數(shù)量積與向量積0809

1、第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)量積與向量積數(shù)量積與向量積 cos|baba 定義定義一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積ab ,prcos|bjba 方方向向上上的的投投影影在在向向量量向向量量ab,prcos|ajab 方方向向上上的的投投影影在在向向量量向向量量baajbbabpr| .pr|bjaa 結(jié)論結(jié)論 兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的兩向量的數(shù)量積等于其中一個(gè)向量的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的模和另一個(gè)向量在這向量的方向上的投影的乘積乘積. .數(shù)量積也稱(chēng)為數(shù)量積也稱(chēng)為“點(diǎn)積點(diǎn)積”.關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)量積的說(shuō)明：0)2( ba.ba .|)1(2aaa 數(shù)量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)

2、量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）若）若 為數(shù)為數(shù) ),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 cos|baba ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)

3、表示式 ba0 zzyyxxbababa由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為例例3應(yīng)用向量證明應(yīng)用向量證明cauchyschwarz不等式不等式232221232221332211|bbbaaabababa 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積向向量量a與與b的的向向量量積積為為 bac sin|bac (其中其中 為為a與與b的夾角的夾角)定義定義c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系. .向量積也稱(chēng)為向量積也稱(chēng)為“叉積叉積”. 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba關(guān)于向量積的說(shuō)明：關(guān)于向量積的說(shuō)明：向

4、量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：向量積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 為數(shù)為數(shù) ).()()(bababa ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積還可借助于三階行列式表示向量積還可借助于三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba kbbaajbbaaibbaayxyxzxzxzyzy 由上式可推出由上式可推出ba/0 ba0 zyzyabba0 zxzxabba0

5、yxyxabbazzyyxxbababa 補(bǔ)充補(bǔ)充abbac 定義定義cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 設(shè)設(shè),kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式三、向量的混合積三、向量的混合積（1）向量混合積的幾何意義：）向量混合積的幾何意義： 向量的混合積向量的混合積cbacba )(是這樣是這樣的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表的一個(gè)數(shù)，它的絕對(duì)值表示以向量示以向量a、b、c為棱的為棱的平行六面體的體積平行六面體的體積.acbba 關(guān)于混合積的說(shuō)明：關(guān)于混合積的說(shuō)明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac 輪換對(duì)稱(chēng)性輪換對(duì)稱(chēng)性（3）三向量）三向量a、b、c共面共面. 0 cba 已知已知2 cba， 計(jì)算計(jì)算)()()(accbba .解解)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例6向量的數(shù)量積向量的數(shù)量積向量的向量積向量的向量積向量的混合積向量的