金陵中學高三 (2)

1、金陵中學20132014學年度第一學期高三期中試卷 數(shù)學（必做題）一、填空題:本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把正確答案填寫在答題卡相應的位置上1 設集合Axx2，Bxx21，則AB 【答】x1x22. 復數(shù)i2（12i）的實部是 【答】（1）3.命題“xR，x2+ax+1<0” 的否定是 【答】4.函數(shù)f（x）的定義域是 【答】（0，35.在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列an中，已知a1+ a2+ a3 =2, a3+ a4+ a5 =8,則a4+ a5+ a6 = . 【答】16 6已知向量a，b滿足a1，b2，a與b的夾角為60°，向量c2ab則向量c的模為 【答】2【

2、解析】c2（2ab）24a24a·bb244×1×2×cos60°412，即c27在平面直角坐標系xOy中，已知y=x是雙曲線=1（a>0,b>0）的一條漸近線方程，則此雙曲線的離心率為 【答】2 【解析】由題意，8.已知直線l平面，直線mÍ平面，則下列四個命題： 若,則lm； 若,則lm； 若lm,則； 若lm,則.其中正確命題的序號是 【答】 9若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點數(shù)m、n作為點P的橫、縱坐標，則點P在直線xy = 5下方的概率為 【答】 【解析】點P在直線xy = 5下方的情況有(1,1)，(1,2)，(1

3、,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)六種可能，故其概率為 = 10. 已知f(x)=3sin(2x)，若存在(0,)，使f(+x)= f(-x)對一切實數(shù)x恒成立，則= 【答】11.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當x0時，f(x)x22x，若f(2a2)>f(a)，則實數(shù)a的取值范圍是 【答】(2,1)12. 已知函數(shù)f(x)= |lg(x-1)| 若ab,f(a)= f(b) ,則a+2b的取值范圍是 【答】13.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x)f(x5)16，當x(1，4時，f(x)x22x，則函數(shù)f(x)在0，2013上的零點個數(shù)是_ 【答】604【解析】由，可知，則

4、，所以是以10為周期的周期函數(shù). 在一個周期上，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有3個零點，在區(qū)間內(nèi)無零點，故在一個周期上僅有3個零點，由于區(qū)間中包含201個周期，又時也存在一個零點，故在上的零點個數(shù)為.14.已知函數(shù)f(x)=，若對任意的實數(shù)x1,x2,x3,不等式f(x1)+ f(x2) >f(x3)恒成立，則實數(shù)k 的取值范圍是 【答】【解析】，令，則原題等價為：對于，恒成立，求實數(shù)k的取值范圍（1）當時，顯然成立；（2）當時，由，得；（3）當時，由，得綜上，實數(shù)k的取值范圍為二、解答題：本大題共6小題，共計90分.請在答題紙指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.(本題滿分1

5、4分) 已知向量a=(2cosx , 2sinx) ，b=(cosx , cosx),設函數(shù)f(x)=ab-, 求：(1) f(x)的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間； (2)若, 且(,). 求.解=-3分(1)函數(shù)的最小正周期為 -5分 由，得（）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為 -8分(2)，11分，或，或 -14分16(本題滿分14分) 如圖,四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形ADEF是正方形，且BD平面CDE，H是BE的中點,G是AE,DF的交點.（1）求證:GH平面CDE；（2）求證:面ADEF面ABCD.證明：是的交點，是中點，又是的中點，中， -2分 ABCD為平行四邊形 ABCD ， -4分又平

6、面 -7分， 所以， -9分 又因為四邊形為正方形， -10分，- -12分 . -14分17（本題滿分14分） 已知等差數(shù)列an中，首項a11，公差d為整數(shù)，且滿足a1+3<a3, a2+5> a4，數(shù)列bn滿足bn =，其前n項和為Sn(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若S2為S1，Sm (mN)的等比中項,求正整數(shù)m的值(3)對任意正整數(shù)k,將等差數(shù)列an中落入?yún)^(qū)間(2k,22k)內(nèi)項的個數(shù)記為ck,求數(shù)列cn的前n項 和Tn解：（1）由題意，得解得< d < 2分 又dZ，d = 2 =1+(n1)2=2n1 4分（2）.6分7分，為， ()的等比中項，即， 解

7、得=12 .9分(3)對任意正整數(shù)k，則,而，由題意可知 , 12分于是 ， 即. 14分18.（本小題滿分16分） 如圖，某自來水公司要在公路兩側(cè)鋪設水管，公路為東西方向，在路北側(cè)沿直線鋪設線路l1，在路南側(cè)沿直線鋪設線路l2，現(xiàn)要在矩形區(qū)域ABCD內(nèi)沿直線將l1與l2接通已知AB = 60m，BC = 80m，公路兩側(cè)鋪設水管的費用為每米1萬元，穿過公路的EF部分鋪設水管的費用為每米2萬元，設EFB=-,矩形區(qū)域內(nèi)的鋪設水管的總費用為W（1）求W關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式；（2）求W的最小值及相應的角解：（1）如圖，過E作，垂足為M，由題意得MEF=， 故有，.3分所以 =80+-60tan（其中.

8、8分 （2）W 設， 則 11 分 令得，即，得列表+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以當時有，此時有 14分 答：鋪設水管的最小費用為萬元，相應的角 16分19（本小題滿分16分）已知橢圓C：1(ab0)的離心率e，橢圓C的上、下頂點分別為A1，A2，左、右頂點分別為B1，B2,左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2原點到直線A2B2的距離為（1）求橢圓C的方程；（2）過原點且斜率為的直線l，與橢圓交于E，F(xiàn)點，試判斷EF2F是銳角、直角還是鈍角，并寫出理由；（3）P是橢圓上異于A1，A2的任一點,直線PA1，PA2，分別交軸于點N，M,若直線OT與過點M，N的圓G相切，切點為T.證明：線段OT的長為定值,

9、并求出該定值.MxyTGPONA1A2B1B2F1F2解：（1）因為橢圓C的離心率e，故設a2m，cm，則bm直線A2B2方程為 bxayab0，即mx2my2m20所以 ，解得m1所以 a2，b1，橢圓方程為y21 5分（2） 由得E(，)，F(xiàn)(，).7分 又F2(，0)，所以(，)，(，)， 所以·()×()×()0 所以EF2F是銳角 10分（3）由（1）可知A1(0，1) A2(0，1),設P(x0，y0), 直線PA1：y1x，令y0,得xN； 直線PA2：y1x，令y0,得xM；12分解法一:設圓G的圓心為()，h),則r2()2h2()2h2OG2(

10、)2h2OT2OG2r2()2h2()2h2.14分而y021，所以x024(1y02)，所以OT24，所以OT2,即線段OT的長度為定值2. 16分解法二:OM·ON|()·|,而y021，所以x024(1y02)，所以OM·ON4由切割線定理得OT2OM·ON4所以OT2,即線段OT的長度為定值2. 16分20（本大題滿分16分）已知函數(shù)f(x)=a|x|+(a>0,a1)（1）若a>1，且關(guān)于x的方程f(x)=m有兩個不同的正數(shù)解，求實數(shù)m的取值范圍；（2）設函數(shù)g(x)= f(-x)，x-2，+），滿足如下性質(zhì)：若存在最大（?。┲?，則

11、最大（?。┲蹬ca無關(guān).試求a的取值范圍解：(1)令，因為，所以，所以關(guān)于的方程有兩個不同的正數(shù)解等價于關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，即 關(guān)于的方程有相異的且均大于1的兩根，2分所以，4分解得，故實數(shù)的取值范圍為區(qū)間.6分(2)當時，a)時，所以 ， b)時，所以 8分 )當即時，對，所以 在上遞增，所以 ，綜合a) b)有最小值為與a有關(guān)，不符合10分 )當即時，由得，且當時，當時，所以 在上遞減，在上遞增，所以，綜合a) b) 有最小值為與a無關(guān)，符合要求12分當時，a) 時，所以 b) 時，所以 ，在上遞減，所以 ，綜合a) b) 有最大值為與a有關(guān)，不符合15分綜上所述，實數(shù)a的取

12、值范圍是16分金陵中學20132014學年度第一學期高三期中試卷數(shù)學（附加題）21【選做題】在下面A，B，C，D四個小題中只能選做兩題，每小題10分，共20分A選修41：幾何證明選講（本小題滿分10分） 如圖，設AB為O的任一條不與直線l垂直的直徑，P是O與l的公共點，ACl，BDl，垂足分別為C，D，且PC=PD，求證： （1）l是O的切線； （2）PB平分ABD. 20090602證明：（1）連結(jié)OP，因為ACl，BDl，所以AC/BD.又OA=OB，PC=PD，所以OP/BD，從而OPl.因為P在O上，所以l是O的切線. .5分 （2）連結(jié)AP，因為l是O的切線，所以BPD=BAP. 又

13、BPD+PBD=90°，BAP+PBA=90°，所以PBA=PBD，即PB平分ABD. .10分B選修42：矩陣與變換（本小題滿分10分）已知矩陣M，N（1）求矩陣MN；（2）若點P在矩陣MN對應的變換作用下得到Q(0，1)，求點P的坐標解：（1）MN ； 5分 （2）設P(x，y)，則解法一： ，即 解得即P(，1) 10分 解法二： 因為所以 即P(，1) 10分C選修44：坐標系與參數(shù)方程（本小題滿分10分） 在直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），若以直角坐標系xoy的原點為極點，OX為極軸，且長度單位相同，建立極坐標系，直線l的極坐標方程為 sin(+)=0,

14、 求與直線l垂直且與曲線C相切的直線m的極坐標方程.解：················3分設,直線與相切，可得或，··················7分直線的極坐標方程為或···10分D選修4 - 5：不等式選講（本小題滿分1

15、0分）設f(x)=x2x+13，實數(shù)a滿足| x-a|<1，求證：| f(x)-f(a)|<2(|a|+1)證：， 又10分 必做題22（本小題滿分10分） 口袋中有n(nN)個白球，3個紅球.依次從口袋中任取一球，如果取到紅球，那么繼續(xù)取球，且取出的紅球不放回；如果取到白球，就停止取球.記取球的次數(shù)為X, 若P(X=2)= 求： （1）n的值； （2）X的概率分布與數(shù)學期望.解：（1）由題知 （2）由題知，X的可能取值為1，2，3，4，所以所以，X的概率分布表為X1234P 所以答X的數(shù)學期望是 10分23（本小題滿分10分） 設P1，P2，Pj為集合P1，2，i的子集，其中i，j為正整數(shù)記aij為滿足P1P2PjÆ的有序子集組(P1，P2，Pj)的個數(shù)（1）求a22的值； （2）求aij的表達式解：（1）由題意得P1，P2為集合P1，2的子集， 因為P1P2Æ， 所以集合P1，2中的元素“1”共有如下3種情形： 1ÏP1，且1Ï P2；1ÎP1，且1Ï P2；1ÏP1，且1ÎP2； 同理可得集合P1，2中