第五章大數(shù)定律及中心極限定理(2015)

1、2015年考研概率統(tǒng)計(jì)強(qiáng)化講義第五章 大數(shù)定律及中心極限定理一考研內(nèi)容提要1Chebyshev不等式2大數(shù)定律（1）依概率收斂； （2）Chebyshev大數(shù)定律（即經(jīng)驗(yàn)平均依概率收斂于理論平均）；（3）Bernoulli大數(shù)定律（即頻率依概率收斂于概率）；（4）辛欽大數(shù)定律（即在該條件下仍有經(jīng)驗(yàn)平均依概率收斂于理論平均）。3中心極限定理（1）獨(dú)立同分布中心極限定理：設(shè)是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量序列，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)，有應(yīng)用：當(dāng)充分大時(shí)，近似地服從以它的均值為均值，它的方差為方差的正態(tài)分布，即正態(tài)分布。（2）拉普拉斯中心極限定理：設(shè)表示重Bernoulli試驗(yàn)中事件出現(xiàn)次數(shù)，是事件一次試驗(yàn)出現(xiàn)

2、的概率，即，則隨機(jī)變量的分布函數(shù)，有應(yīng)用：，設(shè)，當(dāng)充分大時(shí)，則近似地服從以它的均值為均值，它的方差為方差的正態(tài)分布，即正態(tài)分布。二考研題型解析1選擇題例1 設(shè)隨機(jī)變量獨(dú)立同分布，其分布函數(shù)為，則辛欽大數(shù)定律對(duì)此序列（ ）。(A)適用 (B)當(dāng)常數(shù)取適當(dāng)數(shù)值時(shí)適用 (C)不適用 (D)無(wú)法判別解 應(yīng)選(C) 。因?yàn)?，故辛欽大數(shù)定理不適用。例2 設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且均服從參數(shù)為的指數(shù)分布，則（ ）。(A) (B) (C) (D) 解 應(yīng)選(C)。例3 設(shè)為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，且均服從參數(shù)為的泊松分布，則（ ）。(A)當(dāng)充分大時(shí)，近似服從 (B) 當(dāng)充分大時(shí)，近似服從(C) 當(dāng)充分大時(shí)，近似服

3、從 (D) 當(dāng)充分大時(shí)，近似服從解 應(yīng)選(A)。例4 設(shè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立，則根據(jù)列維-林德伯格中心極限定理，當(dāng)充分大時(shí)，近似服從正態(tài)分布，只要（ ）。(A)有相同的數(shù)學(xué)期望 (B)有相同的方差(C)服從同一指數(shù)分布 (D)服從同一離散型分布解 應(yīng)選(C) 。例5 設(shè)為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，則下列選項(xiàng)不正確的是（ ）(A)當(dāng)充分大時(shí)，近似服從 (B) 當(dāng)充分大時(shí)，近似服從(C) 當(dāng)充分大時(shí)，近似服從 (D) 解 應(yīng)選（A）。2填空題例1 設(shè)是隨機(jī)變量，則由Chebyshev不等式 。解 應(yīng)填。例2 設(shè)為相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，設(shè)，寫(xiě)出所滿足的Chebyshev不等式 ，并估計(jì) 。解 應(yīng)填，

4、。，于是所滿足的Chebyshev不等式為，例3 設(shè)是隨機(jī)變量，則Chebyshev不等式，有 。解 應(yīng)填。3解答題例1 檢查員逐個(gè)地檢查某種產(chǎn)品，每次花10秒鐘檢查一個(gè)產(chǎn)品，但也可能有的產(chǎn)品需要重復(fù)檢查一次再用去10秒鐘，假定每個(gè)產(chǎn)品需要重復(fù)檢查的概率為，求在8小時(shí)內(nèi)檢查員檢查的產(chǎn)品多于1900個(gè)地概率。解 設(shè)表示檢查第個(gè)產(chǎn)品所需要的時(shí)間，則相互獨(dú)立同分布，為檢查1900個(gè)產(chǎn)品所需要的總時(shí)間。由題設(shè)且，從而由中心極限定理知，近似地服從正態(tài)分布，故所求的概率為。例2 隨機(jī)地?cái)S6顆骰子，利用Chebyshev不等式估計(jì)“6顆骰子出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和在15點(diǎn)到27點(diǎn)之間”的概率。解 設(shè)表示“6顆骰子所出現(xiàn)

5、的點(diǎn)數(shù)和”，表示“第顆出現(xiàn)的的點(diǎn)數(shù)”，則，且相互獨(dú)立同分布，其分布律為，故于是，由Chebyshev不等式得。例3 一生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品成箱包裝，每箱的重量是隨機(jī)的，假設(shè)每箱平均中50千克，標(biāo)準(zhǔn)差5千克，若用最大載重量為5噸的汽車去承運(yùn)，試?yán)弥行臉O限定理說(shuō)明每輛汽車最多可以裝多少箱，才能保證不超載的概率大于0.977（）解 設(shè)是裝運(yùn)的第箱的重量（單位：千克），是所求的箱數(shù)，由題設(shè)是相互獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量，而箱的總重量為又，所以由中心極限定理，近似的服從正態(tài)分布，從而取決于條件由此可見(jiàn)，從而，即最多可裝98箱。例4 在一家保險(xiǎn)公司里有10000人參加保險(xiǎn)，每人每年付12元的保險(xiǎn)費(fèi)，在一年內(nèi)這些人死亡的概率為0.006，死后家屬可向保險(xiǎn)公司領(lǐng)取1000元的賠償，試求（i）保險(xiǎn)公司年利潤(rùn)不少于60000元的概率；（ii）保險(xiǎn)公司虧本的概率。解 設(shè)表示“100