最新微積分簡(jiǎn)介

1、微積分簡(jiǎn)介第一講微積分的歷史及簡(jiǎn)介微積分簡(jiǎn)介參考書作者：同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系出版社：高等教育出版社作者：張筑生出版社：北京大學(xué)出版社作者：吉米多維奇出版社：山東科學(xué)技術(shù)出版社微積分簡(jiǎn)介教學(xué)計(jì)劃講次名內(nèi)容相關(guān)教材對(duì)應(yīng)第一講微積分簡(jiǎn)介歷史上數(shù)學(xué)的四次危機(jī)微積分的歷史對(duì)微積分的初步介紹高等數(shù)學(xué)第五版，數(shù)學(xué)分析新 講 （共三冊(cè)），張筑生第二講函數(shù)與極限映射與函數(shù)極限、無窮小與無窮大、兩個(gè)重要極限、極限存在準(zhǔn)則函數(shù)的連續(xù)性與間斷點(diǎn)第一章：函數(shù)與極限第三講導(dǎo)數(shù)與微分導(dǎo)數(shù)概念：代數(shù)、幾何意義求導(dǎo)法則：函數(shù)和、差、積、商；反函數(shù)、復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則；基本求導(dǎo)法則與導(dǎo)數(shù)公式微分第二章：導(dǎo)數(shù)與微分第三章：微分中值定

2、理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用第四講不定積分與定積分不定積分的概念積分的計(jì)算定積分的概念：牛頓-萊布尼茨公式、換元法和分部積分法定積分的應(yīng)用第四章：不定積分第五章：定積分的應(yīng)用微積分簡(jiǎn)介目錄Contentsu數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)p畢達(dá)哥拉斯（ Pythagoras）悖論p貝克萊（Berkeley）悖論p羅素（ Rusell）悖論u微積分的起源p巨人的肩膀p所涉及到的思想u簡(jiǎn)單微積分的應(yīng)用p無窮求和的概念p曲線、面積、體積的計(jì)算微積分簡(jiǎn)介（一）什么是悖論？1. 先來聽聽一個(gè)先來聽聽一個(gè)“鱷魚與小孩鱷魚與小孩”的故事的故事u一條鱷魚從母親手中搶走了一個(gè)一條鱷魚從母親手中搶走了一個(gè)小孩小孩 。u鱷魚：我會(huì)不會(huì)吃掉你的

3、孩子？鱷魚：我會(huì)不會(huì)吃掉你的孩子？答對(duì)了，我就把孩子不加傷害地答對(duì)了，我就把孩子不加傷害地還給你。還給你。u這位母親應(yīng)該怎樣回答呢？這位母親應(yīng)該怎樣回答呢？ 前言微積分簡(jiǎn)介1.“鱷魚與小孩”的故事u聰明的母親回答說：聰明的母親回答說： 呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。呵、呵！你是要吃掉我的孩子的。u鱷魚：鱷魚：呣呣我怎么辦呢？我怎么辦呢？鱷魚碰到了難題：鱷魚碰到了難題：如果我把孩子交還你，你就說錯(cuò)了，我應(yīng)該如果我把孩子交還你，你就說錯(cuò)了，我應(yīng)該吃掉他；可是我如果把孩子吃掉了，你就說吃掉他；可是我如果把孩子吃掉了，你就說對(duì)了，我又得把孩子還給你？對(duì)了，我又得把孩子還給你？ u拙劣的鱷魚懵了，結(jié)果把

4、孩子交拙劣的鱷魚懵了，結(jié)果把孩子交回了母親，母親一把拽住孩子，回了母親，母親一把拽住孩子，跑掉了。跑掉了。 u鱷魚說：丫丫的！要是她說鱷魚說：丫丫的！要是她說我要給回她孩子，我就可以我要給回她孩子，我就可以美餐一頓了。美餐一頓了。微積分簡(jiǎn)介2、什么是悖論？u籠統(tǒng)地說：籠統(tǒng)地說： 悖論是指這樣的推理過程：悖論是指這樣的推理過程：它它”看上去看上去”是合理的，但結(jié)果卻得出了是合理的，但結(jié)果卻得出了”矛盾矛盾”。u悖論在很多情況下表現(xiàn)為：悖論在很多情況下表現(xiàn)為：由它的真，可以推出它為假；由它的真，可以推出它為假；由它的假，則可以推出它為真。由它的假，則可以推出它為真。微積分簡(jiǎn)介3. 悖論是極其重要的

5、！ u畢達(dá)哥拉斯悖論、貝克萊悖論、羅素悖論 今天我就要來介紹這三個(gè)數(shù)學(xué)悖論，它們?cè)跀?shù)學(xué)發(fā)展中產(chǎn)生了巨大的影響，即引發(fā)了三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 通過這三個(gè)數(shù)學(xué)悖論與三次數(shù)學(xué)危機(jī)的介紹，大家會(huì)發(fā)現(xiàn)： 數(shù)學(xué)是美妙而又神奇的！悖論不但迷人，而且是數(shù)學(xué)的一部分，并為數(shù)學(xué)的發(fā)展提供了重要而持久的助推力。 數(shù)學(xué)的發(fā)展也并不是一帆風(fēng)順，而是一波三折！數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)是一代又一代數(shù)學(xué)家努力的結(jié)果，數(shù)學(xué)的抽象更是千錘百煉而成的！微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)1. 1. 勾股定理勾股定理 兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和！兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方和！ 勾股定理：

6、 是人類最偉大的數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)， 是歐氏幾何中最著名的定理， 它在數(shù)學(xué)與人類的實(shí)踐活動(dòng)中有著極其廣泛的應(yīng)用。acb222abc微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)u畢達(dá)哥拉斯畢達(dá)哥拉斯（公元前（公元前585-585-前前500500），古希臘著名），古希臘著名哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、音樂家、教育家。哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、音樂家、教育家。u人們把他神話為是太陽神阿波羅的兒子。人們把他神話為是太陽神阿波羅的兒子。u畢達(dá)哥拉斯先后到過：埃及、古巴比倫、印度等畢達(dá)哥拉斯先后到過：埃及、古巴比倫、印度等國(guó)家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、天文等方面的知識(shí)。國(guó)家學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、天文等方面的知識(shí)。u畢達(dá)哥拉斯創(chuàng)建了一個(gè)合畢達(dá)哥

7、拉斯創(chuàng)建了一個(gè)合“宗教、政治、學(xué)術(shù)宗教、政治、學(xué)術(shù)”三位一體的神秘主義派別，即三位一體的神秘主義派別，即畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派。這一學(xué)派在古希臘贏得很高的聲譽(yù)，并產(chǎn)生了相這一學(xué)派在古希臘贏得很高的聲譽(yù)，并產(chǎn)生了相當(dāng)大的政治影響，其思想在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是絕對(duì)權(quán)當(dāng)大的政治影響，其思想在當(dāng)時(shí)被認(rèn)為是絕對(duì)權(quán)威的真理。威的真理。2.2.畢達(dá)哥拉斯與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯與畢達(dá)哥拉斯學(xué)派微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)u據(jù)西方國(guó)家記敘，畢達(dá)哥拉斯是最早據(jù)西方國(guó)家記敘，畢達(dá)哥拉斯是最早證明了勾股定理證明了勾股定理。u據(jù)說：畢達(dá)哥拉斯欣喜若狂，為此還殺了一據(jù)說：畢達(dá)哥拉斯欣喜若狂，為此還殺了一百頭牛

8、以作慶賀。因些，在西方稱這個(gè)定理百頭牛以作慶賀。因些，在西方稱這個(gè)定理為為“畢達(dá)哥拉斯定理畢達(dá)哥拉斯定理”，還有一個(gè)帶有神秘，還有一個(gè)帶有神秘色彩的稱號(hào)色彩的稱號(hào)“百牛定理百牛定理”。在我國(guó)，公元三世紀(jì)，吳人趙爽，給出了勾股定理的最早證明。這種證明，被全世界數(shù)學(xué)家公認(rèn)為是“最省力的證明方法”?！叭f物皆數(shù)萬物皆數(shù)”畢達(dá)哥拉斯學(xué)派畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的基本信條：l 他們認(rèn)為“萬物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比萬物都可歸結(jié)為整數(shù)或整數(shù)之比 （分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)）”l 他們相信宇宙的本質(zhì)就是這種“數(shù)的和諧數(shù)的和諧”l 他們認(rèn)為：世界上只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此以外，就不再世界上只有整數(shù)和分?jǐn)?shù)，除此以外，就不再有別的數(shù)了。有別的數(shù)

9、了。微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)3. 3. 畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)具有戲劇性和諷刺意味的是，正是畢達(dá)哥拉斯在數(shù)學(xué)上具有戲劇性和諷刺意味的是，正是畢達(dá)哥拉斯在數(shù)學(xué)上的這一最重要的發(fā)現(xiàn)，卻把自己推向了兩難的尷尬境地。的這一最重要的發(fā)現(xiàn)，卻把自己推向了兩難的尷尬境地。他的一個(gè)學(xué)生他的一個(gè)學(xué)生希帕索斯希帕索斯，他勤奮好學(xué)，富于鉆研，在運(yùn)，他勤奮好學(xué)，富于鉆研，在運(yùn)用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)：用勾股定理進(jìn)行幾何計(jì)算的過程中發(fā)現(xiàn)：“當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)為1 1時(shí)，它的對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)整數(shù)時(shí)，它的對(duì)角線的長(zhǎng)不是一個(gè)整數(shù)，也不是一個(gè)分?jǐn)?shù)

10、，而是一個(gè)新的數(shù)，也不是一個(gè)分?jǐn)?shù)，而是一個(gè)新的數(shù)?！边@個(gè)數(shù)就是我們現(xiàn)在熟知的無這個(gè)數(shù)就是我們現(xiàn)在熟知的無理數(shù)理數(shù) ！2微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 這個(gè)發(fā)現(xiàn)不但對(duì)畢達(dá)哥拉斯學(xué)派是一個(gè)致命的打擊，它對(duì)于當(dāng)時(shí)所有古希臘人的觀念都是一個(gè)極大的沖擊。 2微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī)u幫助古希臘人擺脫困境的關(guān)鍵一步是由才華橫溢的幫助古希臘人擺脫困境的關(guān)鍵一步是由才華橫溢的歐多克索斯（公元前歐多克索斯（公元前408-408-前前355355）邁出的。邁出的。u解決方式：把數(shù)與量分開，在數(shù)的領(lǐng)域，仍然只承解決方式：把數(shù)與量分開，在數(shù)的領(lǐng)域，仍然只承認(rèn)整數(shù)或整數(shù)之比；借助于幾何

11、方法，來處理幾何認(rèn)整數(shù)或整數(shù)之比；借助于幾何方法，來處理幾何量，通過創(chuàng)立量，通過創(chuàng)立歐多克索斯的比例理論歐多克索斯的比例理論，消除畢達(dá)哥，消除畢達(dá)哥拉斯悖論引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)，從而拯救了整個(gè)希臘數(shù)拉斯悖論引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)，從而拯救了整個(gè)希臘數(shù)學(xué)。學(xué)。4.4.歐多克索斯（歐多克索斯（ Eudoxus）的拯救的拯救直到直到1919世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的世紀(jì)下半葉，現(xiàn)在意義上的“實(shí)數(shù)理論實(shí)數(shù)理論”建立起來后，無建立起來后，無理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，理數(shù)本質(zhì)被徹底搞清，“無理數(shù)無理數(shù)”在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。在數(shù)學(xué)園地中才真正扎下了根。無理數(shù)在數(shù)學(xué)中合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有無理數(shù)在數(shù)學(xué)中

12、合法地位的確立，一方面使人類對(duì)數(shù)的認(rèn)識(shí)從有理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危理數(shù)拓展到實(shí)數(shù)，另一方面也真正徹底、圓滿地解決了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。機(jī)。 微積分簡(jiǎn)介一、畢達(dá)哥拉斯悖論與第一次數(shù)學(xué)危機(jī) 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響是巨大的，它極大的推動(dòng)第一次數(shù)學(xué)危機(jī)的影響是巨大的，它極大的推動(dòng)了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。了數(shù)學(xué)及其相關(guān)學(xué)科的發(fā)展。 首先，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，直覺、經(jīng)驗(yàn)及至實(shí)驗(yàn)都是不可靠首先，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)表明，直覺、經(jīng)驗(yàn)及至實(shí)驗(yàn)都是不可靠的，推理證明才是可靠的。從而創(chuàng)立了的，推理證明才是可靠的。從而創(chuàng)立了古典邏輯學(xué)古典邏輯學(xué)。 其次，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)極大地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展

13、，由此建立其次，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)極大地促進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展，由此建立了幾何公理體系，了幾何公理體系，歐氏幾何學(xué)歐氏幾何學(xué)就是在這時(shí)候應(yīng)運(yùn)而生的。就是在這時(shí)候應(yīng)運(yùn)而生的。 最后，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們認(rèn)識(shí)到無理數(shù)的存在，通過許多最后，第一次數(shù)學(xué)危機(jī)讓人們認(rèn)識(shí)到無理數(shù)的存在，通過許多數(shù)學(xué)家的努力，直到數(shù)學(xué)家的努力，直到1919世紀(jì)下半葉才建立了完整的世紀(jì)下半葉才建立了完整的實(shí)數(shù)理論實(shí)數(shù)理論。微積分簡(jiǎn)介二、貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)微積分簡(jiǎn)介二、貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)在西方：在西方：u數(shù)學(xué)之神，數(shù)學(xué)之神，阿基米德阿基米德（公元前（公元前287-前前212），），通過一條迂回之路，獨(dú)辟蹊徑，創(chuàng)立新法，是

14、早通過一條迂回之路，獨(dú)辟蹊徑，創(chuàng)立新法，是早期微積分思想的發(fā)現(xiàn)者，微積分是奠基于他的工期微積分思想的發(fā)現(xiàn)者，微積分是奠基于他的工作之上才最終產(chǎn)生的。作之上才最終產(chǎn)生的。在東方：在東方：u中國(guó)古代數(shù)學(xué)家，中國(guó)古代數(shù)學(xué)家，劉徽劉徽（公元（公元263左右），一左右），一項(xiàng)杰出的創(chuàng)見是對(duì)微積分思想的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用。項(xiàng)杰出的創(chuàng)見是對(duì)微積分思想的認(rèn)識(shí)與應(yīng)用。劉徽的微積分思想，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)園地里一劉徽的微積分思想，是中國(guó)古代數(shù)學(xué)園地里一株璀璨的奇葩。其極限思想之深刻，是前無古株璀璨的奇葩。其極限思想之深刻，是前無古人的，并在極長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)也后無來者。人的，并在極長(zhǎng)的時(shí)間內(nèi)也后無來者。 直到十七世紀(jì)，直到十七世紀(jì)

15、，作為一門新學(xué)科的作為一門新學(xué)科的微積分微積分已呼之欲出。已呼之欲出。最早邁出這一步最早邁出這一步的是一位科學(xué)巨人的是一位科學(xué)巨人:牛頓。牛頓。u微積分微積分的的發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn) - -早在早在2500多年前，人類就已有了微積分的思想。多年前，人類就已有了微積分的思想。微積分簡(jiǎn)介二、貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)u牛頓牛頓（16421727）是英國(guó)偉大的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、天文學(xué)家和自然哲學(xué)家。u牛頓是：從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合牛頓是：從物理學(xué)出發(fā)，運(yùn)用集合方法，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)來研究微積分。方法，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)來研究微積分。u萊布尼茨萊布尼茨（16461716）德國(guó)最重要的數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、歷史學(xué)家和哲學(xué)家。u萊布尼

16、茨卻是：從幾何問題出發(fā)，萊布尼茨卻是：從幾何問題出發(fā)，運(yùn)用分析學(xué)方法研究微積分。運(yùn)用分析學(xué)方法研究微積分。微分和積分微分和積分(即求切線與求面積)是互逆的兩是互逆的兩種運(yùn)算種運(yùn)算。這是微積分建立的關(guān)鍵所在。 微積分簡(jiǎn)介二、貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)2. 2. 貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 不過，在微積分創(chuàng)立之初，牛頓和萊布尼茨的工作都很不完善。因而，導(dǎo)致許多人的批評(píng)。然而抨擊最有力的是愛爾蘭主教貝克萊，他的批評(píng)對(duì)數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了最令人震撼的撞擊。 如貝克萊指出：牛頓在無窮小量這個(gè)問題上，其說不一，十分含糊，有時(shí)候是零，有時(shí)候不是零而是有限的小量；萊布尼茨的也不能自圓其說。

17、例如，牛頓當(dāng)時(shí)是這樣求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的： 最后取 ， 就得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為 。222)(2)(xxxxxxxxxxxxxy2)(220 xxy2微積分簡(jiǎn)介二、貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī) 貝克萊對(duì)微積分基礎(chǔ)的批評(píng)是一針見血，擊中要害的，他揭示了早期微積分的邏輯漏洞。然而在當(dāng)時(shí)，微積分理論由于在實(shí)踐與數(shù)學(xué)中取得了成功，已使大部分?jǐn)?shù)學(xué)家對(duì)它的可靠性表示信賴，相信建立在無窮小之上的微積分理論是正確的。 因此貝克萊所闡述的問題被認(rèn)為是悖論，即貝克萊悖論貝克萊悖論。 由于這一悖論，十分有效地揭示出微積分基礎(chǔ)中包含著邏輯矛盾，因而在當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)界引起了一定的混亂，一場(chǎng)新的風(fēng)波由此掀起，于是導(dǎo)致了數(shù)學(xué)史中的第二次數(shù)學(xué)危

18、機(jī)。第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。微積分簡(jiǎn)介二、貝克萊悖論與第二次數(shù)學(xué)危機(jī)3. 3. 微積分的發(fā)展微積分的發(fā)展 有了這三大理論，使微積分學(xué)這座人類數(shù)學(xué)史上空前雄偉的大廈建立在牢固可靠的基礎(chǔ)上，從而結(jié)束了二百多年數(shù)學(xué)中的混亂局面，同時(shí)宣告第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的徹底解決，數(shù)學(xué)家們終于贏來了勝利凱旋之日。 微積分簡(jiǎn)介三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)微積分簡(jiǎn)介三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)1.1.康托爾與集合論康托爾與集合論康托爾康托爾：是是1919世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的數(shù)學(xué)家之一世紀(jì)數(shù)學(xué)發(fā)展影響最深的數(shù)學(xué)家之一。18451845年出生于圣彼得堡，早在學(xué)生時(shí)代，就顯露年出生于圣彼得堡，早在學(xué)生時(shí)代，就顯露出非凡的數(shù)學(xué)才能。然而

19、，一開始其父親卻希望他出非凡的數(shù)學(xué)才能。然而，一開始其父親卻希望他學(xué)工程學(xué)，他是學(xué)工程學(xué)，他是18621862年進(jìn)入蘇黎世大學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)的年進(jìn)入蘇黎世大學(xué)，學(xué)數(shù)學(xué)的，第二年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，第二年轉(zhuǎn)入柏林大學(xué)，18671867年以優(yōu)異成績(jī)獲得了年以優(yōu)異成績(jī)獲得了柏林大學(xué)的博士學(xué)位，其后，一直在哈雷大學(xué)教書柏林大學(xué)的博士學(xué)位，其后，一直在哈雷大學(xué)教書。 然而，康托爾的觀點(diǎn)并未被同時(shí)代所接受，特然而，康托爾的觀點(diǎn)并未被同時(shí)代所接受，特別是康托爾的老師別是康托爾的老師克羅內(nèi)克克羅內(nèi)克。他猛烈攻擊康托爾的。他猛烈攻擊康托爾的研究工作，把它看做一類危險(xiǎn)的數(shù)學(xué)瘋狂，同時(shí)還研究工作，把它看做一類危險(xiǎn)的數(shù)學(xué)瘋狂，同

20、時(shí)還竭力阻撓康托爾的提升，不讓其在柏林大學(xué)獲得一竭力阻撓康托爾的提升，不讓其在柏林大學(xué)獲得一個(gè)職位。長(zhǎng)期的過渡疲勞和激烈的爭(zhēng)吵論戰(zhàn)，使得個(gè)職位。長(zhǎng)期的過渡疲勞和激烈的爭(zhēng)吵論戰(zhàn)，使得康托爾的精神終于在康托爾的精神終于在18841884年春崩潰了，在他一生中年春崩潰了，在他一生中，這種崩潰以不同的強(qiáng)度反復(fù)發(fā)生，把他從社會(huì)趕，這種崩潰以不同的強(qiáng)度反復(fù)發(fā)生，把他從社會(huì)趕進(jìn)精神病醫(yī)院這個(gè)避難所。最后于進(jìn)精神病醫(yī)院這個(gè)避難所。最后于19181918年年1 1月，他月，他在哈雷精神病醫(yī)院逝世。在哈雷精神病醫(yī)院逝世。微積分簡(jiǎn)介三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)整體一定大于部分整體一定大于部分-這是人們傳統(tǒng)的觀念康托

21、爾下了一個(gè)定義：康托爾下了一個(gè)定義：“如果能夠根據(jù)某一法則，如果能夠根據(jù)某一法則，使集合使集合M M與集合與集合N N中的元素建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那中的元素建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系，那么，集合么，集合M M與集合與集合N N等勢(shì)或者說具有相同的基數(shù)。等勢(shì)或者說具有相同的基數(shù)?！卑凑者@一定義，于是有：按照這一定義，于是有：自然數(shù)集、正偶數(shù)集、自然數(shù)的平方等集合的數(shù)目一樣多，都是可數(shù)集。數(shù)軸上稀稀落落的自然數(shù)集與密密麻麻的有理數(shù)集也可建立一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。所以部分能夠等于整體。另外：無理數(shù)集、實(shí)數(shù)集是不可數(shù)集。兩條不同長(zhǎng)度的線段，區(qū)間（0，1）上的點(diǎn)與單位正方形上的點(diǎn)，直線與整個(gè)平面、與n維空間等都可建立

22、一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。 最后，康托爾用最后，康托爾用“超限基數(shù)超限基數(shù)”與與“超限序數(shù)超限序數(shù)”一起來刻畫了無限，描繪一起來刻畫了無限，描繪出一幅無限王國(guó)的完整圖景，它充分體現(xiàn)了康托爾那驚人的想像力。出一幅無限王國(guó)的完整圖景，它充分體現(xiàn)了康托爾那驚人的想像力。 簡(jiǎn)單介紹集合論微積分簡(jiǎn)介三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 1891年克羅內(nèi)克去世之后，康托爾的阻力一下子減少了。到1897年，召開的第一次國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)，數(shù)學(xué)家們開始對(duì)集合論的認(rèn)可。一直到了20世紀(jì)初，集合論在創(chuàng)建20余年后，才最終獲得了世界公認(rèn)?？低袪査_創(chuàng)的全新的、真正具有獨(dú)創(chuàng)性的理論得到了數(shù)學(xué)家們的廣泛贊譽(yù)。 1900年，在巴黎召開的第二次國(guó)

23、際數(shù)學(xué)家大會(huì)上，法國(guó)著名數(shù)學(xué)家龐加萊曾興高采烈地宣布“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈，今天，我們可以說，數(shù)學(xué)已經(jīng)達(dá)到了絕對(duì)的嚴(yán)格。” 然而好景不長(zhǎng)，正當(dāng)人們?yōu)榧险摰恼Q生而歡欣鼓舞之時(shí)，一串串?dāng)?shù)學(xué)悖論卻冒了出來，一個(gè)震驚數(shù)學(xué)界的消息傳出：集合論是有漏洞的！ 于是又?jǐn)嚨脭?shù)學(xué)家心里忐忑不安。微積分簡(jiǎn)介三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī) 羅素羅素（1872-1970），英國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家。出身于貴族家庭，父母早亡，與祖父祖母生活在一起。11歲就開始學(xué)習(xí)歐氏幾何 （他說：這是他生活中的一件大事，（他說：這是他生活中的一件大事，猶如初戀般的迷人）猶如初戀般的迷人），18歲考入劍橋大學(xué)，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)與哲學(xué)

24、。48歲那年，作為一位蜚聲國(guó)際的哲學(xué)家，應(yīng)邀來中國(guó)講學(xué)一年，1950年還獲得諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)。 在1901年，羅素構(gòu)造了一個(gè)集合S，S由一切不是自身元素的集合所組成。 羅素問：S是否屬于S？然而回答卻陷入兩難境地。u如果S屬于S，根據(jù)S的定義，S就不屬于S；u反之。如果S不屬于S，同樣根據(jù)定義，S就屬于S；于是 無論如何都是矛盾的！ -這就是羅素悖論！2.2.羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)危機(jī)微積分簡(jiǎn)介在某村，一個(gè)理發(fā)師宣布了這樣一條原則：他只給那些不給自己刮胡子的人刮胡子。問：理發(fā)師是否可以給自己刮胡子？如果他給自己刮胡子，那他就不符合他的原則，他就不應(yīng)該給自己刮胡子；如果他不給自

25、己刮胡子，按他的原則，他就應(yīng)該給自己刮胡子。于是，無論如何也是矛盾的,看來，沒有任何人能給理發(fā)師的刮胡子。 羅素悖論的出現(xiàn)，就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，它動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈羅素悖論的出現(xiàn)，就像在平靜的數(shù)學(xué)水面上投下了一塊巨石，它動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，從而導(dǎo)致了的基礎(chǔ)，震撼了整個(gè)數(shù)學(xué)界，從而導(dǎo)致了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。 數(shù)學(xué)家弗雷格在他剛要出版的數(shù)學(xué)家弗雷格在他剛要出版的論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)論數(shù)學(xué)基礎(chǔ)一書上寫道：一書上寫道：“對(duì)一位科學(xué)家來說，對(duì)一位科學(xué)家來說，他所遇到的最令人尷尬的事，莫過于是他的工作即將完成時(shí)，它的基礎(chǔ)崩潰了，羅素他所遇到的最令人尷尬的事，莫過于

26、是他的工作即將完成時(shí)，它的基礎(chǔ)崩潰了，羅素悖論正好把我置于這種境地。悖論正好把我置于這種境地?！庇谑墙K結(jié)了近于是終結(jié)了近1212年的刻苦鉆研。年的刻苦鉆研。 羅素悖論有多種通俗版本，其中最著名的是羅素于1919年給出的-“理發(fā)師悖論三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)微積分簡(jiǎn)介三、羅素悖論與第三次數(shù)學(xué)危機(jī)策梅羅策梅羅（1871-1953）德國(guó)數(shù)學(xué)家，他早于羅素德國(guó)數(shù)學(xué)家，他早于羅素發(fā)現(xiàn)了羅素悖論，只是他將發(fā)現(xiàn)了羅素悖論，只是他將這一悖論只告訴希爾伯特，這一悖論只告訴希爾伯特，沒有公開發(fā)表。沒有公開發(fā)表。1908年，策年，策梅羅發(fā)表著名論文梅羅發(fā)表著名論文關(guān)于集關(guān)于集合論基礎(chǔ)的研究合論基礎(chǔ)的研究，建立了

27、，建立了第一個(gè)集合論公理體系。第一個(gè)集合論公理體系。 隨著集合公理化體系的建隨著集合公理化體系的建立，羅素悖論被成功排除了，立，羅素悖論被成功排除了，因而從某種程度上來說，第三因而從某種程度上來說，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)比較圓滿地解決了。次數(shù)學(xué)危機(jī)比較圓滿地解決了。3.3.集合公理化與數(shù)學(xué)新發(fā)展集合公理化與數(shù)學(xué)新發(fā)展 然而，許多數(shù)學(xué)家對(duì)集合論乃至整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)產(chǎn)生了疑慮，這一疑慮并沒有隨著集合論公理化體系的建立而消除。1900年到1930年左右，眾多數(shù)學(xué)家卷入到一場(chǎng)大辯論當(dāng)中-兔、蛙、鼠之戰(zhàn).羅素為代表的邏輯主義-兔子希爾伯特為代表的形式主義-青蛙布勞威爾為代表的直覺主義-老鼠哥德爾（1906-197

28、8），數(shù)學(xué)家，邏輯學(xué)家。 “哥德爾不完全性定理”，結(jié)束了三大學(xué)派的論戰(zhàn)，兔蛙鼠全都成了輸家，數(shù)理邏輯成了最后的贏者，并開辟了數(shù)理邏輯發(fā)展的新時(shí)代，因此直接造成了數(shù)學(xué)哲學(xué)研究的“黃金時(shí)代”。 微積分簡(jiǎn)介結(jié)束語 歷史上的三次數(shù)學(xué)危機(jī)，給人們帶來了極大的麻煩，危機(jī)的產(chǎn)生使人們認(rèn)識(shí)到了現(xiàn)有理論的缺陷，科學(xué)中悖論的產(chǎn)生常常預(yù)示著人類的認(rèn)識(shí)將進(jìn)入一個(gè)新階段，所以悖論是科學(xué)發(fā)展的產(chǎn)物，又是科學(xué)發(fā)展的源泉之一。 第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，建立了完整的實(shí)數(shù)理論，歐第一次數(shù)學(xué)危機(jī)使人們發(fā)現(xiàn)了無理數(shù)，建立了完整的實(shí)數(shù)理論，歐 氏幾何也應(yīng)運(yùn)而生并建立了幾何公理體系。氏幾何也應(yīng)運(yùn)而生并建立了幾何公理體系。 第二

29、次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，直接導(dǎo)致了極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論第二次數(shù)學(xué)危機(jī)的出現(xiàn)，直接導(dǎo)致了極限理論、實(shí)數(shù)理論和集合論 三大理論的產(chǎn)生與完善，使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎(chǔ)之上。三大理論的產(chǎn)生與完善，使微積分建立在穩(wěn)固且完美的基礎(chǔ)之上。 第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使集合論成為一個(gè)完整的集合論公理體系（即第三次數(shù)學(xué)危機(jī)，使集合論成為一個(gè)完整的集合論公理體系（即 ZFCZFC系統(tǒng)），促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性。系統(tǒng)），促進(jìn)了數(shù)學(xué)基礎(chǔ)研究及數(shù)理邏輯的現(xiàn)代性。微積分簡(jiǎn)介結(jié)束語u事物就是在不斷產(chǎn)生矛盾和解決矛盾中逐漸發(fā)展完美起來的，舊的矛盾解決了，新的矛盾還會(huì)產(chǎn)生，而就是在其過程中，人們便不斷積累了新的認(rèn)識(shí)、

30、新的知識(shí)，發(fā)展了新的理論。 u數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史就表明：每一次危機(jī)的消除都會(huì)給數(shù)學(xué)帶來許多新的內(nèi)容、新的認(rèn)識(shí)，甚至是革命性的變化。u數(shù)學(xué)家對(duì)悖論的研究和解決促進(jìn)了數(shù)學(xué)的繁榮和發(fā)展，數(shù)學(xué)中悖論的產(chǎn)生和危機(jī)的出現(xiàn)，不單是給數(shù)學(xué)帶來麻煩和失望，更重要的是給數(shù)學(xué)的發(fā)展帶來新的生機(jī)和希望。微積分簡(jiǎn)介目錄Contentsu數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)p畢達(dá)哥拉斯（ Pythagoras）悖論p貝克萊（Berkeley）悖論p羅素（ Rusell）悖論u微積分的起源p巨人的肩膀p所涉及到的思想u簡(jiǎn)單微積分的應(yīng)用p無窮求和的概念p曲線、面積、體積的計(jì)算微積分簡(jiǎn)介u古時(shí)中國(guó)劉徽、祖沖之的割圓術(shù)求古時(shí)中國(guó)劉徽、祖沖之的割圓術(shù)求

31、 和希臘阿基和希臘阿基米德等窮竭法求圓面積等，出現(xiàn)了極限和無窮小思米德等窮竭法求圓面積等，出現(xiàn)了極限和無窮小思想。想。 u微積分誕生在微積分誕生在1717世紀(jì)，主要來自政治，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)世紀(jì)，主要來自政治，經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的巨大推動(dòng)。發(fā)展對(duì)數(shù)學(xué)的巨大推動(dòng)。p1515世紀(jì)，商業(yè)、航海、天文、測(cè)量等日益繁榮世紀(jì)，商業(yè)、航海、天文、測(cè)量等日益繁榮 流體力學(xué)、流體力學(xué)、天文學(xué)、幾何光學(xué)、天文儀器的發(fā)展天文學(xué)、幾何光學(xué)、天文儀器的發(fā)展 ；p1616世紀(jì)，歐洲出現(xiàn)毛瑟槍和火槍世紀(jì)，歐洲出現(xiàn)毛瑟槍和火槍 運(yùn)動(dòng)學(xué)，動(dòng)力學(xué)等的研究運(yùn)動(dòng)學(xué)，動(dòng)力學(xué)等的研究p1717世紀(jì)，世紀(jì)，KeplerKepler第二行星定律

32、中橢圓面積的計(jì)算；第二行星定律中橢圓面積的計(jì)算；數(shù)學(xué)家面臨問題：數(shù)學(xué)家面臨問題：求面積、體積、速度、加速度、行程等求面積、體積、速度、加速度、行程等數(shù)學(xué)家面臨問題：數(shù)學(xué)家面臨問題：切線問題與極值問題切線問題與極值問題u1717世紀(jì)后半葉，世紀(jì)后半葉，Newton Newton 和和 Leibniz Leibniz 獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)意義上的微積分。高等數(shù)學(xué)意義上的微積分。微積分的創(chuàng)立微積分簡(jiǎn)介牛頓牛頓(1642 1727) 偉大的英國(guó)數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家, 天文學(xué)家和自然科學(xué)家。 他在數(shù)學(xué)上的卓越貢獻(xiàn)是創(chuàng)立了微積分。 1665年他提出正流數(shù) (微分) 術(shù) ， 次年又提出反流數(shù)(積分)

33、術(shù),并于1671年完成流數(shù)術(shù)與無窮級(jí)數(shù)一書 (1736年出版)。 他還著有自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理和廣義算術(shù)等。微積分簡(jiǎn)介 Newton受巴羅的受巴羅的“巴羅微分三角形巴羅微分三角形”啟發(fā)發(fā)明微積分，所以啟發(fā)發(fā)明微積分，所以巴羅在微積分發(fā)展史上功不可沒。巴羅在微積分發(fā)展史上功不可沒。 Newton從從1665年到年到1695年，對(duì)微積分的創(chuàng)造性成果為：年，對(duì)微積分的創(chuàng)造性成果為： 1665，“正流數(shù)術(shù)正流數(shù)術(shù)” 微分學(xué)；微分學(xué)； 1666，“反流數(shù)術(shù)反流數(shù)術(shù)” 積分學(xué)；積分學(xué)； 1666，“流數(shù)簡(jiǎn)論流數(shù)簡(jiǎn)論” 標(biāo)志微積分的誕生；標(biāo)志微積分的誕生； 1669，“分析學(xué)分析學(xué)” 由此后人稱以微積分為由此

34、后人稱以微積分為 主要內(nèi)容的學(xué)科為數(shù)學(xué)分析主要內(nèi)容的學(xué)科為數(shù)學(xué)分析 1671，“流數(shù)法流數(shù)法” 1687，“自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理”簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱“原理原理” 1691，“求積術(shù)求積術(shù)”牛頓的微積分貢獻(xiàn)牛頓的微積分貢獻(xiàn)微積分簡(jiǎn)介Cxnnxnxnnn&2221 牛頓求導(dǎo)（流數(shù)）的大概思想是：牛頓求導(dǎo)（流數(shù)）的大概思想是：增量增量 與與 Cxnnxnnn&2221之比等于之比等于 Cxnnnxnn&2:122111nnxnx問題：求問題：求 的流數(shù)。的流數(shù)。 現(xiàn)令增量消失，它們的最終比為現(xiàn)令增量消失，它們的最終比為 微積分簡(jiǎn)介萊布尼茲萊布尼茲(1646 1716)

35、德國(guó)數(shù)學(xué)家, 哲學(xué)家. 和牛頓同為微積分的創(chuàng)始人 , 他在學(xué)藝雜志上發(fā)表的幾篇有關(guān)微積分學(xué)的論文中,有的早于牛頓, 所用微積分符號(hào)也遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓 . 他還設(shè)計(jì)了作乘法的計(jì)算機(jī) , 系統(tǒng)地闡述二進(jìn)制計(jì)數(shù)法 , 并把它與中國(guó)的八卦聯(lián)系起來 .微積分簡(jiǎn)介萊布尼茲的主要成果萊布尼茲的主要成果 1675 1675年給出積分號(hào)年給出積分號(hào)“ ”，同年引入微分號(hào)，同年引入微分號(hào)“d d” 1676 1676年給出公式年給出公式 ， 1677 1677年，表述微積分基本定理：年，表述微積分基本定理： 1684 1684年，年，“求極大與極小值和求切線的新方法求極大與極小值和求切線的新方法” 1686 1686

36、年，年，“深?yuàn)W的幾何與不可分量的無限的分析深?yuàn)W的幾何與不可分量的無限的分析”)()(azbzdxybadxaxdxaa1111aaxadxx微積分簡(jiǎn)介第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與微積分的發(fā)展和完善第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與微積分的發(fā)展和完善 但是牛頓但是牛頓-萊布尼茨的微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，特別是萊布尼茨的微積分邏輯基礎(chǔ)不嚴(yán)密，特別是在無窮小概念上的混亂，引起不少科學(xué)家的批評(píng)。在無窮小概念上的混亂，引起不少科學(xué)家的批評(píng)。 英國(guó)哲學(xué)家、牧師貝克萊英國(guó)哲學(xué)家、牧師貝克萊G.Berkeley（1685-1753）：）：分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家分析學(xué)家，或致一位不信神的數(shù)學(xué)家矛頭直指牛頓的矛頭直指牛頓的流數(shù)法。流數(shù)

37、法。貝克萊悖論這就導(dǎo)致了這就導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)！第二次數(shù)學(xué)危機(jī)！ 由于微積分的方法和結(jié)論與實(shí)際是如此吻合，所以即使基礎(chǔ)不牢，由于微積分的方法和結(jié)論與實(shí)際是如此吻合，所以即使基礎(chǔ)不牢，人們還是樂意去用它，直到人們還是樂意去用它，直到19世紀(jì)，才開始真正解決問題。世紀(jì)，才開始真正解決問題。微積分簡(jiǎn)介第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與微積分的發(fā)展和完善第二次數(shù)學(xué)危機(jī)與微積分的發(fā)展和完善u第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地意第一個(gè)為補(bǔ)救第二次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地意見的是達(dá)朗貝爾（見的是達(dá)朗貝爾（DAlembert），但他未提供理），但他未提供理論。論。 u后經(jīng)后經(jīng) Lagrange，Bolzano（捷克），（

38、捷克），Cauchy（分析學(xué)奠基人），分析學(xué)奠基人），Weirstrass等人的努力，奠定等人的努力，奠定了微積分嚴(yán)格的基礎(chǔ)，解決了第了微積分嚴(yán)格的基礎(chǔ)，解決了第2次數(shù)學(xué)危機(jī)。次數(shù)學(xué)危機(jī)。uCauchy的貢獻(xiàn)在于將微積分的基礎(chǔ)建立在極限基的貢獻(xiàn)在于將微積分的基礎(chǔ)建立在極限基礎(chǔ)上，礎(chǔ)上，Weirstrass的貢獻(xiàn)是建立了分析基礎(chǔ)的邏的貢獻(xiàn)是建立了分析基礎(chǔ)的邏輯順序：輯順序：實(shí)數(shù)系實(shí)數(shù)系極限論極限論微積分。微積分。微積分簡(jiǎn)介BarrowLeibnizNewtonWeierstrassBolzanoCauchy微積分簡(jiǎn)介微積分的歷史功績(jī)微積分的歷史功績(jī)微積分的誕生具有劃時(shí)代意義，是數(shù)學(xué)史上的分微積分

39、的誕生具有劃時(shí)代意義，是數(shù)學(xué)史上的分水嶺和轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這個(gè)偉大發(fā)明的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)明顯水嶺和轉(zhuǎn)折點(diǎn)，這個(gè)偉大發(fā)明的產(chǎn)生，使得數(shù)學(xué)明顯地不同于從古希臘繼承下來的舊數(shù)學(xué)：地不同于從古希臘繼承下來的舊數(shù)學(xué)：u舊數(shù)學(xué)是關(guān)于舊數(shù)學(xué)是關(guān)于常量常量的數(shù)學(xué)，而新數(shù)學(xué)是關(guān)于的數(shù)學(xué)，而新數(shù)學(xué)是關(guān)于變量變量的數(shù)學(xué)；的數(shù)學(xué)；u舊數(shù)學(xué)是舊數(shù)學(xué)是靜態(tài)靜態(tài)的，新數(shù)學(xué)是的，新數(shù)學(xué)是動(dòng)態(tài)動(dòng)態(tài)的，前者研究的，前者研究離離散的數(shù)學(xué)散的數(shù)學(xué)，后者研究，后者研究連續(xù)的數(shù)學(xué)連續(xù)的數(shù)學(xué)；u舊數(shù)學(xué)涉及的只是舊數(shù)學(xué)涉及的只是固定的固定的和和有限的有限的，新數(shù)學(xué)包含，新數(shù)學(xué)包含了了運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)、變化變化和和無限無限。微積分簡(jiǎn)介學(xué)好微積分的關(guān)鍵u理解映射

40、、函數(shù)的概念u理解極限的概念u認(rèn)識(shí)無窮小、無窮大u認(rèn)識(shí)函數(shù)的連續(xù)性微積分簡(jiǎn)介數(shù)（自然數(shù)數(shù)（自然數(shù)整數(shù)整數(shù)有有理數(shù)理數(shù)實(shí)數(shù)實(shí)數(shù)復(fù)數(shù)）復(fù)數(shù)）變量變量函數(shù)（描述變量之間函數(shù)（描述變量之間的變化關(guān)系）的變化關(guān)系）極限極限函數(shù)的分析性質(zhì)，實(shí)數(shù)理論的建函數(shù)的分析性質(zhì)，實(shí)數(shù)理論的建立（有限維歐式空間上的定義的立（有限維歐式空間上的定義的函數(shù)）函數(shù)）實(shí)分析（實(shí)分析（Lebesgue積分理論）積分理論）函數(shù)空間的研究（函數(shù)空間的研究（Hilbert空空間，間，Banach空間空間無限維無限維空間）空間）函數(shù)空間上定義的函數(shù)，函數(shù)空間上定義的函數(shù)，即泛函或算子即泛函或算子線性泛函非線性泛函微積分簡(jiǎn)介目錄Contentsu數(shù)學(xué)史上的三次危機(jī)p畢達(dá)哥拉斯（ Pythagoras）悖論p貝克萊（Berkeley）悖論p羅素（ Rusell）悖論u微積分的起源p巨人的肩膀p所涉及到的思想u簡(jiǎn)單微積分的應(yīng)用p無窮求和的概念p曲線、面積、體積的計(jì)算微積分簡(jiǎn)介問題一：比較