隨機變量的數(shù)字特征數(shù)學(xué)期望PPT課件

1、1 1 數(shù)學(xué)期望數(shù)學(xué)期望 例1：甲、乙兩人射擊比賽，各射擊100次，其中甲、乙的成績 如下： 評定他們的成績好壞。8 109 80 10 1010801089109100100100100 甲次數(shù)1080108910乙次數(shù)20651589108 209 65 10 1520651589108.95100100100100 1080108910100100100對于甲來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；2065158910100100100對于乙來說,、分別是 環(huán)、環(huán)、 環(huán)的概率；數(shù)學(xué)若用期望它們相應(yīng)的概率表示，就得到了，也稱為均值(加權(quán)均值)。 解：計算甲的平均成績： 計算乙的平均成績： 所以

2、甲的成績好于乙的成績。第1頁/共28頁定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對收設(shè)離散型隨機變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx設(shè)連續(xù)型隨機變量 的概率概率為若積分(即)則稱積分 的值為隨機變量 的，記為 數(shù)學(xué)期望 即 絕對收斂 數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。第2頁/共28頁 例2：有2個相互獨立工作的電子裝置，它們的壽命服從同一指數(shù)分布，其概率密度為： 若將這2個電子裝置串聯(lián)聯(lián)接組成整機，求整

3、機壽命N(以小時計)的數(shù)學(xué)期望。 解：1,2 ,kXk 1 0( ) 00 0 xexf xx1 0 (1,2) ( )0 0 xkexXkF xx的分布函數(shù)221 0( )1 (1( )0 0 xminexFxF xx 22 0( )0 0 xminexfxx222000 |22xxxxeedxe 是指數(shù)分布的密度函數(shù)12,Nmin XXN串聯(lián)情況下，故 的分布函數(shù)為：問題：將2個電子裝置并聯(lián)聯(lián)接組成整機， 整機的平均壽命又該如何計算？根據(jù)N的概率密度fmin(x),可得到E(N).202 ()xE Nxedx()2E N從而第3頁/共28頁 例3：設(shè)有10個同種電子元件，其中2個廢品。裝配

4、儀器 時，從這10個中任取1個，若是廢品，扔掉后重取 1只，求在取到正品之前已取出的廢品數(shù)X的期望。4812()012545459E X 解：X的分布律為：01282 82 11010 910 9kXp0124 58 451 45kXp第4頁/共28頁 例4：設(shè)一臺機器一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2，機器發(fā)生 故障時全天停工。若一周5個工作日里無故障，可獲 利10萬元；發(fā)生一次故障獲利5萬元；發(fā)生2次故障 獲利0元，發(fā)生3次或以上故障虧損2萬元，求一周內(nèi) 期望利潤是多少？( )5.216E Y 于是 （萬元）解：設(shè)X表示一周5天內(nèi)機器發(fā)生故障天數(shù)， (5, 0.2)Xb則設(shè)Y表示一周內(nèi)所獲利潤，

5、則5(10)(0)(1 0.2)0.328,P YP XY其余同理可得，于是 的分布率為：205100.0570.2050.4100.328kYp第5頁/共28頁 例5：( ),()XE X 。設(shè) 求() 0,1, 0!keXP Xkkk解： 的分布律為：X的數(shù)學(xué)期望為：0()!kkeE Xkk11(1)!kkekee ()E X即第6頁/共28頁例6：( , )()XU a bE X。設(shè) ，求1 ( )0 axbbaXf x解： 的概率密度為： 其他X的數(shù)學(xué)期望為：()( )E Xxf x dxbaxdxba2ab( , )a b即數(shù)學(xué)期望位于區(qū)間的中點第7頁/共28頁8幾種重要分布的數(shù)學(xué)期

6、望 15423212 )(,)(),()(),()(),()(),(XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX則則的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、設(shè)第8頁/共28頁 (),YXYg Xg定理：設(shè) 是隨機變量 的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若絕對收斂，則有( )Xf x是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為( )E YYX定理的在于我們求時，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意義可以了。( ) ( )g x f

7、x dx若 絕對收斂( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx則有X是離散型隨機變量，它的分布律為：上述定理也可以推廣到兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)的情況。第9頁/共28頁 ,X Y若二維離散型隨機變量的分布律為：,(, ),ZX YZg X Yg定理：設(shè) 是隨機變量的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp則有這里設(shè)上式右邊的級數(shù)絕對收斂，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 則有這里設(shè)上式右邊的積分絕對收斂,X Y若

8、二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為：()( , )E Xxf x y dxdy 特別地，第10頁/共28頁 例7：已知某零件的橫截面是個圓，對橫截面的直徑X進 行測量，其值在區(qū)間（1，2）上均勻分布，求橫截 面面積S的數(shù)學(xué)期望。2( )( )4E Sx f x dx1, 12( )0, xXf x解： 的密度函數(shù)為：其他2214xdx71224XS第11頁/共28頁 例8：,X Y設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布律為01200.10.250.1510.150.20.15XY()sin2XYZ求隨機變量的數(shù)學(xué)期望。()(00)(1 0)( )sinsin0.1 sin0.15222(0 1)(1 1)(02

9、)sin0.25sin0.2sin0.15222(12)sin0.150.252XYE ZE解：第12頁/共28頁 例9：設(shè)隨機變量(X,Y)的概率密度為： 3231 ,12( , ) 0 1,yx xxx yf x yE YEXY其他求數(shù)學(xué)期望。X=11yxyx( )( , )E Yyf x y dydx 解：321323 0123( )( )( ) 12 0 yYYydxyx yE Yyfy dyfydxyx y先求，這里 其他考慮：321132xxdydxx y 13131|2xxlnydxx313lnxdxx12313331|224lnxdxxx 11()( , )Ef x y dyd

10、xXYxy 431132xxdxdyx y142131|22xxdxxy621311()4dxxx331(1)455你算對了嗎？哪個更容易呢?第13頁/共28頁1000 , (, )500(X+Y), YYXZg X YYX若若解：設(shè)Z表示該種商品每周所得的利潤，則 (, )1 100,1020,1020( , )0,XYX Yxyf x y和 相互獨立，因此的概率密度為其他202020101010( )( , ) ( , )10001 100500() 1 10014166.7(xxE Zg x y f x y dxdydxydydxxydy 元）10例 ：某商店經(jīng)銷某種商品，每周進貨量X與

11、需求量Y是相互獨立的隨機變量，且都在區(qū)間10,20上均勻分布。商店每售出一單位商品可獲利1000元；若需求量超過進貨量，商店可從它處調(diào)劑供應(yīng)，這時每單位商品可獲利500元；試計算此商店經(jīng)銷該種商品每周所獲得利潤的數(shù)學(xué)期望。第14頁/共28頁數(shù)學(xué)期望的特性： ()()( )E aXbYcaE XbE Yc將上面三項合起來就是：這一性質(zhì)可以推廣到任意有限個隨機變量線性組合的情況( )CE CC設(shè) 是常數(shù)，則有1.()()XCE CXCE X設(shè) 是一個隨機變量， 是常數(shù)，則有2.,()()( )X YE XYE XE Y設(shè)是兩個隨機變量，則有3.,()() ( )X YE XYE X E Y設(shè)是相互

12、獨立的隨機變量，則有4.第15頁/共28頁證明：1. ()1,()( )1CP XCE XE CCC 是常數(shù)，2. ()( )( )()E CXCxf x dxCxf x dxCE X下面僅對連續(xù)型隨機變量給予證明：第16頁/共28頁17 dydxyxfyxYXEyxfYX),()()(),(),()3(，則，則密度為密度為的概率的概率二維隨機變量二維隨機變量：設(shè)：設(shè)證明證明 dydxyxyfdydxyxxf),(),()()()()(YEXEdyxyfdxxfxYX dydxyxfydxdyyxfx ),(),(第17頁/共28頁18 dydxyxxyfXYEyxfYX),()(),(),(

13、)4(，則，則密度為密度為的概率的概率二維隨機變量二維隨機變量：設(shè)：設(shè)證明證明 dydxyfxxyfXYEYXYX)()()(獨立獨立與與)()()()(YEXEdyyyfdxxfxYX 第18頁/共28頁 例11：一民航送客車載有20位旅客自機場出發(fā)，旅客有10 個車站可以下車，如到達一個車站沒有旅客下車就 不停車，以X表示停車的次數(shù)，求 (設(shè)每位旅客在各個車站下車是等可能的，并設(shè)各旅 客是否下車相互獨立)()E X。0 1,2,101 iiXii第 站沒有人下車第 站有人下車1210 XXXX易知：121020()()()()9 101 () 8.784()10E XE XE XE X次(

14、)(1)iiE XP X()Pi第 站有人下車2091 ()10 本題是將X分解成數(shù)個隨機變量之和，然后利用隨機變量和的數(shù)學(xué)期望等于隨機變量數(shù)學(xué)期望之和來求數(shù)學(xué)期望，這種處理方法具有一定的普遍意義。 解：引入隨機變量：第19頁/共28頁 例12： (),1,2,3,4.iE Xi i解：12341234,(0, 2 ),( ).XXXXUiXXYXXE Yi設(shè)隨機變量相互獨立，X求行列式的數(shù)學(xué)期望1423YX XX X14231423( )()()() ()() ()1 42 32E YE X XE X XE X E XE XE X 由條件，第20頁/共28頁21總結(jié)數(shù)學(xué)期望的計算方法 數(shù)學(xué)期

15、望的定義 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì) 隨機變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望 例11的方法：“X分解成數(shù)個隨機變量之和，利用E(X)=E(X1 +X2+Xn)= E(X1)+ E(X2)+ +E(Xn)” 根據(jù)題型，以上方法可能獨立使用，也可能結(jié)合使用。第21頁/共28頁22定義：定義：111() 1,2,kkkkkkkkkkkXP Xxpkx pXE Xx pE Xx p絕對收設(shè)離散型隨機變量 的分布律為：若級數(shù)則稱級數(shù)的和為隨機變量的，數(shù)學(xué)期記望為即 斂， , ( )( )( )( )Xf xx fxf x dxE Xxfx dxxf x dxXE Xx dx設(shè)連續(xù)型隨機變量 的概率概率為若積分(即)則稱積分 的值為

16、隨機變量 的，記為 數(shù)學(xué)期望 即 絕對收斂 數(shù)學(xué)期望簡稱期望，又稱均值。第22頁/共28頁23 (),YXYg Xg定理：設(shè) 是隨機變量 的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(), 1,2,kkP Xxpk11()( ) ()()kkkkkkg xpE YE g Xg xp若絕對收斂，則有( )Xf x是連續(xù)型隨機變量，它的概率密度為( )E YYX定理的在于我們求時，不必算出 的分布律重或概率密度，而只要利用 的分布律或概率密度就要意義可以了。( ) ( )g x f x dx若 絕對收斂( )( ()( ) ( )E YE g Xg x f x dx則有X是離散型隨機變量，它的分布律為：上述定理也可以推廣到

17、兩個或兩個以上隨機變量的函數(shù)的情況。第23頁/共28頁24 ,X Y若二維離散型隨機變量的分布律為：,(, ),ZX YZg X Yg定理：設(shè) 是隨機變量的函數(shù)：是連續(xù)函數(shù)(,), ,1,2,ijijP Xx Yypi j11( ) (, )( ,)ijijijE ZE g X Yg x yp則有這里設(shè)上式右邊的級數(shù)絕對收斂，( )( (, )( , ) ( , )E ZE g X Yg x y f x y dxdy 則有這里設(shè)上式右邊的積分絕對收斂,X Y若二維連續(xù)型隨機變量的概率密度為：()( , )E Xxf x y dxdy 特別地，第24頁/共28頁25幾種重要分布的數(shù)學(xué)期望 15423212 )(,)(),()(),()(),()(),(XEXXENXbaXEbaUXXEXnpXEpnbX則則的指數(shù)分布的指數(shù)分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為、設(shè)、設(shè)則則、設(shè)、