(b)將式(a)和(b)代入(4-10),消去公因子sin循，得:&廠伊呻乙+燈匕1怠聲+伙22 -。2)場=Fp2(4-11)£>2 = -g

14、Fp + (&1 - 3mjFp2(4-12)IIIIII將式(4-11)的位移幅值代回到式，即得任意時刻t的位移。例4-3設(shè)例10-4中的圖10-32a所示剛架在底層橫梁上作用簡諧III荷載行sin引(圖10-39) 試畫出第一、二層橫梁的振幅片、Y2與荷載頻率之間的關(guān)系曲線。設(shè)叫卄眄 kkIII解：剛度系數(shù)為 紡=k +k弋=#=邁 k Jck荷載幅值為：Fp=Fp,Fp2“代入式(4-12)和式(411),得v _(k 3m)Fp'1 一 瓦(0Y _kFp2_K其中,Dq = & +k2 -0加猶 h）將式（d）和例4-1中的特征方程相比,mFPsnOt圖 I

15、()39(d)可知：Do = m24 3kmO2 +k = m2(O2 cc )(32 _喝)其中兩個頻率和冬已由例4-1求出:©2 = (3®III其中兩個頻率和冬已由例4-1求出:（-尹）因此式（C）可寫成:02、一 01丫'一 k(I- )(1 _ Tcoxco2Y-!©co?III其中兩個頻率和冬已由例4-1求出:III其中兩個頻率和冬已由例4-1求出:圖10-40所示為振幅參數(shù)£ * 之間的關(guān)系曲線。與荷載頻率參數(shù)III(b)10402.柔度法(a)IFpSinOf破1 t 聲127圖 10 42圖10-42a所示兩個自由度體系，受簡諧

16、荷載作用，在任一時 刻t,質(zhì)點1、2的位移和2，可以由體系慣性力-m.y-m.y.和動力荷載共同作用下的位移，通過疊加寫出（10-42b）X =（-加$1）41+（-加2%）$2 + 人1八迅分（413） % =（一加$1）爲(wèi)1 +（-加2夕2）爲(wèi)2 +人2卩sin分設(shè)平穩(wěn)振動階段的解為:yx(t) = Yxsm0t y2(t) = Y2 sin3t(a)將式（a）代入式（4-13）,消去公因子sin儲，得:(4-14)(加0劃一1)片 +m20232Y2 + A = 0 加儼為必+ (加2&彷22 - 1)匕+人2” =0由此可解得位移的幅值為:式中:(4-15)DlD2 =-1)m

17、2028nm0282X(加2&彷22 -1)(-Alp) m2026l2 (-A?”)(m202322 -1) (mfi2Sn -1) (-Alp) 加必21(A2p)(4-16)在求得位移幅值嶺、均后，可得到各質(zhì)點的位移和慣性力。位移：yx(t) = Yxsmet 1 旳二 Y2 sin °t慣性力：一加i»i =加sin&F= m202Y? sin Of因為位移、慣性力和動力荷載同時到幅值，動內(nèi)力也在振幅位 置達(dá)到幅值。動內(nèi)力幅值可以在各質(zhì)點的慣性力幅值和動力荷 載幅值共同作用下按靜力分析方法求得。如任一截面的彎矩幅 值，可由下式求出：Mn=MJl+M2

18、I2+MP厶、厶分別為質(zhì)點1、2慣性力幅值;M|、M2分別為單位慣性力厶二1、厶二1作用時，任一截面的彎矩值; Mp為動力荷載幅值靜力作用下同一截面的彎矩值。例44試求圖10-42af示體系的動位移和動彎矩的幅值圖。(1)例4-2中已經(jīng)求出柔度系數(shù)和基本頻率。(2)(3)hlp- H5.692二 2, 243E- 一 2 486£7 一ElElm一 3命豐圖<lrr宜4.2丑s紹詞爭4F = J f P A H a H =PL 一 p 243E V 486已 斗wzv d«d2“ 1F 一m&2 H mH11.661(S8&二 一)S92P5282522 1) (?) W20292(A2P )5292522 1)J02J二 1) (?)gy (A2P)9H0.6E =3.4154dohblHP6247F P ”001572卜EIF PHP01440FEl(4) 計算位移幅值，得:2 = 22?込 0.02516 空1 Do 0.6247 ElEIA = 21440 = 002306Do 0.624