第一章-有限差分法PPT課件

1、第1頁/共43頁 第2頁/共43頁 ( )()( )f xf xhf x0( )( )limxdff xfxdxx ( )()( )( )f xf xhf xfxxh第3頁/共43頁 ( )()( )dff xf xhf xdxxh( )( )()dff xf xf xhdxxh( )()()2dff xf xhf xhdxxh第4頁/共43頁 200001()()()()2!f xhf xhfxh fx200001()()()()2!f xhf xhfxh fx300002()()2()()3!f xhf xhhfxh fx第5頁/共43頁 20()/2!h fx302()/3!h fx22

2、211()( )( )()()2 ( )()xxxd fdfdfdxxdxdxf xhf xf xf xhhhhf xhf xf xhh前向差分前向差分第6頁/共43頁 (, , )( , , )uu xh y zu x y zxh222(, , )2 ( , , )(, , )uu xh y zu x y zu xh y zxh第7頁/共43頁22222( , )( , )x yF x yxy第8頁/共43頁 i-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h012342100120303()()O hxhO hxh22231011122000112!3!hhhxxx第9頁/共43頁 2

3、22103013132001()()()()2!hhhhxx 22/ x222313210hhhh 2210303101300131 313()()()()()hhxhhhh hh 2242024024240()()()hhyh h hh第10頁/共43頁 222103013132001()()()()2!hhhhxx 31hh21030310130222131 3130()()()()22()hhxhhhh hh 第11頁/共43頁21032202xh13hhh21,1,1,1,4ijiji ji ji ji jh F1,1,1,1,40ijiji ji ji j第12頁/共43頁 i-1i

4、jj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abL2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0,2,4)aibiii第13頁/共43頁 ababnn1313aaabbb2012341224 111baaKKh FKKK1a3b/abK12:()sBoundary n DD第14頁/共43頁 4a2134204aaaaaah F1342040bbbbb1a3b (0)aibiiii-1ijj+1j-1i+1013421h2h3h4h01234abLNM2b4a第15頁/共43頁 ababaaMaNbbMbNnni-1ijj+1j-1i+1013421abLN

5、M142322aaaMbbbN231422aaaNbbbM第16頁/共43頁 1a3b2b4a201423122()()4 111bbaaaKKh FKKK/abK第17頁/共43頁 第一類邊界條件的差分離散化第一類邊界條件的差分離散化 應(yīng)用應(yīng)用多元函數(shù)的泰勒公式多元函數(shù)的泰勒公式，結(jié)點結(jié)點1、3的位函數(shù)值和可通過的位函數(shù)值和可通過 表示為表示為以以h和和h1分別與以上兩式分別與以上兩式相乘且相加，削去一階相乘且相加，削去一階偏導(dǎo)項，偏導(dǎo)項，然后截斷與然后截斷與h的二次項，便得到關(guān)于結(jié)點的二次項，便得到關(guān)于結(jié)點0的二階偏導(dǎo)的二階偏導(dǎo)數(shù)的差分格式數(shù)的差分格式01342034 hD12 1h 2h

6、L02223101112200022231022000112!3!112!3!hhhxxxhhhxxx第18頁/共43頁 同理，在同理，在0結(jié)點處關(guān)于結(jié)點處關(guān)于y方向的二階偏導(dǎo)的差分格式方向的二階偏導(dǎo)的差分格式 代入給定的泊松方程，得到通常代入給定的泊松方程，得到通常第一類邊界條件第一類邊界條件的差分的差分格式格式 2111302110222hhhhxhhhh2222402220222hhhhyhhhh2123401111111(1)(1)112h F12/ ,/hhhh第19頁/共43頁 第三類邊界條件第三類邊界條件的差分離散化的差分離散化 第一種情況，當結(jié)點第一種情況，當結(jié)點剛好著落剛好著

7、落于邊界線于邊界線L上時，這還取決于邊上時，這還取決于邊界結(jié)點處的界結(jié)點處的外法線與網(wǎng)格線外法線與網(wǎng)格線重合，重合， 03 0 3 hDLnxy0301020( )( )f rfrh12( , )( , )Sf r tfr tn第20頁/共43頁 外法線與網(wǎng)格線不重合情況，邊界結(jié)點上的外向法向方外法線與網(wǎng)格線不重合情況，邊界結(jié)點上的外向法向方向與水平夾角為向與水平夾角為，其法向?qū)?shù)顯然是在，其法向?qū)?shù)顯然是在x和和y方向的導(dǎo)方向的導(dǎo)數(shù)在法向的數(shù)在法向的投影組合投影組合， 03 0 hDLn2 xy000302cossincossinnxyhh 300201020( )cossin( )f rf

8、rhh第21頁/共43頁 第二種情況，當結(jié)點不落于邊界線第二種情況，當結(jié)點不落于邊界線L上時，只需要上時，只需要引入引入于結(jié)點于結(jié)點0相關(guān)的邊界結(jié)點相關(guān)的邊界結(jié)點O，點的外方向，點的外方向n作為結(jié)點作為結(jié)點0處的處的“外方向外方向n”，且，且近似地認為近似地認為邊界條件中給定的函邊界條件中給定的函數(shù)和均在數(shù)和均在O點上的取值。這樣，此種情況下的點上的取值。這樣，此種情況下的第三類第三類邊界條件邊界條件的離散格式于式相似，的離散格式于式相似， o3 0 hDLn2 xyo300201020( )cossin( )f rf rhh第22頁/共43頁 第二類邊界條件第二類邊界條件的差分離散化的差分離

9、散化 第二類齊次邊界條件為第三類邊界條件的特殊情況，即。第二類齊次邊界條件為第三類邊界條件的特殊情況，即。我們這里討論最常見的一種情況我們這里討論最常見的一種情況 上面也是上面也是對稱邊界條件對稱邊界條件的離散公式的離散公式12( )( )0f rfr/0n 0134201234LhD20124124h F13第23頁/共43頁第24頁/共43頁離 散 化 場 域 （ 網(wǎng) 格 剖 分 ）電 磁 場 問 題離 散 化 方 程 （ 差 分 原 理 ）計 算 方 程 組 （ 迭 代 法 ）差 分 方 程 組 （ 代 數(shù) 方 程 組 ）離 散 解插 值 計 算 其 他 值 或 可 視 化 顯 示 結(jié)

10、果前 處 理數(shù) 據(jù) 計 算后 處 理第25頁/共43頁 i-1ijj+1j-1i+1(i,j)(i,j-1)(i,j+1)(i+1,j)(i-1,j)(i-1,j-1)(i-1,j+1)(i+1,j-1)(i+1,j+1)i increasej increase ( , )i j第26頁/共43頁21,11,1,2,1,121,1,1,1,21,11,1,2,1,1 44 i4 ijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jijiji ji ji ji jh Fh Fjh F ncrease21,11,1,121,1,2,1,1,1,21,1112,1,1, 44 4i ji

11、 ji ji ji ji jijiji jijiji jii jijiji jji jh Fh Fh F increase j 第27頁/共43頁 . 0 1 0 0 0 . 0 1 -4 1 0 . . . 0 1 0 . . 0 1 0 0 . . 0 1 -4 1 0 . . 0 0 1 0 . . 0 1 0 . . . 0 1 -4 1 0 . 0 0 0 1 0 . 1,11,1,1,1,11,11,1,1 ijijiji ji ji jijijij= . . . . . . . . . . . .21,121,21,12,12,2,121,121,21,1 ijijiji ji

12、ji jijijijh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fh Fiincreasej increasei*Ny+j+1i*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j(i+1)*Ny+j(i-1)*Ny+ji*Ny+j-1i*Ny+j+1(i+1)*Ny+j-1(i+1)*Ny+j+1(i-1)*Ny+j-1(i-1)*Ny+j+1第28頁/共43頁第29頁/共43頁 21,1,1,1,12,1,11,1,414ijiji ji ji ji jnnnnni jiji jiji ji jh Fh F第30頁/共43頁1112,1,11,1,14nnnnni jiji jiji ji jh F第

13、31頁/共43頁 1, nnni ji ji ji j 112,1,11,1,14nnnni jiji jiji ji jh F112,1,11,1,44nnnnnni jiji jiji ji ji jh F第32頁/共43頁21 sin()bL22122bLm第33頁/共43頁 134222xyxyxyhh Eeeee134222mmmmmmmxyxyxyhhHeeee134222zzxyxyAAAAAAyxhh BAeeee第34頁/共43頁SKd PS1( )naviiKPi S 1( )naviiKPi SPUU第35頁/共43頁 Dxy0 a b 11020第36頁/共43頁 222200000000 ( , )010 xyx ay bx ay byx ax yDxy 第37頁/共43頁 Dij0 a b11020hh1,1,1,1,40ijiji ji ji j第38頁/共43頁 111,1,11,1,44nnnnnnni ji jiji jiji ji j0,0,00 ,011,0 10qpqppqand第39頁/共43頁 第40頁/共43頁 設(shè) 定 邊 值和 誤 差設(shè)