第十七章勾股定理教學(xué)設(shè)計

1、第十七章 勾股定理17.1 勾股定理（ 1）一、教學(xué)內(nèi)容及分析（一）教學(xué)內(nèi)容勾股定理的探究、證明及簡單應(yīng)用 。（二）內(nèi)容分析本節(jié)課的內(nèi)容勾股定理， 指的是：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為 a、 b，斜邊長為 c，那么理解他的關(guān)鍵是直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系在直角三角形中，已知任意兩邊長，就可以求出第三邊長學(xué)生已經(jīng)學(xué)過 直角三角形的性質(zhì)。 本節(jié)課的內(nèi)容勾股定理是從特殊的等腰直角三角形出發(fā)， 到 網(wǎng)格中的直角三角形，再到一般的直角三角形，體現(xiàn)了從特殊到一般的探探索、 發(fā)現(xiàn)和證明的過程 證明勾股定理的關(guān)鍵是利用割補法求以斜邊為邊長的正方形 的面積，教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生通過探索去發(fā)現(xiàn)圖形的性質(zhì)，

2、提出一般的猜想， 并獲得定理的證明。 基于以上分析， 確定本節(jié)課的教學(xué)重點： 探索并證明勾股定 理、教學(xué)目標(biāo)及分析一）教學(xué)目標(biāo)1經(jīng)歷勾股定理的探究過程 了解關(guān)于勾股定理的文化歷史背景， 通過對我 國古代研究勾股定理的成就的介紹，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感2. 能用勾股定理解決一些簡單問題（二）目標(biāo)分析（ 1）學(xué)生通過觀察直角三角形的三邊為邊長的正方形面積之間的關(guān)系， 歸納 并合理地用數(shù)學(xué)語言表示勾股定理的結(jié)論 理解趙爽弦圖的意義及其證明勾股定 理的思路， 能通過割補法構(gòu)造圖形證明勾股定理 了解勾股定理相關(guān)的史料， 知 道我國古代在研究勾股定理上的杰出成就（ 2）學(xué)生能運用勾股定理進(jìn)行簡單的計算， 關(guān)

3、鍵是已知直角三角形的兩邊長 能求第三條邊的長度三、問題診斷分析勾股定理是反映直角三角形三邊關(guān)系的一個特殊的結(jié)論 在正方形網(wǎng)格中比 較容易發(fā)現(xiàn)以等腰直角三角形三邊為邊長的正方形的面積關(guān)系， 進(jìn)而得出三邊之 間的關(guān)系 但要從等腰直角三角形過渡到網(wǎng)格中的一般直角三角形， 提出合理的 猜想，學(xué)生有較大困難 學(xué)生第一次嘗試用構(gòu)造圖形的方法來證明定理存在較大 的困難，解決問題的關(guān)鍵是要想到用合理的割補方法求以斜邊為邊的正方形的面 積因此，在教學(xué)中需要先引導(dǎo)學(xué)生觀察網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系， 然后 思考沒有網(wǎng)格背景下的正方形的面積關(guān)系，再將這種關(guān)系表示成邊長之間的關(guān) 系，這有利于學(xué)生自然合理地發(fā)現(xiàn)和證明

4、勾股定理 本節(jié)課的教學(xué)難點是： 勾股定理的探究和證明四、教學(xué)支持條件 在本節(jié)課的教學(xué)中 , 準(zhǔn)備使用多媒體教學(xué) . 因為使用 PPT可以快速的展示出 學(xué)生所要思考的問題及例題等 ,從而節(jié)省時間 , 給學(xué)生更多時間思考本節(jié)課的內(nèi) 容.五、教學(xué)過程問題一: 什么是勾股定理？設(shè)計意圖：通過此問題讓學(xué)生清楚本節(jié)課的重點就是勾股定理， 并明白勾股定理： 如果直角三角形兩直角邊分別為 a，b，斜邊為 c，那么 a2 b2 c2 ，即直角三 角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 .問題 1：填表：若小方格的邊長為 1. 并思考：正方形 A、 B、C的面積有什么關(guān) 系？師生活動： 讓學(xué)生填完表格后， 把每個小正

5、方形的面積用字母表示出來， 并讓學(xué) 生觀察其中的關(guān)系。設(shè)計意圖： 從最特殊的直角三角形入手， 通過觀察正方形面積關(guān)系得到三邊關(guān)系， 對等腰直 角三角形邊長關(guān)系進(jìn)行初步的一般化問題 2：猜想 a、b、c 之間的關(guān)系？ 通過演算，學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)三邊的關(guān)系。問題 3：任意三邊的直角三角形也成立嗎？請驗證。設(shè)計意圖 ：從網(wǎng)格驗證到脫離網(wǎng)格，通過割補構(gòu)造圖形和計算推導(dǎo)出一般結(jié)論 最后歸納總結(jié)：如果直角三角形兩直角邊分別為 a，b，斜邊為 c，那么 a2 b2 c2 ， 即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 .最后學(xué)生歸納總結(jié)：如果直角三角形兩直角邊分別為a， b，斜邊為 c，那么a2 b2 c2 ，

6、即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方 .例 1 畫一個直角三角形 ABC, AC=3cm,BC=4cm它, 的兩直角邊分別是 ，量一量它 的斜邊 AB是多少厘米？算一算，你量的結(jié)果對嗎？ 師生活動： 學(xué)生操作，教師個別指導(dǎo)設(shè)計意圖：通過運算，培養(yǎng)學(xué)生的運算能力并正確運用勾股定理解決直角三角形 的邊長問題通過測量進(jìn)一步驗證勾股定理所得結(jié)論的正確性。變式練習(xí)：在直角三角形中，各邊的長如圖，求出未知邊的長度師生活動 學(xué)生計算，教師檢驗設(shè)計意圖： 勾股定理是通過構(gòu)造圖形法通過面積關(guān)系進(jìn)行證明的 所以勾股定理 本質(zhì)上是反映面積關(guān)系的如果直角三角形的兩條直角邊長分別為 a,b, 斜邊長 為 c ，那

7、么 a2+b2=c2. 通過對等式變形，可以得出直角三角形三邊之間的關(guān)系 : b c2 a2 在直角三角形中，已知兩邊，求第三邊，應(yīng)用勾股定理求解，也 可建立方程解決問題，滲透方程思想例 2 已知：四邊形 ABCD中， DAB DBC 90o,AD3，AB4，BC12求： DC的長。解 DAB90o在 Rt ABD中，BD2 AD2AB2 3242 25 BD 5 同理可得 DC 13 設(shè)計意圖： 讓學(xué)生體會勾股定理的應(yīng)用六、課堂小結(jié)1. 這節(jié)課我們學(xué)習(xí)了哪些知識？2勾股定理在什么三角形中可以使用七、作業(yè)布置完成課本 26 頁第 1、2 題。17.1 勾股定理（ 2）- 勾股定理的應(yīng)用、教學(xué)內(nèi)

8、容及分析一）教學(xué)內(nèi)容 勾股定理的應(yīng)用。二）內(nèi)容分析勾股定理在教學(xué)中有非常重要的地位，定理本身也有重要的實際應(yīng)用根據(jù) 勾股定理，已知兩直角邊的長 ，就可以求出斜邊 的長即 ，根 據(jù)算術(shù)平方根的意義，得到 ，這樣就得出了斜邊的長由勾股定理 還可以得到， ， ，類似地，我們得到 由此可知，已知斜邊和一條直角邊的長，就可以求 出另一條直角邊的長也就是說，在直角三角形中，已知兩條邊的長，就可以求 出第三條邊的長教科書相應(yīng)安排了兩個例題和一個“探究”欄目，讓學(xué)生學(xué)習(xí) 運用勾股定理解決問題， 并運用定理證明了斜邊和兩條直角邊對應(yīng)相等的兩個直 角三角形全等本節(jié)課的教學(xué)重點：運用勾股定理解決簡單的實際應(yīng)用問題二

9、、教學(xué)目標(biāo)及分析（一）教學(xué)目標(biāo)（1）在探索并證明勾股定理的基礎(chǔ)上，聯(lián)系實際，歸納抽象，應(yīng)用勾股定理解 決實際問題；（2）通過觀察、分析、討論、歸納的過程，提高學(xué)生的邏輯思維能力以及分析 問題和解決問題的能力；（二）目標(biāo)分析 （1）學(xué)生能通過獨立思考，將實際問題抽象成數(shù)學(xué)問題； （2）學(xué)生能遵循解決數(shù)學(xué)問題的一般方法，并在解題過程中自覺地運用數(shù)形結(jié) 合的思想和分類討論的思想三、問題診斷分析本節(jié)內(nèi)容主要是在前面探究和證明勾股定理的基礎(chǔ)上， 對勾股定理進(jìn)行簡單的應(yīng)用由于目前所掌握的知識工具很有限， 因此只能解決一些較簡單的實際應(yīng) 用題在應(yīng)用勾股定理解題前， 可以帶領(lǐng)學(xué)生回顧三角形的相關(guān)知識， 包括面

10、積 公式，特殊三角形的性質(zhì)等；特別是直角三角形中，兩銳角互余， 30°的角所對的直角邊等于斜邊的一半等重要結(jié)論， 都是結(jié)合勾股定理解決應(yīng)用問題的重要依 據(jù)教學(xué)時， 應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意構(gòu)造勾股定理的使用條件， 在應(yīng)用定理時關(guān)注數(shù)學(xué) 結(jié)合和分類討論的思想，并將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題四、教學(xué)條件支持在本節(jié)課的教學(xué)中 , 準(zhǔn)備使用多媒體教學(xué) . 因為使用 PPT可以快速的展示出 學(xué)生所要思考的問題及例題等 ,從而節(jié)省時間 , 給學(xué)生更多時間思考本節(jié)課的內(nèi) 容.五、教學(xué)過程問題一：在 中，（1）已知，求 ；（2）已知，求 ； （ 3）已知，求 ；（4）已知求設(shè)計意圖： 通過本題，體會勾股定理，并讓

11、學(xué)生知道做這種題的思路。 師生活動 學(xué)生總結(jié)，師生共同補充、完善。師生共同總結(jié)出： （1）使用定理時，應(yīng)先畫好圖形，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解題； （2）理清邊之間的關(guān)系，已知兩直角邊求斜邊，直接用勾股定理，結(jié)合算術(shù)平 方根的意義求出斜邊； 已知斜邊和一直角邊， 求另一直角邊， 用勾股定理的變形 式變式訓(xùn)練：在 中，已知兩邊的長分別為 3,4 ，求第三邊的長。例 1：已知直角三角形的兩邊長分別為 3、 4，求第三邊的長 師生活動： 學(xué)生思考，教師指導(dǎo)【設(shè)計意圖】 訓(xùn)練學(xué)生思考問題要全面，應(yīng)破除思維定勢，正確分類討論本題 容易習(xí)慣性認(rèn)為 3、4、5 是一組勾股數(shù)，而忽略了 4 是斜邊的可能性問題二：一

12、個門框的尺寸如圖所示， 一塊長 3m，寬 2.2m 的薄木板能否從門 框內(nèi)通過？為什么？【設(shè)計意圖】（ 1）本題可以轉(zhuǎn)化為求門框的對角線的長，也就是已知兩直 角邊求斜邊，從而用勾股定理解決。（ 2）細(xì)化問題，引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化 為數(shù)學(xué)問題， 并在轉(zhuǎn)化的過程中， 能對解題過程有所估計， 構(gòu)造定理成立的條件 時能有的放矢。師生活動： 學(xué)生獨立思考后分組討論；并讓請分析比較木板的尺寸和門的尺 寸，如何判斷木板能不能直接從門內(nèi)通過？ （ 1） 如果木板長為 3m，寬為 08m， 能否直接從門內(nèi)通過？（ 2） 如果木板長為 3m，寬為 15m，能否直接從門內(nèi) 通過？追問 木板的短邊比門的高還要長，是

13、否一定不能通過？還可以分析比較哪 兩個長度？再追問 這兩個長度一個是木板的短邊長，另一個是長方形的對角線的長， 能求嗎？如何求？例：如圖,一個2.6 米長的梯子 AB,斜靠在一豎直的墻 AO上,這時 AO的距離 為 2.4 米, 如果梯子的頂端 A沿墻下滑 0.5m,那么梯子底端 B也外移 0.5m 嗎?設(shè)計意圖】 鞏固性練習(xí)，本題涉及已知斜邊和一直角邊求另一直角邊，也用勾股定理解決七、課堂小結(jié)1. 勾股定理是用來求什么的？2. 當(dāng)直角邊和斜邊不確定時，怎么辦？八、作業(yè)布置教科書第 26 頁練習(xí)第 1，2 題；教科書第 28 頁習(xí)題 171 第 3，4題17.2 勾股定理的逆定理一、教學(xué)內(nèi)容及

14、分析（一）教學(xué)內(nèi)容 勾股定理的逆定理證明及簡單應(yīng)用；原命題、逆命題的概念及相互關(guān)系（二）內(nèi)容分析 本節(jié)課的內(nèi)容勾股定理的逆定理指的是：如果三角形三邊長、b、 c 滿足，那么這個三角形是直角三角形。二原命題與逆命題指的是把勾股定 理的題設(shè)和結(jié)論交換， 可以得到它的逆命題。 本節(jié)內(nèi)容證明了這個逆命題是個真 命題。勾股定理的逆定理給出的是判定一個三角形是直角三角形的方法和前面學(xué) 過的一些判定方法不同， 它通過計算來作判斷。 學(xué)習(xí)勾股定理的逆定理， 對拓展 學(xué)生思維， 體會利用計算證明幾何結(jié)論的數(shù)學(xué)方法有很大的意義， 本課的教學(xué)難 點是證明勾股定理的逆定理。二、教學(xué)目標(biāo)及分析（一）教學(xué)目標(biāo)（1）理解勾

15、股定理的逆定理（2）了解互逆命題、互逆定理（二）目標(biāo)分析1、達(dá)成目標(biāo)（ 1）的標(biāo)志是學(xué)生經(jīng)歷“實驗測量猜想論證”的定理探究過程后，能應(yīng)用勾股定理的逆定理來判定一個三角形是直角三角形；2、目標(biāo)（ 2）能根據(jù)原命題寫出它的逆命題，并了解原命題為真命題時，逆 命題不一定為真命。三、問題診斷分析 勾股定理的逆定理的證明是先作一個合適的直角三角形， 再證明有已知條件 的三角形和直角三角形全等等， 這種證法學(xué)生不容易想到， 難以理解， 在教學(xué)時 應(yīng)該注意啟發(fā)引導(dǎo)。本課的教學(xué)難點是證明勾股定理的逆定理。四、教學(xué)條件支持在本節(jié)課的教學(xué)中 , 準(zhǔn)備使用多媒體教學(xué) . 因為使用 PPT可以快速的展示出 學(xué)生所要思

16、考的問題及例題等 ,從而節(jié)省時間 , 給學(xué)生更多時間思考本節(jié)課的內(nèi) 容.五、教學(xué)過程問題一：勾股定理的逆定理是什么？設(shè)計意圖： 通過學(xué)生們動手實驗， 初步得出勾股定理的逆定理， 在通過一些列的 驗證證明勾股定理的逆定理。問題 1：實驗操作：畫一畫，下列各組數(shù)中兩個數(shù)的平方和等于第三個數(shù)的平方， 分別以這些數(shù)為邊長（單位： cm）畫三角形： 25，6，65；4，75，85 量一量：用量角器分別測量上述各三角形的最大角的度數(shù) 想一想：判斷這些三角形的形狀，提出猜想師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生畫三角形，并計算三邊的數(shù)量關(guān)系： ， 接著度量三角形最大角的度數(shù)，發(fā)現(xiàn)最大角為900 ，并猜想：如果三角形的三邊長

17、 、b、c 滿足，那么這個三角形是直角三角形把勾股定理記著命題 1，猜想的結(jié)論作為命題 2【設(shè)計意圖】 讓學(xué)生經(jīng)歷測量、計算、歸納和猜想的過程，了解幾何知識的探索 過程問題 2：你能證明勾股定理的逆定理嗎？ 師生活動： 教師引導(dǎo)學(xué)生要證明一個命題是真命題， 首先要分析命題的題設(shè)及結(jié) 論，讓學(xué)生獨立畫出圖形，寫出已知求證已知，如圖， ABC中， ABc，AC=b，BC ，且 ，求證： C 90 【設(shè)計意圖 】引導(dǎo)學(xué)生用圖形和數(shù)學(xué)符號語言表示文字命題 追問：要證明 ABC是直角三角形，只要證明 C900，由已知能 直接證嗎？ 師生活動： 教師引導(dǎo)，如果能證明 ABC與一個以 、b 為直角邊長的 R

18、tA/B/C/ 全等。那么就證明了 ABC是直角三角形，為此，可以先構(gòu)造 RtA/B/C/，使 A/C/ =b，B/C/ ，C/900，再讓學(xué)生小組討論得出證明思路， 證明了猜想的正確性 教 師適時板書出規(guī)范的證明過程證明：作直角三角形 , 使 , , ，由勾股定理得 ， , 是直角三角形教師在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步指出， 如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的， 那么它 也是一個定理， 我們把上面所形成的這個定理叫做勾股定理的逆定理， 稱這兩個 定理為互逆定理設(shè)計意圖 】引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)造直角三角形，讓學(xué)生體會這種證明思路的合理性，助學(xué)生突破難點六、目標(biāo)檢測1以長度分別為下列各組數(shù)的線段為邊，能構(gòu)成直角三角

19、形的有哪些？（ 1）1，2，3（ 2）6，8，14 （3）2，15，25 （4）2， ， 2說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題是真命題嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；（2）對頂角相等；（3）線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等3如圖，在四邊形 ABCD中，AB=3，BC4，CD=12，AD=13， B900，求四邊 形 ABCD的面積七、課堂小結(jié)1）勾股定理的逆定理的內(nèi)容是什么？2）原命題、逆命題之間的關(guān)系3）用什么方法證明勾股定理的逆定理八、作業(yè)布置：教科書第 33 頁練習(xí)第 1,2 題，習(xí)題 172 第 4,5 題17.2 勾股定理的逆定理的應(yīng)用一、教學(xué)內(nèi)容及分析（一）教學(xué)內(nèi)

20、容應(yīng)用勾股定理及勾股定理的逆定理解決實際問題（二）內(nèi)容分析 運用勾股定理的逆定理可以從三角形邊的數(shù)量關(guān)系來識別三角形的形狀， 它是用 代數(shù)方法來研究幾何圖形， 也是向?qū)W生滲透 “數(shù)形結(jié)合” 這一數(shù)學(xué)思想方法的很 好素材綜合運用勾股定理及其逆定理能幫助我們解決實際問題 基于以上分析， 可以確定本課的教學(xué)重點是靈活運用勾股定理的逆定理解決實際問題二、教學(xué)目標(biāo)及分析（一）教學(xué)目標(biāo) （1）靈活應(yīng)用勾股定理及逆定理解決實際問題（ 2）進(jìn)一步加深性質(zhì)定理與判定定理之間關(guān)系的認(rèn)識（二）目標(biāo)分析（ 1）達(dá)成目標(biāo)（ 1）的標(biāo)志是學(xué)生通過合作、討論、動手實踐等方式，在應(yīng) 用題中建立數(shù)學(xué)模型， 準(zhǔn)確畫出幾何圖形，

21、再熟練運用勾股定理逆定理判斷三角 形狀及求邊長、面積、角度等；（ 2）目標(biāo)（ 2）能先用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形，再 用勾股定理及直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)的計算和證明三、問題診斷分析對于大部分學(xué)生將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解析與應(yīng)用， 有一定的困 難，所以在教學(xué)時應(yīng)該注意啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生從實際生活中所遇到的問題出發(fā)， 鼓勵 學(xué)生以勾股定理及逆定理的知識為載體建立數(shù)學(xué)模型， 利用數(shù)學(xué)模型去解決實際 問題。本課的教學(xué)難點是靈活運用勾股定理及逆定理解決實際問題四、教學(xué)條件支持在本節(jié)課的教學(xué)中 , 準(zhǔn)備使用多媒體教學(xué) . 因為使用 PPT可以快速的展示出 學(xué)生所要思考的問題及例題等

22、,從而節(jié)省時間 , 給學(xué)生更多時間思考本節(jié)課的內(nèi) 容.五、教學(xué)過程問題一：你能用勾股定理的逆定理解決下列問題嗎？ 設(shè)計意圖：通過復(fù)習(xí)勾股定理及其逆定理來引入本課時的學(xué)習(xí)任務(wù)應(yīng)用勾股 定理及逆定理解決有關(guān)實際問題問題 1：“遠(yuǎn)航” 號、“遠(yuǎn)航”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行， “遠(yuǎn) 航”號每小時航行 16 海里，“遠(yuǎn)航”號每小時航行 12 海里。它們離開港口一個 半小時后位于點 Q,R處,且相距 30 海里。如果知道 “遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行， 能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？ 師生活動：學(xué)生讀題，理解題意，弄清楚已知條件和需解決的問題，教師通過梯 次性問題的展示，適時點撥 , 學(xué)生

23、嘗試畫圖、估測、交流中分化難點完成解答追問 1：請同學(xué)們認(rèn)真審題，弄清已知是什么？解決的問題是什么？ 師生活動：學(xué)生通過思考舉手回答，教師在黑板上列出：已知兩種船的航速，它 們的航行時間以及相距的路程， “遠(yuǎn)航”號的航向東北方向；解決的問題 是“海天”號的航向追問 2：你能根據(jù)題意畫出圖形嗎？ 師生活動：學(xué)生嘗試畫圖，教師在黑板上或多媒體中畫出示意圖追問 3：在所畫的圖中哪個角可以表示“海天”號的航向？圖中知道哪個角的度 數(shù)？ 師生活動：學(xué)生小組討論交流回答問題“海天”號的航向只要能確定QPR的大小即可組內(nèi)討論解答，小組代表展示解答過程，教師適時點評, 多媒體展示規(guī)范解答過程解：根據(jù)題意， ，即 , 由“遠(yuǎn)航”號沿東北方向航行可知 因此 , 即“海天”號沿西北方向航行變式練習(xí)： A、 B、C 三地的兩