0.平方根(3課時(shí))-

1、10.1 平方根(3課時(shí)) 一、知識(shí)與技能目標(biāo) 1.通過(guò)對(duì)平方值的計(jì)算等確立平方根的意義、開(kāi)方的運(yùn)算。了解算術(shù)平方根與平方根的區(qū)別與聯(lián)系。毛 2.對(duì)于任意有理數(shù)都能區(qū)分其“”、“”性，使用計(jì)算器已勢(shì)在必行。 二、過(guò)程與方法目標(biāo) 采用類(lèi)比平方值的求法，定義出平方根的概念，同時(shí)從這個(gè)過(guò)程可知一個(gè)什么樣的數(shù)才具有平方根，這種數(shù)有幾個(gè)平方根？并比較這兩個(gè)平方根之間有什么關(guān)系？ 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀(guān)目標(biāo) 1.引導(dǎo)學(xué)生充分實(shí)行交流，討論與探索等教學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們的合作與鉆研精神。 2.了解無(wú)理數(shù)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情。 教材解讀 本節(jié)內(nèi)容首先給出一個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題，根據(jù)正方形的面

2、積求出其邊長(zhǎng)，由此引出求某數(shù)的平方根的問(wèn)題，在涉及到不能直接用已有的知識(shí)開(kāi)方時(shí)，則引進(jìn)計(jì)算器的使用方法，通過(guò)計(jì)算器對(duì)任意正數(shù)實(shí)行開(kāi)方。這樣將有理數(shù)與無(wú)理數(shù)溝通起來(lái)成為實(shí)數(shù)。 學(xué)情分析 上學(xué)期已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)，對(duì)任何數(shù)的形式主義都能夠順利得到，同時(shí)也感知了“互為相反數(shù)的平方相等”，故由平方值去探索平方根的問(wèn)題實(shí)際上僅僅互逆過(guò)程，只要求出一個(gè)數(shù)的平方就可得知平方根的值。第課時(shí) 一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課 玲玲家最近喜事持續(xù)，家里新購(gòu)了一套房子，全家歡歡喜喜地搬進(jìn)新居，爸爸媽媽又增加了工資。條件改善了，為了給玲玲一個(gè)好的學(xué)習(xí)環(huán)境，爸爸打算給玲玲買(mǎi)一張桌子供她在家做作業(yè)。爸爸問(wèn)玲玲：“你喜歡長(zhǎng)方形桌子還是

3、正方形桌子？”玲玲認(rèn)為正方形桌子更大，能夠多堆點(diǎn)書(shū)，又能夠有充足的位置寫(xiě)字，所以她更喜歡正方形桌子。于是爸爸根據(jù)她的喜愛(ài)為她購(gòu)置了一張正方形桌子，玲玲量了量課桌的邊長(zhǎng)為100cm，你能算出這張桌子的周長(zhǎng)和面積嗎？當(dāng)然能夠了，不過(guò)如果玲玲更直接地告訴爸爸“我想要一張面積約為125dm的正方形桌子”。請(qǐng)問(wèn)她爸爸能為她購(gòu)置到滿(mǎn)意的桌子嗎？當(dāng)然能夠，計(jì)算正方形的面積必須要知道正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)邊長(zhǎng)求面積是乘方運(yùn)算，而根據(jù)面積求邊長(zhǎng)又是什么運(yùn)算呢？這節(jié)課我們就來(lái)探討這個(gè)問(wèn)題。 二、師生互動(dòng)，課堂探究 (一)提出問(wèn)題,引發(fā)討論 1.你能求出下列各數(shù)的平方嗎? 0,-1,5,2.3,-,-3,3,1, 能.

4、02=0 (-1)2=1 52=25 2.32=5.29 (-)2= (-3)2=9 32=9 12=1 ()2= 2.若已知一個(gè)數(shù)的平方為下列各數(shù),你能把這個(gè)數(shù)的取值說(shuō)出來(lái)嗎? 25,0,4,-,1.69 能.因?yàn)?2=25,(-5)2=25,故平方為25的數(shù)為5或-5. 02=0,故平方為0的數(shù)為0. 22=4,(-2)2=4,故平方為4的數(shù)為2或-2. (-)2=,()2=,故平方為的數(shù)為±. (-)2=,()2=,故平方為的數(shù)為±. 對(duì)于-這個(gè)數(shù),沒(méi)有哪個(gè)數(shù)的平方等于它,故平方為-的數(shù)找不到. 1.32=1.69,(-1.3)2=1.69,故平方為1.69的數(shù)是&#

5、177;1.3. 又如：課本P160中的問(wèn)題：小歐要裁一塊面積為25dm2的正方形畫(huà)布,因?yàn)檎叫蔚拿娣e為邊長(zhǎng)的平方,而邊長(zhǎng)不可能為負(fù)數(shù),故此畫(huà)布的邊長(zhǎng)應(yīng)為5dm.依此可得正方形的面積若分別為1,9,16,36,時(shí),此正方形的邊長(zhǎng)分別為1,3,4,6, . 由以上討論發(fā)現(xiàn),有時(shí)候我們已知一個(gè)數(shù)要求這個(gè)數(shù)的平方值時(shí),只有一個(gè),也有些時(shí)候,我們已知某數(shù)的平方,要求出這個(gè)數(shù),發(fā)現(xiàn)此時(shí)通?？烧业絻蓚€(gè)數(shù),且這兩個(gè)數(shù)是互為相反數(shù),而如果是已知某物的面積求其邊長(zhǎng)時(shí),其邊長(zhǎng)也只有一個(gè)值.我們把已知平方值,求原數(shù)的問(wèn)題稱(chēng)為求這個(gè)數(shù)的平方根. (二)導(dǎo)入知識(shí),解釋疑難 1.教材內(nèi)容講解 欲確定某數(shù)的平方根時(shí),由以

6、上過(guò)程發(fā)現(xiàn),即使有兩個(gè)值,這兩個(gè)值也是一對(duì)互為相反數(shù),所以實(shí)際上我們?nèi)羟蟪銎渲幸粋€(gè)值,另一個(gè)值也就能夠根據(jù)求出的數(shù)再寫(xiě)出它的相反數(shù),我們就可先確定一個(gè)正數(shù),把這個(gè)正數(shù)稱(chēng)為所給數(shù)的算術(shù)平方根. 一般地,如果一個(gè)正數(shù)x的平方等于a,即x2=a,那么這個(gè)正數(shù)x叫做a的算術(shù)平方根,a的算術(shù)平方根記為,讀作“根號(hào)a”,a叫做被開(kāi)方數(shù).規(guī)定：0的算術(shù)平方根是0. 例1 求下列各數(shù)的算術(shù)平方根： (1)900 (2)1 (3) (4)196 (5)0 (6)10-6 解：(1)302=900,故900的算術(shù)平方根是30,即=30. (2)12=1,故1的算術(shù)平方根是1,即=1. (3)()2=,故的算術(shù)平方

7、根是,即= (4)142=196,故196的算術(shù)平方根是14,即=14. (5)02=0,故0的算術(shù)平方根是0,即=0. (6)(10-3)2=10-6,故10的算術(shù)平方根是10-3,即 =10-3 例2:勤儉節(jié)約是中國(guó)人的一種美德,濤濤的爺爺是個(gè)能工巧匠,他把兩張破損了一部分的桌面重新拼接成一張完整的正方形桌面,其面積為169dm2.已知他用的兩張小桌面也是鋸成了正方形的桌面,其中一張是邊長(zhǎng)為5dm的小板子,試問(wèn)另一張較大的桌面的邊長(zhǎng)應(yīng)為多少dm才能拼出面積為169dm2的桌面? 分析:邊長(zhǎng)為5dm的正方形板子,其面積為25dm2,要拼出面積為169dm2的桌面,還需面積為169-25=14

8、4dm2的正方形桌面,故問(wèn)題實(shí)際上轉(zhuǎn)化為求144的算術(shù)平方根,即=12. 解:設(shè)另一張較大的桌面的邊長(zhǎng)為xdm,則有x2+52=159,x2=169-25=144,而122=144 故144的算術(shù)平方根為12,即=12,即另一張桌面的邊長(zhǎng)應(yīng)為12dm. 練習(xí): 1.求下列各式的值: ; ; ; .解:=1.2 =0.1=0.9-0.2=0.7 = (2)若(a-1)2+b-9=0,則的算術(shù)平方根是下列哪一個(gè)( ) A. B.±3 C.3 D.-3分析:由于(a-1)20.b-90, (a-1)2+b-9=0時(shí),有a-1=0且b-9=0, a=1,b=9, =9,故的算術(shù)平方根是3.

9、3. 有意義嗎?為什么? 分析: 無(wú)意義,因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都是非負(fù)數(shù),即a20,故無(wú)意義. 2.探究活動(dòng) (1)當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí),a2有沒(méi)有算術(shù)平方根?其算術(shù)平方根與a有什么關(guān)系?當(dāng)a為正數(shù)時(shí),a2的算術(shù)平方根如何表示?a為0呢?舉例說(shuō)明你的結(jié)論. (2)x2-x+是否有算術(shù)平方根?如有請(qǐng)寫(xiě)出其算術(shù)平方根,如沒(méi)有說(shuō)明為什么? 解:當(dāng)a為負(fù)數(shù)時(shí),a2為正數(shù),故a2有算術(shù)平方根,如a=-5時(shí),a2=(-5)2=25, =5,5是-5的相反數(shù),故a2<0時(shí),a的算術(shù)平方根與a互為相反數(shù),表示為-a. 當(dāng)a2為正數(shù)時(shí),a的算術(shù)平方根表示為,其值為a,即=a. 當(dāng)a=0時(shí), =0 由此可知=|a|=

10、(2)因?yàn)?x-)2=x2-x+,而(x-)2一定是非負(fù)數(shù),故x-x+也是非負(fù)數(shù),故x2-x+有算術(shù)平方根,其算術(shù)平方根的值要視x的取值而定.當(dāng)x時(shí),x2-x+的算術(shù)平方根為x-.當(dāng)x<時(shí),x2-x+的算術(shù)平方根為-(x-)=-x. (三)歸納總結(jié),知識(shí)回顧 這節(jié)課主要就平方根中的算術(shù)平方根進(jìn)行討論,求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根與求一個(gè)正數(shù)的平方冪正好是互逆的過(guò)程,因此,求正數(shù)的算術(shù)平方根實(shí)際上可以轉(zhuǎn)化為求一個(gè)數(shù)的開(kāi)平方運(yùn)算.只不過(guò),只有正數(shù)和0才有算術(shù)平方根,負(fù)數(shù)沒(méi)有算術(shù)平方根. 練習(xí)設(shè)計(jì) (一)雙基練習(xí) 1.某數(shù)的算術(shù)平方根等于它本身,則這個(gè)數(shù)為_(kāi);若某數(shù)的算術(shù)平方根為其相反數(shù),則這個(gè)數(shù)為_(kāi)

11、.2.求下列各式的值:, , , 3.3x-4為25的算術(shù)平方根,求x的值. 4.已知9的算術(shù)平方根為a,b的絕對(duì)值為4,求a-b的值. (二)創(chuàng)新提升 5.已知2a-1的算術(shù)平方根是3,3a+b-1的算術(shù)平方根是4,求a、b的值. (三)探究拓展 6.若與互為相反數(shù),求xy的算術(shù)平方根. 參考答案1.0,1 0; 2.0.4, ,3,0.5,10-1(); 3.x=3 4.a=3,b=±4,則a-b=3-4或3-(-4),故a-b=-1或7. 5.a=5,b=2 6.x=4,y=4,xy=16,xy的算術(shù)平方根為4.課后作業(yè)：第2課時(shí) 一、創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課某同學(xué)用一張正方形紙片折

12、小船，但他手頭上沒(méi)有現(xiàn)成的正方形紙片，于是他撕下一張作業(yè)本上的紙，按照如圖，沿AE對(duì)折使點(diǎn)B落在點(diǎn)F的位置上,再把多余部分FECD剪下,如果他事先量得矩形ABCD的面積為90cm2,又測(cè)量剪下的多余的矩形紙片的面積為40cm2.請(qǐng)根據(jù)上述條件算出剪出的正方形紙片的邊長(zhǎng)是多少厘米. 將原矩形紙片的面積減去剩余的矩形紙片的面積即為正方形紙片的面積,正方形紙片的面積為90-40=50cm2,而正方形的面積為邊長(zhǎng)的平方,要求正方形的邊長(zhǎng)就得算出多少的平方等于50,但我們知道72=49,82=64,50這個(gè)數(shù)既不是72,也不是82,由于49<50<64,故此正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)大于7而小于8.到底

13、它為多少呢?它是一個(gè)小數(shù)嗎?你有什么辦法確定這個(gè)值呢?這一系列問(wèn)題正是我們這節(jié)課要討論的問(wèn)題. 二、師生互動(dòng),課堂探究 (一)提出問(wèn)題,引發(fā)討論 在實(shí)際問(wèn)題中,往往會(huì)遇到像上述情形中的問(wèn)題,如果在所學(xué)過(guò)的有理數(shù)中確實(shí)找不到合適的數(shù)的平方會(huì)等于所給的數(shù),我們?cè)撛趺幢硎舅o數(shù)的算術(shù)平方根呢? 我們知道,若有正數(shù)x,使x2=a(a0),則x為a的算術(shù)平方根,記作x=,于是若x2=50時(shí)(x為正數(shù)),則x=,而72<50<82,因此有7<<8,現(xiàn)在我們就來(lái)學(xué)習(xí)如何求的近似值,是不是有理數(shù)呢? (二)導(dǎo)入知識(shí),解釋疑難 1.教材內(nèi)容講解 在上學(xué)期有理數(shù)的乘方運(yùn)算中,我們已經(jīng)掌握了

14、用計(jì)算器求一個(gè)數(shù)的平方的方法,現(xiàn)在我們要確定一個(gè)數(shù)的平方根,也可借助這種方法進(jìn)行,我們不妨用計(jì)算器驗(yàn)證7.12,7.12=50.41,而50.41>50,故<7.1,再驗(yàn)證7.092=50.27>50,故7< <7.09,而7.082=50.12,7.072=49.98,故7.07<<7.08,接著繼續(xù)增加小數(shù)點(diǎn)后一位小數(shù),如7.071,計(jì)算7.0712=49.99,而7.0722=50.013,故7.071<<7.072,如此繼續(xù)進(jìn)行下去,可以發(fā)現(xiàn)將小數(shù)點(diǎn)后的小數(shù)位繼續(xù)增加下去,一直不能窮盡,都只能使7.07的平方值無(wú)限接近,因此發(fā)現(xiàn),不

15、可能化為我們以前學(xué)過(guò)的無(wú)限循環(huán)小數(shù),只能化為無(wú)限不循環(huán)小數(shù),而有理數(shù)只包括有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù)或者整數(shù),但卻不在這些數(shù)的范圍內(nèi),只能說(shuō)這個(gè)數(shù)不是有理數(shù),我們把這種數(shù)重新命名為“無(wú)理數(shù)”,于是數(shù)的范圍也就擴(kuò)充了,是否我們可以直接用計(jì)算器來(lái)計(jì)算某一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根呢? 只要計(jì)算器上有“”鍵或者“”鍵,它就可以用來(lái)求某正數(shù)的算術(shù)平方根了,但不同的計(jì)算器的按鍵順序不相同,只要按計(jì)算器的使用方法去按鍵,就可求出任意正數(shù)的算術(shù)平方根了. 例1:用計(jì)算器計(jì)算和,的值. 解:通過(guò)按鍵可得的值在計(jì)算器上顯示:56,為有理數(shù).的值在計(jì)算器上顯示1.414213562,而的值在計(jì)算器上顯示2.236067978

16、,的值在計(jì)算器上顯示3.16227766.從計(jì)算器上顯示的數(shù)都是位數(shù)有限的,因此往往給我們一個(gè)印象“這些值都是有理數(shù)”,而事實(shí)上我們知道用平方冪驗(yàn)證它們的平方根時(shí),卻怎么也找不到準(zhǔn)確的數(shù),使其平方為2、5、10,于是我們得出:這些數(shù)不是有理數(shù),只是一個(gè)無(wú)限不循環(huán)小數(shù)即無(wú)理數(shù).通過(guò)計(jì)算器計(jì)算出的小數(shù)只能是這些數(shù)的算術(shù)平方根的近似值或最接近的值.運(yùn)用計(jì)算器可以很方便地確定一個(gè)任意正數(shù)的算術(shù)平方根. 活動(dòng):怎樣用兩個(gè)面積為1的小正方形拼成一個(gè)面積為2的大正方形?求出其邊長(zhǎng). 分析:將兩個(gè)面積為1的小正方形的面積相加得2,而要拼的大正方形的面積正好為2,于是可知,只要將兩個(gè)小正方形剪開(kāi)再重新拼合成一個(gè)

17、正方形即能滿(mǎn)足要求.要確定新正方形的邊長(zhǎng),我們就得確定的值大約是多少,我們知道12=1,22=4,故1<<2,也即是面積為2的正方形的邊長(zhǎng)比1大故比原小正方形的邊長(zhǎng)大,若沿原小正方形的對(duì)角線(xiàn)將兩個(gè)小三角形剪開(kāi),得四個(gè)形狀、大小完全相同的小直角三角形,將這四個(gè)直角三角形的直角邊拼接起來(lái)得一個(gè)新正方形.(如課本圖10.1-1) 使用計(jì)算器不僅能很方便地計(jì)算出任意一個(gè)正數(shù)的算術(shù)平方根,而且還能使用計(jì)算器找到某些數(shù)的算術(shù)平方根之間的關(guān)系. 例3:(1)求下列各數(shù)的算術(shù)平方根. 0.000001,0.0001,0.01,1,100,10000,1000000 (2)利用計(jì)算器計(jì)算下列各式的值

18、: 你能找到其中的規(guī)律嗎?把你的發(fā)現(xiàn)用自己的語(yǔ)言敘述出來(lái),并利用你的發(fā)現(xiàn)說(shuō)出、的近似值(已知1.732),你能根據(jù)的值確定 的值嗎? 解:(1)0.0012=0.000001 =0.001依次可得出=0.01, =0.1, =1, =10, =100, =1000 從中發(fā)現(xiàn)被開(kāi)方數(shù)在逐漸擴(kuò)大,并且每次擴(kuò)大100倍,其算術(shù)平方根也在逐漸擴(kuò)大,但只擴(kuò)大10倍,于是猜測(cè)兩個(gè)正數(shù)之間如果滿(mǎn)足b=100a,則有=10,(或者:被開(kāi)方數(shù)每擴(kuò)大100倍時(shí),其算術(shù)平方根相應(yīng)地?cái)U(kuò)大10倍) (2) =0.25 0.79057 7.9057 7.9057 =25 79.057 =250 790.57 比較相應(yīng)的兩

19、列數(shù)中的被開(kāi)方數(shù)及其算術(shù)平方根,同樣可驗(yàn)證在題(1)中的規(guī)律,而與中的數(shù)開(kāi)方數(shù)只擴(kuò)大了10倍,它們的算術(shù)平方根之間沒(méi)有規(guī)律可循.故若已知1.732,可知0.1732, 17.32, 173.2,但不能知的值. 2.探究活動(dòng) (1)用一塊面積為400cm2的正方形紙片,沿著邊的方向剪出一塊面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,你會(huì)怎樣剪? (2)若用上述正方形紙片剪出面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,且其長(zhǎng)寬之比為3:2,你又怎樣剪?根據(jù)你的剪法回答:只要利用面積大的紙片一定能剪出面積小的紙片嗎? 解:(1)面積為400cm2的正方形紙片的邊長(zhǎng)為20cm,沿著邊的方向剪出一刀,使長(zhǎng)方形紙片的面積為300

20、cm2,則其寬為300÷20=15cm,于是只要剪掉5cm寬的長(zhǎng)方形紙片即可. (2)若用上述正方形紙片剪出面積為300cm2的長(zhǎng)方形紙片,且其長(zhǎng)寬之比為3:2,則可設(shè)其兩邊為3x和2x,則有3x·2x=300,6x2=300 x2=50,x=,故長(zhǎng)方形紙片的長(zhǎng)為3cm,寬為2cm,而3>3×7=21cm,21cm比原正方形的邊長(zhǎng)20cm更長(zhǎng),這是不可能的. 通過(guò)上述兩例發(fā)現(xiàn)利用面積大的紙片不一定能剪出面積小的紙片. (三)歸納總結(jié),知識(shí)回顧 通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)可知,并不是所有的正數(shù)的算術(shù)平方根都是有理數(shù),這時(shí)我們既可以用“”的形式表示,也可以用一個(gè)與的值接近

21、的有理數(shù)替代,于是可用計(jì)算器算出這個(gè)數(shù),但實(shí)際上,是一個(gè)無(wú)理數(shù). 練習(xí)設(shè)計(jì) (一)雙基練習(xí)1. 用計(jì)算器求出下列各式的值. - 2.用計(jì)算器比較與的大小. 3.在物理學(xué)中,用電器中的電阻R與電流I,功率P之間有如下的一個(gè)關(guān)系式:P=I2R,現(xiàn)有一用電器,電阻為18歐,該用電器功率為2400瓦,求通過(guò)用電器的電流I. 4.用邊長(zhǎng)為5cm的正方形紙片兩張重新剪開(kāi)并拼接成一個(gè)較大的正方形,其邊長(zhǎng)約為多少?(精確到0.01cm) (二)創(chuàng)新提升 5.某地開(kāi)辟了一塊長(zhǎng)方形的荒地,新建一個(gè)以環(huán)保為主題的公園.已知這塊荒地的長(zhǎng)是寬的2.5倍,它的面積為60000米2. (1)試估算這塊荒地的寬約為多少米?(

22、誤差小于1米) (2)若在公園中建一個(gè)圓環(huán)噴水池,其面積為80米2,該水池的半徑是多少?(精確到0.01) (三)探究拓展 6.(1)任意找一個(gè)很大正數(shù),利用計(jì)算器將該數(shù)除以3,將所得結(jié)果再除以3.隨著運(yùn)算資料的增加,你發(fā)現(xiàn)了什么?換一個(gè)數(shù)試試,是否仍有類(lèi)似的規(guī)律? (2)任意找一個(gè)非常大的正數(shù),利用計(jì)算器不斷地對(duì)它進(jìn)行開(kāi)算術(shù)平方根,你發(fā)現(xiàn)了什么? 參考答案 1.94.63 111.1 -16.12 0.0733 2. 0.366< 3.I11.55安培 4.約7.07cm 5.(1)寬約為154.92米 (2)r5.05米 6.(1)結(jié)果越來(lái)越小,趨向于0 (2)結(jié)果越來(lái)越趨向于1第3

23、課時(shí) 一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課 同學(xué)們,你知道“神舟五號(hào)”載人飛船嗎？“神舟五號(hào)”載人飛船于2003年10月15日9時(shí)整,在中國(guó)酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心進(jìn)行首次載人航天發(fā)射,由“長(zhǎng)征二號(hào)”F型火箭點(diǎn)火升空,這標(biāo)志著我國(guó)的航天事業(yè)又前進(jìn)了一步,我國(guó)在世界上的地位也徒然而升了;當(dāng)物體達(dá)到11.2千米/秒的運(yùn)動(dòng)速度時(shí)能擺脫地球引力的束縛,在擺脫地球束縛的過(guò)程中,在地球引力的作用下它并不是直線(xiàn)飛離地球,而是按拋物線(xiàn)飛行,脫離地球引力后在太陽(yáng)引力作用下繞太陽(yáng)運(yùn)行,若要擺脫太陽(yáng)引力的束縛飛出太陽(yáng)系,物體的運(yùn)動(dòng)速度必須達(dá)到16.7千米/秒,那時(shí)將按雙曲線(xiàn)軌跡飛離地球,而相對(duì)太陽(yáng)來(lái)說(shuō)它將沿拋物線(xiàn)飛離太陽(yáng).經(jīng)過(guò)計(jì)算,在地

24、面上,物體的運(yùn)動(dòng)速度達(dá)到7.9千米/秒時(shí),該速度被稱(chēng)為第一宇宙速度.第一宇宙速度與哪些因素有關(guān)呢?又是如何計(jì)算呢? 二、師生互動(dòng),課堂探究 (1)前面在第一節(jié)課的學(xué)習(xí)中,我們計(jì)算過(guò)了很多互為相反數(shù)的平方,發(fā)現(xiàn)這些數(shù)的平方值會(huì)相等,按照我們求正數(shù)x的算術(shù)平方根的考慮,若x2=a,則x=稱(chēng)為a的算術(shù)平方根,而x還有一個(gè)負(fù)值,又該如何稱(chēng)呢? (2)宇宙飛船離開(kāi)地球進(jìn)入軌道正常運(yùn)行的速度要大于第一宇宙速度v1(米/秒)而小于第二宇宙速度v2(米/秒),其中v1、v2滿(mǎn)足v12=gR,v22=2gR,其中g(shù)是物理中的一個(gè)常數(shù)(重力加速度),g9.8米/秒2,R是地球半徑,R6.4×106米,如

25、何確定v1、v2的值呢?它與算術(shù)平方根有什么關(guān)系?下面讓我們來(lái)逐個(gè)分析吧. (二)導(dǎo)入知識(shí),解釋疑難 1.若一個(gè)數(shù)的平方等于16,這個(gè)數(shù)是多少,又怎樣表示呢? 由于42=16,(-4)2=16,故平方等于16的數(shù)有兩個(gè):4和-4,把4和-4叫做16的平方根,記為4=,則-4= -,把4和-4稱(chēng)為16的平方根. 一般地,如果一個(gè)數(shù)的平方等于a,那么這個(gè)數(shù)叫做a的平方根或二次方根,即若x2=a,則x為a的平方根,記為x=±.如3和-3是9的平方根,記為±3是9的平方根,表示為±3=±.把求一個(gè)數(shù)a的平方根的運(yùn)算,叫做開(kāi)平方,而平方運(yùn)算與開(kāi)平方運(yùn)算互為逆運(yùn)算.

26、根據(jù)這種運(yùn)算關(guān)系,可以求一個(gè)數(shù)的平方根,例如當(dāng)x2=1時(shí),x=±1;當(dāng)x2=16時(shí),則x=±4,當(dāng)x2=36時(shí),x=±6;當(dāng)x2=49時(shí),x=±7;當(dāng)x2=,則±為的平方根,依次可記為±,±,±,±,±,它們的對(duì)應(yīng)關(guān)系如圖所示. 練習(xí):求下列各數(shù)的平方根. (1)0.49 (2) (3)81 (4)0 (5)-100 解:(1)因?yàn)?.72=0.49,(-0.7)2=0.49,所以0.49的平方根為±0.7,即±=±0.7 (2)因?yàn)?)2=,(-)2= ,所以的平

27、方根為±,即±=± (3)因?yàn)?2=81,(-9)2=81,所以81的平方根為±9,即±=±9. (4)因?yàn)?2=0,所以0的平方根為0,即±=0. (5)因?yàn)槿魏螖?shù)的平方都不小于0,找不到平方為-100的數(shù),故-100沒(méi)有平方根. 將這些數(shù)的平方根與它們的算術(shù)平方根進(jìn)行比較,正數(shù)(或0)的算術(shù)平方根只是它們的平方根中的一部分,是正數(shù)(或0)的那部分,而負(fù)的那個(gè)值正好是算術(shù)平方根的相反數(shù),進(jìn)一步可歸納出: 正數(shù)的平方根有兩個(gè),它們是一對(duì)互為相反數(shù). 0的平方根是0 負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根 例1:求下列各式的值,并根據(jù)這些值寫(xiě)出各被開(kāi)

28、方數(shù)的平方根. (1) (2)- (3)± 解:(1)因?yàn)?.22=1.44,所以=1.2,1.44的平方根為±1.2,即±=±1.2. (2)因?yàn)?2=81,所以-=-9,81的平方根為±9,即±=±9. (3)因?yàn)?)2=,所以±=±,它正是的平方根. 故求正數(shù)的平方根時(shí),只要知道它的算術(shù)平方根,就能確定了,因?yàn)槠渌阈g(shù)平方根和算術(shù)平方根的相反數(shù)即為該數(shù)的平方根.同樣如果知道某數(shù)的算術(shù)平方根的相反數(shù),則該數(shù)的平方根同樣可確定. 面對(duì)問(wèn)題(2)中的“宇宙速度”,我們知道第一宇宙速度v12=gR,其中g(shù)=9

29、.8米/秒2,R6.4×106米,v22=2gR,則有v129.8×6.4×106米2/秒262.72×106米2/秒2=6.27×107米2/秒2.v22125.44×106米2/秒2=1.2544×108米2/秒2 因此,v1是6.272×107的平方根,v2是1.2544×108的平方根. 那么v1=±±7.9×103米/秒=±7.9千米/秒,v2=± ±11.2×103米/秒=±11.2千米/秒 但在實(shí)際問(wèn)題中,速度是

30、一個(gè)比0大的數(shù),數(shù)學(xué)問(wèn)題中不考慮速度的方向,故負(fù)值不合題意,應(yīng)舍去,實(shí)際上,在某些具體問(wèn)題中,要根據(jù)得出的答案是否有意義而取值. 例2:某矩形的面積為13200平方米,若其長(zhǎng)是寬的3倍,試求出此矩形的長(zhǎng)與寬分別是多少米? 解:設(shè)寬為x米,則長(zhǎng)為3x米,其面積為3x2平方米 故3x2=13200 x2=4400 解得x=±=±66.33 但x為矩形的邊長(zhǎng)應(yīng)大于0,故x=66.33米,3x=198.99米,即此矩形的長(zhǎng)為198.99米,寬為66.33米. 2.探究活動(dòng) 對(duì)于正數(shù)x和y,有下列命題: (1)若x+y=2,則1 (2)x+y=3,則 (3)若x+y=6,則3 根據(jù)以上三個(gè)命題所提供的規(guī)律猜想: (1)若x+y=9,則_. (2)若對(duì)于任意正數(shù)a、b,總有_. 分析:當(dāng)x+y=3時(shí),有,從中發(fā)現(xiàn)分母為2,分子為x、y的和,再驗(yàn)證其它的等式:x+y=2時(shí),則=1.當(dāng)x+y=6時(shí), =3.與已知相吻合,故有結(jié)論m>0,n>0,且m+n=a時(shí),