垂徑定理趙州橋

1、1、已知：如圖，、已知：如圖， O 中，弦中，弦ABCD，ABCD ，直徑直徑MNAB，垂足為，垂足為E，交弦，交弦CD于點(diǎn)于點(diǎn)F.圖中相等的線段有圖中相等的線段有 .圖中相等的劣弧有圖中相等的劣弧有 .FEOMNABCDDOABC2、已知：如圖，、已知：如圖， O 中，中， AB為為 弦，弦，C 為為 AB 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，OC交交AB 于于D ，AB = 6cm ，CD = 1cm. 求求 O 的半徑的半徑OA.EOABDC已知：如圖，直徑已知：如圖，直徑CDAB，垂足為，垂足為E .若半徑若半徑R = 2 ，AB = , 求求OE、DE 的長(zhǎng)的長(zhǎng). 若半徑若半徑R = 2 ，OE = 1

2、 ，求，求AB、DE 的長(zhǎng)的長(zhǎng).由由 、兩題的啟發(fā)，你還能編出什么其他問(wèn)題？?jī)深}的啟發(fā)，你還能編出什么其他問(wèn)題？32解：如圖，用解：如圖，用 表示橋拱，表示橋拱， 所在圓的圓心為所在圓的圓心為O，半徑為，半徑為R米，米，經(jīng)過(guò)圓心經(jīng)過(guò)圓心O作弦作弦AB的垂線的垂線OD，D為垂足，與為垂足，與 相交于點(diǎn)相交于點(diǎn)C.根根據(jù)垂徑定理，據(jù)垂徑定理，D是是AB的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，C是是 的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，CD就是拱高就是拱高.由題設(shè)由題設(shè)ABABABAB37.47.2OABCRD, 2 . 7, 4 .37CDABABAD21, 7 .184 .3721DCOCOD. 2 . 7 R在在RtOAD中，由勾股定理

3、，得中，由勾股定理，得,222ODADOA.)2 . 7(7 .18222RR即解得解得 R27.9（米）（米）.答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為答：趙州石拱橋的橋拱半徑約為27.9米米.在直徑為在直徑為650mm的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油后，截面如圖所示示.若油面寬若油面寬AB = 600mm，求油的最大深度，求油的最大深度. BAO600 650ED 1、要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決、要把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)變成一個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題來(lái)解決.2、熟練地運(yùn)用垂徑定理及其推論、勾股定理，并用方程的思想、熟練地運(yùn)用垂徑定理及其推論、勾股定理，并用方程的思想來(lái)解決問(wèn)題來(lái)解決問(wèn)題

4、.3、對(duì)于一個(gè)圓中的弦長(zhǎng)、對(duì)于一個(gè)圓中的弦長(zhǎng)a、圓心到弦的距離、圓心到弦的距離d、圓半徑、圓半徑r、弓形、弓形高高h(yuǎn)，這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩個(gè)量，就可以求出另，這四個(gè)量中，只要已知其中任意兩個(gè)量，就可以求出另外兩個(gè)量，如圖有：外兩個(gè)量，如圖有：hda2Od + h = r222)2(adr1、在直徑為在直徑為52cm的圓柱形油槽內(nèi)裝入的圓柱形油槽內(nèi)裝入一些油，油的最大深度為一些油，油的最大深度為16cm，那么，那么油面油面AB= cm.2、有一圓弧形橋拱，拱的跨度、有一圓弧形橋拱，拱的跨度AB=16m,拱高拱高CD=4m,那么弓形的半徑那么弓形的半徑是是 m. 3.AB為為 O的直徑，

5、的直徑，C為圓上一點(diǎn)，弦為圓上一點(diǎn)，弦 CDAB，OCD的平分線交的平分線交 O于于P，當(dāng)點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)C在上半圓（不包括在上半圓（不包括A.B）上移動(dòng)時(shí)，）上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)點(diǎn)P（ ） A.到到CD的距離不變的距離不變 B.位置不變位置不變 C.等分等分DB D.隨點(diǎn)隨點(diǎn)C的移動(dòng)而移動(dòng)的移動(dòng)而移動(dòng) 4. O半徑為半徑為5cm，弦，弦ABCD,且且AB=6cm，CD=8cm，求，求AB、CD之間的距之間的距離。離。 5、 O中，中，AB為直徑，弦為直徑，弦CD交交AB于于E，DEB=60，AE=1cm，EB=5cm.求弦求弦CD 的長(zhǎng)。的長(zhǎng)。E 在我們生活中處處存在數(shù)學(xué)問(wèn)題，比在我們生活中處處存在數(shù)學(xué)問(wèn)題，

6、比如：某村在村口建一個(gè)如圖形狀的門(mén)樓，如：某村在村口建一個(gè)如圖形狀的門(mén)樓，半圓拱的圓心距地面米，半徑半圓拱的圓心距地面米，半徑.米。米。現(xiàn)有一輛高現(xiàn)有一輛高.米，寬米，寬.米的集裝箱米的集裝箱卡車，問(wèn)能通過(guò)這個(gè)門(mén)樓嗎？要解決這卡車，問(wèn)能通過(guò)這個(gè)門(mén)樓嗎？要解決這個(gè)問(wèn)題，必須運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)，個(gè)問(wèn)題，必須運(yùn)用圓的有關(guān)知識(shí)， 圖示，在直角三角形中，角圖示，在直角三角形中，角為直角，以為為直角，以為圓心，為半徑作圓，交與點(diǎn)，圓心，為半徑作圓，交與點(diǎn)，求的長(zhǎng)。求的長(zhǎng)。OABC3.AB為 O的直徑，C為圓上一點(diǎn)，弦D.隨點(diǎn)C的移動(dòng)而移動(dòng) 1300多年前，我國(guó)隋朝建造的趙州石拱橋（如圖）的橋拱多年前，我國(guó)隋

7、朝建造的趙州石拱橋（如圖）的橋拱是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)）為是圓弧形，它的跨度（弧所對(duì)是弦的長(zhǎng)）為 37.4 米，拱高（弧米，拱高（弧的中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形高）為的中點(diǎn)到弦的距離，也叫弓形高）為7.2米，求橋拱的半徑（精米，求橋拱的半徑（精確到確到0.1米）米）.趙趙 州州 橋橋趙州橋的主要特點(diǎn)：趙州橋的主要特點(diǎn)：1、全長(zhǎng)、全長(zhǎng)64.4米，全橋只有一個(gè)大拱，像一張弓；跨度為米，全橋只有一個(gè)大拱，像一張弓；跨度為 37.4 米，米，拱高為拱高為7.2米米;2、大拱的兩肩上各有兩個(gè)小拱，增加過(guò)水量，減輕橋身重量；、大拱的兩肩上各有兩個(gè)小拱，增加過(guò)水量，減輕橋身重量；3、拼成大拱的二十

8、八道拱圈都能獨(dú)立支撐重量；、拼成大拱的二十八道拱圈都能獨(dú)立支撐重量；4、全橋形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)堅(jiān)固，歷史悠久，雕刻古樸美觀，。、全橋形式優(yōu)美，結(jié)構(gòu)堅(jiān)固，歷史悠久，雕刻古樸美觀，。趙州橋平拱趙州橋平拱示意圖示意圖趙州橋的傳說(shuō) 魯班和他的妹妹魯姜周游天下。一路上，魯姜總是聽(tīng)到人們夸贊魯班的手魯班和他的妹妹魯姜周游天下。一路上，魯姜總是聽(tīng)到人們夸贊魯班的手藝高超，她心里太不服氣了，決心要跟哥哥比試比試。到了趙州，正巧要在河藝高超，她心里太不服氣了，決心要跟哥哥比試比試。到了趙州，正巧要在河上造兩座橋方便人們的生活，魯姜就同哥哥約定，一人造一座，看看誰(shuí)造得好。上造兩座橋方便人們的生活，魯姜就同哥哥約定，一

9、人造一座，看看誰(shuí)造得好。 魯姜是個(gè)急性子，她一下子找來(lái)了許多材料，才半天功夫就在城西造好了一座魯姜是個(gè)急性子，她一下子找來(lái)了許多材料，才半天功夫就在城西造好了一座橋，然后悄悄地溜到城南去偷看魯班。到了那里，只見(jiàn)河水汩汩地流，卻連個(gè)橋，然后悄悄地溜到城南去偷看魯班。到了那里，只見(jiàn)河水汩汩地流，卻連個(gè)橋影子也看不到。正覺(jué)得奇怪呢，忽然遠(yuǎn)遠(yuǎn)地，魯班趕著一群羊過(guò)來(lái)了。走近橋影子也看不到。正覺(jué)得奇怪呢，忽然遠(yuǎn)遠(yuǎn)地，魯班趕著一群羊過(guò)來(lái)了。走近了一瞧，那哪是羊啊，分明是一塊塊雪白細(xì)潤(rùn)的石頭。魯姜看得心頭一涼：多了一瞧，那哪是羊啊，分明是一塊塊雪白細(xì)潤(rùn)的石頭。魯姜看得心頭一涼：多好的石頭！我造的橋跟它比，那怎

10、么比??！嘿，對(duì)了，我有辦法了！她急急忙好的石頭！我造的橋跟它比，那怎么比??！嘿，對(duì)了，我有辦法了！她急急忙忙地回到城西，在自己造的那座橋的欄桿上細(xì)細(xì)地雕刻起來(lái)，什么牡丹呀、杜忙地回到城西，在自己造的那座橋的欄桿上細(xì)細(xì)地雕刻起來(lái)，什么牡丹呀、杜鵑呀、牛郎織女呀、鳳鳴朝陽(yáng)呀，一口氣刻了好多好多非常漂亮的圖案。第二鵑呀、牛郎織女呀、鳳鳴朝陽(yáng)呀，一口氣刻了好多好多非常漂亮的圖案。第二天天一亮，兩座橋都造好了。魯班修的大刀闊斧，氣勢(shì)雄偉，十分壯觀，被后天天一亮，兩座橋都造好了。魯班修的大刀闊斧，氣勢(shì)雄偉，十分壯觀，被后人稱為大石橋；魯姜修的則小巧玲瓏，各種圖案精雕細(xì)刻，秀氣美觀，被后人人稱為大石橋；魯姜

11、修的則小巧玲瓏，各種圖案精雕細(xì)刻，秀氣美觀，被后人稱作小石橋。兩座橋各有各的優(yōu)點(diǎn)，都深得趙州人民的喜愛(ài)。稱作小石橋。兩座橋各有各的優(yōu)點(diǎn)，都深得趙州人民的喜愛(ài)。兄妹造橋兄妹造橋 仙人過(guò)橋仙人過(guò)橋 魯班一夜之間修成大石橋，人們奔走相告，到處傳頌。八仙之一的張果魯班一夜之間修成大石橋，人們奔走相告，到處傳頌。八仙之一的張果老聽(tīng)說(shuō)后，就倒騎毛驢，親自到趙州看個(gè)究竟。張果老在橋頭見(jiàn)到魯班，問(wèn)老聽(tīng)說(shuō)后，就倒騎毛驢，親自到趙州看個(gè)究竟。張果老在橋頭見(jiàn)到魯班，問(wèn)道：道：“先生，你這橋能禁得住我的毛驢一過(guò)嗎？先生，你這橋能禁得住我的毛驢一過(guò)嗎？”魯班毫不在意地說(shuō)：魯班毫不在意地說(shuō)：“你你看這橋上行人客商，千軍萬(wàn)

12、馬來(lái)往不絕，你這小小毛驢不在話下，先生但過(guò)看這橋上行人客商，千軍萬(wàn)馬來(lái)往不絕，你這小小毛驢不在話下，先生但過(guò)無(wú)妨。無(wú)妨?！睆埞习蛋涤梅ㄐg(shù)聚來(lái)日月星辰裝進(jìn)肩上的搭褳，笑瞇瞇地倒騎毛張果老暗暗用法術(shù)聚來(lái)日月星辰裝進(jìn)肩上的搭褳，笑瞇瞇地倒騎毛驢走上了橋。當(dāng)毛驢走到三分之一處時(shí)，大橋被壓得搖搖晃晃，形勢(shì)危急。驢走上了橋。當(dāng)毛驢走到三分之一處時(shí)，大橋被壓得搖搖晃晃，形勢(shì)危急。魯班急忙飛身橋下，用大手托住橋身，保住了大橋。魯班感到怪異，合住左魯班急忙飛身橋下，用大手托住橋身，保住了大橋。魯班感到怪異，合住左眼用右眼細(xì)細(xì)觀察，才發(fā)現(xiàn)騎驢的老頭原來(lái)是仙人張果老，毛驢雖小，但是眼用右眼細(xì)細(xì)觀察，才發(fā)現(xiàn)騎驢的老頭原來(lái)是仙人張果老，毛驢雖小，但是卻裝著日月星辰。此后，橋面石上就留下了仙人的驢蹄印。卻裝著日月星辰。此后，橋面石上就留下了仙人的驢蹄印。 柴王推車柴王推車 柴王聽(tīng)到魯班在趙州修橋的消息后，為國(guó)家有這樣的賢良能人而高興。柴王聽(tīng)到魯班在趙州修橋的消息后，為國(guó)家有這樣的賢良能人而高興。他便推上獨(dú)輪車，裝載三山五岳，由趙匡胤拉車，來(lái)趙州橋考查封賞魯班。他便推上獨(dú)輪車，裝載三山五岳，由趙匡胤拉車，來(lái)趙州橋考查封賞魯班。小車將至橋巔，因?yàn)檐嚦翗蚨?，柴王腳下一滑，單膝跪在橋上，把橋面上壓小車將至橋巔，因?yàn)檐嚦翗蚨?，柴王腳下一滑，單膝跪在橋上，把橋面上壓了一個(gè)