曲線的凹凸性與拐點【一元分析學經(jīng)典講義】

1、上頁下頁返回首頁結束曲線的凹凸性與拐點一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定三、曲線的拐點與求法三、曲線的拐點與求法一、曲線凹凸的定義一、曲線凹凸的定義問題問題:如何研究曲線的彎曲方向如何研究曲線的彎曲方向?xyoxyo1x2x)(xfy 圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的上方于所張弦的上方xyo)(xfy 1x2x圖形上任意弧段位圖形上任意弧段位于所張弦的下方于所張弦的下方abc（下凸）（下凸） 凸凸（上凸）（上凸） 凹凹上頁返回下頁定義定義;)(),()1()()1()1 , 0(,)(212121簡稱凸函數(shù)簡稱凸函數(shù)，上的下凸函數(shù)上的下凸函數(shù)為為

2、那末稱那末稱恒有恒有和和若若上有定義上有定義在區(qū)間在區(qū)間設設ixfxfxfxxfixxixf ;)(,)()(,)(的的或或下下凸凸上上的的圖圖形形是是上上凸凸在在那那末末稱稱函函數(shù)數(shù)，或或下下凸凸上上的的上上凸凸為為如如果果baxfbaxf, 改為改為若將上式中的若將上式中的則相應地改稱則相應地改稱“凸函數(shù)凸函數(shù)”為為“嚴格凸函數(shù)嚴格凸函數(shù)”.,)(函數(shù)定義函數(shù)定義凹凹便為上凸便為上凸改為改為 上頁返回下頁引理：引理：(*)()()()(,23231212321321xxxfxfxxxfxfxxxixxx 有有且且上的下凸函數(shù)上的下凸函數(shù)為區(qū)間為區(qū)間ixf)(上頁返回下頁證：證：于是于是則則

3、取取.)1(,3121323xxxxxxx (*)()()()1()()(2131211323312xfxxxxxfxxxxxfxfxf ),()()()()()(312123213xfxxxfxxxfxx ),()()()()()()()(312123212223xfxxxfxxxfxxxfxx 整理后即得證整理后即得證. 由必要性推導逆過程，從由必要性推導逆過程，從(*)得得(*).二、曲線凹凸的判定二、曲線凹凸的判定xyo)(xfy xyo)(xfy abab遞增遞增)(xf abba0 y遞減遞減)(xf 0 y定理定理1 1.,)(, 0)()2(;,)(, 0)()1(),(,),

4、(,)(上上的的圖圖形形是是嚴嚴格格上上凸凸的的在在則則上上的的圖圖形形是是嚴嚴格格下下凸凸的的在在則則內(nèi)內(nèi)若若在在二二階階導導數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果baxfxfbaxfxfbababaxf 上頁返回下頁定理定理2 2：.),(0)()0)(0)(),()(,)()2();0)(0)(),()(,)()1(.,)(,),()(的的任任何何子子區(qū)區(qū)間間不不充充滿滿的的點點且且使使，或或內(nèi)內(nèi)在在函函數(shù)數(shù)或或嚴嚴格格上上凸凸上上的的嚴嚴格格下下凸凸為為或或內(nèi)內(nèi)在在函函數(shù)數(shù)或或上上凸凸上上的的下下凸凸為為上上連連續(xù)續(xù)在在內(nèi)內(nèi)二二次次可可微微在在設設baxxfxfxfbabaxfx

5、fxfbabaxfbaxfbaxf 上頁返回下頁例例1 1.3的凹凸性的凹凸性判斷曲線判斷曲線xy 解解,32xy ,6xy 時，時，當當0 x, 0 y為為上上凸凸的的；在在曲曲線線0 ,( 時，時，當當0 x, 0 y為凸的；在曲線), 0 .)0 , 0(點點是曲線由凹變凸的分界是曲線由凹變凸的分界點點注意到注意到,上頁返回下頁三、曲線的拐點及其求法三、曲線的拐點及其求法連續(xù)曲線上連續(xù)曲線上嚴格嚴格凹凸的分界點稱為凹凸的分界點稱為曲線的拐點曲線的拐點. 定理定理 2 2 如果如果)(xf在在),(00 xx內(nèi)存在二階導內(nèi)存在二階導數(shù)數(shù), ,則點則點 )(,00 xfx是拐點的必要條件是是

6、拐點的必要條件是0)(0 xf. .1.1.定義定義注意注意:拐點處的切線必在拐點處穿過曲線拐點處的切線必在拐點處穿過曲線.2.2.拐點的求法拐點的求法證證,)(二階可導二階可導xf,)(存在且連續(xù)存在且連續(xù)xf 上頁返回下頁, )()(0兩邊變號兩邊變號在在則則xxfxf ,)(,(00是拐點是拐點又又xfx,)(0取得極值取得極值在在xxf ,條件條件由可導函數(shù)取得極值的由可導函數(shù)取得極值的. 0)(0 xf方法方法1:1:, 0)(,)(00 xfxxf且且的鄰域內(nèi)二階可導的鄰域內(nèi)二階可導在在設函數(shù)設函數(shù);)(,(,)()1(000即為拐點即為拐點點點變號變號兩近旁兩近旁xfxxfx .

7、)(,(,)()2(000不是拐點不是拐點點點不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx 上頁返回下頁例例2 2.14334凹、凸的區(qū)間凹、凸的區(qū)間的拐點及的拐點及求曲線求曲線 xxy解解),(: d,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00凸的凸的凹的凹的凸的凸的拐點拐點拐點拐點)1 , 0()2711,32(上頁返回下頁).,32,32, 0,0 ,(凹凸區(qū)間為凹凸區(qū)間為拐點為拐點為),1 , 0()2711,32(上頁返回下頁方法方法2:2:.)()(,(,0)(, 0)(,)(000

8、00的拐點的拐點線線是曲是曲那末那末而而且且的鄰域內(nèi)三階可導的鄰域內(nèi)三階可導在在設函數(shù)設函數(shù)xfyxfxxfxfxxf 例例3 3.)2 , 0(cossin的拐點的拐點內(nèi)內(nèi)求曲線求曲線 xxy解解,sincosxxy ,cossinxxy .sincosxxy , 0 y令令.47,4321 xx得得2)43( f, 0 2)47( f, 0 上頁返回下頁內(nèi)曲線有拐點為內(nèi)曲線有拐點為在在2 , 0 ).0 ,47(),0 ,43( .)()(,(,)(000的拐點的拐點是連續(xù)曲線是連續(xù)曲線也可能也可能點點不存在不存在若若xfyxfxxf 注意注意: :上頁返回下頁例例4 4.3的拐點的拐點求

9、曲線求曲線xy 解解,0時時當當 x,3132 xy,9435 xy.,0均不存在均不存在是不可導點是不可導點yyx , 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)但在但在;0 ,(上是凸的曲線在 , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在.), 0上是凹的曲線在.)0 , 0(3的拐點的拐點是曲線是曲線點點xy 上頁返回下頁利用函數(shù)的凹凸性可以證明不等式利用函數(shù)的凹凸性可以證明不等式. .例例.arctanarctan)2arctan(2,)1(babarba 有有.arctan)(xxf 取).(21,)2(2babaeeerba 有)., 0(,ln)( xxxf提示：取函數(shù)提示：提示：., 0)3(2121naaaa

10、aaannnk 則設上頁返回下頁例例5 5)., 0, 0( ,2ln)(lnlnyxyxyxyxyyxx 證明不等式證明不等式證證),0(ln)( ttttf令令, 1ln)( ttf則則, 01)( ttf.0, 0),(),(ln)(是凸的是凸的或或在在 yxxyyxtttf)2()()(21yxfyfxf 于是于是,2ln2lnln21yxyxyyxx 即即.2ln)(lnlnyxyxyyxx 即即上頁返回下頁四、小結四、小結曲線的彎曲方向曲線的彎曲方向凹凸性凹凸性;改變彎曲方向的點改變彎曲方向的點拐點拐點;凹凸性的判定凹凸性的判定.拐點的求法拐點的求法1, 2.上頁返回下頁思考題思考

11、題設設)(xf在在),(ba內(nèi)二階可導，且內(nèi)二階可導，且0)(0 xf，其中其中),(0bax ，則，則,(0 x)(0 xf是否一定為是否一定為曲線曲線)(xf的拐點？舉例說明的拐點？舉例說明.上頁返回下頁思考題解答思考題解答因因為為0)(0 xf只只是是,(0 x)(0 xf 為為拐拐點點的的必必要要條條件件， 故故,(0 x)(0 xf不一定是拐點不一定是拐點.例例4)(xxf ),( x0)0( f但但)0 , 0(并不是曲線并不是曲線)(xf的拐點的拐點.上頁返回下頁一、一、 填空題：填空題：1 1、 若函數(shù)若函數(shù))(xfy 在在 （ba,） 可導， 則曲線） 可導， 則曲線)(xf

12、在在( (ba,) )內(nèi)取凹的充要條件是內(nèi)取凹的充要條件是_._.2 2、 曲線上曲線上_的點，稱作曲線的拐點的點，稱作曲線的拐點 . .3 3、 曲線曲線)1ln(2xy 的拐點為的拐點為_._.4 4、 曲線曲線)1ln(xy 拐點為拐點為_._.二、二、 求曲線求曲線xeyarctan 的拐點及凹凸區(qū)間的拐點及凹凸區(qū)間 . .三、三、 利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式：利用函數(shù)圖形的凹凸性，證明不等式： 22yxyxeee )(yx . .四、求曲線四、求曲線 2sin2cot2ayax的拐點的拐點 . .練練 習習 題題上頁返回下頁五、五、 試證明曲線試證明曲線112 xxy有三個拐點位于同一直線有三個拐點位于同一直線上上 . .六、六、 問問a及及b為何值時，點為何值時，點(1,3)(1,3)為曲線為曲線23bxaxy 的拐點？的拐點？七、七、 試決定試決定22)3( xky中中k的值的值, ,使曲線的拐點處使曲線的拐點處的法線通過原點的法線通過原點 . .上頁返回下頁一、一、1 1、),()(baxf在在 內(nèi)遞增或內(nèi)遞增或0)(),( xfbax； 2 2、凹凸部分的分界點；、凹凸部分的分界點；3 3、2 ,(), 2),2, 2(2e； 4 4、