第五章大數(shù)定律及中心極限定理(2015)

1、2015年考研概率統(tǒng)計強化講義第五章 大數(shù)定律及中心極限定理一考研內容提要1Chebyshev不等式2大數(shù)定律（1）依概率收斂； （2）Chebyshev大數(shù)定律（即經(jīng)驗平均依概率收斂于理論平均）；（3）Bernoulli大數(shù)定律（即頻率依概率收斂于概率）；（4）辛欽大數(shù)定律（即在該條件下仍有經(jīng)驗平均依概率收斂于理論平均）。3中心極限定理（1）獨立同分布中心極限定理：設是獨立同分布的隨機變量序列，則隨機變量的分布函數(shù)，有應用：當充分大時，近似地服從以它的均值為均值，它的方差為方差的正態(tài)分布，即正態(tài)分布。（2）拉普拉斯中心極限定理：設表示重Bernoulli試驗中事件出現(xiàn)次數(shù)，是事件一次試驗出現(xiàn)

2、的概率，即，則隨機變量的分布函數(shù)，有應用：，設，當充分大時，則近似地服從以它的均值為均值，它的方差為方差的正態(tài)分布，即正態(tài)分布。二考研題型解析1選擇題例1 設隨機變量獨立同分布，其分布函數(shù)為，則辛欽大數(shù)定律對此序列（ ）。(A)適用 (B)當常數(shù)取適當數(shù)值時適用 (C)不適用 (D)無法判別解 應選(C) 。因為，故辛欽大數(shù)定理不適用。例2 設為相互獨立的隨機變量，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 解 應選(C)。例3 設為相互獨立的隨機變量，且均服從參數(shù)為的泊松分布，則（ ）。(A)當充分大時，近似服從 (B) 當充分大時，近似服從(C) 當充分大時，近似服

3、從 (D) 當充分大時，近似服從解 應選(A)。例4 設隨機變量相互獨立，則根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當充分大時，近似服從正態(tài)分布，只要（ ）。(A)有相同的數(shù)學期望 (B)有相同的方差(C)服從同一指數(shù)分布 (D)服從同一離散型分布解 應選(C) 。例5 設為相互獨立同分布的隨機變量，則下列選項不正確的是（ ）(A)當充分大時，近似服從 (B) 當充分大時，近似服從(C) 當充分大時，近似服從 (D) 解 應選（A）。2填空題例1 設是隨機變量，則由Chebyshev不等式 。解 應填。例2 設為相互獨立同分布的隨機變量，設，寫出所滿足的Chebyshev不等式 ，并估計 。解 應填，

4、。，于是所滿足的Chebyshev不等式為，例3 設是隨機變量，則Chebyshev不等式，有 。解 應填。3解答題例1 檢查員逐個地檢查某種產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個產(chǎn)品，但也可能有的產(chǎn)品需要重復檢查一次再用去10秒鐘，假定每個產(chǎn)品需要重復檢查的概率為，求在8小時內檢查員檢查的產(chǎn)品多于1900個地概率。解 設表示檢查第個產(chǎn)品所需要的時間，則相互獨立同分布，為檢查1900個產(chǎn)品所需要的總時間。由題設且，從而由中心極限定理知，近似地服從正態(tài)分布，故所求的概率為。例2 隨機地擲6顆骰子，利用Chebyshev不等式估計“6顆骰子出現(xiàn)點數(shù)之和在15點到27點之間”的概率。解 設表示“6顆骰子所出現(xiàn)

5、的點數(shù)和”，表示“第顆出現(xiàn)的的點數(shù)”，則，且相互獨立同分布，其分布律為，故于是，由Chebyshev不等式得。例3 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機的，假設每箱平均中50千克，標準差5千克，若用最大載重量為5噸的汽車去承運，試利用中心極限定理說明每輛汽車最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0.977（）解 設是裝運的第箱的重量（單位：千克），是所求的箱數(shù)，由題設是相互獨立同分布的隨機變量，而箱的總重量為又，所以由中心極限定理，近似的服從正態(tài)分布，從而取決于條件由此可見，從而，即最多可裝98箱。例4 在一家保險公司里有10000人參加保險，每人每年付12元的保險費，在一年內這些人死亡的概率為0.006，死后家屬可向保險公司領取1000元的賠償，試求（i）保險公司年利潤不少于60000元的概率；（ii）保險公司虧本的概率。解 設表示“100