人教版九級數(shù)學上個單元知識點總結

1、第二十二章一元二次方程一、一元二次方程 1、一元二次方程含有一個未知數(shù)(一元)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的整式方程叫做一元二次方程。2、一元二次方程的一般形式，其中叫做二次項，a叫做二次項系數(shù)；bx叫做一次項，b叫做一次項系數(shù)；c叫做常數(shù)項。二、降次-解一元二次方程 1降次：把一元二次方程化成兩個一元一次方程的過程(不管用什么方法解一元二次方程，都是要一元二次方程降次)2、直接開平方法利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫做直接開平方法。直接開平方法適用于解形如x2=b或的一元二次方程。根據(jù)平方根的定義可知，是b的平方根，當時，當b<0時，方程沒有實數(shù)根。3、配方法

2、：配方法的理論根據(jù)是完全平方公式，把公式中的a看做未知數(shù)x，并用x代替，則有。配方法解一元二次方程的步驟是：移項、配方(寫成平方形式)、用直接開方法降次、解兩個一元一次方程、判斷2個根是不是實數(shù)根。4、公式法：公式法是用求根公式，解一元二次方程的解的方法。一元二次方程的求根公式：當>0時，方程有兩個實數(shù)根。當=0時，方程有兩個相等實數(shù)根。當0時，方程沒有實數(shù)根。5、因式分解法：先將一元二次方程因式分解，化成兩個一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個一次式分別等于0，從而實現(xiàn)降次，這種解叫因式分解法。這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。三、一元二次方程根的判別式 根的判別式：一元

3、二次方程中，叫做一元二次方程的根的判別式，通常用“”來表示，即四、一元二次方程根與系數(shù)的關系 如果方程的兩個實數(shù)根是，由求根公式可算出，。 第二十二章 二次函數(shù)一、二次函數(shù)概念：1二次函數(shù)的概念：一般地，形如（是常數(shù)，）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數(shù)，而可以為零二次函數(shù)的定義域是全體實數(shù)2. 二次函數(shù)的結構特征： 等號左邊是函數(shù)，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數(shù)是2 是常數(shù)，是二次項系數(shù)，是一次項系數(shù)，是常數(shù)項二、二次函數(shù)的基本形式1. 二次函數(shù)基本形式：的性質：a 的絕對值越大，拋物線的開口越小。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增

4、大；時，隨的增大而減??；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值2. 的性質：上加下減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上軸時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減小；時，有最小值向下軸時，隨的增大而減小；時，隨的增大而增大；時，有最大值3. 的性質：左加右減。的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增大；時，有最大值4. 的性質：的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質向上X=h時，隨的增大而增大；時，隨的增大而減?。粫r，有最小值向下X=h時，隨的增大而減??；時，隨的增大而增

5、大；時，有最大值 三、二次函數(shù)圖象的平移 1. 平移步驟：方法一： 將拋物線解析式轉化成頂點式，確定其頂點坐標； 保持拋物線的形狀不變，將其頂點平移到處，具體平移方法如下： 2. 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基礎上“值正右移，負左移；值正上移，負下移”概括成八個字“左加右減，上加下減” 方法二：沿軸平移:向上（下）平移個單位，變成（或）沿軸平移：向左（右）平移個單位，變成（或） 四、二次函數(shù)與的比較從解析式上看，與是兩種不同的表達形式，后者通過配方可以得到前者，即，其中五、二次函數(shù)圖象的畫法五點繪圖法：利用配方法將二次函數(shù)化為頂點式，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，左右對稱地描點

6、畫圖.一般我們選取的五點為：頂點、與軸的交點、以及關于對稱軸對稱的點、與軸的交點，（若與軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）.畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與軸的交點，與軸的交點. 六、二次函數(shù)的性質 1. 當時，拋物線開口向上，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而減??；當時，隨的增大而增大；當時，有最小值 2. 當時，拋物線開口向下，對稱軸為，頂點坐標為當時，隨的增大而增大；當時，隨的增大而減小；當時，有最大值 七、二次函數(shù)解析式的表示方法1. 一般式：（，為常數(shù)，）；2. 頂點式：（，為常數(shù)，）；3. 兩根式：（，是拋物線與軸兩交點的橫坐標）.注意：任何二次函數(shù)的解析

7、式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數(shù)都可以寫成交點式，只有拋物線與軸有交點，即時，拋物線的解析式才可以用交點式表示二次函數(shù)解析式的這三種形式可以互化.八、二次函數(shù)的圖象與各項系數(shù)之間的關系 1. 二次項系數(shù)二次函數(shù)中，作為二次項系數(shù)，顯然 當時，拋物線開口向上，的值越大，開口越小，反之的值越小，開口越大； 當時，拋物線開口向下，的值越小，開口越小，反之的值越大，開口越大總結起來，決定了拋物線開口的大小和方向，的正負決定開口方向，的大小決定開口的大小2. 一次項系數(shù) 在二次項系數(shù)確定的前提下，決定了拋物線的對稱軸 在的前提下，當時，即拋物線的對稱軸在軸左側；當時，即拋物線的對稱軸就是

8、軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的右側 在的前提下，結論剛好與上述相反，即當時，即拋物線的對稱軸在軸右側；當時，即拋物線的對稱軸就是軸；當時，即拋物線對稱軸在軸的左側總結起來，在確定的前提下，決定了拋物線對稱軸的位置的符號的判定：對稱軸在軸左邊則，在軸的右側則，概括的說就是“左同右異”總結： 3. 常數(shù)項 當時，拋物線與軸的交點在軸上方，即拋物線與軸交點的縱坐標為正； 當時，拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸交點的縱坐標為； 當時，拋物線與軸的交點在軸下方，即拋物線與軸交點的縱坐標為負 總結起來，決定了拋物線與軸交點的位置 總之，只要都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的九、二次函數(shù)解析式的確

9、定：根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，通常利用待定系數(shù)法用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式必須根據(jù)題目的特點，選擇適當?shù)男问?，才能使解題簡便一般來說，有如下幾種情況：1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（?。┲?，一般選用頂點式；3. 已知拋物線與軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式十、二次函數(shù)圖象的對稱 二次函數(shù)圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達 1. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，得到的解析式是； 2. 關于軸對稱 關于軸對稱后，得到的解析式是； 關于軸對稱后，

10、得到的解析式是； 3. 關于原點對稱 關于原點對稱后，得到的解析式是； 關于原點對稱后，得到的解析式是； 4. 關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°） 關于頂點對稱后，得到的解析式是；關于頂點對稱后，得到的解析式是 5. 關于點對稱 關于點對稱后，得到的解析式是 根據(jù)對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發(fā)生變化，因此永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據(jù)題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式十一、二次函數(shù)與一元二

11、次方程：1. 二次函數(shù)與一元二次方程的關系（二次函數(shù)與軸交點情況）：一元二次方程是二次函數(shù)當函數(shù)值時的特殊情況.圖象與軸的交點個數(shù)： 當時，圖象與軸交于兩點，其中的是一元二次方程的兩根這兩點間的距離. 當時，圖象與軸只有一個交點； 當時，圖象與軸沒有交點. 當時，圖象落在軸的上方，無論為任何實數(shù)，都有； 當時，圖象落在軸的下方，無論為任何實數(shù)，都有 2. 拋物線的圖象與軸一定相交，交點坐標為，； 3. 二次函數(shù)常用解題方法總結： 求二次函數(shù)的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程； 求二次函數(shù)的最大（小）值需要利用配方法將二次函數(shù)由一般式轉化為頂點式； 根據(jù)圖象的位置判斷二次函數(shù)中，的符號，

12、或由二次函數(shù)中，的符號判斷圖象的位置，要數(shù)形結合；拋物線與軸有兩個交點二次三項式的值可正、可零、可負一元二次方程有兩個不相等實根拋物線與軸只有一個交點二次三項式的值為非負一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根拋物線與軸無交點二次三項式的值恒為正一元二次方程無實數(shù)根. 二次函數(shù)的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標. 與二次函數(shù)有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數(shù)；下面以時為例，揭示二次函數(shù)、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯(lián)系：十二、二次函數(shù)圖像參考： 十三、函數(shù)的應用二次函數(shù)應用 第二十三章 旋轉

13、一、旋轉 1、定義：把一個圖形繞某一點O轉動一個角度的圖形變換叫做旋轉，其中O叫做旋轉中心，轉動的角叫做旋轉角。2、性質（1）對應點到旋轉中心的距離相等。（2）對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角。 旋轉前后的圖形全等。二、中心對稱 1、定義：把一個圖形繞著某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的對稱中心。2、性質（1）關于中心對稱的兩個圖形是全等形。（2）關于中心對稱的兩個圖形，對稱點連線都經過對稱中心，并且被對稱中心平分。（3）關于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或在同一直線上）且相等。3、判定：如果兩個圖

14、形的對應點連線都經過某一點，并且被這一點平分，那么這兩個圖形關于這一點對稱。4、中心對稱圖形：把一個圖形繞某一個點旋轉180°，如果旋轉后的圖形能夠和原來的圖形互相重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個店就是它的對稱中心。5、關于原點對稱的點的特征：兩個點關于原點對稱時，它們的坐標的符號相反，即點P（x，y）關于原點的對稱點為P（-x，-y）6、關于x軸對稱的點的特征：兩個點關于x軸對稱時，它們的坐標中，x相等，y的符號相反，即點P（x，y）關于x軸的對稱點為P（x，-y）。7、關于y軸對稱的點的特征：兩個點關于y軸對稱時，它們的坐標中，y相等，x的符號相反，即點P（x，y）關于y

15、軸的對稱點為P（-x，y）。 第二十四章 圓 一、圓的相關概念 1、圓的定義：在一個個平面內，線段OA繞它固定的一個端點O旋轉一周，另一個端點A隨之旋轉所形成的圖形叫做圓，固定的端點O叫做圓心，線段OA叫做半徑。2、圓的幾何表示：以點O為圓心的圓記作“O”，讀作“圓O”二、弦、弧等與圓有關的定義 （1）弦：連接圓上任意兩點的線段叫做弦。（如圖中的AB）（2）直徑：經過圓心的弦叫做直徑。（如途中的CD）直徑等于半徑的2倍。（3）半圓：圓的任意一條直徑的兩個端點分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。（4）弧、優(yōu)弧、劣弧：圓上任意兩點間的部分叫做圓弧，簡稱弧?；∮梅枴啊北硎荆訟，B為端點的弧記作“”

16、，讀作“圓弧AB”或“弧AB”。大于半圓的弧叫做優(yōu)?。ǘ嘤萌齻€字母表示）；小于半圓的弧叫做劣弧（多用兩個字母表示）三、垂徑定理及其推論 1垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的弧。推論1：（1）平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧。（2）弦的垂直平分線經過圓心，并且平分弦所對的兩條弧。（3）平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧。推論2：圓的兩條平行弦所夾的弧相等。四、圓的對稱性 1、圓的軸對稱性：圓是軸對稱圖形，經過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。2、圓的中心對稱性：圓是以圓心為對稱中心的中心對稱圖形。五、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關

17、系定理 1、圓心角：頂點在圓心的角叫做圓心角。2、弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距。3、弧、弦、弦心距、圓心角之間的關系定理在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，所對的弦想等，所對的弦的弦心距相等。推論：在同圓或等圓中，如果兩個圓的圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等。六、圓周角定理及其推論 1、圓周角：頂點在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角。2、圓周角定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半。推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等。推論2：半圓（或直徑）所對的圓周角是直角；90&#

18、176;的圓周角所對的弦是直徑。推論3：如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形。七、點和圓的位置關系 設O的半徑是r，點P到圓心O的距離為d，則有：d<r點P在O內；d=r點P在O上；d>r點P在O外。八、過三點的圓 1、過三點的圓：不在同一直線上的三個點確定一個圓。2、三角形的外接圓：經過三角形的三個頂點的圓叫做三角形的外接圓。3、三角形的外心：三角形的外接圓的圓心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它叫做這個三角形的外心。4、圓內接四邊形性質（四點共圓的判定條件）：圓內接四邊形對角互補。九、反證法 先假設命題中的結論不成立，然后由此經過推理，引出矛盾，判

19、定所做的假設不正確，從而得到原命題成立，這種證明方法叫做反證法。十、直線與圓的位置關系 直線和圓有三種位置關系，具體如下：（1）相交：直線和圓有兩個公共點時，叫做直線和圓相交，這時直線叫做圓的割線，公共點叫做交點；（2）相切：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切，這時直線叫做圓的切線，（3）相離：直線和圓沒有公共點時，叫做直線和圓相離。如果O的半徑為r，圓心O到直線l的距離為d,那么：直線l與O相交d<r；直線l與O相切d=r；直線l與O相離d>r；十一、切線的判定和性質 1、切線的判定定理：經過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。2、切線的性質定理：圓的切線垂直于經

20、過切點的半徑。十二、切線長定理 1、切線長：在經過圓外一點的圓的切線上，這點和切點之間的線段的長叫做這點到圓的切線長。2、切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角。十三、三角形的內切圓 1、三角形的內切圓：與三角形的各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓。2、三角形的內心：三角形的內切圓的圓心是三角形的三條內角平分線的交點，它叫做三角形的內心。十四、圓和圓的位置關系 1、圓和圓的位置關系：如果兩個圓沒有公共點，那么就說這兩個圓相離，相離分為外離和內含兩種。如果兩個圓只有一個公共點，那么就說這兩個圓相切，相切分為外切和內切兩種。如果兩個圓有兩個公共點

21、，那么就說這兩個圓相交。2、圓心距：兩圓圓心的距離叫做兩圓的圓心距。3、圓和圓位置關系的性質與判定設兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d，那么兩圓外離d>R+r兩圓外切d=R+r兩圓相交R-r<d<R+r（Rr）兩圓內切d=R-r（R>r）兩圓內含d<R-r（R>r）4、兩圓相切、相交的重要性質：如果兩圓相切，那么切點一定在連心線上，它們是軸對稱圖形，對稱軸是兩圓的連心線；相交的兩個圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。十五、正多邊形和圓 1、正多邊形的定義：各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。2、正多邊形和圓的關系：只要把一個圓分成相等的一些弧，就可以做出這

22、個圓的內接正多邊形，這個圓就是這個正多邊形的外接圓。十六、與正多邊形有關的概念 1、正多邊形的中心：正多邊形的外接圓的圓心叫做這個正多邊形的中心。2、正多邊形的半徑：正多邊形的外接圓的半徑叫做這個正多邊形的半徑。3、正多邊形的邊心距：正多邊形的中心到正多邊形一邊的距離叫做這個正多邊形的邊心距。4、中心角：正多邊形的每一邊所對的外接圓的圓心角叫做這個正多邊形的中心角。十七、正多邊形的對稱性 1、正多邊形的軸對稱性：正多邊形都是軸對稱圖形。一個正n邊形共有n條對稱軸，每條對稱軸都通過正n邊形的中心。2、正多邊形的中心對稱性：邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形是中心對稱圖形，它的對稱中心是正多邊形的中心。3、正多

23、邊形的畫法：先用量角器或尺規(guī)等分圓，再做正多邊形。十八、弧長和扇形面積 1、弧長公式：n°的圓心角所對的弧長l的計算公式為2、扇形面積公式：其中n是扇形的圓心角度數(shù)，R是扇形的半徑，l是扇形的弧長。3、圓錐的側面積：其中l(wèi)是圓錐的母線長，r是圓錐的地面半徑。4、弦切角定理：弦切角：圓的切線與經過切點的弦所夾的角，叫做弦切角。弦切角定理：弦切角等于弦與切線夾的弧所對的圓周角。即：BAC=ADC5、切割線定理PA為O切線，PBC為O割線，則 第二十五章 概率初步一、概率 1隨機事件：在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，稱為隨機事件一般的，隨機事件發(fā)生的可能性是有大小的，不同的隨機事

24、件發(fā)生的可能性大小有可能不同。(確定事件：事先能肯定它一定會發(fā)生的事件稱為必然事件，事先能肯定它一定不會發(fā)生的事件稱為不可能事件，必然事件和不可能事件都是確定的事件分為確定事件和不確定事件（隨機事件），確定事件又分為必然事件和不可能事件，)二、概率1.概率：（1）一般地，在大量重復實驗中，如果事件A發(fā)生的頻率mn會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近，那么這個常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）=p。（頻率接近概率）（2）概率是頻率（多個）的波動穩(wěn)定值，是對事件發(fā)生可能性大小的量的表現(xiàn)。概率反映可能性大小的一般規(guī)律。（3）概率取值范圍：0p1 （4）必然發(fā)生的事件的概率P（A）=1；不可能發(fā)生事件的概率P（A）=0 （5）事件發(fā)生的可能性越大，概率越接近與1，事件發(fā)生的可能性越小，概率越接近于0三、求概率方法一般地，如果在一次實驗中，有n種可能的結果，并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結果，那么事件發(fā)生的概率為P（A）=mn 。1