相似三角形最全講義教師版(共21頁(yè))

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上相似三角形基本知識(shí) 知識(shí)點(diǎn)一：放縮與相似形1. 圖形的放大或縮小，稱為圖形的放縮運(yùn)動(dòng)。2. 把形狀相同的兩個(gè)圖形說(shuō)成是相似的圖形，或者就說(shuō)是相似性。注意：相似圖形強(qiáng)調(diào)圖形形狀相同，與它們的位置、顏色、大小無(wú)關(guān)。 相似圖形不僅僅指平面圖形，也包括立體圖形相似的情況。 我們可以這樣理解相似形：兩個(gè)圖形相似，其中一個(gè)圖形可以看作是由另一個(gè)圖形放大或縮小得到的 若兩個(gè)圖形形狀與大小都相同，這時(shí)是相似圖形的一種特例全等形3. 相似多邊形的性質(zhì)：如果兩個(gè)多邊形是相似形，那么這兩個(gè)多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度成比例。注意：當(dāng)兩個(gè)相似的多邊形是全等形時(shí)，他們的對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)度的比值是

2、1.知識(shí)點(diǎn)二：比例線段有關(guān)概念及性質(zhì)（1）有關(guān)概念1、比：選用同一長(zhǎng)度單位量得兩條線段。a、b的長(zhǎng)度分別是m、n，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a：bm：n（或）2、比的前項(xiàng)，比的后項(xiàng)：兩條線段的比a：b中。a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng)。說(shuō)明：求兩條線段的比時(shí)，對(duì)這兩條線段要用同一單位長(zhǎng)度。3、比例：兩個(gè)比相等的式子叫做比例，如4、比例外項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中a、d叫做比例外項(xiàng)。5、比例內(nèi)項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中b、c叫做比例內(nèi)項(xiàng)。6、第四比例項(xiàng)：在比例（或a：bc：d）中，d叫a、b、c的第四比例項(xiàng)。7、比例中項(xiàng)：如果比例中兩個(gè)比例內(nèi)項(xiàng)相等，即比例為（或a:bb:c時(shí)，我們把b叫做

3、a和d的比例中項(xiàng)。8.比例線段：對(duì)于四條線段a、b、c、d，如果其中兩條線段的長(zhǎng)度的比與另兩條線段的長(zhǎng)度的比相等，即（或a：b=c：d），那么，這四條線段叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段。（注意：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一，單位不統(tǒng)一應(yīng)先化成同一單位）（2）比例性質(zhì)1.基本性質(zhì): （兩外項(xiàng)的積等于兩內(nèi)項(xiàng)積）2.反比性質(zhì)： (把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)3.更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：4.合比性質(zhì)：（分子加（減）分母,分母不變）注意：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如： 5.等比性質(zhì)：（分子分母分別相加，比值不變.） 如果，那么注意：

4、(1)此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)法” ，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算，變形中一種常用方法 (2)應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零 (3)可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成立知識(shí)點(diǎn)三：黃金分割1） 定義：在線段AB上，點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC（ACBC），如果，即AC2=AB×BC，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割，點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，AC與AB的比叫做黃金比。其中0.618。2）黃金分割的幾何作圖：已知：線段AB.求作：點(diǎn)C使C是線段AB的黃金分割點(diǎn).作法：過(guò)點(diǎn)B作BDAB，使；連結(jié)AD，在DA上截取DE=DB；在AB上截取AC

5、=AE，則點(diǎn)C就是所求作的線段AB的黃金分割點(diǎn).黃金分割的比值為：.（只要求記?。?）矩形中，如果寬與長(zhǎng)的比是黃金比，這個(gè)矩形叫做黃金矩形。知識(shí)點(diǎn)四：平行線分線段成比例定理(一)平行線分線段成比例定理1.平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對(duì)應(yīng)線段成比.例. 已知l1l2l3, A D l1 B E l2 C F l3可得2.推論:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例. （1） 是“A”字型（2） 是“8”字型 經(jīng)?？迹P(guān)鍵在于找由DEBC可得：.此推論較原定理應(yīng)用更加廣泛,條件是平行.3.推論的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)

6、線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊. (即利用比例式證平行線)4.定理:平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例. 5.平行線等分線段定理：三條平行線截兩條直線,如果在一條直線上截得的線段相等，難么在另一條直線上截得的線段也相等。 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理定理：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所得的線段對(duì)應(yīng)成比例。幾何語(yǔ)言 ABE中BDCE 簡(jiǎn)記： 歸納： 和推廣：類似地還可以得到和 三角形一邊的平行線性質(zhì)定理推論 平行于三角形一邊的直線截其他兩邊所在的直線，截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對(duì)應(yīng)成比例.三角形一邊的平行

7、線的判定定理三角形一邊平行線判定定理 如果一條直線截三角形的兩邊所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.三角形一邊的平行線判定定理推論 如果一條直線截三角形兩邊的延長(zhǎng)線（這兩邊的延長(zhǎng)線在第三邊的同側(cè)）所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，那么這條直線平行于三角形的第三邊.平行線分線段成比例定理1平行線分線段成比例定理：兩條直線被三條平行的直線所截，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.用符號(hào)語(yǔ)言表示：ADBECF,.2平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行的直線所截，如果在一直線上所截得的線段相等，那么在另一直線上所截得的線段也相等.用符號(hào)語(yǔ)言表示：. 重心定義：三角形三條中線相交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的

8、重心.重心的性質(zhì)：三角形的重心到一個(gè)頂點(diǎn)的距離，等于它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的兩倍.知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形1、 相似三角形1）定義：如果兩個(gè)三角形中，三角對(duì)應(yīng)相等，三邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形叫做相似三角形。幾種特殊三角形的相似關(guān)系：兩個(gè)全等三角形一定相似。兩個(gè)等腰直角三角形一定相似。兩個(gè)等邊三角形一定相似。兩個(gè)直角三角形和兩個(gè)等腰三角形不一定相似。補(bǔ)充：對(duì)于多邊形而言，所有圓相似；所有正多邊形相似（如正四邊形、正五邊形等等）；2） 性質(zhì)：兩個(gè)相似三角形中，對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例。3） 相似比：兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比，叫做這兩個(gè)三角形的相似比。 如ABC與DEF相似，記作ABC DEF。相似

9、比為k。4）判定：定義法：對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似。三角形相似的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似。 三角形相似的判定定理：判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似(此定理用的最多)判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊和另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似直角三角

10、形相似判定定理:.斜邊與一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩直角三角形相似。.直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似，并且分成的兩個(gè)直角三角形也相似。 補(bǔ)充一：直角三角形中的相似問(wèn)題：斜邊的高分直角三角形所成的兩個(gè)直角三角形與原直角三角形相似.射影定理：CD²=AD·BD， AC²=AD·AB，BC²=BD·BA（在直角三角形的計(jì)算和證明中有廣泛的應(yīng)用）.補(bǔ)充二：三角形相似的判定定理推論推論一：頂角或底角相等的兩個(gè)等腰三角形相似。 推論二：腰和底對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)等腰三角形相似。 推論三：有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似。

11、推論四：直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形都相似。 推論五：如果一個(gè)三角形的兩邊和其中一邊上的中線與另一個(gè)三角形的對(duì)應(yīng)部分成比例，那么這兩個(gè)三角形相似。相似三角形的性質(zhì) 相似三角形對(duì)應(yīng)角相等、對(duì)應(yīng)邊成比例. 相似三角形對(duì)應(yīng)高、對(duì)應(yīng)角平分線、對(duì)應(yīng)中線、周長(zhǎng)的比都等于相似比(對(duì)應(yīng)邊的比). 相似三角形對(duì)應(yīng)面積的比等于相似比的平方.2、 相似的應(yīng)用：位似1）定義：如果兩個(gè)多邊形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形，這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比。需注意：位似是一種具有位置關(guān)系的相似，所以兩個(gè)圖形是位似圖形，必定是相似圖形，而相似圖形不

12、一定是位似圖形。兩個(gè)位似圖形的位似中心只有一個(gè)。兩個(gè)位似圖形可能位于位似中心的兩側(cè)，也可能位于位似中心的一側(cè)。位似比就是相似比。2）性質(zhì)：位似圖形首先是相似圖形，所以它具有相似圖形的一切性質(zhì)。位似圖形是一種特殊的相似圖形，它又具有特殊的性質(zhì)，位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離等于位似比（相似比）。每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線，不經(jīng)過(guò)位似中心的對(duì)應(yīng)線段平行。鞏固練習(xí)：典型例題例1、.弦AB和CD相交于o內(nèi)一點(diǎn)P,求證:PA·PB=PC·PD例2：如圖，ABC中，AD是BAC的平分線，AD的垂直平分線交AD于E,交BC的延長(zhǎng)線于F求證： ABF CAF例3、如圖：在Rt

13、ABC中， ABC=900，BDAC于D，若 AB=6 ；AD=2； 則AC= ；BD= ；BC= ；例4、如圖：在Rt ABC中， ABC=900，BDAC于D ，若E是BC中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線交BA的延長(zhǎng)線于F，求證：AB : AC=DF : BF ABDC例5.如圖：小明想測(cè)量一顆大樹AB的高度，發(fā)現(xiàn)樹的影子恰好落在土坡的坡面CD和地面CB上，測(cè)得CD=4m,BC=10m，CD與地面成30度角，且測(cè)得1米竹桿的影子長(zhǎng)為2米，那么樹的高度是多少？針對(duì)性練習(xí)1、 判斷所有的等腰三角形都相似 （ ）所有的直角三角形都相似 （ ）所有的等邊三角形都相似 （ ）所有的等腰直角三角形都相似 （ ）2、

14、t ABC的斜邊AB上有一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合 ），過(guò)點(diǎn)作直線截ABC，使截得的三角形與ABC相似，則滿足這樣條件的直線共有多少條，請(qǐng)你畫出來(lái)。3.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為1:9,則它們對(duì)應(yīng)邊的比為 ；對(duì)應(yīng)高的比為 。周長(zhǎng)的比為 。4.如果兩個(gè)相似三角形的面積之比為2:7,較大三角形一邊上的高為 ，則較小三角形對(duì)應(yīng)邊上的高為 。10.如圖，小華在晚上由路燈A走向路燈B，當(dāng)他走到點(diǎn)P時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身后影子的頂部剛好接觸到路燈A的底部，當(dāng)他向前再步行12m到達(dá)點(diǎn)Q時(shí)，發(fā)現(xiàn)他身前影子的頂部剛好接觸到路燈B的底部，已知小華的身高是1.60m，兩個(gè)路燈的高度都是9.6m，設(shè)AP =x(m)。(1)求

15、兩路燈之間的距離；(2)當(dāng)小華走到路燈B時(shí)，他在路燈下的影子是多少？常見的相似三角形小結(jié)：二、鞏固練習(xí)：1、有一張比例尺為1 4000的地圖上，一塊多邊形地區(qū)的周長(zhǎng)是60cm，面積是250cm2，則這個(gè)地區(qū)的實(shí)際周長(zhǎng)是 m，面積是 m22、 有一個(gè)三角形的邊長(zhǎng)為3，4，5，另一個(gè)和它相似的三角形的最小邊長(zhǎng)為7，則另一個(gè)三角形的周長(zhǎng)為 ，面積是 。3、兩個(gè)相似三角形的對(duì)應(yīng)角平分線的長(zhǎng)分別為10cm和20cm，若它們的周長(zhǎng)的差是60cm，則較大的三角形的周長(zhǎng)是 ，若它們的面積之和為260cm2，則較小的三角形的面積為 cm24、照相機(jī)鏡頭的取景框長(zhǎng)16毫米。為了風(fēng)景照的視覺效果最好，人像應(yīng)在取景框

16、長(zhǎng)的黃金分割點(diǎn)處。如圖，要拍左側(cè)的風(fēng)景，人站在右側(cè)，則人像應(yīng)距左邊框_ _毫米。5、如圖，若ABC的中線AD和中線BE交于點(diǎn)G，ABG的面積如圖，若ABC的中線AD和中線BE交于點(diǎn)G，ABG的面積為4，ABC的面積為_。6、如圖，矩形ABCD中，AEBD于E，若BE=4，DE=9,則矩形的面積是 。7、 下列各組的兩個(gè)圖形，一定相似的是（ ）A、 兩條對(duì)角線分別對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)平行四邊形；B、有一個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)菱形；C、 等腰梯形的中位線把它分成的兩個(gè)等腰梯形；D、對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)多邊形。9、如圖，在平行四邊形ABCD中，已知AE交BC于點(diǎn)E，交BD于點(diǎn)F，且BE2=EF·EA

17、。求證：AB2=BF·BD。10、如圖，在ABC中，已知EFAC，D是BC上一點(diǎn)，連接AD，則ABD與BEF的面積相等。求證：BE2=BD·BC。11、如圖，由邊長(zhǎng)為1的25個(gè)小正方形組成的正方形網(wǎng)格BCA上有一個(gè)ABC；在網(wǎng)格上畫出一個(gè)與ABC相似且面積最大的A1B1C1，使它的三個(gè)頂點(diǎn)都落在小正方形的頂點(diǎn)上，求A1B1C1的最大面積。三、課后練習(xí)1、如果ABCABC，相似比為k (k1)，則k的值是（ ）AA：ABAB：AB CB：BDBC：BC2、若ABCABC，A=40°，C=110°，則B等于（ ）A30°B50° C40&

18、#176;D70°3、三角形三邊之比3：5：7，與它相似的三角形最長(zhǎng)邊是21cm，另兩邊之和是（ ）A15cmB18cm C21cmD24cm4、如圖ABCDEF，則圖中相似三角形的對(duì)數(shù)為（ ）A1對(duì)B2對(duì) C3對(duì)D4對(duì)5、ABCA1B1C1，相似比為2：3，A1B1C1A2B2C2，相似比為5：4，則ABC與A2B2C2的相似比為（ ）AB CD6、在比例尺1：10000的地圖上，相距2cm的兩地的實(shí)際距離是（ ）A200cmB200dm C200mD200km7、已知線段a=10，線段b是線段a上黃金分割的較長(zhǎng)部分，則線段b的長(zhǎng)是（ ）AB CD8、若則下列各式中不正確的是（ ）

19、AB CD9、已知ABC中，D、E分別在AB、AC上，且AE=1.2，EC=0.8，AD=1.5，DB=1，則下列式子正確的是（ ）AB CD10、如圖：在ABC中，DEAC，則DE：AC=（ ）A8：3B3：8 C8：5D5：811、計(jì)算（1）若求的值.（2）已知：且2ab3c=21，求a，b，c的值.12、在等邊ABC中，P是BC上一點(diǎn)，AP的垂直平分線分別交AB、AC于M、N，求證：MBPPCN.相似三角形經(jīng)典大題解析1.如圖，已知直線與直線相交于點(diǎn)分別交軸于兩點(diǎn)矩形的頂點(diǎn)分別在直線上，頂點(diǎn)都在軸上，且點(diǎn)與點(diǎn)重合（1）求的面積；（2）求矩形的邊與的長(zhǎng)；（3）若矩形從原點(diǎn)出發(fā)，沿軸的反方向

20、以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度平移，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為秒，矩形與重疊部分的面積為，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)的的取值范圍ADBEOCFxyy（G）【答案】（1）解：由得點(diǎn)坐標(biāo)為由得點(diǎn)坐標(biāo)為由解得點(diǎn)的坐標(biāo)為 （2）解：點(diǎn)在上且 點(diǎn)坐標(biāo)為又點(diǎn)在上且點(diǎn)坐標(biāo)為 （3）解法一：當(dāng)時(shí)，如圖1，矩形與重疊部分為五邊形（時(shí)，為四邊形）過(guò)作于，則ADBEORFxyyM（圖3）GCADBEOCFxyyG（圖1）RMADBEOCFxyyG（圖2）RM即即當(dāng)時(shí)，如圖2，為梯形面積，G（8t,0）GR=,當(dāng)時(shí)，如圖3,為三角形面積，2如圖，矩形中，厘米，厘米（）動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，分別沿，運(yùn)動(dòng)，速度是厘米秒過(guò)作直線垂直于，分別交

21、，于當(dāng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（1）若厘米，秒，則_厘米；（2）若厘米，求時(shí)間，使，并求出它們的相似比；（3）若在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形與梯形的面積相等，求的取值范圍；DQCPNBMADQCPNBMA（4）是否存在這樣的矩形：在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，存在某時(shí)刻使梯形，梯形，梯形的面積都相等？若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 【答案】解： （1），（2），使，相似比為（3），即，當(dāng)梯形與梯形的面積相等，即化簡(jiǎn)得，則，（4）時(shí)梯形與梯形的面積相等梯形的面積與梯形的面積相等即可，則，把代入，解之得，所以所以，存在，當(dāng)時(shí)梯形與梯形的面積、梯形的面積相等3.如圖，已知ABC是邊長(zhǎng)為6

22、cm的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從A、B兩點(diǎn)出發(fā)，分別沿AB、BC勻速運(yùn)動(dòng)，其中點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的速度是1cm/s，點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)的速度是2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，P、Q兩點(diǎn)都停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s），解答下列問(wèn)題：（1）當(dāng)t2時(shí)，判斷BPQ的形狀，并說(shuō)明理由；（2）設(shè)BPQ的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）作QR/BA交AC于點(diǎn)R，連結(jié)PR，當(dāng)t為何值時(shí)，APRPRQ？【答案】 解：(1)BPQ是等邊三角形,當(dāng)t=2時(shí),AP=2×1=2,BQ=2×2=4,所以BP=AB-AP=6-2=4,所以BQ=BP.又因?yàn)锽=600,所以BPQ是等邊三角形.(2)過(guò)Q作Q

23、EAB,垂足為E,由QB=2y,得QE=2t·sin600=t,由AP=t,得PB=6-t,所以SBPQ=×BP×QE=(6-t)×t=t2+3t；(3)因?yàn)镼RBA,所以QRC=A=600，RQC=B=600，又因?yàn)镃=600,所以QRC是等邊三角形,所以QR=RC=QC=6-2t.因?yàn)锽E=BQ·cos600=×2t=t,所以EP=AB-AP-BE=6-t-t=6-2t,所以EPQR,EP=QR,所以四邊形EPRQ是平行四邊形,所以PR=EQ=t,又因?yàn)镻EQ=900,所以APR=PRQ=900.因?yàn)锳PRPRQ,所以QPR=A=600,所以tan600=,即,所以t=,所以當(dāng)t=時(shí), APRPRQ 4在直角梯形OABC中，CBOA，COA90º，CB3，OA6，BA3分別以O(shè)A、OC邊所在直線為x軸、y軸建立如圖1所示的平面直角坐標(biāo)系（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）已知D、E分別為線段OC、OB上的點(diǎn)，OD5，OE2EB