結(jié)構(gòu)位移計(jì)算李廉錕結(jié)構(gòu)力學(xué)PPT課件

1、1. 結(jié)構(gòu)的位移是指結(jié)構(gòu)上的某一截面在荷載或其它因素作用下由某一位置移動(dòng)到另一位置，這個(gè)移動(dòng)的量就稱為該截面的位移（線位移和角位移）。 思考：變形與位移的差別？6-1 變形：結(jié)構(gòu)形狀的改變。位移：結(jié)構(gòu)各處位置的移動(dòng)第1頁/共105頁AAAAAxAyPAxAy2. 位移的分類6-1 第2頁/共105頁ABDCCDVCDDVCV 截面C、D 的相對(duì)豎向線位移為 :VVVDCCDDC CD 截面C、D 的相對(duì)角位移為: AB CDDCC D6-1 第3頁/共105頁AAAPAxAyt 3.位移產(chǎn)生的原因6-1 第4頁/共105頁鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: (1) 剛度要求在工程上，吊車梁允許的撓度1/6

2、00 跨度；橋梁在豎向靜活載下，鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度1/700 和1/900跨度高層建筑的最大位移1/1000 高度。 最大層間位移1/800 層高。6-1 第5頁/共105頁(2) 超靜定結(jié)構(gòu)、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算的基礎(chǔ)(3）施工要求 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力不能僅由平衡條件確定，分析時(shí)必須考慮變形條件，因而需要計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移。 在結(jié)構(gòu)的施工過程中，常需預(yù)先知道結(jié)構(gòu)變形后的位置，以便采取一定的施工措施，使結(jié)構(gòu)物符合設(shè)計(jì)圖紙的要求。6-1 第6頁/共105頁（3）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。（principle of superposition)(1) 線彈性 (Linear Ela

3、stic),(2) 小變形 (Small Deformation),6-1 第7頁/共105頁本章只討論應(yīng)用虛功原理求解結(jié)構(gòu)位移。2. 功能法虛功原理應(yīng)變能(卡氏定理) 研究變形和位移的幾何關(guān)系，用求解微分方程式的辦法求出某截面的位移（材料力學(xué)用過，但對(duì)復(fù)雜的桿系不適用）。1.幾何法 6-1 第8頁/共105頁 一、基本概念0dFWl AOFFFBd F實(shí)功： 力在其本身引起的位移上所作的功。位移是由外力F引起的，F(xiàn) 做的功可表示為: 1.外力的實(shí)功6-2 變形體系的虛功原理第9頁/共105頁 實(shí)功的數(shù)值就等于圖上三角形OAB的面積。實(shí)功是外力的非線性函數(shù)，計(jì)算外力實(shí)功不能應(yīng)用疊加原理。kFF

4、kkW22121220d所以 設(shè)線彈性材料的彈性系數(shù)為k，則kF l AOFFFBd F6-2 變形體系的虛功原理第10頁/共105頁2.外力的虛功 虛功：力在其它原因引起的位移上所作的功，即做功的力系和相應(yīng)的位移是彼此獨(dú)立無關(guān)的。tFW 虛功的數(shù)值是位移曲線所圍的矩形面積。 虛功中的力與位移兩者相互獨(dú)立，計(jì)算外力虛功可應(yīng)用疊加原理。 lFOtFABFtt6-2 變形體系的虛功原理第11頁/共105頁力F1在力F2引起的位移12上作的功為虛功為121FW 例 F1力在其引起的位移11 上作的功為實(shí)功為 11121FW F1121211FF1211212212126-2 變形體系的虛功原理第12

5、頁/共105頁 結(jié)構(gòu)產(chǎn)生的各種位移，包括截面的線位移、角位移、相對(duì)線位移、相對(duì)角位移或者是一組位移等等都可泛稱為廣義位移。 3.廣義位移和廣義力廣義位移 與廣義位移對(duì)應(yīng)的就是廣義力，可以是一個(gè)集中力，集中力偶或一對(duì)大小相等方向相反的力或力偶，也可以是一組力系。 注意：廣義位移與廣義力的對(duì)應(yīng)關(guān)系，能夠在某一組廣義位移上做功的力系，才稱為與這組廣義位移對(duì)應(yīng)的廣義力。 廣義力6-2 變形體系的虛功原理第13頁/共105頁4.內(nèi)力功 定義：從桿上截取一微段,作用在該微段上的內(nèi)力在該微段的變形上做的功定義為該內(nèi)力做的功。該微段上相應(yīng)的變形為軸向變形 sdd剪力變形 sdd彎曲變形 skdd1FNFNsd

6、sd +dddsSFSddsMM6-2 變形體系的虛功原理第14頁/共105頁 如果變形就是由此內(nèi)力引起的，則此微段上內(nèi)力功應(yīng)為實(shí)功，其為軸力、剪力和彎矩分別做的功之和：d21d21d21dSNMFFw因?yàn)閟skssd1ddddddsMsFsFwd21d21d21dSN由胡克定律有： EIMGAFEAF1,SN故 sEIMsGAFsEAFwd21d21d21d22S2N實(shí)功數(shù)值上就等于微段的應(yīng)變能。 所以內(nèi)力實(shí)功6-2 變形體系的虛功原理第15頁/共105頁 若變形與內(nèi)力彼此無關(guān)，則此微段上的內(nèi)力功是虛功，其為ddddSNiMFFw對(duì)于整根桿的內(nèi)力虛功，則可對(duì)整根桿積分求得： dddSNiMF

7、FWsss原因而定。 , 和 的具體表達(dá)式要視引起這個(gè)變形的具體ddd內(nèi)力虛功6-2 變形體系的虛功原理第16頁/共105頁回顧（1）質(zhì)點(diǎn)系的虛功原理 具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和充分條件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0 對(duì)于任何可能的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。也即6-2 變形體系的虛功原理第17頁/共105頁（2）剛體系的虛功原理 去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是： 對(duì)于任何可能的虛位移，作用于剛體系的所有外力所做虛功之和為零。FPAxFBFAyFPB-FP P +FB B=06-2

8、 變形體系的虛功原理第18頁/共105頁二、虛功原理 1. 變形體的虛功原理 設(shè)一變形體在外力系作用下處于平衡狀態(tài)。當(dāng)變形體由于其他原因產(chǎn)生一符合約束條件的微小連續(xù)位移時(shí)，則外力系在位移上做的虛功的總和We，等于變形體的內(nèi)力在變形上做的虛功的總和Wi，即， ieWW 這就是虛功方程。 （證明略）需注意： 外力系必須是平衡力系，物體處于平衡狀態(tài)；6-2 變形體系的虛功原理第19頁/共105頁 位移必須滿足虛位移的條件滿足約束條件的非常微小的連續(xù)位移； 外力與位移兩者之間是相互獨(dú)立沒有關(guān)聯(lián)的。平衡的外力系與相應(yīng)的內(nèi)力是力狀態(tài)；符合約束條件的微小位移與相應(yīng)的變形是位移狀態(tài)。力狀態(tài)的外力在位移狀態(tài)的位

9、移上做功之和(外力虛功)等于力狀態(tài)的內(nèi)力在位移狀態(tài)的變形上做功之和(內(nèi)力虛功)。 對(duì)于兩個(gè)相互無關(guān)的力狀態(tài)和位移狀態(tài)的，可以虛設(shè)其中一個(gè)狀態(tài)，讓另一實(shí)際狀態(tài)在此虛設(shè)狀態(tài)下做功，列出虛功方程，可以求解不同的問題。 6-2 變形體系的虛功原理第20頁/共105頁位移狀態(tài)FPFP /2FP /2（虛）力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（虛）位移狀態(tài)q（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變形協(xié)調(diào)條件,力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡條件。 （1）屬同一體系；6-2 變形體系的虛功原理第21頁/共105頁2.桿系結(jié)構(gòu)虛功方程 希望能很好理解，盡可能達(dá)到掌握！dddSNiMFFWssseiWW6

10、-2 變形體系的虛功原理第22頁/共105頁虛位移原理 令實(shí)際的力狀態(tài)在虛設(shè)的位移狀態(tài)下做功所建立的虛功方程表達(dá)的是力的平衡條件。從中可以求出實(shí)際力系中的未知力。這就是虛位移原理。 虛力原理 令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功所建立虛功方程表達(dá)的是位移協(xié)調(diào)條件，從中可求出位移狀態(tài)中的一些未知位移。這就是虛力原理(也稱為余虛功原理)。 一個(gè)力系平衡的充分必要條件是：對(duì)任意協(xié)調(diào)位移，虛功方程成立。 一個(gè)位移協(xié)調(diào)的充分必要條件是：對(duì)任意平衡力系，虛功方程成立。3. 虛功原理的兩種應(yīng)用6-2 變形體系的虛功原理第23頁/共105頁 注意: 虛位移原理寫出的虛功方程是一個(gè)平衡方程式，可用于求解平衡力

11、系中的未知力。BCDEAFFaaaa/2/2a例如：應(yīng)用虛位移原理求支座C的反力FC。ABCDEDEBCFCACDEFBF0EBCCFFF0)43()21(CCCCFFF即 FFC45故 撤除與FC相應(yīng)的約束,將FC變成主動(dòng)力，取與FC正向一致的剛體位移作為虛位移。列出虛功方程： 6-2 變形體系的虛功原理第24頁/共105頁 注意：虛力原理寫出的虛功方程是一個(gè)幾何方程，可用于求解幾何問題。 例：當(dāng)A支座向上移動(dòng)一個(gè)已知位移c1，求點(diǎn)B產(chǎn)生的豎向位移。ACBc1Aba在擬求線位移的方向加單位力 由平衡條件 abFyAACBFyA1 令虛設(shè)的平衡力系在實(shí)際的位移狀態(tài)下做功，得虛功方程011 yA

12、Fc)()(111 cababcFcyA求得與單位力方向相同。6-2 變形體系的虛功原理第25頁/共105頁單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method) 是 Maxwell, 1864和Mohr, 1874提出，故也稱為Maxwell-Mohr Method。圖示結(jié)構(gòu)，要求 KK=?實(shí)際狀態(tài) 位移狀態(tài)虛擬狀態(tài) 力狀態(tài)6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法第26頁/共105頁112233KKWFRCR CR C 外NsWF duMdF rds內(nèi)KNsF duMdF rdsRC 用虛功原理，位移狀態(tài)即實(shí)際狀態(tài)，另虛設(shè)一個(gè)力狀態(tài)（稱力虛設(shè)狀態(tài)），要使虛擬力的虛功正好等于所求位移，可接

13、右圖選取虛擬狀態(tài)，用虛擬力為單位力，故稱為單位荷載法。外力虛功: 內(nèi)力虛功:由虛功方程：此式即為平面結(jié)構(gòu)位移計(jì)算一般公式。若結(jié)果為正，說明 在 上做正功，這表明的實(shí)際方向與方向相同。若結(jié)果為負(fù)，說明 在 上做負(fù)功，這表明的實(shí)際方向與方向相反。 K1KF 1KF K6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法第27頁/共105頁幾點(diǎn)說明：(1) 所建立的虛功方程 ，實(shí)質(zhì)上是幾何方程。(2) 虛設(shè)的力狀態(tài)與實(shí)際位移狀態(tài)無關(guān)，故可設(shè)單位廣義力 P=1(3) 求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛力狀態(tài)的靜力平衡關(guān)系。特點(diǎn): 是用靜力平衡法來解幾何問題。單位位移法的虛功方程 平衡方程單位荷載法的虛功方程 幾何方程總的來講：

14、6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法第28頁/共105頁2. 結(jié)構(gòu)類型：梁、剛架、桁架、拱、組合結(jié)構(gòu)； 靜定和超靜定結(jié)構(gòu)；1. 位移原因：荷載、溫度改變、支座移動(dòng)等；3. 材料性質(zhì)：線性、非線性；4. 變形類型：彎曲變形、拉(壓)變形、剪切變形；5. 位移種類：線位移、角位移；相對(duì)線位移 和相對(duì)角位移。一般公式的普遍性表現(xiàn)在：6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法第29頁/共105頁BA?AB(b)試確定指定廣義位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力A?A(a)F=1F=1F=16-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法第30頁/共105頁F=1?A(c)A?AB(d)ABF=1F=16-3 位移計(jì)算的一般公式

15、單位荷載法第31頁/共105頁ABCd?BC(e)dF1dF1ABC2d1d(f)?ACAB11d11d21d21d11BCBCBCWddd 外6-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法第32頁/共105頁AB?AB(g)F=1F=1C(h)C左右=？F=1F=16-3 位移計(jì)算的一般公式 單位荷載法第33頁/共105頁由虛功原理有：W= WiNdddissssWFuMFs cFcFcFcFFWRKRRRKK1332211外力虛功 變形虛功 荷載作用引起的位移計(jì)算KP 等號(hào)左側(cè)是虛設(shè)的單位外力在實(shí)際的位移上所做的外力虛力，右側(cè)是虛設(shè)單位力狀態(tài)的內(nèi)力在實(shí)際位移狀態(tài)的變形上做的內(nèi)力虛功之和。6-4 靜

16、定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第34頁/共105頁對(duì)于直桿，則可用dx代替ds。計(jì)算位移的公式為NPSPPNSKP000dddlllFFMFxFxMxEAGAEI 單位力狀態(tài)下結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和矩方程式。MFF、SN 實(shí)際荷載引起結(jié)構(gòu)的軸力、剪力和彎矩方程式。 PSPNPMFF、E、G 材料的彈性模量和剪力彈性模量. A、I 桿件的橫截面面積和橫截面慣性矩. 剪力在截面上分布的不均勻系數(shù)，對(duì)于矩形截面=1.2。 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第35頁/共105頁（1）梁、剛架：只考慮彎矩Mp引起的位移。 （2）桁架：只有軸力。 桁架各桿均為等截面直桿則xEIMMdPxEAFFdNPNEA

17、lFFNPN6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第36頁/共105頁 拱壩一類的厚度較大的拱形結(jié)構(gòu)，其剪力也是不能忽略的。所以計(jì)算拱壩時(shí)，軸力、剪力和彎矩三項(xiàng)因素都須要考慮進(jìn)去。 (4) 跨度較大的薄拱，其軸力和彎矩的影響相當(dāng)，剪力的影響不計(jì)，位移計(jì)算公式為 sEIMMsEAFFssddPNPN6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算（3）組合結(jié)構(gòu)EAlFFsEIMMNPNPd1第37頁/共105頁 例6-1 圖示剛架，已知各桿的彈性模量E和截面慣性矩 I 均為常數(shù)，試求B點(diǎn)的豎向位移BV，水平位移BU, 和位移B 。qaaACBxEI=常數(shù) 解: (1) 作出荷載作用下的彎矩圖，寫出各桿的彎

18、矩方程。橫梁BC 2P21)(qxxM)0(ax 豎柱CA 2P21)(qaxMACBql2MP0.5)0(ax 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第38頁/共105頁(2)求B 點(diǎn)的豎向位移BVACaBMa1 寫出各桿單位力作用下的彎矩方程式，畫出彎矩圖橫梁BC 豎柱CA xxM)(axM)(aoBxEIMMdPVEIxqaaEIxqxxaoaod21d2122)(85212141434EIqaxaxEIqao)0(ax )0(ax M6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第39頁/共105頁(3) 求B點(diǎn)的水平位移BU 在B點(diǎn)加單位水平力。畫出彎矩圖并寫出各桿的彎矩方程 BCM=a x

19、xAaa-x1橫梁BC 0)(xM豎柱CA xxM)(aBxEIMM0PUdEIxqaxad21)(02)(414EIqa注意：負(fù)號(hào)表示位移的方向與假設(shè)的單位力的方向相反。 )0(ax )0(ax 6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算（4）求B點(diǎn)的線位移B 2U2VBBBEIqa4829第40頁/共105頁 例6-2 一圓弧形懸臂梁受勻布荷載作用，設(shè)曲梁矩形截面的彎曲剛度為EI ，半徑為r ，圓弧AB 的圓心角0 及荷載 q 均為已知，試求截面B 的豎向及水平向位移BV和BU。 qOr0BACdyx 解: 當(dāng)曲梁的半徑較大截面比較薄時(shí)，可忽略軸力和剪力的影響。 (1) 列出曲梁在荷載作用下的

20、彎矩方程。假定曲梁內(nèi)側(cè)纖維受拉為正彎矩。 取B點(diǎn)為座標(biāo)原點(diǎn)，任意截面C 的橫座標(biāo)為x，該截面的彎矩：2P21qxM6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第41頁/共105頁 (2) 求BV ，在B點(diǎn)加一豎向單位力，單位豎向力引起的彎方程為 xM1dsin2d)sin()sin21(100034022EIqrrrqrEI采用極坐標(biāo)表示dd,cos,sinrsrryrx22Psin21qrMsinrM由于 000030203cos31cosdsin)cos1(dsin所以 )cos31cos32(20304EIqrBC dxMMEIBPV1030cos31cos32Ox1BA0rddCs6-4 靜

21、定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第42頁/共105頁 (3) 求BU，在B點(diǎn)作用一單位向水平力，列出此水平向單位力引起的彎矩方程)cos1 (. 1ryMsMMEIBd1PUdcossin2110022rrrqrEId)cos1(sin20024EIqr030004sin3121sincos212EIqrOy1BA0rddCs6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第43頁/共105頁 例6-3 平面桁架如圖，已知各桿截面積均為A=0.410-2m2彈性橫量E=200GPa，試求B點(diǎn)和D點(diǎn)的豎向位移。4m4m3m3m24kNABC解: (1) 求出實(shí)際荷載狀態(tài)下各桿的內(nèi)力。 (2) 求BV4m4m3

22、m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第44頁/共105頁 在B點(diǎn)加一向下的單位力,求此單位力引起的各桿軸力FN 。EAlFFPBNNV4)32()333. 1( 2540667. 1229104 . 01020016)224)(1(71080/144)341.25(666.8m1014.4-4BCFN001-1.333-1.333-11.6671.6674m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCF00NP6-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第45頁/共105頁(3) 求DV 在D點(diǎn)

23、加一向下單位力，求出此虛設(shè)狀態(tài)ABCFN10.8330001-0.5-0.833EAlFFDNPNV29104 . 01020016)24()5 . 0(540833. 071080/ )726 .166(m1098. 24 各桿的軸力FN 。4m4m3m3m24kN-32kN-32kN-24kN40kN40kNABCFNP006-4 靜定結(jié)構(gòu)在荷載作用下的位移計(jì)算第46頁/共105頁 在桿件數(shù)量多的情況下,不方便. 下面介紹計(jì)算位移的圖乘法。 EIsMMPiPd6-5 圖乘法 (Graphic Multiplication Method and its Applications)1. 靜定結(jié)

24、構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算；2. 利用位移計(jì)算公式求靜定結(jié)構(gòu)的位移；3. 剛架與梁在荷載作用下的位移計(jì)算公式, 即:已有基礎(chǔ)：第47頁/共105頁sEIMMPdsMMEIPd1xMxEIPdtan1 xxMEIPdtan ccyEIxEI 1tan(對(duì)于等截面桿)(對(duì)于直桿) xMMEIPd1)tan( xM 圖乘法求位移公式為:EIycip圖乘法的適用條件是什么?圖乘法是Vereshagin于1925年提出的，他當(dāng)時(shí)為莫斯科鐵路運(yùn)輸學(xué)院的學(xué)生。6-5 圖乘法 第48頁/共105頁例.試求圖示梁B端轉(zhuǎn)角。解:sEIMMPBdEIycABP2/ l2/ lEIBAB1M4/Pl1MPMi)(161214211

25、2EIPlPllEI為什么彎矩圖在桿件同側(cè)圖乘結(jié)果為正?6-5 圖乘法 第49頁/共105頁指曲線切線與桿軸重合或平行6-5 圖乘法 幾種常見圖形的面積和形心位置的確定方法第50頁/共105頁圖乘法小結(jié)：1. 圖乘法的應(yīng)用條件（1）等截面直桿，EI為常數(shù)；（2）兩個(gè)M圖中應(yīng)有一個(gè)是直線；（3） 應(yīng)取自直線圖中。cy2.若 與 在桿件的同側(cè)， 取正值；反之，取負(fù)值。cycy3. 如圖形較復(fù)雜，可分解為簡(jiǎn)單圖形。6-5 圖乘法 第51頁/共105頁(1) 曲-折組合jjKiyyyyxMM 332211d圖形分解6-5 圖乘法 第52頁/共105頁(2) 梯-梯同側(cè)組合122211dyyxMMKi

26、3)2(3)2(21dcydcy6-5 圖乘法 第53頁/共105頁(3) 梯-梯異側(cè)組合1 1y2 2yABCDabcdKM圖M圖b c取負(fù)值2211dyyxMMKi 3)2(3)2(21dcydcy6-5 圖乘法 第54頁/共105頁復(fù)雜圖形的處理：+=+=6-5 圖乘法 第55頁/共105頁B求1MPMi)(24)1322EIqlqllqllEIBAB4/2qllEIq42ql8/2qlq8/2ql6-5 圖乘法 第56頁/共105頁(4) 階梯形截面桿jjjjKiIEyIEyIEyIEyxEIMM 333322221111d6-5 圖乘法 第57頁/共105頁

27、例 1. 已知EI為常數(shù)，求A、B兩點(diǎn)相對(duì)水平位移 。AB應(yīng)用舉例AlqBhq8/2qlh11hMPiM)(12832132EIqhlhlqlEIEIycCD解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖6-5 圖乘法 第58頁/共105頁 例 2. 圖示梁EI 為常數(shù)，求C點(diǎn)豎向位移。iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(1285)48224328331(1322EIqllqllllqlEIEIycC8/2ql)(241221231132EIqllqllEIEIycc6-5 圖乘法 第59頁/共105頁32/2qliM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)23182

28、21232222122132232(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/2ql2/2ql8/2ql6-5 圖乘法 第60頁/共105頁iM2/ lAl/2qBCl/2MP2/2ql1C)(38417)2218223242212438231(14222EIqllqlllqlllqllEIEIycc8/2qlq8/2ql2/qlq8/2ql4/2ql2/ql8/2ql8/2ql6-5 圖乘法 第61頁/共105頁例3. 試求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)豎向位移。解:sEIMMPBydEIycPlMPMi)(34)3221(13EIPlllPlllPlEI1lPEIBE

29、Ill6-5 圖乘法 第62頁/共105頁例4.已知 EI為常數(shù)，求鉸C 兩側(cè)截面相對(duì)轉(zhuǎn)角 。C解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖AlqBlClq4/ql4/qlMP110l /11iM)(2421832132EIqllqlEIEIycCD4/2ql4/2ql6-5 圖乘法 第63頁/共105頁 例5.已知 EI 為常數(shù)，求A點(diǎn)豎向位移 。A)(4822)22182322324221232421(14222EIqlEIlqlllqlllqllEIEIycCD解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖Aqlllq4/qlMP4/2ql2/11iM2/ l6-5 圖乘法 第64頁/共105頁例6. 求B點(diǎn)水平

30、位移。解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖MP)(85412322113EIPlllPlEIllPlEIEIycBPlABllEI4PEIEI1注意:各桿剛度可能不同iMl6-5 圖乘法 第65頁/共105頁 例7.已知EI為常數(shù)，求B截面轉(zhuǎn)角。MP解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖ABkN/m2m4kN6m2m31124Mi)(38)21443213112421(1EIEIEIycB6-5 圖乘法 第66頁/共105頁)(31123)32(21322113EIPlllPllllPlllPllPllEIEIycB解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖8. 求B點(diǎn)豎向位移,EI=常數(shù)。AlPBllMPPlP

31、l2A1Bl 2MPl6-5 圖乘法 第67頁/共105頁解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(434)2)(2(14322113EAPlEIPllPEAllPlEIEAlNNEIyPicB9. 求C、D 兩點(diǎn)相對(duì)水平位移 。CD ABllEAEICDPPEIlMPPlPl11iMll6-5 圖乘法 第68頁/共105頁解：作荷載彎矩圖和單位荷載彎矩圖)(421212)2322212223122142(13kPEIPlkPlPlllPlllPlllPllEIEIycB10.求A點(diǎn)豎向位移, EI=常數(shù) 。1/2iMMPPl2/Pl2/PllPlAk1k6-5 圖乘法 第69頁/共105頁AlPB

32、lPl)(310)243221(13EIPllPlllPllEIEIycABY11.圖示結(jié)構(gòu) EI 為常數(shù)，求AB兩點(diǎn)(1)相對(duì)豎向位移,(2)相對(duì)水平位移,(3)相對(duì)轉(zhuǎn)角 。iMMP11Pll11lliM0EIycABX0EIycAB對(duì)稱彎矩圖反對(duì)稱彎矩圖 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的對(duì)稱彎矩圖與其反對(duì)稱彎矩圖圖乘,結(jié)果為零.1111iM6-5 圖乘法 第70頁/共105頁P(yáng)PPl1111繪制變形圖時(shí)，應(yīng)根據(jù)彎矩圖判斷桿件的凹凸方向，注意反彎點(diǎn)的利用。如：6-5 圖乘法 第71頁/共105頁由溫度變化引起的位移計(jì)算 (1)每根桿受的溫度是均勻作用的，即每桿上各截面的溫度是相同的。 (2)桿件的兩側(cè)的溫度可以是

33、不同的，但從高溫一側(cè)到低溫一側(cè)溫度是按直線變化的。 (3)由于假定溫度沿桿長(zhǎng)均勻分布,不可能出現(xiàn)剪切變形, 只有軸向變形dut 和截面轉(zhuǎn)角d。假定： 6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第72頁/共105頁溫度引起的纖維軸向變形為：t 其中材料的線膨脹系數(shù)，即溫度升高1時(shí)桿的應(yīng)變。 設(shè)微段 ds 的 溫度變化為：ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第73頁/共105頁梁段上側(cè)、下側(cè)和中心軸處纖維伸長(zhǎng)分別為studd11tstudd22tstudd00t由于截面內(nèi)的溫度呈直線變化，有 11012htthtt得： hhthtt21120shths

34、tstdddd12其中t= t2 t1 ，為桿兩側(cè)的溫度變化之差。 ht1t2st1t2t0h1h2dsdsdsdt0d6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第74頁/共105頁 令虛設(shè)的力狀態(tài)在結(jié)構(gòu)的實(shí)際位移狀態(tài)下做功。在擬求位移的截面虛設(shè)一單位力，則外力在位移上做的功應(yīng)等于內(nèi)力在溫度引起的變形上做的功之和，即 dd1NFM sFtsMhtddN0式中對(duì)結(jié)構(gòu)中各桿求和。MdAsM單位力彎矩圖中該桿彎矩圖的面積。 NNdAsF單位力軸力圖中該桿軸力圖的面積。 所以 N0MAtAht6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第75頁/共105頁 正負(fù)符號(hào)取決于虛功是正功還是負(fù)功。若桿的軸心處的溫度t0

35、是升高，而單位力軸力圖中該桿受拉力，則此桿的內(nèi)力虛功為正功，此項(xiàng)取正號(hào)，反之取負(fù)號(hào)。 若溫度變化t使桿彎曲而某側(cè)受拉，而單位力彎矩圖中該桿的彎矩也使該側(cè)受拉，則虛內(nèi)力做正功取正號(hào)，反之為負(fù)號(hào)。6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第76頁/共105頁 例6-5 圖示剛架，各桿均為矩形截面，截面高h(yuǎn)=40cm，截面形心位于截面高度1/2處。l=4m設(shè)剛架內(nèi)部溫度上升10外部下降20。線膨脹系數(shù)=110-5，試求D點(diǎn)的豎向位移。2m2m2m2mABCD-20 Co 10 Coh 解 (1) 在D點(diǎn)作用一向上的單位力F=1，作彎矩圖 和軸力圖 MNF14m4mM 圖111FN圖221412444214

36、4NMAA6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第77頁/共105頁(2)計(jì)算 D點(diǎn)的豎向位移。C52)C20(C104 . 02 . 0)C20(20C10000000.t兩側(cè)的溫度差為 CCC30)20(100012ttt2)C5(244 . 0C30C11100005)(m0179. 0101800105N0MUAtAhtD有桿軸線處的溫升值為6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第78頁/共105頁 例6-6 圖示桁架，受日照均勻溫升30。求C點(diǎn)豎向位移。 A2mCB30 解：在C點(diǎn)作單位力并求出各桿軸力 。 NFA00-1.732-1.7322.02.0CB1己知各桿 t0= 30,t

37、= 0故 NCAt0V )(m103866. 0732. 12122)C11(C301040056-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第79頁/共105頁制造誤差引起的位移計(jì)算：)(.)(mmA272348118每個(gè)上弦桿加長(zhǎng)8mm,求由此引起的A點(diǎn)豎向位移。118/mm4886m11A1118/118/118/6-6 靜定結(jié)構(gòu)溫度變化時(shí)的位移計(jì)算第80頁/共105頁由支座移動(dòng)引起的位移計(jì)算 求由支座移動(dòng)引起的結(jié)點(diǎn)某點(diǎn)的位移只是一個(gè)單純的幾何問題?？梢杂昧W(xué)方法剛體的虛力原理來求解。 01 cRcR 式中 是由單位力F所引起的支座反力；c 是與反力 相應(yīng)的已知的支座位移。當(dāng)二者方向一致時(shí)，其乘積

38、取正值，相反時(shí)取負(fù)值。 在要求位移的點(diǎn)上沿位移的方向加一單位力F，求出在此單位力作用下的支座反力R 。所有外力虛功之和應(yīng)為零有：R6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算R第81頁/共105頁由平面桿件結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的一般公式： cFRKcdsFdMduFcFSNRK對(duì)于靜定結(jié)構(gòu)，支座移動(dòng)不引起內(nèi)力，材料不變形，因此du、d和ds為零，上式簡(jiǎn)化為: 負(fù)號(hào)系原來移項(xiàng)所得，不可漏掉！6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算第82頁/共105頁 例6-7 三鉸剛架如圖所示，若支座A下沉C，求BD柱的轉(zhuǎn)角。 BCDaAcaaBD解：(1) 在BD柱上作用單位力矩M =1，求支座反力。 ADEBM=1a1a1a1

39、a1(2) 代入公式計(jì)算得： acaccRBD)1( 結(jié)果得正值表示柱的轉(zhuǎn)角方向與所假定的單位力矩的方向相同。 6-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算第83頁/共105頁 例6-8 圖示剛架右邊支座的豎向位移By=0.06m(向下)，水平位移Bx=0.04m(向右)，已知l=12m，h=8m。試求由此引起的A端轉(zhuǎn)角A)211(xyRABhBlcF（順時(shí)針方向）radhBlBxy0075. 08204. 01206. 026-7 靜定結(jié)構(gòu)支座移動(dòng)時(shí)的位移計(jì)算Bx=4cm第84頁/共105頁 1. 功的互等定理 F1作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第一狀態(tài)，F(xiàn)2作用下產(chǎn)生的內(nèi)力和變形稱為第二狀態(tài)。 先加F

40、1然后加F2的情況，整個(gè)加載過中系統(tǒng)做的總功為 121212122211112121FFFW表示由編號(hào)為j 的力引起i點(diǎn)的位移。 ij先加F2后加F1，整個(gè)過程中系統(tǒng)做的總功為 12122211122121FFFW6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第85頁/共105頁1212221112121222111121212121FFFWFFFW因?yàn)榫€彈性體系做功與加荷的次序無關(guān)，有 故得 212121FF 虛功互等定理：狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移上做功等于狀態(tài)的力在狀態(tài)的位移上做功。2112WW6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第86頁/共105頁由功的互等定理 可推出位移互等定理2. 位移互等定理 令功的互等定

41、理中的力F1=F2=1 ,則有 2112112112 位移互等定理：由單位荷載F1 引起的與荷載F2相應(yīng)的位移21，在數(shù)值上等于由單位荷載F2引起的與荷載F1相應(yīng)的位移12。這里用小寫的字母表示單位力引起的位移。 在一般情況下位移互等定理可寫成： jiij 212121FF6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第87頁/共105頁注意：位移互等定理適用于廣義力及其對(duì)應(yīng)的廣義位移。 上圖表示了兩個(gè)狀態(tài)的線位移12 與21互等。 上圖表示了線位移12數(shù)值上等于角位移21。F =212狀態(tài) 121F =1121121狀態(tài)1 22F=1221=21狀態(tài) 11112 12狀態(tài) 22= M=2216-8 線彈性結(jié)

42、構(gòu)的互等定理 第88頁/共105頁 3. 反力互等定理 第狀態(tài)，支座1產(chǎn)生單位位移 1V=1而引起支座反力k11 和 k21 。 第狀態(tài)，支座2產(chǎn)生單位位移2V=1而引起支座反力k12 和 k22 k12n1k2221k111n1k2126-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第89頁/共105頁 由功的互等定理，第狀態(tài)的力在第狀態(tài)的位移上做虛功 ，等于第狀態(tài)的力在第狀態(tài)的位移上做虛功 。故有21W12W011022122111kkkk即 1221kk一般情況下可寫成 jiijkkk111n1k212k1212n1k226-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第90頁/共105頁 支座i由于支座j發(fā)生單位位移所引

43、起的支座反力kij，等于支座j由于支座i發(fā)生單位位移而引起的支座反力kji。注意：反力互等定理也適用于其他廣義力的互等。 例： k12 是反力矩， k21是反力，兩者互等只是數(shù)值上互等。 121k1221k11 k216-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第91頁/共105頁4. 反力位移互等定理 2112 r6-8 線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理 第92頁/共105頁 小 結(jié) 本章討論了虛功原理以及應(yīng)用虛功原理來求解結(jié)構(gòu)的位移。虛功原理又分為虛位移原理和虛力原理，它們都是虛功原理的具體應(yīng)用。前者用于求內(nèi)力和反力，后者用于求位移。在應(yīng)用虛功原理時(shí)要涉及兩個(gè)量：力系和位移。這兩者是彼此無關(guān)的，但卻需滿足一定的條件

44、。力系必須是平衡的；位移必須是符合約束條件的、無限小的連續(xù)位移。由于力與位移兩者彼此無關(guān)，因此可以虛設(shè)一組力系(虛力原理)，讓它在實(shí)際的結(jié)構(gòu)位移上做功, 列出虛功方程，從中求出未知位移。 cRsMFFd)(SN 這就是虛力原理表達(dá)的虛功方程。也就是位移計(jì)算的一般公式最基本的形式。小結(jié)第93頁/共105頁 位移和變形( )是結(jié)構(gòu)在給定條件下所具有的. 是實(shí)際的位移狀態(tài)。力系( )則是虛設(shè)的。 虛擬力系的設(shè)置應(yīng)當(dāng)根據(jù)所求位移來相應(yīng)的設(shè)置，并根據(jù)需要求出其相應(yīng)的反力和內(nèi)力。 c;,;RMFFF;,;1SN 變形(, )是泛指的，若是荷載引起的則代入公式 即導(dǎo)出公式）。若是溫度引起的，則代入公式、 和即導(dǎo)出溫度變化引起的位移計(jì)算公式。 若計(jì)算支座移動(dòng)引起的位移，則因靜定結(jié)構(gòu)因支座位移不會(huì)引起結(jié)構(gòu)變形，只會(huì)引起結(jié)構(gòu)的剛體位移, 這時(shí)=0 。公式等號(hào)右邊前一項(xiàng)為零，只剩后一項(xiàng). 這就是公式(。小結(jié)第94頁/共105頁 虛功原理本身適用于任何變形體，但在本章推導(dǎo)位移計(jì)算公式時(shí)引入了彈性規(guī)律，故公式() 只適用于線彈性體系。 圖乘法是具體的運(yùn)算方法。只有滿足一定的條件下才能用圖乘法。象曲桿、變截面桿等均不能用圖乘法。 互等定理是線