第一章部分習(xí)題解答

1、第一章部分習(xí)題解答 1.3設(shè)隨機(jī)變量y與x滿意如下函數(shù)關(guān)系y=g(x)=sin(x+)，其中是已知常量，求 y的概率密度。 解：依據(jù)函數(shù)y=sin(x+)的值域，明顯|y|1成立，因此，當(dāng)|y|1時(shí)，有fy(y)=0當(dāng)|y|1時(shí)，g(y)為多值函數(shù)，包括： 1 x2n=arcsiny +2n,x2n+1= arcsiny +(2n+1),n=0,1,2, 依據(jù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布，得 + fy(y)= n= fx(xn) dxndy d(arcsiny +n)d( arcsiny +n) +fx( arcsiny +n) dydynodd + neven fx(arcsiny +n)fx(arc

2、siny +nneven nodd fx( arcsiny +n= + fx(xn) 綜合以上結(jié)果，得 fy(y)=11 arcsiny +n,neven ，其中xn= arcsiny +n,nodd 1.4設(shè)有隨機(jī)變量x1和x2，求y=x1x2和z=x1/x2的概率密度。解法一： 思路：通過(guò)引入幫助變量，分別求出y和z的概率密度。 (1)求y的概率密度設(shè)y1=x1,y2=y=x1x2 x1=y1 對(duì)應(yīng)的反函數(shù)為單值函數(shù) ，j= x=y/y x2 221 y1 x1 y1 x1 y2 x2 y2 1=y 2y12 11= y1 y1 依據(jù)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，得 1 fy1y2(y1,y2)

3、=fx1x2(x1,x2)j=fx1x2(y1,y2/y1) y1 由聯(lián)合概率分布積分得到邊緣概率分布 +1 fy2(y2)=fy1y2(y1,y2)dy1=fx1x2(y1,y2/y1)dy1 y1將上式中的積分變量y1替換為u，得 fy(y)= + 1 fx1x2(u,y/u)duu (2)求z的概率密度 設(shè)z1=x1,z2=z=x1/x2 x1=z1 對(duì)應(yīng)的反函數(shù)為單值函數(shù) ，j= =xz/z x2 212 z1 x1 z1 x1 z2 1 =1 x2 z2 z2 zz1= 12 2z2z2 依據(jù)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，得 z fz1z2(z1,z2)=fx1x2(x1,x2)j=1fx

4、1x2(z1,z1/z2)2 z2 由聯(lián)合概率分布積分得到邊緣概率分布 +z1 fz2(z2)=fz1z2(z1,z2)dz1=fx1x2(z1,z1/z2)dz1 z2 2將上式中的積分變量z1替換為v，得fz(z)= + v fxx(v,v/z)dvz212 令u=v，即v=zu，還可以進(jìn)一步寫為 z（留意：需依據(jù)z的取值進(jìn)行爭(zhēng)論）1)z0時(shí)，fz(z)= 2)z0時(shí)，fz(z)= + +zu f(zu,u)zdu=ufx1x2(zu,u)dux1x22 z zu+zuf(zu,u)zdu=f(zu,u)zdu=xx+z2x1x2 ufx1x2(zu,u)duz212 + 綜合1)和2)，

5、得fz(z)=解法二： + ufx1x2(zu,u)du 思路：同時(shí)求出y和z的概率密度。 y= x1x2 x1= x1=需要留意到 的反函數(shù)為多值函數(shù)： z=x /x12 x2= x2=機(jī)變量函數(shù)的分布的求解方法相同，需要考慮每個(gè)反函數(shù)對(duì)概率密度的貢獻(xiàn)。 另外，還需要留意到由于y和z必定同號(hào)，因此二維隨機(jī)變量(y,z)的取值位于第一和第三象限。爭(zhēng)論如下：(1)當(dāng)( y,z) 位于第一象限時(shí) x1 x1=由 j= y 1 x2 x2= y x1 z= x2 z x1 x1=類似的，由 j= y 2 x2 x2= y x1 z= x2 z依據(jù)多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，得 fyz(y,z)=fx1x

6、2(x1,x2)j1+fx1x2(x1,x2)j2 11+fx1x2( 先不要焦急去掉肯定值，需爭(zhēng)論z的取值范圍2z2z11由于(y,z)位于第一象限，z大于0=fx1x2+fx1x2(2z2z 接下來(lái)，由聯(lián)合概率分布積分分別得到y(tǒng)和z的邊緣概率分布： =fx1x2 fy(y)= + fx1x2+11dz+fx1x2(dz 02z2z 留意積分下限 對(duì)于上式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)令u即z= u2/y，對(duì)其次項(xiàng)令v=z=v2/y，得fy(y)= +0+ yy2uyy2v )2du+fx1x2(v, )2dv 00u2uyv2vy y1y1 fx1x2(u,du+fx1x2(v,)dv 0uuvv0y1

7、y1 fx1x2(u,du+fx1x2(v,dv uuvv+ fx1x2(u, 0+ y1 fx1x2(u,du(y0) uu +0 fz(z)= fx1x2+11dy+fx1x2(dy 02z2z 留意積分下限 對(duì)于上式等號(hào)右邊的第一項(xiàng)令u=y= zu2，對(duì)其次項(xiàng)令v=即y=zv2，得fz(z)= +0+ 11 2zudu+fx1x2( zv,v)2zvdv 002z2z 11 fx1x2(zu,u)2zudu+fx1x2( zv,v)2zvdv 02z2z+ fx1x2(zu,u) 0+ fx1x2(zu,u)udu+ 00 fx1x2(zv,v)vdvfx1x2(zv,v)vdv 0+ fx1x2(zu,u)udu+ fx1x2(zu,u)udu(z0) (2)當(dāng)(y,z)位于第三象限時(shí)，同理可得fy(y)= +