基本概念—概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王松桂程維虎等科學(xué)出版社

1、 第八章 假設(shè)檢驗(yàn) 第一節(jié) 基本概念假設(shè)檢驗(yàn)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)作假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題這類(lèi)問(wèn)題稱(chēng)作假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 .總體分布已知，總體分布已知，檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)檢驗(yàn)關(guān)于未知參數(shù)的某個(gè)假設(shè)的某個(gè)假設(shè)總體分布未知時(shí)的總體分布未知時(shí)的假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題假設(shè)檢驗(yàn)問(wèn)題 在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的在本講中，我們將討論不同于參數(shù)估計(jì)的另一類(lèi)重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題另一類(lèi)重要的統(tǒng)計(jì)推斷問(wèn)題. 這就是根據(jù)樣這就是根據(jù)樣本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正本的信息檢驗(yàn)關(guān)于總體的某個(gè)假設(shè)是否正確確.讓我們先看一個(gè)例子讓我們先看一個(gè)例子.這一講我們討論對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn)這一講我們討

2、論對(duì)參數(shù)的假設(shè)檢驗(yàn) . 某工廠生產(chǎn)某工廠生產(chǎn)1010歐姆的電阻歐姆的電阻. .根據(jù)以往根據(jù)以往生產(chǎn)的電阻實(shí)際情況生產(chǎn)的電阻實(shí)際情況, ,可以認(rèn)為其電阻值可以認(rèn)為其電阻值 X XN(N( , , 2 2) ), ,標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差=0.1.=0.1.現(xiàn)在隨機(jī)抽取現(xiàn)在隨機(jī)抽取1010個(gè)電阻個(gè)電阻, ,測(cè)得它們的電阻值為測(cè)得它們的電阻值為: : 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 9.9, 10.1, 10.2, 9.7, 9.9, 9.9, 10, 10.5, 10.1, 10.2. 10.5, 10.1, 10.2. 試問(wèn)試問(wèn): :從這些樣本從這些樣本, ,我們能

3、否認(rèn)為該廠生我們能否認(rèn)為該廠生產(chǎn)的電阻的平均值產(chǎn)的電阻的平均值 為為1010歐姆歐姆? ?例例1 1( (一一) ) 一個(gè)例子一個(gè)例子u 確定總體確定總體: :記X X為該廠生產(chǎn)的電阻的測(cè)量值為該廠生產(chǎn)的電阻的測(cè)量值. .根據(jù)假設(shè)根據(jù)假設(shè),X ,X N(N( , , 2 2),),這里這里 =0.1.=0.1.u 明確任務(wù)明確任務(wù): : 通過(guò)樣本推斷通過(guò)樣本推斷X X的均值的均值是否等是否等于于1010歐姆歐姆. .u Hypothesis:Hypothesis:上面的任務(wù)就是要通過(guò)樣本去上面的任務(wù)就是要通過(guò)樣本去檢驗(yàn)檢驗(yàn)“X X的均值的均值=10”=10”這樣一個(gè)假設(shè)是否成這樣一個(gè)假設(shè)是否成

4、立立.(.(在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中把把“X X的均值的均值=10”=10”這樣一這樣一個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)記作個(gè)待檢驗(yàn)的假設(shè)記作“H H0 0:=10”:=10”稱(chēng)為稱(chēng)為 “ “原原假設(shè)假設(shè)”或或 “ “零假設(shè)零假設(shè)”問(wèn)題怎么建立問(wèn)題怎么建立: 原假設(shè)的對(duì)立面是原假設(shè)的對(duì)立面是“X X的均值的均值10”10”記作記作“H H1 1:10”:10”稱(chēng)為稱(chēng)為“對(duì)立假設(shè)對(duì)立假設(shè)”或或“備擇備擇假設(shè)假設(shè)”. .把它們合寫(xiě)在一起就是把它們合寫(xiě)在一起就是: : H H0 0:=10 H:=10 H1 1:10:10解決問(wèn)題的思路分析解決問(wèn)題的思路分析: 樣本均值是樣本均值是的一個(gè)良好估計(jì)的一個(gè)良好估計(jì).如果如

5、果=10,=10,即原假設(shè)成立時(shí)即原假設(shè)成立時(shí), ,那么那么: :10X 應(yīng)該比較小應(yīng)該比較小. .反之反之, ,如果它過(guò)于大如果它過(guò)于大, ,那么想必是原假設(shè)不成立那么想必是原假設(shè)不成立. .10X 的大小可以用來(lái)檢驗(yàn)原假設(shè)是的大小可以用來(lái)檢驗(yàn)原假設(shè)是 否成立否成立. .這里的問(wèn)題是這里的問(wèn)題是, ,我們?nèi)绾未_定常數(shù)我們?nèi)绾未_定常數(shù)c c呢呢 合理的思路是找出一個(gè)界限合理的思路是找出一個(gè)界限c,c, 細(xì)致的分析細(xì)致的分析: :根據(jù)定理6.4.1,2(,)XNn(0,1)0.1/10XN n=10 n=10 =0.1=0.1時(shí)時(shí), ,我們就接受原假設(shè)我們就接受原假設(shè)H H0 0 , ,1 0X

6、c當(dāng)當(dāng)10Xc而當(dāng)而當(dāng)時(shí)時(shí), ,我們就拒絕原假設(shè)我們就拒絕原假設(shè)H H0 0 . . 于是于是, ,當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H H0 0:=10 :=10 成立時(shí)成立時(shí), ,有有: 為確定常數(shù)為確定常數(shù)c,c,現(xiàn)在我們考慮一個(gè)相當(dāng)小的現(xiàn)在我們考慮一個(gè)相當(dāng)小的正數(shù)正數(shù) ( (理由下面講理由下面講).).例如例如 =0.05.=0.05. 于是于是, ,當(dāng)原假設(shè)當(dāng)原假設(shè) H H0 0:=10 :=10 成立時(shí)成立時(shí), ,有有: :10(0,1)0.1/10XN/2100.1/ 10XPZ/ 210(0.1/10)PXZ即/ 2(0.1 /10 )cZ取我們就拒絕原假設(shè)我們就拒絕原假設(shè) H H0 0:=1

7、0. :=10. 我們就接受原假設(shè)我們就接受原假設(shè) H H0 0:=10.:=10. 現(xiàn)在我們就得到檢驗(yàn)準(zhǔn)則如下現(xiàn)在我們就得到檢驗(yàn)準(zhǔn)則如下: :10Xc當(dāng)時(shí)10Xc而 當(dāng)時(shí)/2(0.1/10)cZ其中/ 2/ 210.0.1/1010(0.1/10)10.0.1/10XXZXZ稱(chēng)為檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量該檢驗(yàn)的 也即稱(chēng)為拒絕域 用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問(wèn)題用以上檢驗(yàn)準(zhǔn)則處理我們的問(wèn)題. ./ 21010.051.5810.1 /100.051.96XXZ計(jì) 算 得查 表 得接受原假設(shè)接受原假設(shè) H H0 0:=10.:=10. 我們的原假設(shè)是我們的原假設(shè)是 H H0 0:=10 :=10 由上面分析由上面

8、分析, ,當(dāng)當(dāng)H H0 0成立時(shí)成立時(shí), ,有有: :/ 210(0.1/10)PXZ 相當(dāng)小相當(dāng)小. .這就是說(shuō)這就是說(shuō): :如果如果H H0 0這個(gè)假設(shè)這個(gè)假設(shè)是正確的話是正確的話, ,檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域就是一個(gè)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量落入拒絕域就是一個(gè)發(fā)生的概率很小的事件發(fā)生的概率很小的事件. . 過(guò)去我們提到過(guò)過(guò)去我們提到過(guò), ,通常認(rèn)為通常認(rèn)為: :小概率事件在小概率事件在一次試驗(yàn)中基本上是不會(huì)發(fā)生的一次試驗(yàn)中基本上是不會(huì)發(fā)生的. . ( (我們把它稱(chēng)做實(shí)際推斷原理我們把它稱(chēng)做實(shí)際推斷原理.).) (II) (II)道理道理 那么如果小概率事件發(fā)生了那么如果小概率事件發(fā)生了, ,即即: : 我們

9、就拒絕我們就拒絕, ,這時(shí)我們說(shuō)這時(shí)我們說(shuō):“H:“H0 0不成立不成立.”.” 下面我們指出這很符合人們的邏輯下面我們指出這很符合人們的邏輯, ,實(shí)際上實(shí)際上這種思維也叫這種思維也叫: : 帶概率性質(zhì)的反證法帶概率性質(zhì)的反證法 u 通常的反證法設(shè)定一個(gè)假設(shè)以后通常的反證法設(shè)定一個(gè)假設(shè)以后, ,如果出如果出現(xiàn)的事實(shí)與之矛盾現(xiàn)的事實(shí)與之矛盾,(,(即如果這個(gè)假設(shè)是正確的即如果這個(gè)假設(shè)是正確的話話, ,出現(xiàn)一個(gè)概率等于出現(xiàn)一個(gè)概率等于0 0的事件的事件) )則絕對(duì)地否定假則絕對(duì)地否定假設(shè)設(shè). ./ 210(0.1/10).XZ發(fā)生了u 帶概率性質(zhì)的反證法的邏輯是帶概率性質(zhì)的反證法的邏輯是: : 即

10、即如果假設(shè)如果假設(shè)H H0 0是正確是正確的話的話, ,出現(xiàn)一個(gè)出現(xiàn)一個(gè)概率很概率很小小的的事件事件, ,則以很大的把握否定假設(shè)則以很大的把握否定假設(shè)H H0 0. . 檢驗(yàn)一個(gè)檢驗(yàn)一個(gè)H H0 0時(shí)是根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)判決是時(shí)是根據(jù)檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量來(lái)判決是否接受否接受H H0 0的的, ,而檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)的而檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是隨機(jī)的, ,這就有可能這就有可能判決錯(cuò)誤判決錯(cuò)誤. .這種錯(cuò)誤有以下兩類(lèi)這種錯(cuò)誤有以下兩類(lèi): : H H0 0事實(shí)上是正確的事實(shí)上是正確的, ,但被我們拒絕了但被我們拒絕了, ,稱(chēng)犯稱(chēng)犯了了“棄真棄真”的的( (或稱(chēng)第一類(lèi)或稱(chēng)第一類(lèi)) )錯(cuò)誤錯(cuò)誤. . H H0 0事實(shí)上是不正確的

11、事實(shí)上是不正確的, ,但被我們接受了但被我們接受了, ,稱(chēng)稱(chēng)犯了犯了“采偽采偽”的的( (或稱(chēng)第二類(lèi)或稱(chēng)第二類(lèi)) )錯(cuò)誤錯(cuò)誤. .(III)(III)兩類(lèi)錯(cuò)誤與顯著性水平兩類(lèi)錯(cuò)誤與顯著性水平 假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤假設(shè)檢驗(yàn)的兩類(lèi)錯(cuò)誤H0為真為真實(shí)際情況實(shí)際情況決定決定拒絕拒絕H0接受接受H0H0不真不真第一類(lèi)錯(cuò)誤第一類(lèi)錯(cuò)誤正確正確正確正確第二類(lèi)錯(cuò)誤第二類(lèi)錯(cuò)誤 P拒絕拒絕H0|H0為真為真= , P接受接受H0|H0不真不真= . 犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率: 顯著性水平顯著性水平 為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率為犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率. 由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)性由于檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量的隨機(jī)性, ,所以無(wú)論犯以所以無(wú)

12、論犯以上哪類(lèi)錯(cuò)誤都是隨機(jī)事件上哪類(lèi)錯(cuò)誤都是隨機(jī)事件, ,從而都有一定的概從而都有一定的概率率. .當(dāng)樣本容量當(dāng)樣本容量n n固定固定, ,犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率就不犯兩類(lèi)錯(cuò)誤的概率就不能同時(shí)被控制能同時(shí)被控制. . 在統(tǒng)計(jì)學(xué)中在統(tǒng)計(jì)學(xué)中, ,通?？刂品傅谝活?lèi)錯(cuò)誤的概通常控制犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率率. .一般事先選定一個(gè)數(shù)一般事先選定一個(gè)數(shù) ,(0,(0 1),1),要求犯第要求犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率一類(lèi)錯(cuò)誤的概率 . . 稱(chēng)稱(chēng) 為假設(shè)檢驗(yàn)的為假設(shè)檢驗(yàn)的顯著性水平顯著性水平, ,簡(jiǎn)稱(chēng)簡(jiǎn)稱(chēng)水平水平. . 由于犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率的研究與計(jì)算超由于犯第二類(lèi)錯(cuò)誤的概率的研究與計(jì)算超出了本書(shū)的范圍出了本書(shū)的范圍, ,因

13、此不作討論因此不作討論. . J 說(shuō)明說(shuō)明例例1(1(續(xù)續(xù)) ) 分析該例的顯著性水平分析該例的顯著性水平我們就拒絕原假設(shè)我們就拒絕原假設(shè) H H0 0:=10.:=10.10Xc當(dāng)時(shí)/2(0.1/10)cZ其中 現(xiàn)在讓我們分析一下現(xiàn)在讓我們分析一下: : 取上述取上述c c后后, ,如果假設(shè)如果假設(shè)H H0 0是正確是正確的的, ,卻被我們拒卻被我們拒絕了絕了, ,即犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率是多少即犯第一類(lèi)錯(cuò)誤的概率是多少. . 可見(jiàn)此例我們用的檢驗(yàn)方法犯可見(jiàn)此例我們用的檢驗(yàn)方法犯第一類(lèi)第一類(lèi)錯(cuò)誤錯(cuò)誤的概率等于的概率等于 . . 顯著性水平等于顯著性水平等于 . .10(0,1)0.1/10XN/ 210(0.1 /10 )PXZ從從 而而0:10PH也也就就是是拒拒絕絕當(dāng)原假設(shè) H0:=10 成立時(shí),有:分析分析: 一般我們把顯著性水平限定在一個(gè)比一般我們把顯著性水平限定在一個(gè)比較小的值較小的值, ,通常通常 =0.05=0.05或或0.01.0.01. 這樣這樣, ,如果如果H H0 0是正確是正確的的 /. /,).XZZ2 22 21 10 0檢檢驗(yàn)驗(yàn)統(tǒng)統(tǒng)計(jì)計(jì)量量取取值值于于拒拒絕絕