正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用

1、編輯課件1三角形性質(zhì)三角形性質(zhì)3 3、判判斷斷三三角角形形形形狀狀：統(tǒng)統(tǒng)一一看看邊邊；或或統(tǒng)統(tǒng)一一看看角角1ABC 、2、大邊對大角，大角對大邊、大邊對大角，大角對大邊4、如無特別說明，、如無特別說明，ABC的邊的邊BC、AC、AB分別用分別用a、b、c 表示。表示。知識小結(jié)知識小結(jié)5.正弦定理和余弦定理編輯課件2 1.正、余弦定理是應(yīng)用十分廣泛的兩個(gè)定理，它將三角形的邊和角有機(jī)地聯(lián)系起來，從而使三角形與幾何產(chǎn)生聯(lián)系，為求三角形的有關(guān)量，如面積、外接圓或內(nèi)切圓的半徑等提供了理論基礎(chǔ)，也是判定三角形的形狀，證明三角形中有關(guān)等式的重要依據(jù).編輯課件3 2.三角形中的恒等式或三角形的形狀判斷等問題，

2、要注意根據(jù)條件的特點(diǎn)靈活運(yùn)用正弦定理或余弦定理.一般考慮兩個(gè)方向進(jìn)行變形，一個(gè)方向是邊，走代數(shù)變形之路，通常是正弦定理、余弦定理結(jié)合使用；另一個(gè)方向是角，走三角變形之路，主要是利用正弦定理.編輯課件4222233222222222sinsinsi00 n 0cbAbBcCcb abccb abcbbcccbbbccabcbbccabcBCC由，得，所以，即，所以或，當(dāng)時(shí)，有，所解析以：為銳角，222.2sinsinsinsin2.ABCABCabcCcbAbBcCABC1鈍角的三內(nèi)角 、 、 所對的邊分別為、 、 ，求角 、 、編輯課件52222222222sin4529 1201545 .0

3、01cos222120sin2451 8015CBCAABCbbccabcabcbcaAbcACCCBACABC 又，所以，所以，這與為鈍角三角形矛盾當(dāng)時(shí)，所以，所以，又且 為銳角，所解析：綜上可知，以，所以，編輯課件6cos, , ,cos2(1)213,4,BbABCa b cA B CCacBbacABC 在中，分別是角的對邊，且求角 的大??；（ ）若求的面積編輯課件7編輯課件8編輯課件9編輯課件10編輯課件11CABCRcsin2 )sin(2BAR ABRBARcossin2cossin2 AbBacoscos 同理可證：同理可證：,coscosAcCab ,coscosBcCba

4、編輯課件122224sinsin1.ABCBCbcabcBCABC在中，已知，且，求 、 、解：解：bcacbA2cos222 由余弦定理，由余弦定理，bcbc2 21 ， 1800A.60 A 120CB1sinsin4 CB1)120sin(sin4 BB1)sin120coscos120(sinsin4 BBB1)sin21cos23(sin4 BBB1sin22sin32 BBBB2cos2sin3 332tan B 2102302BB或或CBCB 且且由由于于120 12060B 105B 10515BB或或.15)(180 BAC，編輯課件1323cosABCABCabcBCbaA

5、在中，角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，已知，求的值；31cos2cos2sincossinABCABCACcaCabcBbA在中，角 ， ， 所對的邊分別為 ， ， ，已知，求的值；2編輯課件1422ABCACACacb在中 ，最 大 ，最 小 ， 且， 求 此 三 角 形 的 三 邊 之 比 。ABC在中，三邊長為連續(xù)的正整數(shù)，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三邊長。編輯課件152222)sin()sin(),bABbAB在 ABC中，a,b,c分別表示三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對邊，如果（a（a判斷三角形的形狀編輯課件16編輯課件17編輯課件18 在在ABC中，若中，若(accos B

6、)sin B(bccos A)sin A，判斷判斷ABC的形狀的形狀a2b2c20或或a2b2，故三角形為等腰三角形或直角三角形故三角形為等腰三角形或直角三角形【變式變式3】 編輯課件19法二法二由正弦定理，原等式可化為由正弦定理，原等式可化為(sin Asin Ccos B)sin B(sin Bsin Ccos A)sin A，sin Bcos Bsin Acos A，sin 2Bsin 2A，2B2A或或2B2A，AB或或AB ，故故ABC為等腰三角形或直角三角形為等腰三角形或直角三角形編輯課件20 在在ABC中，內(nèi)角中，內(nèi)角A，B，C的對邊長分別為的對邊長分別為a，b，c，已知已知a2

7、c22b，且，且sin Acos C3cos Asin C，求，求b.解法一解法一在在ABC中，中，sin Acos C3cos Asin C，則由正弦定理及余弦定理有：則由正弦定理及余弦定理有：2(a2c2)b2.又由已知又由已知a2c22b，4bb2.解得解得b4或或b0(舍舍)【變式變式4】 編輯課件21法二法二由余弦定理得：由余弦定理得：a2c2b22bccos A.又又a2c22b，b0.所以所以b2ccos A2.又又sin Acos C3cos Asin C，sin Acos Ccos Asin C4cos Asin C，sin(AC)4cos Asin C，即即sin B4cos Asin C，由正弦定理得由正弦定理得sin B sin C，故，故b4ccos A由由解得解得b4.編輯課件22編輯課件23例例. .判斷滿足下列條件的三角形的形狀判斷滿足下列條件的三角形的形狀(1)2 cosabC (2)sin,sin2sinsinac