第十章第1節(jié)對弧長的曲線積分

1、1第十一章第十一章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分2一、問題的提出實例實例: :曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l. sm 勻質(zhì)之質(zhì)量勻質(zhì)之質(zhì)量分割分割,121insmmm ,),(iiis 取取.),(iiiism 求和求和.),(1 niiiism 取極限取極限.),(lim10 niiiism 近似值近似值精確值精確值近似近似第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分3二、對弧長的曲線積分的概念二、對弧長的曲線積分的概念,),(,),(,),(,.,.),(,1121 niiiiiiiiiinsfsfisinlmmmllyxfx

2、oyl并作和并作和作乘積作乘積點點個小段上任意取定的一個小段上任意取定的一為第為第又又個小段的長度為個小段的長度為設(shè)第設(shè)第個小段個小段分成分成把把上的點上的點用用上有界上有界在在函數(shù)函數(shù)面內(nèi)一條光滑曲線弧面內(nèi)一條光滑曲線弧為為設(shè)設(shè)1.定義定義oxyab1 nmim1 im2m1m),(ii l4.),(lim),(,),(,),(,010 niiiillsfdsyxfdsyxflyxf即即記作記作線積分線積分第一類曲第一類曲上對弧長的曲線積分或上對弧長的曲線積分或在曲線弧在曲線弧則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)這和的極限存在這和的極限存在時時長度的最大值長度的最大值如果當(dāng)各小弧段的如果當(dāng)各小弧

3、段的被積函數(shù)被積函數(shù)積分弧段積分弧段積分和式積分和式曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量.),( ldsyxm 52.存在條件：存在條件：.),(,),(存在存在對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分上連續(xù)時上連續(xù)時在光滑曲線弧在光滑曲線弧當(dāng)當(dāng) ldsyxflyxf3.推廣推廣曲線積分為曲線積分為上對弧長的上對弧長的在空間曲線弧在空間曲線弧函數(shù)函數(shù) ),(zyxf.),(lim),(10iniiiisfdszyxf 6注意：注意：)(,)(. 121llll 是分段光滑的是分段光滑的或或若若.),(),(),(2121 lllldsyxfdsyxfdsyxf.),(),(. 3 ldsyxflyxf曲線

4、積分記為曲線積分記為上對弧長的上對弧長的在閉曲線在閉曲線函數(shù)函數(shù)的的方方程程。滿滿足足曲曲線線即即變變動動上上在在積積分分曲曲線線的的變變量量被被積積函函數(shù)數(shù)lyxlyxyxf),(,),(. 274.性質(zhì)性質(zhì) .),(),(),(),()1( llldsyxgdsyxfdsyxgyxf).(),(),()2(為常數(shù)為常數(shù)kdsyxfkdsyxkfll .),(),(),()3(21 llldsyxfdsyxfdsyxf).(21lll lsd)4( l 曲線弧 l 的長度)l8三、對弧長曲線積分的計算定理定理)()()()(),(),(,)(),()(),(),(,),(22 dtttttf

5、dsyxfttttytxllyxfl則則上上具具有有一一階階連連續(xù)續(xù)導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在其其中中的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為上上有有定定義義且且連連續(xù)續(xù)在在曲曲線線弧弧設(shè)設(shè):基本方法基本方法.,積積分分限限由由小小到到大大化化為為定定積積分分統(tǒng)統(tǒng)一一變變量量9)()()()(),(),( dtttttfdsyxfl22說明說明:22)()(dydxsdxyoydxdsdxtdtt)()(22 10注意注意: :;. 1 一定要小于上限一定要小于上限定積分的下限定積分的下限.,),(. 2而是相互有關(guān)的而是相互有關(guān)的不彼此獨立不彼此獨立中中yxyxf特殊情形特殊情形.)(:)1(bxaxyl .)()(,)

6、,(dxxxxfdsyxfbal21 )(ba )(xyxx 22)()(dydxsdxdx)(21 11.)(:)2(dycyxl .)(1),(),(2dyyyyfdsyxfdcl )(dc 類似類似)(3, )()(: lsdyxfl),( )sin)(,cos)(f d)()(22 sin)(cos)(yx12推廣推廣:)().(),(),(: ttztytx)()()()()(),(),(),(222 dtttttttfdszyxf13例例1).(,sin,cos:,象限象限第第橢圓橢圓求求 tbytaxlxydsil解解dttbtatbtai2220)cos()sin(sincos

7、 dttbtattab222220cossincossin abduubaab222)cossin(2222tbtau 令令.)(3)(22bababaab 142例例,)( ldsyx計算計算為為頂頂點點的的回回路路是是以以其其中中)1 , 1(),0 , 1(),0 , 0(0bal:解解boaboaldxdsxyoa , 10, 0:dydsyxab,:101dxdsxxybo210,:boaboaldsyx)(10101021dxxxdyyxdx)()(22 15例例3ldsyx)(22yyxl222:其其中中第四象限部分，如圖第四象限部分，如圖 解法：因為解法：因為l l方程方程 2

8、2yyx02y22212222yyyyyydydx2222212111yyyyydydx)()(dyyyyyydsyxl202222221242202dyy16解法解法 yyxl222:因為因為l l參數(shù)方程為參數(shù)方程為 tytxsincos122 t12222tttytxcossin)()(22222222121 dttdtttdsyxlsin)sin(cos422222 dtttcossin17例例4.計算曲線積分 ,)(sdzyx222其中為螺旋線)(,sin,cos 20ttkztaytax的一段弧 .解解: sdzyx)(222 20222)()sin()cos(tktatatdtk

9、aka 2022222 20322223tktaka)(222224332kaka tdktata222)cos()sin(18四、幾何與物理意義,),()1(的線密度時的線密度時表示表示當(dāng)當(dāng)lyx ;),( ldsyxm ;,1),()2( ldslyxf弧長弧長時時當(dāng)當(dāng),),(),()(處的高時處的高時柱面在點柱面在點上的上的表示立于表示立于當(dāng)當(dāng)yxlyxf3.),(ldsyxfs柱面面積柱面面積sl),(yxfz 19,)4(軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量軸及軸及曲線弧對曲線弧對yx.,22lylxdsxidsyi曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo))5(., lllldsdsyydsdsxx 20例例5 已知曲桿方程為已知曲桿方程為, 222xxy其上各點其上各點的的密度密度 ,241x1、曲桿的長、曲桿的長 s . 2、質(zhì)量、質(zhì)量 m .3、重心、重心 .,yxm4、曲桿的轉(zhuǎn)動慣量、曲桿的轉(zhuǎn)動慣量 .yi解：解：xdxxdysd22411 lsds. 1xdx 20241274ln21122 202412),(.