概率論與數(shù)理統(tǒng)計第七章習題

1、2. 設設X1,X2,Xn為總體的一個樣本為總體的一個樣本, x1,x2,xn為一相應的樣本值為一相應的樣本值;求求下述各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量和估計值下述各總體的密度函數(shù)或分布律中的未知參數(shù)的矩估計量和估計值.(1)解解 因為只有一個未知參數(shù)因為只有一個未知參數(shù) ,故只計算總體一階矩故只計算總體一階矩 1即可即可.c 11 將總體一階矩將總體一階矩 1換成樣本一階矩換成樣本一階矩A1=X ,得到參數(shù)得到參數(shù) 的矩估計量的矩估計量cXX 矩估計值矩估計值cxx 其其它它, 0,)()1(cxxcxf 其中其中c0為已知為已知, 1, 為未知參數(shù)為未知參數(shù). dxxxfXE

2、)()(1 dxxcxc) 1( 111 cxcdxxccc2.(2) 其其它它, 010 ,)(1xxxf 其中其中 0, 為未知參數(shù)為未知參數(shù).解解 因為只有一個未知參數(shù)因為只有一個未知參數(shù) ,故只計算總體一階矩故只計算總體一階矩 1即可即可.解出解出211)1( 將總體一階矩將總體一階矩 1換成樣本一階矩換成樣本一階矩A1=X ,得到參數(shù)得到參數(shù) 的矩估計量的矩估計量2)1(XX 矩估計值矩估計值2)1(xx .)()(1dxxxfXE 1110110 xdxx3.求求1題中各未知參數(shù)的題中各未知參數(shù)的最大似然最大似然估計值和估計量估計值和估計量.(1) 其其它它, 0,)()1(cxx

3、cxf 其中其中c0為已知為已知, 1, 為未知參數(shù)為未知參數(shù).解解 似然函數(shù)似然函數(shù) 其其它它0, 2 , 1,)()(),(), ,() 1(1) 1(1121nicxxcxcxfxxxLiniinininiin niixcnnL1ln)1(lnlnln xic ( i =1,2,n)時時,取對數(shù)得取對數(shù)得令令0lnlnln1 niixcnnLdd 得到得到 的的最大似然最大似然估計值估計值cnxnniilnln1 的的最大似然最大似然估計量估計量cnXnniilnln1 3.(2) 其其它它, 010 ,)(1xxxf 其中其中 0, 為未知參數(shù)為未知參數(shù).解解 似然函數(shù)似然函數(shù) 其其它

4、它0, 2 , 1, 10 ,)()(),(), ,(112/11121nixxxxfxxxLiniinininiin niixnL1ln)1(ln2ln 0 xi 1 ( i =1,2,n)時時,取對數(shù)得取對數(shù)得令令0ln212ln1 niixnLdd 得到得到 的的最大似然最大似然估計值估計值212)ln( niixn 的的最大似然最大似然估計量估計量212)ln( niiXn 4.(2) 設設X1,X2,Xn是來自參數(shù)為是來自參數(shù)為 的泊松分布總體的一個樣本的泊松分布總體的一個樣本,試試求求 的的最大似然最大似然估計量及矩估計量估計量及矩估計量.解解 泊松分布的分布律為泊松分布的分布律為

5、, 2 , 1 , 0,! xxexXPx 總體一階矩總體一階矩 1=E(X)= , 將總體一階矩將總體一階矩 1換成樣本一階矩換成樣本一階矩A1=X ,得到參數(shù)得到參數(shù) 的矩估計量的矩估計量X 似然函數(shù)似然函數(shù) niixnniixnxeexxxxLniii1121) !(!),(1 取對數(shù)得取對數(shù)得) !ln(lnln11 niiniixxnL 令令01ln1 niixnLdd 得到得到 的的最大似然最大似然估計值估計值xxnnii 11 的的最大似然最大似然估計量估計量XXnnii 11 設設x1,x2,xn為相應的樣本值為相應的樣本值,82) 1() 1(2121212222112221

6、2212112 nnSnSnSnnnSnnnSw(1)驗證第六章驗證第六章2定理四中的統(tǒng)計量定理四中的統(tǒng)計量是兩總體公共方差是兩總體公共方差 2的無偏估計量的無偏估計量(SW2稱為稱為 2的合并估計的合并估計).證證 兩正態(tài)總體兩正態(tài)總體N( 1, 12 ) ,N( 2, 22 )中中, 12= 22= 2而不管總體而不管總體X服從什么分布服從什么分布,都有都有E(S2)=D(X), 因此因此E(S12)= E(S22)= 2,222221121)() 1()() 1(21 SEnSEnnn)2) 1() 1()(212222112 nnSnSnESEw(2)設總體設總體X的數(shù)學期望為的數(shù)學期

7、望為 . X1,X2,Xn是來自是來自X的樣本的樣本. a1,a2,an是任意常數(shù)是任意常數(shù),驗證驗證)0()(111 niiniiniiiaaXa是是 的無偏估計量的無偏估計量.證證 niiniiniiniiiniiniiiaaaXEaaXaE111111)()(E(X1)= E(X2)= E(Xn)= E(X)= 10.設設X1,X2,X3,X4是來自均值為是來自均值為 的指數(shù)分布總體的樣本的指數(shù)分布總體的樣本,其中其中 未知未知.設有估計量設有估計量)(31)(6143211XXXXT T2=(X1+2X2+3X3+4X4)/5,T3=(X1+X2+X3+X4)/4 . (1)指出指出T

8、1,T2,T3中哪幾個是中哪幾個是 的無偏估計量的無偏估計量;(2)在上述在上述 的無偏估計量中指出哪一個較為有效的無偏估計量中指出哪一個較為有效.解解 Xi ( i =1,2,3,4) 服從均值為服從均值為 的指數(shù)分布的指數(shù)分布,故故 E(Xi)= , D(Xi)= 2 ,(1) )3161(2)()(31)()(61)(43211XEXEXEXETE 2)4321(51)(4)(3)(2)(51)(43212 XEXEXEXETE )1111(41)()()()(41)(43213XEXEXEXETE因此因此T1,T3是是 的無偏估計量的無偏估計量.(2) X1,X2,X3,X4相互獨立相

9、互獨立2243211185)91361(2)()(91)()(361)( XDXDXDXDTD2243213205)1111(161)()()()(161)( XDXDXDXDTD由于由于D(T1)D(T3),所以所以T3比比T1較為有效較為有效.12. 設從均值為設從均值為 ,方差為方差為 20的總體中的總體中,分別抽取容量為分別抽取容量為n1,n2的兩獨的兩獨立樣本立樣本.X1和和X2分別是兩樣本的均值分別是兩樣本的均值.試證試證,對于任意常數(shù)對于任意常數(shù),a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是都是 的無偏估計的無偏估計,并確定常數(shù)并確定常數(shù)a,b使使D(Y)達到最小達到最小.解解

10、 由由p168(2.19)得得 E(X1)=E(X2)= , D(X1)= 2/n1, D(X2)= 2/n2 .故故 E(Y)=aE(X1)+bE(X2)=(a+b) = , (a+b=1)所以所以,對于任意常數(shù)對于任意常數(shù),a,b(a+b=1), Y=aX1+bX2都是都是 的無偏估計的無偏估計.由于兩樣本獨立由于兩樣本獨立,故兩樣本均值故兩樣本均值X1和和X2獨立獨立,所以所以222122212)()()( nbnaXDbXDaYD 由極值必要條件由極值必要條件0)1(22)(221 nanadaYdD解得解得211nnna 而而2121nnnab 由于由于022)(22122 nnda

11、YDd故故D(Y)必有唯一極小值即最小值必有唯一極小值即最小值.22212)1( nana 14.設某種清漆的設某種清漆的9個樣品個樣品,其干燥時間其干燥時間(以小時計以小時計)分別為分別為6.0 5.7 5.8 6.5 7.0 6.3 5.6 6.1 5.0 設干燥時間總體服從正態(tài)分布設干燥時間總體服從正態(tài)分布N( , 2),求求 的置信水平為的置信水平為0.95 的置信的置信區(qū)間區(qū)間. (1)若由以往經(jīng)驗知若由以往經(jīng)驗知 =0.6, (2)若若 為未知為未知.解解 (1) 2已知已知, 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 2/ znXn=9, 1- =0.95, =0.

12、05, (z0.025)=1-0.025=0.975, z0.025=1.96, =0.6 ,x=6,)392. 06()96. 136 . 06( 的一個置信水平為的一個置信水平為0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(5.608, 6.392).(2) 2未知未知, 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為 )1(2/ntnSX n=9, 1- =0.95, =0.05, t /2(n-1)=t 0.025(8)= 2.3060s=0.5745,442. 063060. 235745. 06 的一個置信水平為的一個置信水平為0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(5.558, 6.4

13、42).16. 隨機地取某種炮彈隨機地取某種炮彈9發(fā)做試驗發(fā)做試驗,得炮口速度的樣本標準差得炮口速度的樣本標準差s=11(m/s).設炮口速度服從正態(tài)分布設炮口速度服從正態(tài)分布.求這種炮彈的炮口速度的標準差求這種炮彈的炮口速度的標準差 的置信的置信水平為水平為0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間.解解 未知未知, 的置信水平為的置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為) 1(1,) 1(1(22/122/ nSnnSn n=9, 1- =0.95, =0.05, 2 /2 (n-1)= 2 0.025(8)= 2 1- /2 (n-1)= 2 0.975(8)=17.5352.18,又又s=11,

14、4 . 7535.17118 , 1 .2118. 2118 標準差標準差 的置信水平為的置信水平為0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(7.4, 21.1).18. 隨機地從隨機地從A批導線中抽取批導線中抽取4根根,又從又從B批導線中抽取批導線中抽取5根根,測得電測得電阻阻(歐歐)為為 A批導線批導線:0.143 0.142 0.143 0.137B批導線批導線:0.140 0.142 0.136 0.138 0.140設測定數(shù)據(jù)分別來自分布設測定數(shù)據(jù)分別來自分布N( 1, 2),N( 2, 2),且兩樣本相互獨立且兩樣本相互獨立.又又 1, 2, 2均為未知均為未知.試試求求 1 - 2的置

15、信水平為的置信水平為0.95 的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 解解 兩正態(tài)總體相互獨立兩正態(tài)總體相互獨立, 方差相等方差相等,但方差未知但方差未知, 其均值差其均值差 1 - 2的的一個置信水平為一個置信水平為1- 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為)11) 2(21212/21nnsnntxxw .,2) 1() 1(2212222112wwwSSnnSnSnS n1=4,n2=5,1- =0.95, =0.05, t /2(n1+n2-2)=t0.025(7)= 2.3646x1=0.14125, x2=0.1392, s12=8.25 10-6 , s22=5.2 10-6,3661055. 27102

16、. 541025. 83 ws)004. 0002. 0()1055. 23646. 21392. 014125. 0(51413 1 - 2的一個置信水平為的一個置信水平為0.95 的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(-0.002, 0.006).20. 設兩位化驗員設兩位化驗員A,B獨立地對某種聚合物含氯量用相同的方法獨立地對某種聚合物含氯量用相同的方法各作各作10次測定次測定,其測定值的樣本方差依次為其測定值的樣本方差依次為sA2=0.5419, sB2=0.6065, 設設 A2, B2分別為分別為A,B所測定的測定值總體的方差所測定的測定值總體的方差,設總體均為正態(tài)的設總體均為正態(tài)的,設兩樣本

17、獨立設兩樣本獨立,求方差比求方差比 A2/ / B2的置信水平為的置信水平為0.95的置信區(qū)間的置信區(qū)間. 解解 兩正態(tài)總體均值兩正態(tài)總體均值未知未知,方差比方差比 A2/ B2的一個置信水平為的一個置信水平為1- 的的 置信區(qū)間為置信區(qū)間為nA=10,nB=10,1- =0.95, =0.05,F /2(nA-1,nB-1)=F0.025(9,9)= 4.0303. 41)9 , 9(1)9 , 9()1, 1(025. 0975. 02/1 FFnnFBA )1, 1(1,)1, 1(1(212/122212/22 nnFSSnnFSSBABA sA2=0.5419,sB2=0.6065,

18、222. 003. 416065. 05419. 0 ,601. 303. 46065. 05419. 0 A2/ B2的一個置信水平為的一個置信水平為0.95的置信區(qū)間為的置信區(qū)間為(0.222, 3.601).22(2)求求18題中題中 1 - 2的置信水平為的置信水平為0.95 的單側置信下限的單側置信下限.解解)2(11)()(21212121 nntnnSxxw .,2) 1() 1(2212222112wwwSSnnSnSnS 按照按照t t分布的上分布的上 分位點的定義分位點的定義 1)2(11)()(21212121nntnnSxxPw即即 111)2(21212121nnSnntxxPw1- =0.95, =0.05, t (n1+n2-2)=t0.05(7)=1.8946, 1 - 2的置信水平為的置信水平為0.95 的單側置信下限為的單側置信下限為0012. 01055. 28946. 11392. 014125. 011)2(5141321212121 nnSnntxxw 18題中已得到題中已得到 x1=0.14125, x2=0.1392, sw=2.55 10-3, n1=4, n2=5,22(3) 求求20題中方差比題中方差比 A2/ B2的置信水平為的置信水平為0.95的單側置信上限的單側置信上限.解解 由由p169定理四得定理四得)1, 1(22