函數(shù)值域求法例題

1、頁眉 1 / 9 函數(shù)值域求法（例題） 在函數(shù)的三要素中，定義域和值域起決定作用，而值域是由定義域和對(duì)應(yīng)法則共同確定。研究函數(shù)的值域，不但要重視對(duì)應(yīng)法則的作用，而且還要特別重視定義域?qū)χ涤虻闹萍s作用。確定函數(shù)的值域是研究函數(shù)不可缺少的重要一環(huán)。對(duì)于如何求函數(shù)的值域，是學(xué)生感到頭痛的問題，它所涉及到的知識(shí)面廣，方法靈活多樣，在高考中經(jīng)常出現(xiàn)，占有一定的地位，若方法運(yùn)用適當(dāng)，就能起到簡(jiǎn)化運(yùn)算過程，避繁就簡(jiǎn)，事半功倍的作用。本文就函數(shù)值域求法歸納如下，供參考。 1. 直接觀察法 對(duì)于一些比較簡(jiǎn)單的函數(shù)，其值域可通過觀察得到。 例1. 求函 數(shù)x1y?的值域。 解：0x? 0x1? 顯然函數(shù)的值域是：

2、),0()0,(? 例2. 求函 數(shù)x3y?的值域。 解： 0x? 3x3,0x? 故函數(shù)的值域是：3,? 2. 配方法 配方法是求二次函數(shù)值域最基本的方法之一。 例3. 求函數(shù)2,1x,5x2xy2?的值域。 解：將函數(shù)配方得：4)1x(y2? 2,1x? 由二次函數(shù)的性質(zhì)可知：當(dāng)x=1時(shí)，4ymin?，當(dāng)1x?時(shí)，8ymax? 故函數(shù)的值域是：4，8 3. 判別式法 例4. 求函 數(shù)22x1xx1y?的值域。 解：原函數(shù)化為關(guān)于x的一元二次方程 0x)1y(x)1y(2? （1）當(dāng)1y?時(shí)，Rx? 0)1y)(1y(4)1(2? 解得 ：23y21? 頁眉 2 / 9 （2）當(dāng)y=1時(shí)，0

3、x?，而?23,211 故函數(shù)的值域 為?23,21 例5. 求函 數(shù))x2(xxy?的值域。 解：兩邊平方整理得：0yx)1y(2x222?（1） Rx? 0y8)1y(42? 解得 ：21y21? 但此時(shí)的函數(shù)的定義域由0)x2(x?，得2x0? 由0?，僅保證關(guān)于x的方程：0yx)1y(2x222?在實(shí)數(shù)集R有實(shí)根，而不能確保其實(shí)根在區(qū)間0，2上，即不能確保方程（1）有實(shí)根，由 0?求出的范圍可能比y的實(shí)際范圍大，故不能確定此函數(shù)的值域 為?23,21。 可以采取如下方法進(jìn)一步確定原函數(shù)的值域。 2x0? 0)x2(xxy? 21y,0ymin?代入方程（1） 解得 ：2,022222x

4、41? 即 當(dāng)22222x41?時(shí)， 原函數(shù)的值域?yàn)?：21,0? 注：由判別式法來判斷函數(shù)的值域時(shí)，若原函數(shù)的定義域不是實(shí)數(shù)集時(shí)，應(yīng)綜合函數(shù)的定義域，將擴(kuò)大的部分剔除。 4. 反函數(shù)法 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以通過求其原函數(shù)的定義域來確定原函數(shù)的值域。 例6. 求函 數(shù)6x54x3?值域。 解：由原函數(shù)式可得 ：3y5y64x? 則其反函數(shù)為 ：3x5y64y?，其定義域?yàn)椋?3x? 故所求函數(shù)的值域?yàn)?：?53, 5. 函數(shù)有界性法 頁眉 3 / 9 直接求函數(shù)的值域困難時(shí)，可以利用已學(xué)過函數(shù)的有界性，反客為主來確定函數(shù)的值域。 例7. 求函 數(shù)1e1eyxx?的值域。 解：由原函數(shù)式

5、可得 ：1y1yex? 0ex? 01y1y? 解得：1y1? 故所求函數(shù)的值域?yàn)?1,1(? 例8. 求函 數(shù)3xsinxcosy?的值域。 解：由原函數(shù)式可得：y3xcosxsiny?，可化為： y3)x(xsin1y2? 即1yy3)x(xsin2? Rx? 1,1)x(xsin? 即11yy312? 解得 ：42y42? 故函數(shù)的值域 為?42,42 6. 函數(shù)單調(diào)性法 例9. 求函 數(shù))10x2(1xlog2y35x?的值域。 解： 令1xlogy,2y325x1? 則21y,y在2，10上都是增函數(shù) 所以21yyy?在2，10上是增函數(shù) 當(dāng)x=2時(shí) ，8112log2y33min?

6、 當(dāng)x=10時(shí) ，339log2y35max? 故所求函數(shù)的值域?yàn)?：?33,81 頁眉 4 / 9 例10. 求函 數(shù)1x1xy?的值域。 解：原函數(shù)可化為 ：1x1x2y? 令1xy,1xy21?，顯然21y,y在,1?上為無上界的增函數(shù) 所以1yy?，2y在,1?上也為無上界的增函數(shù) 所以當(dāng)x=1時(shí)，21yyy?有最小 值2，原函數(shù)有最大 值222? 顯然0y?，故原函數(shù)的值域 為2,0( 7. 換元法 通過簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是函數(shù)解析式含有根式或三角函數(shù)公式模型，換元法是數(shù)學(xué)方法中幾種最主要方法之一，在求函數(shù)的值域中同樣發(fā)揮作用。 例11. 求函 數(shù)1xxy?

7、的值域。 解：令t1x?，)0t(? 則1tx2? 43)21t(1tty22? 又0t?，由二次函數(shù)的性質(zhì)可知 當(dāng)0t?時(shí)，1ymin? 當(dāng)0t?時(shí)，?y 故函數(shù)的值域?yàn)?,1? 例12. 求函 數(shù)2)1x(12xy?的值域。 解：因0)1x(12? 即1)1x(2? 故可令,0,cos1x? 1cossincos11cosy2? 1)4sin(2? ?4540,0 211)4sin(201)4sin(22? 故所求函數(shù)的值域 為21,0? 頁眉 5 / 9 例13. 求函 數(shù)1x2xxxy243?的值域。 解：原函數(shù)可變形為 ：222x1x1x1x221y? 可令?tgx，則 有?2222

8、cosx1x1,2sinx1x2 ?4sin412cos2sin21y 當(dāng)82k?時(shí)，41ymax? 當(dāng)82k?時(shí)，41ymin? 而此時(shí)?tan有意義。 故所求函數(shù)的值域?yàn)?41,41 例14. 求函數(shù))1x)(cos1x(siny? ，?2,12x的值域。 解：)1x)(cos1x(siny?1xcosxsinxcosxsin? 令txcosxsin?， 則)1t(21xcosxsin222)1t(211t)1t(21y? 由)4/xsin(2xcosxsint? 且?2,12x 可得 ：2t22? 當(dāng)2t?時(shí) ，223ymax?， 當(dāng)22t?時(shí) ，2243y? 故所求函數(shù)的值域 為?22

9、3,2243。 例15. 求函 數(shù)2x54xy?的值域。 解：由0x52?，可 得5|x|? 故可 令,0,cos5x? 頁眉 6 / 9 4 )4sin(10sin54cos5y? ? ?045 44? 當(dāng)4/?時(shí)，104ymax? 當(dāng)?時(shí) ，54ymin? 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?04,54? 8. 數(shù)形結(jié)合法 其題型是函數(shù)解析式具有明顯的某種幾何意義，如兩點(diǎn)的距離公式直線斜率等等，這類題目若運(yùn)用數(shù)形結(jié)合法，往往會(huì)更加簡(jiǎn)單，一目了然，賞心悅目。 例16. 求函數(shù)22)8x()2x(y?的值域。 解：原函數(shù)可化簡(jiǎn)得：|8x|2x|y? 上式可以看成數(shù)軸上點(diǎn)P（x）到定點(diǎn)A（2），)8(B?間的

10、距離之和。 由上圖可知，當(dāng)點(diǎn)P在線段AB上時(shí)，10|AB|8x|2x|y? 當(dāng)點(diǎn)P在線段AB的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上時(shí)，10|AB|8x|2x|y? 故所求函數(shù)的值域?yàn)椋?10? 例17. 求函數(shù)5x4x13x6xy22?的值域。 解：原函數(shù)可變形為： 2222)10()2x()20()3x(y? 上式可看成x軸上的點(diǎn))0,x(P到兩定點(diǎn))1,2(B),2,3(A?的距離之和， 由圖可知當(dāng)點(diǎn)P為線段與x軸的交點(diǎn)時(shí)，43)12()23(|AB|y22min?， 故所求函數(shù)的值域?yàn)?43? 例18. 求函數(shù)5x4x13x6xy22?的值域。 解：將函數(shù)變形為：2222)10()2x()20()3x(

11、y? 上式可看成定點(diǎn)A（3，2）到點(diǎn)P（x，0）的距離與定點(diǎn))1,2(B?到點(diǎn))0,x(P的距離之差。 頁眉 7 / 9 即：|BP|AP|y? 由圖可知：（1）當(dāng)點(diǎn)P在x軸上且不是直線AB與x軸的 交點(diǎn)時(shí)，如點(diǎn)'P，則構(gòu)成'ABP?，根據(jù)三角形兩邊之差小于第三邊，有26)12()23(|AB|'BP|'AP|22? 即：26y26? （2）當(dāng)點(diǎn)P恰好為直線AB與x軸的交點(diǎn)時(shí)，有26|AB|BP|AP|? 綜上所述，可知函數(shù)的值域?yàn)椋?6,26(? 注：由例17，18可知，求兩距離之和時(shí)，要將函數(shù)式變形，使A、B兩點(diǎn)在x軸的兩側(cè)，而求兩距離之差時(shí)，則要使A，B兩

12、點(diǎn)在x軸的同側(cè)。 如：例17的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為：（3，2），)1,2(? ， 在x軸的同側(cè)；例18的A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（3，2），)1,2(?，在x軸的 同 側(cè)。 9. 不等式法 利用基本不等式abc3cba,ab2ba3?)Rc,b,a(?，求函數(shù)的最值，其題型特征解析式是和 式時(shí)要求積為定值，解析式是積時(shí)要求和為定值，不過有時(shí)需要用到拆項(xiàng)、添項(xiàng)和兩邊平方等技巧。 例19. 求函數(shù)4)xcos1x(cos)xsin1x(siny22?的值域。 解：原函數(shù)變形為： 52xcotxtan3xcotxtan3xsecxces1xcos1xsin1)xcosx(siny22322222222?

13、 當(dāng)且僅當(dāng)xcotxtan? 即當(dāng)4kx?時(shí))zk(?，等號(hào)成立 故原函數(shù)的值域?yàn)椋?,5? 例20. 求函數(shù)x2sinxsin2y?的值域。 解：xcosxsinxsin4y? xcosxsin42? 頁眉 8 / 9 27643/)xsin22xsinx(sin8)xsin22(xsinxsin8xcosxsin16y322222224? 當(dāng)且僅當(dāng)xsin22xsin22?，即 當(dāng)32xsin2?時(shí)，等號(hào)成立。 由2764y2?可得 ：938y938? 故原函數(shù)的值域?yàn)?：?938,938 10. 一一映射法 原理：因 為)0c(dcxbaxy?在定義域上x與y是一一對(duì)應(yīng)的。故兩個(gè)變量中，

14、若知道一個(gè)變量范圍，就可以求另一個(gè)變量范圍。 例21. 求函 數(shù)1x2x31y?的值域。 解：定義域?yàn)?21x21x|x或 由1x2x31y? 得3y2y1x? 故213y2y1x? 或213y2y1x? 解得23y23y?或 故函數(shù)的值域 為?,2323,? 11. 多種方法綜合運(yùn)用 例22. 求函 數(shù)3x2xy?的值域。 解： 令)0t(2xt?，則1t3x2? （1）當(dāng)0t?時(shí) ，21t1t11tty2?，當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即1x?時(shí)取等號(hào)，所以21y0? （2）當(dāng)t=0時(shí)，y=0。 綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?21,0 注：先換元，后用不等式法 頁眉 9 / 9 例23. 求函 數(shù)42432xx21xxx2x1y?的值域。 解 ：4234242xx21xxxx21xx21y? 2222x1xx1x1? 令2tanx?， 則?2222cos