2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案

1、2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競(jìng)賽試題及答案 高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 2021年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 第一試 一、選擇題（每小題6分,滿分36分） 1 刪去正整數(shù)數(shù)列1,2,3,中的全部完全平方數(shù)，得到一個(gè)新數(shù)列這個(gè)新數(shù)列的第2021 項(xiàng)是 (a)2046 (b)2047 (c)2048 (d)2049 2 設(shè)a, b r, ab0，那么，直線 ax y+b=0和曲線 bx2+ay2=ab 的圖形是 (a) (b) (c) (d) 3 過(guò)拋物線y2=8(x+2)的焦點(diǎn)f作傾斜角為60 的直線若此直線與拋物線交于a,b兩點(diǎn)， 弦ab的中垂線與x軸交于p點(diǎn)，則線段pf的長(zhǎng)等于 16168 (b) (c) (d)83

2、 333 2 5 4 若x , ，則y= tan(x+) tan(x+)+cos(x+)的最大值是 312366 (a) (a) 12111211 2 (b)2 (c)3 (d) 5656 94 +的最小值是 2 4 x29 y 5 已知x,y都在區(qū)間( 2,2)內(nèi)，且xy 1，則函數(shù)u= (a) 8121224 (b) (c) (d) 55711 6 在四周體abcd中，設(shè)ab=1，cd=3，直線ab與cd的距離為2，夾角為 面體abcd的體積等于 (a) 311 (b) (c) (d) 2323 3 ，則四 二、填空題(每小題9分,滿分54分) 7 不等式|x|3 2x2 4|x|+30的

3、解集是_. x2y2 1的兩個(gè)焦點(diǎn)，p是橢圓上的點(diǎn)，且|pf1|:|pf2|=2:1，則pf1f28 設(shè)f1,f2是橢圓94 的面積等于_. 9 已知a=x|x2 4x+30,x r, b=x|21 x a0, x2 2(a+7)x+50,x r若a b, 則實(shí)數(shù) a的取值范圍是_. 高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽 10 已知a,b,c,d均為正整數(shù)，且logab= 35 , logcd=，若a c=9, 則b d=_. 24 11 將八個(gè)半徑都為1的球分兩層放置在一個(gè)圓柱內(nèi)，并使得每個(gè)球和其相鄰的四個(gè)球 相切，且與圓柱的一個(gè)底面及側(cè)面都相切，則此圓柱的高等于_. 12 設(shè)mn=(十進(jìn)制)n位純小數(shù)0.a1a2

4、 an|ai只取0或1(i=1,2,n 1)，an=1，tn是 sn =_. n tn mn中元素的個(gè)數(shù)，sn是mn中全部元素的和，則lim三、解答題(每小題20分，滿分60分) 1. 已知 2. 設(shè)a、b、c分別是復(fù)數(shù)z0 ai,z1 3 x 5,證2x 1 2x 3 3x 2 2 1 bi,z2 1 ci(a,b,c r)對(duì)應(yīng)的不共線三點(diǎn)。 2 證：曲線z z0cos4t 2z1cos2tsin2t z2sin4t(t r)與 abc中平行于ac的中位線只有一個(gè)公共點(diǎn)，并求出此點(diǎn)。 3. 一張紙上畫有半徑為r的圓o和圓內(nèi)肯定點(diǎn)a，且oa=a，折疊紙片，使圓周上某一點(diǎn) a 剛好與a點(diǎn)重合，這樣的每一種折法，都留下一條直線折痕，當(dāng)a 取遍圓周上全部點(diǎn)時(shí)，求全部折痕所在直線上點(diǎn)的集合。 其次試 1、過(guò)圓外一點(diǎn)p作圓的兩條切線和一條割線，切點(diǎn)為a、b，所作割線交圓于c、d兩點(diǎn)，c在p、d之間，在弦cd上取一點(diǎn)q，使 daq pbc。求證： dbq pac 3t 3m 3n 2、設(shè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是整數(shù)l,m,n且l m n,已知 4 4 4 ，其中 10 10 10 x x x，求這種三角形周長(zhǎng)的最小值。 3、由n個(gè)點(diǎn)和這些點(diǎn)之間的l條連線段組成一個(gè)空間圖形，其中n q q 1， 2 l 1 q(q 1)2 1,q 2,q n，已知此圖中任四點(diǎn)不共面，每點(diǎn)