特征值問題的性質(zhì)與估計

1、第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法第第9章章 矩陣特征值問題的數(shù)值解法矩陣特征值問題的數(shù)值解法教學(xué)目的教學(xué)目的 1. 1. 掌握求矩陣特征值與特征向量的冪法及反冪法；掌握求矩陣特征值與特征向量的冪法及反冪法； 2. 2. 掌握求矩陣特征值的掌握求矩陣特征值的QRQR方法。方法。教學(xué)重點及難點教學(xué)重點及難點 重點重點是求矩陣特征值與特征向量的冪法及反是求矩陣特征值與特征向量的冪法及反冪法求矩陣特征值的冪法求矩陣特征值的QRQR方法；方法； 難點難點是求矩陣特征值的帶原點位移的是求矩陣特征值的帶原點位移的QRQR方法。方法。第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法9.2 特征值問題的性質(zhì)與估計特征值問題

2、的性質(zhì)與估計 工程實踐中有多種振動問題，如橋工程實踐中有多種振動問題，如橋梁或建筑物的振動，機械機件、飛機機梁或建筑物的振動，機械機件、飛機機翼的振動，工程實踐中有多種振動問題翼的振動，工程實踐中有多種振動問題，如橋梁或建筑物的振動，機械機件、，如橋梁或建筑物的振動，機械機件、飛機機翼的振動，及一些穩(wěn)定性分析和飛機機翼的振動，及一些穩(wěn)定性分析和相關(guān)分析可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征相關(guān)分析可轉(zhuǎn)化為求矩陣特征值與特征向量的問題。向量的問題。以下以下是一些準(zhǔn)備知識是一些準(zhǔn)備知識第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法nnnnnnnnijaaaaaaaaaa212222111211)det()( ,)( AI

3、A則稱已知定義1定義1.|) 1()( 12211特征多項式特征多項式的為AAaaannnnn.)( .(1.1) 0)det()( 的所有特征值的集合表示的的根稱為的特征方程AAAAIA特征值特征值第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法.(1.2) 0)( ,特征值特征向量特征向量的的對應(yīng)于稱為的非零解相應(yīng)的齊次方程組的為設(shè)AxxAIA 但高次多項式求根精度低但高次多項式求根精度低 , 一般不作為求解方法一般不作為求解方法. 目前的方目前的方法是針對矩陣不同的特點給出不同的有效方法法是針對矩陣不同的特點給出不同的有效方法.其中的特征值及特征向量，求：例A 1210131012A第九章 特征值與特

4、征向量的數(shù)值求法32()d e t () 71 48 0AIA解： 的特征多項式421 321的特征值為：求得A機器機器 求解求解1231111 ;0;2111Axxx的 特 征 向 量 ：第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法.1 ,10 )4( , )3()( )( , )2()0( (1) , 11xxAAAxxAAxxIAIAAxA即的特征值為且非奇異，則設(shè)；即的特征值是；即的特征值為；常數(shù)的特征值是向量，則是對應(yīng)的非零特征的特征值是矩陣設(shè)kkkknnppppcccR定理1定理1第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法1 (1, ), (1) tr( ),()11(2) det( ).iiiin

5、innnaAiiAAA若是矩陣 的特征值則稱為 的跡定定理理2 2).()( , 3AAATnnR則設(shè)定理定理. , 虧損矩陣虧損矩陣定義2定義2為，則稱個數(shù)少于線性無關(guān)的特征向量的且其對應(yīng)的重特征值有一個如果設(shè)AAAkkRnn 一個虧損矩陣是一個沒有足夠特征向量的矩陣，一個虧損矩陣是一個沒有足夠特征向量的矩陣，虧損矩陣在理論與計算上存在巨大的困難。虧損矩陣在理論與計算上存在巨大的困難。第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法. )()( , , 122211211miiiiimmmmAAAAAAAAAAA則均為方陣其中每個對角塊為分塊上三角陣設(shè)定理4定理4. , )2(; ) 1 (, , 1的特

6、征向量是則的特征向量是若有相同的特征值與則使非奇異即為相似矩陣與若APyByBAPPPBABA定理5定理5第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法., ,)( )2(. 1 2121211線性無關(guān)對應(yīng)的特征向量則個不同的特征值有若個線性無關(guān)的特征向量具有的充要條件是使非奇異矩陣即可對角化，）（mmnnnnnxxxnmmRnRAAAPPPA定理6定理6第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法則為對稱矩陣設(shè)對稱矩陣的正交約化, )7(nnRA定理定理；個線性無關(guān)的特征向量有的特征值均為實數(shù)；nAA )2( (1).)(,), 2 , 1( )3(21211的特征向量為對應(yīng)于向量的列而的特征值為且，使得存在正交

7、矩陣jjnin,niuuuuPAAPPP第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法,)(nnijaA 稱為以稱為以aii為圓心為圓心, ,以以ri為半徑的復(fù)平面上一個為半徑的復(fù)平面上一個定義定義3 3 設(shè)設(shè)其其中中集集合合,|CzrazzDiiii ), 2 , 1(|,|1niarnijjiji 圓盤圓盤。定理定理8 8 ( (蓋爾圓盤定理）蓋爾圓盤定理）,)()1(nnijaA 設(shè)設(shè)則則A的每一個特征值必屬于某一個圓盤之中的每一個特征值必屬于某一個圓盤之中, ,), 2 , 1(|,|1nianijjij iiira | )3 .1(即即A的所有特征值都在復(fù)平面上的所有特征值都在復(fù)平面上n個圓盤個

8、圓盤(1.3)(1.3)的并集中。的并集中。第一圓盤定理第一圓盤定理對于矩陣特征值界如何估計？對于矩陣特征值界如何估計？第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法第二圓盤定理第二圓盤定理(2) (2) 如果如果A的的m個圓盤組成并集個圓盤組成并集S(S(連通的連通的) )且與余下的且與余下的n- -m個個圓盤是分離的圓盤是分離的( (即不相交即不相交) )，則，則S內(nèi)恰包含內(nèi)恰包含m個個A的特征值。特的特征值。特別，當(dāng)別，當(dāng)S是一是一個圓盤且與其他的個圓盤且與其他的n-1-1個圓盤是分離的個圓盤是分離的( (即即S為孤為孤立圓盤立圓盤) )，則，則S中精確包含中精確包含一個特征值。一個特征值。第九章

9、特征值與特征向量的數(shù)值求法即為對應(yīng)的特征向量的任意一個特征值為設(shè)證,0,:xA。0)(xAI, 0,max,),.,(21ikiTnxxxxxxx則記。jijnijjiiixaxa, 1)(有由于),( 1/ijxxij./ijijijijijiiaxxaa.定理得證屬于說明iD分析分析 (1)(1)只要證明只要證明iiira | )3 .1( 定理的證明，不僅指出了A的每一個特征值必屬于A的一個圓盤中，而且指出，若一個特征向量的第i個分量最大，則對應(yīng)的特征值一定屬于第i個圓盤中 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法例例1 1 設(shè)有設(shè)有試估計試估計A及及A-1-1的特征值的范圍。的特征值的范圍。

10、nnA 4114114114解：解：因為因為A為對稱陣，所以為對稱陣，所以A的特征值均為實數(shù)。的特征值均為實數(shù)。由蓋爾圓盤定理知由蓋爾圓盤定理知A的特征值位于下述某個圓盤中，即的特征值位于下述某個圓盤中，即, 1|4| 2|4| ?；蚧?2 且且A-1-1的特征值的特征值。2161 第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法410101.1114EAxample估計矩陣的特征值的范圍A解： 有三個圓盤11111: |4|1njjjDra33313: |4 |2njjjDra22212: |2njjjDra由上述定理結(jié)論可知A的三個特征值位于三個圓盤的并集中， -4 0 1 4第九章 特征值與特征向量的

11、數(shù)值求法所以D1內(nèi)恰包含A的一個實特征值1352323.ADD的其它兩個特征值，包含在中由于D1是孤立的所以，2323DD第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法問題：問題：如何進一步估計上面兩個特征值分別在什么如何進一步估計上面兩個特征值分別在什么范圍？范圍？解決途徑：解決途徑：若能夠改變圓盤的半徑，則有可能將圓若能夠改變圓盤的半徑，則有可能將圓盤進行分離，從而可進一步分析特征值的范圍盤進行分離，從而可進一步分析特征值的范圍. .事實上，利用相似矩陣的性質(zhì)，可使事實上，利用相似矩陣的性質(zhì)，可使A A的某些圓的某些圓盤半徑及連通性發(fā)生變化盤半徑及連通性發(fā)生變化. .第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法

12、具體實施具體實施?11121(1,2, ) ininD1適當(dāng)選取作=-1ijjin naAD AD對 作相似變換,第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法.即 可 解 決 上 述 提 出 的 問 題()ijjijn nin naAaB即,AB而與有 相 同 的 特 征 值第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法1110.9D若 選 取作相似變換114101010/90.90.94AAD AD對上邊同一例題對上邊同一例題1: |4|1E2:|1 9 / 9E3:|4 |1 .8E第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法123EEE 顯 然135 ;219 / 919 / 9;35 .82 .2 第九章 特征值與特

13、征向量的數(shù)值求法.)()(),()( , , 商商瑞雷瑞雷定義4定義4RayleighRRnn的為關(guān)于向量稱對于任一非零向量階實對稱陣是設(shè)xxx,xAxxxA.)(),(min 3,)(),(max 2 ,)(),( 1 . , 11111xx,xAxxx,xAxxxx,xAxAAxxxx00nnRnRnnnRn）（）（對于任何非零向量）（則的特征值為階實對稱陣為設(shè)定理定理第九章 特征值與特征向量的數(shù)值求法 從而1成立結(jié)論1說明Rayleigh商必位于 和 之間 n1證明 只證1，0 x 設(shè)，則有表達(dá)式,1iinixx,0),(21inixx。2112121),(iniiiniininxAx.,*組組征征向向量量也也構(gòu)構(gòu)成成正正交交向向量量其其特特征征值值都都是是實實數(shù)數(shù)，特特陣陣”，即即為為應(yīng)應(yīng)改改為為為為對對稱稱陣陣但但應(yīng)應(yīng)注注意意亦亦有有類類似似性性質(zhì)質(zhì)對對于于復(fù)復(fù)矩矩陣陣AAHermi