復合材料力學第二章

1、第二章 各向異性彈性力學基礎單層復合材料的宏觀彈性性能通常是均勻各向異性的.有些組份材料本身就具有明顯的各向異性.材料力學與彈性力學是以均質各向同性材料為研究對象.微觀上未必是各向同性的.宏觀上是均質各向同性材料纖維復合材料屬于各向異性材料 各向異性與各向同性彈性力學的基本方程的差別在于:本構方程 即用各向異性胡克定律代替各向同性胡克定律,這一代換將使力學計算及反映的現象十分復雜.y.y.yz.yxyzyxyxz作用在x面上的正應力作用在y面內z方向的剪應力單元體分析如果作用面的外法線指向坐標系中相應坐標軸的正向,而應力分量也指向對應坐標軸的正向,則應力分量為正.當兩個下標中,只有一個指向坐標

2、軸的正向時,該應力分量就為負.各向異性彈性力學基本方程 與各向同性彈性力學一樣,各向異性彈性力學有15個未知量3個位移分量,u,v,w6, xyzyzxzyx個應變分量,6, xyzyzxzyx個應力分量,220()xyxxzuXxyzt220()xyyyzvYxyzt220()zyxzxwZxyzt靜力平衡方程X，Y，Z作用于微元體的體積力幾何關系(小變形)(6)xuxyvyzwzzywvyzzxwuxzyxuvyx變形協(xié)調方程(6)22222yxyxyxx y 22222yzyzzyz y 22222xzxzxzz x 2()2xyyzxzxxyzxz y 2()2xyzyyxzyzxyz

3、 x 2()2zyxyzxzzxyzy x 給定力的邊界條件(3),xxyxzyxyyzzxzyzlmnXlmnYlmnZ已知已知已知給定位移的邊界條件(3),uuvvww已知已知已知各向異性彈性力學的本構方程 小變形時,iijjiijjCS及柔度矩陣剛度矩陣用矩陣表示111121314151612212223242526233132333435363441424344454645515253545556566162636465666CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC剛度矩陣11112131415161221222324252623313233343536

4、3441424344454645515253545556566162636465666SSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSSS柔度矩陣 對于非均勻的一般彈性體而言，式中的Cij,應該是彈性體內點的位置而異，也就是說它們是位置坐標的函數。 對于一個均勻的彈性體而言，若各點的應力狀態(tài)相同時，必對應有相同的應變狀態(tài)，反之，當彈性體內各點有同樣的應變狀態(tài)時，則必有相同的應力狀態(tài)。式中的Cij,并不因彈性體內點的位置而異。對于一定的材料，它們應是確定的常數。由能量守恒定律與對應變位能的考察ijjiijjiCCS及SC,S是對稱矩陣最一般的各向異性胡克定律有21個獨立的彈性

5、常數ijijC 或 者 S（即在彈性體內不存在任何彈性對稱關系的各向異性體）柔度矩陣與剛度矩陣互逆1 SC1 CS 以上的力學,幾何,物理,以及邊界條件諸方面構成各向異性彈性力學的基本方程,與各向同性彈性力學的區(qū)別在于物理方程. 各向異性體的彈性應變能:1122ijjiijjiWCS 彈性體的應變能 當彈性體受力后，產生彈性變形，當外力消失后，彈性體便恢復到初始狀態(tài)，使彈性體變形時外力所做的功以能量的形式儲存在彈性體內。如果沒有熱能或動能的改變。這種能量就是彈性體的應變能。各向異性彈性力學的本構方程 1 完全各向異性(21個彈性常數)11113SS11223144155166+S+S+S+S

6、456,是剪應力1只要有剪應力,就可以有正應變各向異性體一般具有偶合相象:即剪應力可以引起正應變;同樣,正應力也可以引起剪應變;反之亦然.顯然,各向異性體的形狀改變與體積改變也是偶合現象:注意:各向同性體無此偶合現象.有一彈性對稱面(13個彈性常數) 對于一物體點,所謂彈性對稱面是指通過該點有這樣一種平面,沿這些平面的對稱方向彈性性能是相同的. 例如:單向纖維復合材料宏觀而言是各向異性均勻體,不論纖維按照什么方式排列,垂直于纖維的各橫截面都是彈性對稱面.垂直于彈性對稱面的軸為材料的主軸(彈性主軸),(不要與應力主軸混淆)材料常數C ,S不因倒置x3而改變 設 的面為彈性對稱面30 x 3x2x

7、1x2331,正3x2x1x2331,負右手坐標系左手坐標系材料主軸材料主軸兩種坐標系計算的單位體積應變能一樣 設僅有 作用,其余應力分量為0,這時應變能14,2211114144442WSSS 對于上述兩種坐標系計算時, 為了使W保持不變,必須使 4變號1 4S= 0同理 1 4S2 43 44 6= S= S= S= 01 5S2 53 55 6= S= S= S= 0只有13個彈性常數1111213161222232623333634444545555666600000000SSSSSSSSSSSSS對稱 如果 其他應力分量為0,301133S2233S3333S23031021363S

8、當沿彈性主軸拉伸時,除縱向伸長,橫向收縮外,還會引起與主軸垂直的面(彈性對稱面)內的剪應變,且彈性主軸方向不變3x2x1x沿彈性主軸拉伸的變形特征材料主軸正交異性(9個彈性常數) 是有三個互相正交的彈性主軸(三個互相正交的彈性對稱面)的情況3x2x1x3x2x1x右手坐標系左手坐標系3x 主軸1x主軸利用兩個坐標系來計算應變能也應相同31123112,變號,所以16S263645=S =S =S =0111121312222323333444455556666000000000000SSSSSSSSS對稱沒有拉壓剪切偶合現象沒有不同平面內的剪切偶合現象 纖維在橫截面內按距形排列的單向纖維復合材

9、料,宏觀而言是一正交異性體的例子.321()纖 維 方 向宏觀均勻正交異性體3 個 主 軸11 111 221 331 31 21231231SSSEEE22 112 222 332 32 11231231SSSEEE33 113 223 333 13 21231231SSSEEE23442323231SG3155 3131311SG1266 1212121SG橫向同性(5個彈性常數)3 ()T2 ()T1()L宏觀均勻橫向同性體 纖維在橫截面內是隨機排列的,宏觀而言,其所有橫方向的彈性性能均相同,_橫觀各向同性121211231221EEE232121231221EEE 3132312312

10、21EEE 2323231G3131121G1212121G2322312(1)GE5個彈性常數12211223,E EGG111121212222323223444456656666000000000000SSSSSSSSS對稱各向同性12121223,EEEGGG令1,2,31,2,32,3,13,1,21()E 23,31,1223,31,121G12(1)GE彈性常數的取值范圍 根據非0應變狀態(tài)的彈性應變能為正值,應變能應是應變或者是應力的正定二次型.應變能的表達式為:12ijijWS W是 的正定二次型的充要條件是i矩陣S的所有主要主子式大于零.110S11det0S111221220SSSS等等對于各向同性100010001111EEEEEESGGG按照矩陣S的所有主要主子式大于零.計算出正定二次型的充要條件10, 12E 實際的各向同性材料:1021 31 21232 32332 33 11 2100010001111EEEEEESGGG對于正交各向異性因為對角線各元素都