MATLAB程序設(shè)計 課件 第7章

1、MATLAB程序設(shè)計及應(yīng)用程序設(shè)計及應(yīng)用第第7章章 符號運算簡介符號運算簡介 7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 在在MATLAB中，數(shù)學表達式所用到的變量必須事先被賦中，數(shù)學表達式所用到的變量必須事先被賦過值。這一點對于符號運算而言，同樣不例外。首先也要定過值。這一點對于符號運算而言，同樣不例外。首先也要定義基本的符號對象，然后才能進行符號運算。義基本的符號對象，然后才能進行符號運算。 符號對象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包括符號常量、符號變量和符符號對象是一種數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)，包括符號常量、符號變量和符號表達式，用來存放代表符號的字符串。號表達式，用來存放代表符號的字符串。MATLAB規(guī)定：規(guī)定：任何包含符

2、號對象的表達式或方程，將繼承符號對象的屬性任何包含符號對象的表達式或方程，將繼承符號對象的屬性。也就是說，也就是說，包含符號對象的包含符號對象的表達式或方程也一定是符號對象。表達式或方程也一定是符號對象。第第7章章 符號運算簡介符號運算簡介 7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 定義符號對象的指令有兩個：定義符號對象的指令有兩個：sym和和syms。它們常用的調(diào)用格。它們常用的調(diào)用格式為式為 sym(arg) 把數(shù)字、字符串或表達式把數(shù)字、字符串或表達式arg定義為符定義為符 號對象號對象 sym(argn, flagn) 把數(shù)值或數(shù)值表達式把數(shù)值或數(shù)值表達式argn定義為定義為flagn 格

3、式的符號對象格式的符號對象 sym(argv, flagv) 按按flagv指定的要求把字符指定的要求把字符argv定義定義 為符號對象為符號對象 syms(argv1, ,argvk, flagv) 把字符把字符argv1，,argvk 定義為符號對象定義為符號對象 syms argv1 argvk, flagv 前一格式的簡潔形式前一格式的簡潔形式 【說明說明】 當當sym(argn, flagn)中的中的argn是數(shù)值或數(shù)值表達式時，是數(shù)值或數(shù)值表達式時，flagn可以取為以下可以取為以下4種種格式：格式：d 用最接近的十進制數(shù)格式表示符號量用最接近的十進制數(shù)格式表示符號量e 用最接近的

4、帶有機器浮點誤差的有理數(shù)格式表示符號量用最接近的帶有機器浮點誤差的有理數(shù)格式表示符號量f 用最接近的浮點格式表示符號量用最接近的浮點格式表示符號量r 用有理數(shù)格式（系統(tǒng)默認格式）表示符號量用有理數(shù)格式（系統(tǒng)默認格式）表示符號量 sym(argv, flagv)中的中的argv是字符時，是字符時，flagv可以取下列可以取下列“限制性限制性”選項：選項：positive 限定限定argv為為“正、實正、實”符號變量符號變量real 限定限定argv為為“實實”符號變量符號變量unreal 限定限定argv為為“非實非實”符號變量符號變量 如果不限制，則如果不限制，則flagv可以省略。可以省略。

5、 syms(argv1, ,argvk, flagv)中的中的flagv與與 sym(argv, flagv)中的一致。中的一致。 最后一種格式中的各符號變量名之間只能用空格分隔。最后一種格式中的各符號變量名之間只能用空格分隔。 sym和和syms指令也可以創(chuàng)建符號數(shù)組。指令也可以創(chuàng)建符號數(shù)組。7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 % exam7_1cleara_s=pi+sin(5) % 創(chuàng)建一個數(shù)值類常量創(chuàng)建一個數(shù)值類常量a_f=sym(pi+sin(5) % 創(chuàng)建一個符號類常量創(chuàng)建一個符號類常量a_str=pi+sin(5) % 創(chuàng)建一個字符串創(chuàng)建一個字符串whos % 了解各變量的具體

6、信息了解各變量的具體信息7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 【例例7.1】 符號（類）數(shù)字與數(shù)值（類）數(shù)字、字符（類）數(shù)字符號（類）數(shù)字與數(shù)值（類）數(shù)字、字符（類）數(shù)字之間的差異。之間的差異。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_1.m如下：如下：7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 exam7_1.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 符號類數(shù)字總是被準確地符號類數(shù)字總是被準確地記錄和運算；數(shù)值類數(shù)字記錄和運算；數(shù)值類數(shù)字并不能保證被完全準確地并不能保證被完全準確地記錄，運算時也會引入截記錄，運算時也會引入截斷誤差。斷誤差。 盡管盡管a_f 和和a_str 顯示出顯示出的內(nèi)容完全相同，但它

7、們的內(nèi)容完全相同，但它們是屬于不同的數(shù)據(jù)類型是屬于不同的數(shù)據(jù)類型（注意三類數(shù)據(jù)在工作空注意三類數(shù)據(jù)在工作空間中不同的標識間中不同的標識），運算），運算方式也完全不同。符號常方式也完全不同。符號常量占用的存儲空間也較大。量占用的存儲空間也較大。7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 【例例7.2】數(shù)值量轉(zhuǎn)換成符號量時的不同表示。數(shù)值量轉(zhuǎn)換成符號量時的不同表示。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_2.m如下：如下：% exam7_2cleara1=sym(pi+sin(5), d) % 十進制數(shù)格式，十進制數(shù)格式，32位長度位長度a2=sym(pi+sin(5), e) % 帶有機器浮點誤差的有

8、理數(shù)格式帶有機器浮點誤差的有理數(shù)格式a3=sym(pi+sin(5), f ) % 浮點數(shù)格式浮點數(shù)格式a4=sym(pi+sin(5) % 指數(shù)形式的有理數(shù)格式指數(shù)形式的有理數(shù)格式7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 exam7_2.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 【例例7.3】創(chuàng)建符號變量，用參數(shù)設(shè)置其特性。創(chuàng)建符號變量，用參數(shù)設(shè)置其特性。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_3.m如下：如下：% exam7_3clearsym(x, real); sym(y,real); % 創(chuàng)建實數(shù)符號變量創(chuàng)建實數(shù)符號變量z=sym(x+i*y) % 創(chuàng)建創(chuàng)建z為復(fù)數(shù)符號

9、變量為復(fù)數(shù)符號變量real(z) % z的實部是實數(shù)的實部是實數(shù)sym(x, unreal); % 將將x的實數(shù)特性清除的實數(shù)特性清除real(z) % z的實部的實部7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 exam7_3.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 當設(shè)置當設(shè)置x和和y為實數(shù)型變量時，為實數(shù)型變量時，可以確定可以確定z的實部和虛部分別為的實部和虛部分別為x和和y。當將當將x的的“real”特性特性去除后，去除后，MATLAB默認默認x是一個復(fù)數(shù)符號是一個復(fù)數(shù)符號變量。此時變量。此時x的實部必然是：的實部必然是： 1/2*x+1/2*conj(x) 函數(shù)函數(shù)real和和conj都是第都是

10、第2章表章表2.2 （p.28）中的標準函數(shù)中的標準函數(shù)。7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 【例例7.4】多種方法創(chuàng)建符號表達式的示例。多種方法創(chuàng)建符號表達式的示例。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_4.m如下：如下：% exam7_4clearf1=sym(a*x2+b*x+c) % 不創(chuàng)建符號變量，只創(chuàng)建不創(chuàng)建符號變量，只創(chuàng)建f1符號表達式符號表達式syms a b c x; % 創(chuàng)建多個符號變量創(chuàng)建多個符號變量f2=a*x2+b*x+c % 創(chuàng)建創(chuàng)建f2符號表達式符號表達式syms(a, b, c, x); % 創(chuàng)建多個符號變量的另一種格式創(chuàng)建多個符號變量的另一種格式f3=a*

11、x2+b*x+c % 創(chuàng)建創(chuàng)建f3符號表達式符號表達式7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 exam7_4.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 三種創(chuàng)建方式的結(jié)果相同。三種創(chuàng)建方式的結(jié)果相同。7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 【例例7.5】 不同方法創(chuàng)建符號數(shù)組以及符號數(shù)組與字符串不同方法創(chuàng)建符號數(shù)組以及符號數(shù)組與字符串數(shù)組差異的示例。數(shù)組差異的示例。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_5.m如下：如下：% exam7_5clear% 不同方法創(chuàng)建符號數(shù)組不同方法創(chuàng)建符號數(shù)組x1=sym(a,b; c,d) % 直接創(chuàng)建符號數(shù)組直接創(chuàng)建符號數(shù)組syms a b c d % 先定義符號變

12、量先定義符號變量x2=a,b; c,d % 再創(chuàng)建符號數(shù)組再創(chuàng)建符號數(shù)組% 符號數(shù)組與字符串數(shù)組差異符號數(shù)組與字符串數(shù)組差異y=a,b; c,d % 創(chuàng)建字符串數(shù)組創(chuàng)建字符串數(shù)組whos % 了解各數(shù)組的具體信息了解各數(shù)組的具體信息7.1 符號對象的創(chuàng)建符號對象的創(chuàng)建 exam7_5.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 x1和和x2是完全相同的是完全相同的(22)符號數(shù)組，占用了較大存儲空間；它符號數(shù)組，占用了較大存儲空間；它們與字符串數(shù)組們與字符串數(shù)組y明顯不同。明顯不同。 7.2 符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算 與數(shù)值運算相比，符號運算具有如下特點：與數(shù)值運算相比，符號運算具有如

13、下特點： （1）符號運算不會出現(xiàn)每次數(shù)值運算都可能產(chǎn)生的截斷誤差以）符號運算不會出現(xiàn)每次數(shù)值運算都可能產(chǎn)生的截斷誤差以及由于多次運算產(chǎn)生的累積誤差，因此符號運算是非常準確的。及由于多次運算產(chǎn)生的累積誤差，因此符號運算是非常準確的。 （2）符號運算可以得到完全封閉的解析解或者任意精度的數(shù)值）符號運算可以得到完全封閉的解析解或者任意精度的數(shù)值解。解。 （3）符號運算的時間往往要比數(shù)值運算的時間長得多，）符號運算的時間往往要比數(shù)值運算的時間長得多，有很多有很多工程和科學中的問題是無法用符號運算求解的工程和科學中的問題是無法用符號運算求解的 。 第第7章章 符號運算簡介符號運算簡介 7.2 符號表達式

14、的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算 7.2.1 符號運算中的算符和函數(shù)符號運算中的算符和函數(shù) 與數(shù)值運算相同，與數(shù)值運算相同，MATLAB的符號數(shù)學工具箱也把符號數(shù)組的符號數(shù)學工具箱也把符號數(shù)組（Symbolic Array）看作是存儲和運算的基本單元，標量數(shù)據(jù)被看）看作是存儲和運算的基本單元，標量數(shù)據(jù)被看成是成是(11)的數(shù)組，而矩陣則是二維數(shù)組。因此，所有數(shù)值運算中的數(shù)組，而矩陣則是二維數(shù)組。因此，所有數(shù)值運算中的基本運算符，包括數(shù)組的的基本運算符，包括數(shù)組的“加加”、“減減”、“乘乘”、“左除左除”、“右除右除”、“點乘點乘”、“共軛轉(zhuǎn)置共軛轉(zhuǎn)置”和和“非共軛轉(zhuǎn)置非共軛轉(zhuǎn)置”等同樣適合等同樣

15、適合于符號數(shù)組運算，并且運算法則與數(shù)值運算的相同。于符號數(shù)組運算，并且運算法則與數(shù)值運算的相同。 符號運算中沒有邏輯運算，關(guān)系運算也只有是否符號運算中沒有邏輯運算，關(guān)系運算也只有是否“等于等于”的概念。的概念。關(guān)系操作符關(guān)系操作符“= =”和和“=”分別對算符兩邊的對象進行分別對算符兩邊的對象進行“相等相等”和和“不等不等”的比較。當所得結(jié)果為的比較。當所得結(jié)果為“真真”時，用時，用“1”表示；為表示；為“假假”時，則用時，則用“0”表示。表示。 7.2.1 符號運算中的算符和函數(shù)符號運算中的算符和函數(shù) MATLAB提供的是面向?qū)ο蟮能浖h(huán)境。對于不同的數(shù)據(jù)對象，提供的是面向?qū)ο蟮能浖h(huán)境。對

16、于不同的數(shù)據(jù)對象，它借助重載它借助重載（Overload）技術(shù)，把具有相同函數(shù)運算功能的文件采技術(shù)，把具有相同函數(shù)運算功能的文件采用同一個函數(shù)名加以保存。在運算中是調(diào)用數(shù)值運算文件還是符號用同一個函數(shù)名加以保存。在運算中是調(diào)用數(shù)值運算文件還是符號運算文件，完全由所運算的對象屬性決定。運算文件，完全由所運算的對象屬性決定。 MATLAB中可用于符中可用于符號運算的函數(shù)很多，號運算的函數(shù)很多，第第2章表章表2.2（p. 28）中列出的數(shù)組運算函數(shù)，中列出的數(shù)組運算函數(shù)，除了除了angle，atan2，log2和和log10只能用于數(shù)組運算外，其它均可只能用于數(shù)組運算外，其它均可用于符號運算，且使用

17、方法與數(shù)值運算中的相同。用于符號運算，且使用方法與數(shù)值運算中的相同。第第6章表章表6.1（p.130）中列出的線性代數(shù)矩陣運算函數(shù)在符號運算中的用法幾中列出的線性代數(shù)矩陣運算函數(shù)在符號運算中的用法幾乎與數(shù)值運算中的情況完全一樣。乎與數(shù)值運算中的情況完全一樣。7.2 符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算 7.2.2 符號數(shù)值的任意精度控制和運算符號數(shù)值的任意精度控制和運算 數(shù)值運算存在截斷誤差，且在計算過程中不斷傳播，而產(chǎn)生累積數(shù)值運算存在截斷誤差，且在計算過程中不斷傳播，而產(chǎn)生累積誤差；符號運算的運算過程是在完全準確的情況下進行的，不產(chǎn)生誤差；符號運算的運算過程是在完全準確的情況下進行的，

18、不產(chǎn)生累積誤差。符號運算的這種準確性是以降低計算速度和增加內(nèi)存需累積誤差。符號運算的這種準確性是以降低計算速度和增加內(nèi)存需求為代價的。為了兼顧計算精度和速度，求為代價的。為了兼顧計算精度和速度，MATLAB針對符號運算針對符號運算提供了一種提供了一種“變精度變精度”算法。常用的指令格式為算法。常用的指令格式為 digits 顯示當前環(huán)境下符號數(shù)值顯示當前環(huán)境下符號數(shù)值“十進制浮點十進制浮點”表示表示的的 有效數(shù)字位數(shù)有效數(shù)字位數(shù) digits(n) 設(shè)定符號數(shù)數(shù)值設(shè)定符號數(shù)數(shù)值“十進制浮點十進制浮點”表示的有效數(shù)表示的有效數(shù)字字 位數(shù)位數(shù) xs=vpa(x) 根據(jù)表達式根據(jù)表達式x 得到得到d

19、igits指定精度下的符號數(shù)指定精度下的符號數(shù) 值值xs xs=vpa(x,n) 根據(jù)表達式根據(jù)表達式x 得到得到n位有效數(shù)字的符號數(shù)值位有效數(shù)字的符號數(shù)值xs7.2.2 符號數(shù)值的任意精度控制和運算符號數(shù)值的任意精度控制和運算 【說明說明】 變精度函數(shù)變精度函數(shù)vpa(x)的運算精度受它之前運行的的運算精度受它之前運行的digits(n)控制?？刂?。MATLAB對對digits指令的默認精度設(shè)置是指令的默認精度設(shè)置是32位。位。 xs=vpa(x,n) 只在運行的當時起作用。只在運行的當時起作用。 x可以是符號對象，也可以是數(shù)值對象，但指令運行后所得結(jié)果可以是符號對象，也可以是數(shù)值對象，但指

20、令運行后所得結(jié)果xs一定是符號對象。一定是符號對象。 【例例7.6】指令指令digits和和 vpa的使用的使用 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_6.m如下：如下：7.2.2 符號數(shù)值的任意精度控制和運算符號數(shù)值的任意精度控制和運算 % exam7_6cleardigits % 觀察當前觀察當前“十進制浮點十進制浮點”表示符號數(shù)值的有效位數(shù)表示符號數(shù)值的有效位數(shù)p0=sym(pi+sin(5) % (pi+sin(5)字面數(shù)值的完全準確表達字面數(shù)值的完全準確表達pr=sym(pi+sin(5) % (pi+sin(5)字面數(shù)值在字面數(shù)值在16位精度浮點運算下，所得位精度浮點運算下，所

21、得 % 雙精度數(shù)字的雙精度數(shù)字的 “廣義有理表示廣義有理表示”形式形式pd=sym(pi+sin(5),d) % (pi+sin(5)字面數(shù)值在字面數(shù)值在16位精度浮點運算下，所得位精度浮點運算下，所得 % 雙精度數(shù)字的雙精度數(shù)字的 32位十進制符號表達位十進制符號表達e32r=vpa(abs(p0-pr) % 用用32位變精度算法計算位變精度算法計算 p0與與pr之間的誤差之間的誤差e16=vpa(abs(p0-pd),16) % 用用16位變精度算法計算位變精度算法計算p0與與pr之間的誤差之間的誤差 e32d=vpa(abs(p0-pd) % 用用32位變精度算法計算位變精度算法計算p0

22、與與pd之間的誤差之間的誤差7.2.2 符號數(shù)值的任意精度控制和運算符號數(shù)值的任意精度控制和運算 exam7_6.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.2 符號表達式的代數(shù)運算符號表達式的代數(shù)運算 7.2.3 符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換 借助借助sym 指令將數(shù)值類數(shù)字轉(zhuǎn)換為符號類數(shù)字的指令將數(shù)值類數(shù)字轉(zhuǎn)換為符號類數(shù)字的sym(argn, flag)格式（格式（flag共有四種選項，見共有四種選項，見7.1節(jié)）。節(jié)）。 MATLAB的數(shù)值運算和可視化指令不能接收符號類數(shù)字，只能的數(shù)值運算和可視化指令不能接收符號類數(shù)字，只能接收數(shù)值類數(shù)字。在這種情況下，必須利用下列指令格式進行數(shù)據(jù)接收

23、數(shù)值類數(shù)字。在這種情況下，必須利用下列指令格式進行數(shù)據(jù)類型的轉(zhuǎn)換。類型的轉(zhuǎn)換。 double(Num_sym) 把符號數(shù)值把符號數(shù)值Num_sym轉(zhuǎn)換為雙精度轉(zhuǎn)換為雙精度 數(shù)值數(shù)值7.2.3 符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換 【例例7.7】將符號對象將符號對象 轉(zhuǎn)換成數(shù)值量。轉(zhuǎn)換成數(shù)值量。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_7.m如下：如下：)5sin(% exam7_7cleara_sym=sym(pi+sin(5)a_num=double(a_sym) % 轉(zhuǎn)化為數(shù)值量轉(zhuǎn)化為數(shù)值量7.2.3 符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換符號對象與數(shù)值對象的轉(zhuǎn)換 exam7_7.m的運行結(jié)果

24、的運行結(jié)果7.3 符號表達式的基本操作符號表達式的基本操作 第第7章章 符號運算簡介符號運算簡介 7.3.1 符號表達式中自變量的確定符號表達式中自變量的確定 當符號表達式或方程中有若干個符號變量時，應(yīng)該按照哪個符號當符號表達式或方程中有若干個符號變量時，應(yīng)該按照哪個符號變量進行解題呢？顯然，選擇不同符號變量作為自變量，方程的解變量進行解題呢？顯然，選擇不同符號變量作為自變量，方程的解是不同的。是不同的。MATLAB 專門設(shè)計了一套確定符號自變量的規(guī)則。專門設(shè)計了一套確定符號自變量的規(guī)則。 在專門指定變量名的符號運算中，解題一定圍繞指定變量進行。在專門指定變量名的符號運算中，解題一定圍繞指定變

25、量進行。 在沒有專門指定變量名的符號運算中，將按照以下原則選擇一個在沒有專門指定變量名的符號運算中，將按照以下原則選擇一個自變量：自變量： （1）小寫字母小寫字母i和和j不能作為自變量（它們通常用于表示不能作為自變量（它們通常用于表示 ）。）。 （2）x 是首選的自變量；如果沒有是首選的自變量；如果沒有x，則與，則與x的的ASCII碼值之差的碼值之差的絕對值小的字母優(yōu)先；差的絕對值相同時，絕對值小的字母優(yōu)先；差的絕對值相同時，ASCII碼值大的字母優(yōu)碼值大的字母優(yōu)先（即排在先（即排在x后面的字母優(yōu)先）。后面的字母優(yōu)先）。 17.3.1 符號表達式中自變量的確定符號表達式中自變量的確定 MATL

26、AB提供了提供了findsym指令，可以實現(xiàn)對表達式中所有自變量指令，可以實現(xiàn)對表達式中所有自變量或指定數(shù)目的獨立自變量的自動認定。其格式為或指定數(shù)目的獨立自變量的自動認定。其格式為 findsym(EXPR) 確定表達式確定表達式EXPR中所有符號自變量中所有符號自變量 findsym(EXPR,N) 確認表達式確認表達式EXPR中距離中距離x最近的最近的N個個 符號自變量符號自變量【說明說明】 EXPR可以是符號數(shù)組。此時，對自變量的確認是針對整個數(shù)組可以是符號數(shù)組。此時，對自變量的確認是針對整個數(shù)組進行的。進行的。 自動識別符號變量時，字母的優(yōu)先次序為自動識別符號變量時，字母的優(yōu)先次序為

27、x，y，w，z，v等。等。 【例例7.8】 對獨立符號自變量的自動辨認。對獨立符號自變量的自動辨認。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_8.m如下：如下：% exam7_8clearsyms a b s t v w x X Y % 定義符號變量定義符號變量k=sym(pi+sin(5); % 符號常量符號常量z=sym(c*sqrt(delta)+y*sin(theta); % 直接定義符號表達式直接定義符號表達式EXPR=a*z*X+k*x*Y+v2+v*t+w*s; % 構(gòu)成符號表達式構(gòu)成符號表達式f_free=findsym(EXPR) % 找出找出EXPR中的全部符號自變量中的全部

28、符號自變量(除符號常數(shù)除符號常數(shù)k) % 表達式外，所有獨立符號變量都被列出表達式外，所有獨立符號變量都被列出)f_1=findsym(EXPR,1) % 在在EXPR中確定中確定1個自變量個自變量f_2=findsym(EXPR,2) % 在在EXPR中確定中確定2個自變量個自變量f_5=findsym(EXPR,5) % 在在EXPR中確定中確定5個自變量個自變量f_6=findsym(EXPR,6) % 在在EXPR中確定中確定6個自變量個自變量7.3.1 符號表達式中自變量的確定符號表達式中自變量的確定 exam7_8.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.3.1 符號表達式中自變量的確定符號表達

29、式中自變量的確定 【說明說明】 findsym指令所確定的是表達式中的指令所確定的是表達式中的“自由自由”、“獨立獨立”的符號的符號變量。由于變量。由于k不是不是“自由自由”的，的，z不是不是“獨立獨立”的，所以都不被該指的，所以都不被該指令認作自變量。令認作自變量。 雖然雖然w與與x的的ASCII碼值之差的絕對值和碼值之差的絕對值和y與與x的的ASCII碼值之差的碼值之差的絕對值是一樣的，但由于絕對值是一樣的，但由于y的的ASCII碼值較大，故碼值較大，故f_2 =x,y。 findsym指令首先是對符號變量的第指令首先是對符號變量的第1個字母進行比較，然后再比個字母進行比較，然后再比較其余

30、的字母，這就是較其余的字母，這就是f_5=x,y,w,v,t，而，而f_6=x,y,w,v,t,theta的原因。的原因。 大寫字母的大寫字母的ASCII碼比相同小寫字母的大碼比相同小寫字母的大32，所以排在后面。，所以排在后面。7.3.1 符號表達式中自變量的確定符號表達式中自變量的確定 % exam7_9clearsyms a b t u v w zA=a+b*w,cos(t)+u;w*exp(-t),log(z)+sin(v)% 創(chuàng)建衍生符號數(shù)組創(chuàng)建衍生符號數(shù)組findsym(A,1) % 確定符號數(shù)組確定符號數(shù)組A中的自變中的自變量量 【例例7.9】 findsym指令確定自變量是對整

31、個數(shù)組進行的。指令確定自變量是對整個數(shù)組進行的。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_9.m如下：如下：7.3.1 符號表達式中自變量的確定符號表達式中自變量的確定 exam7_9.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.3.1 符號表達式中自變量的確定符號表達式中自變量的確定 7.3 符號表達式的基本操作符號表達式的基本操作 7.3.2 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 符號數(shù)學工具箱中有許多符號表達式的操作指令，其中最常用的符號數(shù)學工具箱中有許多符號表達式的操作指令，其中最常用的為為 collect(EXPR, v) 用指定的符號對象用指定的符號對象v合并合并EXPR表達式中表達式中的同冪次項系數(shù)的同

32、冪次項系數(shù) expand(EXPR) 對對EXPR表達式進行多項式、三角函表達式進行多項式、三角函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等展開數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)等展開 factor(EXPR) 對對EXPR表達式（或正整數(shù)）進行因式表達式（或正整數(shù)）進行因式 （或因子）分解（或因子）分解 horner(EXPR) 把多項式把多項式EXPR分解成嵌套形式分解成嵌套形式 n,d=numden(EXPR) 提取提取EXPR表達式的最小分母公因式表達式的最小分母公因式d和相應(yīng)的分子多項式和相應(yīng)的分子多項式n7.3.2 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 simplify(EXPR) 運用多種恒等式轉(zhuǎn)換對運用多種恒等式轉(zhuǎn)換對

33、EXPR表達式進表達式進 行綜合簡化行綜合簡化 simple(EXPR) 運用包括運用包括simplify在內(nèi)的各種指令把在內(nèi)的各種指令把 EXPR轉(zhuǎn)換成最簡短形式轉(zhuǎn)換成最簡短形式【說明說明】 EXPR可以是符號表達式或數(shù)組表達式。在數(shù)組情況下，這些指可以是符號表達式或數(shù)組表達式。在數(shù)組情況下，這些指令將對數(shù)組中的元素逐個進行操作。令將對數(shù)組中的元素逐個進行操作。 【例例7.10】 將表達式將表達式 分別按自變量分別按自變量x和和y進行進行同冪次項系數(shù)合并。同冪次項系數(shù)合并。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_10.m如下：如下：yxxxf)16)8(7.3.2 符號表達式的化簡符號表達式

34、的化簡 % exam7_10clearsyms x yf=x*(x*(x+8)+16)*y; % 按默認的自變量按默認的自變量x合并同類項合并同類項f1=collect(f)% 按指定的自變量按指定的自變量y合并同類項合并同類項f2=collect(f,y) exam7_10.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.3.2 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 【例例7.11】 展開表達式展開表達式 和和 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_11.m如下：如下：6)2( xf)sin(yxg% exam7_11clearsyms x yf=(x+2)6; g=sin(x-y);f1=expand(f),

35、g1=expand(g) exam7_11.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果 【例例7.12】 分別對表達式分別對表達式 和大整數(shù)和大整數(shù)12345678901234567890進行因式和因子分解。進行因式和因子分解。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_12.m如下：如下： 18xf7.3.2 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 % exam7_12clearsyms x f=factor(x8-1)factor(sym(12345678901234567890) exam7_12.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.3.2 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 % exam7_13clearf=sym(x4+5*

36、x3+6*x2+7*x+8);horner(f) exam7_13.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果 【例例7.13】將表達式將表達式 進行嵌套形式重寫。進行嵌套形式重寫。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_13.m如下：如下： 8765234xxxxf7.3.2 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 % exam7_14clearf=sym(x/y+y/x);n,d=numden(f) exam7_14.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果 【例例7.14】對表達式對表達式 進行通分。進行通分。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_14.m如下：如下： xyyxf【說明說明】 所得結(jié)果表明，所得結(jié)果表明， 。 x

37、yyxxyyxf227.3.2 符號表達式的化簡符號表達式的化簡 % exam7_15clearsyms yf=sin(y)2+cos(y)2;simplify(f) exam7_15.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 如果將本例中的如果將本例中的simplify指令換成指令換成simple指令，所得結(jié)果是什么？指令，所得結(jié)果是什么？ 【例例7.15】簡化簡化 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_15.m如下：如下： )(cos)(sin22yyf7.3 符號表達式的基本操作符號表達式的基本操作 7.3.3 符號表達式的替換符號表達式的替換 MATLAB提供了兩個符號表達式的替換函數(shù)，

38、用于簡化表達式提供了兩個符號表達式的替換函數(shù)，用于簡化表達式的輸出形式。它們常用的調(diào)用格式為的輸出形式。它們常用的調(diào)用格式為 RS, ssub=subexpr(S,ssub) 用變量用變量ssub置換置換S中重復(fù)出現(xiàn)中重復(fù)出現(xiàn) 的字符串，重寫的字符串，重寫S為為RS RES=subs(ES,old,new) 用用new替換替換ES中的中的old后產(chǎn)生后產(chǎn)生RES【說明說明】 subexpr函數(shù)對字符串（亦稱為是子表達式）是自動尋找的，只函數(shù)對字符串（亦稱為是子表達式）是自動尋找的，只有比較長的字符串才被置換。對于比較短的字符串，即使重復(fù)出現(xiàn)有比較長的字符串才被置換。對于比較短的字符串，即使重復(fù)

39、出現(xiàn)多次，也不被置換。多次，也不被置換。 如果如果subs函數(shù)中的函數(shù)中的new是數(shù)值形式，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但是數(shù)值形式，顯示的結(jié)果雖然是數(shù)值，但它實際上仍然是符號變量。它實際上仍然是符號變量。7.3.3 符號表達式的替換符號表達式的替換 【例例7.16】用用subexpr函數(shù)使矩陣函數(shù)使矩陣 的逆的表達式簡的逆的表達式簡潔易讀。潔易讀。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_16.m如下：如下： 333231232221131211aaaaaaaaa% exam7_16clearsyms xA=sym(a11,a12,a13; a21,a22,a23; a31,a32,a33 );S=

40、inv(A); % 計算計算A的逆陣的逆陣RS, x=subexpr(S,x) % 用用x替換其中的子表達式替換其中的子表達式7.3.3 符號表達式的替換符號表達式的替換 exam7_16.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 本例結(jié)果表明，本例結(jié)果表明，如果不進行符號如果不進行符號替換，則矩陣表替換，則矩陣表達式的表示將是達式的表示將是十分繁瑣的。十分繁瑣的。 7.3.3 符號表達式的替換符號表達式的替換 【例例7.17】分別用新變量替換表達式分別用新變量替換表達式x+2y和和sin(x)+cos(y)中的變量。中的變量。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_17.m如下：如下： % exa

41、m7_17clearsyms x yf1=subs(x+2*y, x, 5) % x+2y的的x用用5替換替換% x和和y分別用分別用alpha和和beta替換替換f2=subs(sin(x)+cos(y),x,y,sym(alpha),sym(beta)7.3.3 符號表達式的替換符號表達式的替換 exam7_17.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 f1和和f2仍然是符號對象。仍然是符號對象。 注意注意f2的替換格式。的替換格式。7.4 符號微積分運算符號微積分運算 第第7章章 符號運算簡介符號運算簡介 7.4.1 極限和導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算 MATLAB提供的計算符號表達式

42、的極限和導數(shù)的指令為提供的計算符號表達式的極限和導數(shù)的指令為 limit(f,v,a) 求求 limit(f,v,a,right) 求求 limit(f,v,a,left) 求求 dfdvn=diff(f,v,n) 求求 fjac=jacobian(f,v) 求多元向量函數(shù)的求多元向量函數(shù)的Jacobian矩陣矩陣 r=tarlor(f,n,v,a) 求在求在v=a處的處的(n-1)階階 )(limvfav)(limvfav)(limvfavnnvvfd)(d10)()(!)(nkkkaxkaf7.4.1 極限和導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算 【說明說明】 f是數(shù)組時，求極限和求導操作對元

43、素逐個進行，但自變量定義在是數(shù)組時，求極限和求導操作對元素逐個進行，但自變量定義在整個數(shù)組上。整個數(shù)組上。 v缺省時，自變量會由缺省時，自變量會由findsym確認；確認；n缺省時，默認為缺省時，默認為n=1。 注意：注意：在數(shù)值運算中，指令在數(shù)值運算中，指令diff是用來求差值的。是用來求差值的。 【例例7.18】 分別計算分別計算 ， ， ， 和和 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_18.m如下：如下：xx1lim0 xx1lim0 xx1lim0 xxx)sin(lim0 xxxa)1 (lim7.4.1 極限和導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算 % exam7_18clears

44、yms a x f_left=limit(1/x,x,0,left); f_right=limit(1/x,x,0,right);f_limit=limit(1/x,x,0); Limit_f=f_left, f_right, f_limitlimit(sin(x)/x,x,0), limit(1+a/x)x,x,inf) exam7_18.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 由于當時由于當時 ， 的左右極限不相等，的左右極限不相等，在該點的極限不存在，表示為在該點的極限不存在，表示為NaN。0 xx/17.4.1 極限和導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算 【例例7.19】已知函數(shù)數(shù)組已知函數(shù)

45、數(shù)組 ，求，求 ， ， 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_19.m如下：如下：)ln()sin(2xyyxbxafxddf22ddyfyxddd2f% exam7_19clearsyms a b x yf=a,b*x2;x*sin(y), log(x*y);df=diff(f) % 求求f對對x的導數(shù)的導數(shù)dfdy2=diff(f,y,2) % 求求f對對y的二階導數(shù)的二階導數(shù)dfdxdy=diff(diff(f,x),y) % 求求f對對x和和y的二階混合導數(shù)的二階混合導數(shù)7.4.1 極限和導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算 exam7_19.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.4.1 極限和

46、導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算 % exam7_20clearsyms x1 x2;f=x1*exp(x2); x2; sin(x1)+cos(x2);v=x1,x2; fjac=jacobian(f,v) 【例例7.20】已知函數(shù)數(shù)組已知函數(shù)數(shù)組 的的Jacobian矩陣矩陣 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_20.m如下：如下：)cos()sin(),(2121212xxxexxxxf231322122111xfxfxfxfxfxf7.4.1 極限和導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算 exam7_20.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.4.1 極限和導數(shù)的符號運算極限和導數(shù)的符號運算

47、% exam7_21clearsyms xr=taylor(x*exp(x),9,x,0) % 忽略忽略9階及階及9階以上小量的展開階以上小量的展開 【例例7.21】求求 在在 處展開的處展開的8階麥克勞林級數(shù)。階麥克勞林級數(shù)。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_21.m如下：如下：xxexf)(0 x exam7_21.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.4 符號微積分運算符號微積分運算 7.4.2 序列序列/級數(shù)的符號求和運算級數(shù)的符號求和運算 MATLAB提供了求和指令解決數(shù)學上的通式求和，格式為提供了求和指令解決數(shù)學上的通式求和，格式為 s=symsum(f,v,a,b) 求通式求通式f在指

48、定變量在指定變量v取遍取遍a,b中所有中所有 整數(shù)時的和整數(shù)時的和【說明說明】 f f是數(shù)組是數(shù)組時，求和對元素逐個進行，但自變量定義在整個數(shù)組上。時，求和對元素逐個進行，但自變量定義在整個數(shù)組上。 v缺省時，缺省時，f中的自變量會由中的自變量會由findsym指令自動辨認；指令自動辨認；b可以取有限可以取有限整數(shù)，也可以是無窮大。整數(shù)，也可以是無窮大。 a，b可以同時缺省，此時默認求和的自變量區(qū)間為可以同時缺省，此時默認求和的自變量區(qū)間為0,v-1。7.4.2 序列序列/級數(shù)的符號求和運算級數(shù)的符號求和運算% exam7_22clearsyms k x;f1=x, k2;f2=1/(2*k-

49、1)2,(-1)k/k;s1=simple(symsum(f1)% 求和運算后化簡求和運算后化簡s2=simple(symsum(f2,1,inf) 【例例7.22】求求 和和 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_22.m如下：如下：102,xtkx12)1(,)12(1kkkkexam7_22.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.4.2 序列序列/級數(shù)的符號求和運算級數(shù)的符號求和運算【說明說明】 通式中的自變量只取整數(shù)值。通式中的自變量只取整數(shù)值。 求和指令中的求和指令中的f可以是符號數(shù)組，可以是符號數(shù)組，此時求和操作將對數(shù)組中的此時求和操作將對數(shù)組中的“元素元素通式通式”逐個進行，但數(shù)組的自變

50、量逐個進行，但數(shù)組的自變量及其取值區(qū)間對各及其取值區(qū)間對各“元素通式元素通式”是是相同的。相同的。7.4 符號微積分運算符號微積分運算 7.4.3 符號積分運算符號積分運算 積分分為不定積分、定積分、廣義積分和重積分等幾種。一般而積分分為不定積分、定積分、廣義積分和重積分等幾種。一般而言，積分比微分更難求取。與數(shù)值積分相比，符號積分指令簡單，言，積分比微分更難求取。與數(shù)值積分相比，符號積分指令簡單，適應(yīng)性強，但可能占有很長的機器時間。當積分上、下限不是數(shù)值適應(yīng)性強，但可能占有很長的機器時間。當積分上、下限不是數(shù)值時，符號積分可能給出相當冗長而生疏的時，符號積分可能給出相當冗長而生疏的“封閉型封

51、閉型”的符號表達式，的符號表達式，也可能給不出也可能給不出“封閉型封閉型”的解析解。此時，如果把積分上、下限用的解析解。此時，如果把積分上、下限用具體數(shù)值替代，符號積分將能給出具有任意精度的定積分值。具體數(shù)值替代，符號積分將能給出具有任意精度的定積分值。MATLAB提供的積分指令的格式為提供的積分指令的格式為 intf=int(f,v) 給出給出f對指定變量對指定變量v的（不帶積分常數(shù)的）的（不帶積分常數(shù)的） 不定積分不定積分 intf=int(f,v,a,b) 給出給出f對指定變量對指定變量v的定積分的定積分7.4.3 符號積分運算符號積分運算【說明說明】 與與symsum和和diff指令相

52、同，當指令相同，當f是數(shù)組時，積分將對元素逐個進是數(shù)組時，積分將對元素逐個進行。行。 v缺省時，積分對缺省時，積分對findsym指令確認的自變量進行。指令確認的自變量進行。 a，b分別是積分的上、下限，允許它們?nèi)∪魏沃祷蚍柋磉_式。分別是積分的上、下限，允許它們?nèi)∪魏沃祷蚍柋磉_式。 【例例7.23】 求求 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_23.m如下：如下：xexxd2% exam7_23clearsyms xf=(2x)*exp(x)s=int(f,x)% 求不定積分求不定積分7.4.3 符號積分運算符號積分運算exam7_23.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 為了使完成積

53、分運算所得的表達為了使完成積分運算所得的表達式形式簡潔明了，可能要多次用到式形式簡潔明了，可能要多次用到simple指令。對于本例而言，將指令。對于本例而言，將最 后 一 條 語 句 改 成 ：最 后 一 條 語 句 改 成 ：s=simple(int(f,x)更好。更好。7.4.3 符號積分運算符號積分運算% exam7_24clearsyms a b x yf=a*x,b*y;1/x,cos(x);disp(The integral of f is);disp(int(f) 【例例7.24】 求求 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_24.m如下：如下：xxxbyaxd)cos(1e

54、xam7_24.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果7.4.3 符號積分運算符號積分運算% exam7_25clearsyms x y zf=x2+y2+z2f_int1=int(f,z,sqrt(x*y),x2*y) % 第第1次積分（對次積分（對z）f_int2=int(f_int1,y,sqrt(x),x2) % 第第2次積分（對次積分（對y）f_int3=int(f_int2,x,1,2) % 第第3次積分（對次積分（對x）F_int3=vpa(f_int3) % 積分結(jié)果用積分結(jié)果用32位數(shù)字表示位數(shù)字表示 【例例7.25】 求積分求積分 。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_25.m如下：如

55、下： 2 1 22222ddd)(xxyxxyxyzzyx7.4.3 符號積分運算符號積分運算exam7_25.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果f =x2+y2+z2f_int1 =x2*(x2*y-(x*y)(1/2)+y2*(x2*y-(x*y)(1/2)+1/3*x6*y3-1/3*(x*y)(3/2)f_int2 =1/420*(56*(x(3/2)(5/2)*x2+120*(x(3/2)(7/2)-210*x8+280*x4*(x(3/2)(3/2)+175*x11-105*x7-56*(x3)(5/2)*x2-120*(x3)(7/2)-280*x4*(x3)(3/2)+35*x17+105

56、*x13)/x3f_int3 =1610027357/6563700-6072064/348075*2(1/2)+14912/4641*2(1/4)+64/225*2(3/4)F_int3 =224.921535733311431597907100328047.4.3 符號積分運算符號積分運算【說明說明】 由于無法在一幅由于無法在一幅MATLAB指令窗中將指令窗中將f_int2 的結(jié)果顯示出來，故的結(jié)果顯示出來，故只能如此給出運算結(jié)果。只能如此給出運算結(jié)果。 對于內(nèi)積分上下限為函數(shù)的多重積分，若采用數(shù)值計算方法求取，對于內(nèi)積分上下限為函數(shù)的多重積分，若采用數(shù)值計算方法求取，編程將很不輕松。編程

57、將很不輕松。7.5 符號方程的求解符號方程的求解 第第7章章 符號運算簡介符號運算簡介 7.5.1 符號代數(shù)方程的求解符號代數(shù)方程的求解 一般代數(shù)方程包括線性（一般代數(shù)方程包括線性（Linear）方程、非線性（方程、非線性（Nonlinear）方）方程和超越（程和超越（Transcedental）方程等，求解函數(shù)是）方程等，求解函數(shù)是solve。當方程不。當方程不存在符號解而且無其它自由參數(shù)時，存在符號解而且無其它自由參數(shù)時，solve函數(shù)將給出數(shù)值解。該函數(shù)將給出數(shù)值解。該函數(shù)最常用的調(diào)用格式為函數(shù)最常用的調(diào)用格式為 S=solve(eq,v) 求方程關(guān)于指定變量的解求方程關(guān)于指定變量的解

58、S=solve(eq1,eq2,eqn,v1,v2,vn) 求方程組關(guān)于指求方程組關(guān)于指 定變量的解定變量的解7.5.1 符號代數(shù)方程的求解符號代數(shù)方程的求解【說明說明】 在第在第1種種格式中，格式中，eq可以是含等號的符號表達式的方程，也可以可以是含等號的符號表達式的方程，也可以是不含等號的符號表達式，但指的仍然是令是不含等號的符號表達式，但指的仍然是令eq=0的方程；的方程；v是表示是表示求解變量名的字符串，當它省略時，求解對求解變量名的字符串，當它省略時，求解對findsym指令確認的變指令確認的變量進行。量進行。 第第2種格式中輸入宗量的含義與第種格式中輸入宗量的含義與第1種格式類似。

59、種格式類似。 在第在第2種格式中，輸出宗量種格式中，輸出宗量S是結(jié)構(gòu)數(shù)組。如果要顯示求解結(jié)果，是結(jié)構(gòu)數(shù)組。如果要顯示求解結(jié)果，必須采用必須采用S.v1，S.v2，S.vn的提取方式。的提取方式。 第第2種格式也可以寫成：種格式也可以寫成： S=solve(eq1,eq2,eqn,v1,v2,vn) 在得不到在得不到“封閉型解析解封閉型解析解”時，又不存在其它不確定參數(shù)，則給時，又不存在其它不確定參數(shù)，則給出數(shù)值解。出數(shù)值解。 7.5.1 符號代數(shù)方程的求解符號代數(shù)方程的求解 【例例7.26】求方程求方程 ， 以及以及 的解。的解。 編寫編寫M腳本文件腳本文件exam7_26.m如下：如下：02

60、cbxax2)2(xx01)2cos()sin(xx% exam7_26clearsyms a b c xs1=solve(a*x2+b*x+c) % 無等號，默認求解變量為無等號，默認求解變量為xs2=solve(x+2)x=2,x) % 有等號，指定求解變量為有等號，指定求解變量為xs3=solve(sin(x)+cos(2*x)-1,x) % 無等號，指定求解變量為無等號，指定求解變量為x7.5.1 符號代數(shù)方程的求解符號代數(shù)方程的求解exam7_26.m的運行結(jié)果的運行結(jié)果【說明說明】 由于三角函數(shù)是周期函數(shù)，只能得由于三角函數(shù)是周期函數(shù)，只能得到在到在x=0附近的有限幾個解。附近的有