初一數(shù)學(xué)追及問題和相遇問題列方程的技巧

1、初一數(shù)學(xué)追及問題和相遇問題列方程的技巧行程問題在行車、走路等類似運(yùn)動(dòng)時(shí)，已知其中的兩種量，依據(jù)速度、路程和時(shí)間三者之間的相互關(guān)系， 求第三種量的問題，叫做“行程問題 ”；此類問題一般分為四類：一、相遇問題；二、追及問題；三、相離問題；四、過橋問題等；行程問題中的相遇問題和追及問題主要的變化是在人（或事物）的數(shù)量和運(yùn)動(dòng)方向上；相遇（相離）問題和追及問題當(dāng)中參加者必需是兩個(gè)人（或事物）以上；假如它們的運(yùn)動(dòng)方向相反，就為相遇（相離）問題，假如他們的運(yùn)動(dòng)方向相同，就為追及問題；相遇問題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)，或在環(huán)形道口作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的連續(xù)、進(jìn)展，必定面對(duì)面地相遇；這類問題即為相遇問題；相遇問題

2、的模型為：甲從a 地到 b 地，乙從b 地到 a 地，然后甲，乙在途中相遇，實(shí)質(zhì)上是兩人共同走了a 、 b 之間這段路程，假如兩人同時(shí)動(dòng)身，那么：a， b 兩地的路程甲的速度乙的速度 ×相遇時(shí)間速度和×相遇時(shí)間基本公式有：兩地距離 =速度和 ×相遇時(shí)間相遇時(shí)間 =兩地距離 ÷速度和速度和 =兩地距離 ÷相遇時(shí)間二次相遇問題的模型為：甲從a 地動(dòng)身，乙從b 地動(dòng)身相向而行，兩人在c 地相遇，相遇后甲連續(xù)走到 b 地后返回，乙連續(xù)走到a 地后返回，其次次在d 地相遇；就有：其次次相遇時(shí)走的路程是第一次相遇時(shí)走的路程的兩倍；相遇問題的核心是“速度和

3、”問題；利用速度和與速度差可以快速找到問題的突破口，從而保證了快速解題；相離問題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著的動(dòng)體，從同一地點(diǎn)相背而行；如干時(shí)間后，間隔肯定的距離，求這段距離的問題，叫做相離問題；它與相遇問題類似，只是運(yùn)動(dòng)的方向有所轉(zhuǎn)變；解答相離問題的關(guān)鍵是求出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同趨勢的距離（速度和）；基本公式有：兩地距離 =速度和 ×相離時(shí)間相離時(shí)間 =兩地距離 ÷速度和速度和 =兩地距離 ÷相離時(shí)間相遇（相離）問題的基本數(shù)量關(guān)系：速度和×相遇（相離）時(shí)間相遇（相離）路程在相遇 相離 問題和追及問題中，必需很好的懂得各數(shù)量的含義及其在數(shù)學(xué)運(yùn)算中是如何給出的，這樣才能夠提高解

4、題速度和才能；追及問題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物體從不同的地點(diǎn)動(dòng)身，同向運(yùn)動(dòng)；慢的在前，快的在后，經(jīng)過如干時(shí)間，快的追上慢的；有時(shí)，快的與慢的從同一地點(diǎn)同時(shí)動(dòng)身，同向而行，經(jīng)過一段時(shí)間快的領(lǐng)先一段路程，我們也把它看作追及問題；解答這類問題要找出兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體之間的距離和速度之差，從而求出追準(zhǔn)時(shí)間；解題的關(guān)鍵是在相互關(guān)聯(lián)、相互對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追準(zhǔn)時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來達(dá)到解題目的；基本公式有：追及（或領(lǐng)先）的路程÷速度差 =追準(zhǔn)時(shí)間速度差 ×追準(zhǔn)時(shí)間 =追及（或領(lǐng)先）的路程追及（或領(lǐng)先）的路程÷追準(zhǔn)時(shí)間 =速度差要正確解答有關(guān)“行程問題”，必需弄清

5、物體運(yùn)動(dòng)的詳細(xì)情形；如：運(yùn)動(dòng)的方向（相向、相背、同向），動(dòng)身的時(shí)間（同時(shí)、不同時(shí)），動(dòng)身的地點(diǎn)（同地、不同地）、運(yùn)動(dòng)的路線（封閉、不封閉），運(yùn)動(dòng)的結(jié)果（相遇、相距多少、追及）；常用公式：行程問題基本恒等關(guān)系式：速度×時(shí)間=路程，即s=vt.行程問題基本比例關(guān)系式：路程肯定的情形下，速度和時(shí)間成反比；時(shí)間肯定的情形下，路程和速度成正比；速度肯定的情形下，路程和時(shí)間成正比；相遇追及問題中符號(hào)法就：相向運(yùn)動(dòng)，速度取和；同向運(yùn)動(dòng)，速度取差；流水行船問題中符號(hào)法就：促進(jìn)運(yùn)動(dòng)，速度取和；阻礙運(yùn)動(dòng)，速度取差；行程問題常用比例關(guān)系式：路程比=速度比×時(shí)間比，即s1/s2=v 1/v2

6、15; t1/t2電梯運(yùn)行規(guī)律：能看到的電梯級(jí)數(shù)=（人速 +電梯速度）×順電梯運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間能看到的電梯級(jí)數(shù)=（人速電梯速度）×逆電梯運(yùn)動(dòng)所需時(shí)間2v1v 2來回運(yùn)動(dòng)問題核心公式：來回平均速度= - 其中 v1 和 v2 分別表示來回的速度v1 +v23s1+s2兩次相遇問題核心公式：單岸型s= -；兩岸型 s= 3s1-s2 （ s 表示兩岸的距離）2相向而行：相遇時(shí)間=距離÷速度之和 相背而行：相背距離=速度之和×時(shí)間留意：同向而行追準(zhǔn)時(shí)速度慢的在前，快的在后；在環(huán)形跑道上，速度快的在前，慢的在后；環(huán)形運(yùn)動(dòng)的追擊問題和相遇問題：如同向同起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，第一次

7、相遇時(shí)， 速度快的比速度慢的多跑一圈；如相向同起點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，第一次相遇時(shí)，兩者路程和為一圈的長度；解決行程問題，常以速度為中心，路程和時(shí)間為兩個(gè)基本點(diǎn)，善于抓住不變量列方程；對(duì)于有三個(gè)以上人或車同時(shí)參加運(yùn)動(dòng)的行程問題，在分析其中某兩個(gè)的運(yùn)動(dòng)情形的同時(shí)，仍要弄清此時(shí)此刻另外的人或車處于什么位置，他（它）與前兩者有什么關(guān)系；分析復(fù)雜的行程問題時(shí)，最好畫線段圖幫忙摸索；懂得并熟登記面的結(jié)論，對(duì)分析、解答復(fù)雜的行程問題是有好處的；（ 3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同時(shí)間內(nèi)，甲、乙一共行的at+bt=s t=s/a+bs 甲=a*t=a*s/a+bs 乙=b*t=b*s/a+b封閉路線中的行程問題解決

8、封閉路線中的行程問題，仍要抓住“路程=速度×時(shí)間”這個(gè)基本關(guān)系式，搞清路程、速度、 時(shí)間三者之間的關(guān)系；封閉路線中的行程問題，可以轉(zhuǎn)化為非封閉路線中的行程問題來解決；在求兩個(gè)沿封閉路線相向運(yùn)動(dòng)的人或物體相遇次數(shù)時(shí)，仍可以借助圖示直觀地解決；直線上的來回運(yùn)動(dòng)、鐘表上的時(shí)針分針夾角問題，實(shí)質(zhì)上也是封閉路線中的行程問題；每個(gè)小時(shí)內(nèi)時(shí)針與分針重合一次垂直兩次；流水行船問題順流而下與逆流而上問題通常稱為流水問題，流水問題屬于行程問題，仍舊利用速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系進(jìn)行解答；解答時(shí)要留意各種速度的涵義及它們之間的關(guān)系；已知船的順?biāo)俣群湍嫠俣?，求船的靜水速度及水流速度；解答這類問題，一

9、般要把握下面幾個(gè)數(shù)量關(guān)系：船速：在靜水中的速度水速：河流中水流淌的速度順?biāo)伲捍陧標(biāo)叫袝r(shí)的速度逆水速度：船在逆水航行時(shí)的速度船速 +水速 =順?biāo)俅偎?=逆水船速（順?biāo)?+逆水船速） ÷2=船速（順?biāo)倌嫠伲?#247;2=水速順?biāo)?=船速 +水速 =逆水船速 +水速 ×2過橋問題一列火車通過一座橋或者是鉆過一個(gè)隧道，討論其車長、車速、橋長或隧道道長，過橋或鉆隧道的時(shí)間等關(guān)系的一類應(yīng)用題；解答這類應(yīng)用題，除了依據(jù)速度、時(shí)間、路程三量之間的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算外，仍必需留意到車長，即通過的路程等于橋長或隧道長加車長；基本公式有：橋長 +車長 =路程平均速度

10、×過橋時(shí)間 =路程過橋時(shí)間 =路程÷平均速度奧數(shù)行程問題解題方法字體大?。?大 - 中 - 小 luoyangxiao發(fā)表于11-10-27 10:39閱讀 788評(píng)論 0分類：1、信心不足有不少孩子往往一拿到行程問題的題目心里就發(fā)怵，沒有信心去把題目解決；究其緣由，主要是他們在平常做行程問題時(shí)選題的難度不適當(dāng)，對(duì)一 些基本的題目沒能做到嫻熟把握；而現(xiàn)在同學(xué)們自己從一些參考書上找的練習(xí)題難度不一、類型各異；這樣的話，孩子自己很難在短期內(nèi)把行程問題掌 握；于是就造成了這樣一種現(xiàn)象：感覺學(xué)了很長時(shí)間，也仍是有許多題目不會(huì)做； 時(shí)間一長，自然孩子們就很難建立起足夠的自信心；因此，

11、同學(xué)們在做行程問題時(shí)肯定不要盲目的做那些難度很大的題目，從簡潔的常規(guī)題目開頭，一步一腳一印， 逐步建立自己的信心， 信任自己肯定能夠攻克行程問題；作為家長，在指導(dǎo)孩子學(xué)習(xí)的時(shí)候要多勉勵(lì)他們，千萬不能急于求成， 要謹(jǐn)慎的給孩子支配一些難度大的題目；不要急于給孩子支配做一些競賽題或?qū)б系念}目；肯定要依據(jù)自己孩子的程度循序漸進(jìn)的增加難度；2、耐心不夠行程問題許多題目的文字表達(dá)比較其他題目要普遍的長一些，這樣對(duì)于學(xué)校生來講，去懂得題意也就增加了難度；因而多數(shù)孩子都不愿讀長題，這 樣第一從 心理 上就對(duì)題目產(chǎn)生了厭倦感和懼怕感；那么勢必造成對(duì)題目懂得的不夠，分析的不透徹；這就是由于孩子在做題時(shí)缺乏足夠

12、的耐心，急于求成；而做行程問題最重要的前提恰恰是要把題意懂得透徹，把過程分析清晰，把這前期工作做好了后，后面解題的過程也就會(huì)變得簡潔了；我們發(fā)覺往往是老師把題目讀完，把相應(yīng)的過程給孩子分析完之后，他們自己很快就能找到解題的思路和方法；期望同學(xué)們在做題時(shí)肯定要有耐 心，一步一步安心摸索，逐步把已知條件和所要求的未知條件建立聯(lián)系；經(jīng)過這么逐步分析，你肯定會(huì)找到解題的方法的；家長在這時(shí)也可以漸漸提示著幫孩子懂得題意，逐步培育他們分析題目的才能；3、習(xí)慣不良有一些孩子做題時(shí)不喜愛寫步驟和過程，往往是只寫答案；有的是寫了幾個(gè)簡潔的算式而沒有相應(yīng)的文字提示；例如這樣一道題：甲乙二人分別從ab 兩地同時(shí)動(dòng)身

13、，相向而行，他們第一次相遇時(shí)距離a 地 60 千米，然后兩人連續(xù)前行，分別到達(dá)ba 后 調(diào)頭連續(xù)前行；當(dāng)他們其次次相遇時(shí)距離b 地 30 千米；問ab 兩地的距離是多少？一道特別典型的迎面相遇問題；我們發(fā)覺許多孩子都會(huì)解這道題，他們 能夠很快的列出算式；60 ×3 30 150 （千米）但假如你要是問這個(gè)算式的含義，就有許多同學(xué)回答不上來了；他們往往只是記住了這個(gè)解題算式； 緣由仍在于在平常的學(xué)習(xí)過程中過分重視算式和結(jié)果，而忽視明白題思路和方法的把握；對(duì)老師在解題過程中做的分析和講解沒有懂得充分，對(duì)一些關(guān)鍵的字眼沒能做好記錄； 因而同學(xué)們在 聽課的過程中要留意記錄老師對(duì)題目所做的文字

14、分析，不明白的要準(zhǔn)時(shí)詢問老師，只有真正把老師所講題目的解題思路搞 懂了才能逐步把握這類題目的解題方法；假如自己有新的想法，有更好的思 路也肯定要積極的和老師探討，以確認(rèn)方法的正確性；家長們在對(duì)孩子的學(xué) 習(xí)進(jìn)行監(jiān)督時(shí)也不能只看孩子的解題結(jié)果，而是要問明白孩子所列算式的來龍去脈，勉勵(lì)孩子講題給你聽；信任這樣對(duì)孩子的學(xué)習(xí)幫忙會(huì)更大；4、做題時(shí)不喜愛畫圖其實(shí)，假如能把題目所表達(dá)的過程表現(xiàn)出來，題目的難度自然就會(huì)大大 降低；由于假如單純憑空想象一些相遇或追及過程不僅很困難，也很簡潔出 錯(cuò)，特別是那些多人相遇或追及，多次相遇或追及那就更不行想象了；所以 同學(xué)們平常做題時(shí)肯定要養(yǎng)成畫圖的好習(xí)慣，這對(duì)你分析解

15、題會(huì)起到很大的作用的；所以老師講題過程中畫的圖大家肯定要記錄好；解行程問題的方法已知速度、時(shí)間、距離三個(gè)數(shù)量中的任何兩個(gè)，求第三個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問題 ；解答行程問題的關(guān)鍵是，第一要確定運(yùn)動(dòng)的方向，然后依據(jù)速度、時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行運(yùn)算；行程問題的基本數(shù)量關(guān)系是：速度×時(shí)間 =路程路程÷速度=時(shí)間路程÷時(shí)間=速度行程問題常見的類型是：相遇問題，追及問題（即同向運(yùn)動(dòng)問題），相離問題（即相背運(yùn)動(dòng)問題）；（一）相遇問題兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的進(jìn)展，必定面對(duì)面地相遇，這類問題叫做相遇問題；它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程；學(xué)校

16、數(shù)學(xué)教材中的行程問題，一般是指相遇問題；相遇問題依據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度；它們的基本關(guān)系式如下：總路程 =（甲速 +乙速） ×相遇時(shí)間相遇時(shí)間 =總路程 ÷（甲速 +乙速）另一個(gè)速度 =甲乙速度和 -已知的一個(gè)速度1.求路程（1）求兩地間的距離例 1 兩輛汽車同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，一輛汽車每小時(shí)行56 千米，另一輛汽車每小時(shí)行63 千米，經(jīng)過4 小時(shí)后相遇；甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：兩輛汽車從同時(shí)相對(duì)開出到相遇各行4 小時(shí)；一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是它行駛的路程；另一輛汽車的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是這輛汽車行駛

17、的路 程；兩車行駛路程之和，就是兩地距離；56×4=224 （千米）63×4=252 （千米）224+252=476 （千米）綜合算式：56×4+63×4=224+252=476 （千米）答略；例 2 兩列火車同時(shí)從相距480 千米的兩個(gè)城市動(dòng)身，相向而行，甲車每小時(shí)行駛40 千米，乙車每小時(shí)行駛42 千米； 5 小時(shí)后，兩列火車相距多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車5 小時(shí)共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車5 小時(shí)共行的路程，所得就是兩車的距離；480- （40+42 ）×5=480-82 

18、5;5=480-410=70 （千米）答： 5 小時(shí)后兩列火車相距70 千米；例 3 甲、乙二人分別從a、b 兩地同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)行5 千米，乙每小時(shí)行4 千米；二人第一次相遇后，都連續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)b、a 兩地后又立刻按原速度返回；從開頭走到其次次相遇，共用了6 小時(shí)； a、b 兩地相距多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：從開頭走到第一次相遇，兩人走的路程是一個(gè)ab 之長；而到其次次相遇，兩人走的路程總共就是3 個(gè) ab 之長（圖 35-1 ），這三個(gè) ab 之長是：（5+4）×6=54 （千米）所以， a、b 兩地相距的路程是：54÷3=18 （千米）答略；例 4 兩

19、列火車從甲、乙兩地同時(shí)動(dòng)身對(duì)面開來，第一列火車每小時(shí)行駛60 千米，其次列火車每小時(shí)行駛55 千米；兩車相遇時(shí)， 第一列火車比其次列火車多行了20 千 米；求甲、乙兩地間的距離；（適于五年級(jí)程度）解：兩車相遇時(shí)，兩車的路程差是 20 千米；顯現(xiàn)路程差的緣由是兩車行駛的速度不同，第一列火車每小時(shí)比其次列火車多行（ 60-55 ）千米；由此可求出兩車相遇的時(shí)間， 進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離；（ 60+55 ） ×20 ÷（60-55 ）=115×20 ÷5=460 （千米）答略；*例 5甲、乙二人同時(shí)從a、b 兩地相向而行，甲每小時(shí)走6 千米，乙每小時(shí)走5

20、千米，兩個(gè)人在距離中點(diǎn)1.5 千米的地方相遇；求a、b 兩地之間的距離； （適于五年級(jí)程度）解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時(shí)，甲比乙多走了 1.5 ×2 千米（圖 35-2 ），甲比乙每小時(shí)多行（ 6-5 ）千米；由路程差與速度差，可求出相遇時(shí)間，進(jìn)而求出 a、b 兩地之間的距離；（6+5 ）×1.5 ×2÷（6-5）=11×1.5 ×2÷1=11×3=33 （千米）答略；由兩車 “在離中點(diǎn) 2 千米處相遇 ”可知，甲車比乙車少行：2×2=4 （千米）所以，乙車行的路程是：甲車行的路程是：a、b 兩站間的距離

21、是：24+20=44 （千米）答略；同一般客車相遇；甲、乙兩城間相距多少千米？（適于六年級(jí)程度）快車從乙城開出， 一般客車與快車相對(duì)而行；已知一般客車每小時(shí)行 60 千米，快車每小時(shí)行 80 千米，可以求出兩車速度之和；又已知兩車相遇時(shí)間，可以按 “速度之和 ×相遇時(shí)間 ”，求出兩車相對(duì)而行的總行程；一般客車已行駛一般客車與快車速度之和是：60+80=140 （千米 /小時(shí)）兩車相對(duì)而行的總路程是：140×4=560 （千米） 兩車所行的總路程占全程的比率是：甲、乙兩城之間相距為：綜合算式：答略；2）求各行多少例 1 兩地相距 37.5 千米，甲、乙二人同時(shí)從兩地動(dòng)身相向而

22、行，甲每小時(shí)走3.5 千米，乙每小時(shí)走4 千米；相遇時(shí)甲、乙二人各走了多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：到甲、乙二人相遇時(shí)所用的時(shí)間是：37.5 ÷（3.5+4 ） =5（小時(shí)）甲行的路程是：3.5 ×5=17.5 （千米）乙行的路程是：4×5=20 （千米）答略；例 2 甲、乙二人從相距40 千米的兩地同時(shí)相對(duì)走來，甲每小時(shí)走4 千米，乙每小時(shí)走 6 千米；相遇后他們又都走了1 小時(shí)；兩人各走了多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：到甲、乙二人相遇所用的時(shí)間是：40÷（4+6） =4（小時(shí)）由于他們又都走了1 小時(shí)，因此兩人都走了：4+1=5 （小時(shí)）甲走的路

23、程是：4×5=20 （千米）乙走的路程是：6×5=30 （千米）答略；例 3 兩列火車分別從甲、 乙兩個(gè)火車站相對(duì)開出， 第一列火車每小時(shí)行48.65 千 米，其次列火車每小時(shí)行47.35 千米；在相遇時(shí)第一列火車比其次列火車多行了5.2 千 米；到相遇時(shí)兩列火車各行了多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：兩車同時(shí)開出，行的路程有一個(gè)差，這個(gè)差是由于速度不同而形成的；可以依據(jù)“相遇時(shí)間 =路程差 ÷速度差 ”的關(guān)系求出相遇時(shí)間，然后再分別求出所行的路程；從動(dòng)身到相遇所用時(shí)間是：5.2 ÷（48.65-47.35 ）=5.2 ÷1.3=4（小時(shí)）第一列

24、火車行駛的路程是：48.65 ×4=194.6 （千米）其次列火車行駛的路程是：47.35 ×4=189.4 （千米）答略；*例 4東、西兩車站相距564 千米，兩列火車同時(shí)從兩站相對(duì)開出，經(jīng)6 小時(shí)相遇；第一列火車比其次列火車每小時(shí)快2 千米；相遇時(shí)這兩列火車各行了多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：兩列火車的速度和是：564÷6=94 （千米 /小時(shí)）第一列火車每小時(shí)行：（94+2 ） ÷2=48 （千米）其次列火車每小時(shí)行：48-2=46 （千米）相遇時(shí)，第一列火車行：48×6=288 （千米）其次列火車行：46×6=276 （千米

25、）答略；2.求相遇時(shí)間例 1 兩個(gè)城市之間的路程是500 千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開出，客車的平均速度是每小時(shí)55 千米，貨車的平均速度是每小時(shí)45 千米；兩車開了幾小時(shí)以后相遇？（適于五年級(jí)程度）解：已知兩個(gè)城市之間的路程是500 千米，又知客車和貨車的速度，可求出兩車的速度之和；用兩城之間的路程除以兩車的速度之和可以求出兩車相遇的時(shí)間；500÷（55+45 ）=500÷100=5（小時(shí)） 答略；例 2 兩地之間的路程是420 千米，一列客車和一列貨車同時(shí)從兩個(gè)城市答略；例 3 在一次戰(zhàn)爭中，敵我雙方原先相距62.75 千米；據(jù)偵察員報(bào)告，敵人已向我處前

26、進(jìn)了 11 千米；我軍立刻動(dòng)身迎擊，每小時(shí)前進(jìn)6.5 千米，敵人每小時(shí)前進(jìn)5 千米；我軍動(dòng)身幾小時(shí)后與敵人相遇？（適于五年級(jí)程度）解：此題已給出總距離是62.75 千米，由 “敵人已向我處前進(jìn)了11 千米”可知實(shí)際的總距離削減到（ 62.75-11 ）千米；（62.75-11 ）÷（6.5+5 ）=51.75 ÷11.5=4.5 （小時(shí)）答：我軍動(dòng)身4.5 小時(shí)后與敵人相遇；例 4 甲、乙兩地相距200 千米，一列貨車由甲地開往乙地要行駛5 小時(shí)；一列客車由乙地開往甲地需要行駛4 小時(shí)；假如兩列火車同時(shí)從兩地相對(duì)開出，經(jīng)過幾小時(shí)可以相遇？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（適于五年級(jí)程度

27、）解：此題用與平常說法不同的方式給出了兩車的速度；先分別求出速度再求和，依據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”的關(guān)系，即可求出相遇時(shí)間；200÷（200÷5+200÷4 ）=200÷（40+50 ）=200÷90 2.2（小時(shí)）答：兩車大約經(jīng)過2.2 小時(shí)相遇；例 5 在復(fù)線鐵路上， 快車和慢車分別從兩個(gè)車站開出，相向而行；快車車身長是180米，速度為每秒鐘9 米；慢車車身長210 米，車速為每秒鐘6 米；從兩車頭相遇到兩車的尾部離開，需要幾秒鐘？（適于五年級(jí)程度）解：由于是以兩車離開為準(zhǔn)運(yùn)算時(shí)間，所以兩車經(jīng)過的路程是兩個(gè)車身的總長；總長除以兩車的

28、速度和，就得到兩車從相遇到車尾離開所需要的時(shí)間；（180+210 ） ÷（ 9+6 ）=390÷15=26 （秒）答略；3.求速度例 1 甲、乙兩個(gè)車站相距550 千米，兩列火車同時(shí)由兩站相向開出，5 小時(shí)相遇；快車每小時(shí)行60 千米；慢車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：先求出速度和，再從速度和中減去快車的速度，便得出慢車每小時(shí)行：550÷5-60=110-60=50 （千米）答略；例 2 a、b 兩個(gè)城市相距380 千米；客車和貨車從兩個(gè)城市同時(shí)相對(duì)開出，經(jīng)過4小時(shí)相遇；貨車比客車每小時(shí)快5 千米；這兩列車每小時(shí)各行多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：客車每

29、小時(shí)行：（380÷4-5 ）÷2=（95-5 ）÷2=45 （ 千 米 ） 貨車每小時(shí)行：45+5=50 （千米）答略；例 3 甲、乙兩個(gè)城市相距980 千米，兩列火車由兩城市同時(shí)相對(duì)開出，經(jīng)過10 小時(shí)相遇；快車每小時(shí)行50 千米，比慢車每小時(shí)多行多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：兩城市的距離除以兩車相遇的時(shí)間，得到兩車的速度和；從兩車的速度和中減去快車的速度，得到慢車的速度；再用快車速度減去慢車的速度，即得到題中所求；50- （980÷10-50 ）=50- （98-50 ）=50-48=2（千米） 答略；例 4 甲、乙兩地相距486 千米，快車與慢車

30、同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開出，經(jīng)過6 小時(shí)相遇；已知快車與慢車的速度比是5 4；求快車和慢車每小時(shí)各行多少千米？（適于 六年級(jí)程度）兩車的速度和是：486÷6=81 （千米 /小時(shí)）快車每小時(shí)行：慢車每小時(shí)行：答略；例 5 兩輛汽車同時(shí)從相距465 千米的兩地相對(duì)開出，4.5 小時(shí)后兩車仍相距120 千米；一輛汽車每小時(shí)行37 千米；另一輛汽車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：假如兩地間的距離削減120 千米，4.5 小時(shí)兩車正好相遇； 也就是兩車4.5 小時(shí)行 465-120=345千米， 345 千米除以 4.5 小時(shí)，可以求出兩車速度之和；從速度之和減 去一輛車的速度，得到另

31、一輛車的速度；答略；例 6 甲、乙兩人從相距40 千米的兩地相向而行；甲步行，每小時(shí)走5 千米，先出發(fā) 0.8 小時(shí)；乙騎自行車，騎2 小時(shí)后，兩人在某地相遇；乙騎自行車每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：兩人相遇時(shí)，甲共走：0.8+2=2.8 （小時(shí)）甲走的路程是：5×2.8=14 （千米）乙在 2 小時(shí)內(nèi)行的路程是：40-14=26 （千米）所以，乙每小時(shí)行：26÷2=13 （千米）綜合算式：40-5 ×（ 0.8+2 ） ÷2=40-5 ×2.8 ÷2=40-14÷2=26÷2=13 （千米）答略；例 7

32、 甲、乙二人從相距50 千米的兩地相對(duì)而行；甲先動(dòng)身，每小時(shí)步行5 千米；1小時(shí)后乙騎自行車動(dòng)身，騎了2 小時(shí)，兩人相距11 千米；乙每小時(shí)行駛多少千米？（適于五年級(jí)程度）解：從相距的50 千米中，去掉甲在 1 小時(shí)內(nèi)先走的5 千米，又去掉相隔的11 千 米，便得到：50-5-11=34 （千米）這時(shí)，原題就轉(zhuǎn)變成“兩地相隔34 千米，甲、乙二人分別從兩地同時(shí)相對(duì)而行；甲步行，乙騎自行車，甲每小時(shí)走5 千米；經(jīng)過2 小時(shí)兩人相遇；乙每小時(shí)行多少千米？”由此可知，二人的速度和是：34÷2=17 （千米 /小時(shí)）乙每小時(shí)行駛的路程是：17-5=12 （千米）綜合算式：（50-5-11 ）

33、 ÷2-5=34÷2-5=17-5=12 （千米）答略；（二）追及問題追及問題的地點(diǎn)可以相同（如環(huán)形跑道上的追及問題），也可以不同，但方向一般是相同的；由于速度不同，就發(fā)生快的追及慢的問題；依據(jù)速度差、距離差和追準(zhǔn)時(shí)間三者之間的關(guān)系，常用下面的公式：距離差 =速度差 ×追準(zhǔn)時(shí)間追準(zhǔn)時(shí)間 =距離差 ÷速度差速度差 =距離差 ÷追準(zhǔn)時(shí)間速度差 =快速-慢速解題的關(guān)鍵是在相互關(guān)聯(lián)、相互對(duì)應(yīng)的距離差、速度差、追準(zhǔn)時(shí)間三者之中，找出兩者，然后運(yùn)用公式求出第三者來達(dá)到解題目的；*例 1甲、乙二人在同一條路上前后相距9 千米；他們同時(shí)向同一個(gè)方向前進(jìn)；甲在前

34、，以每小時(shí)5 千米的速度步行；乙在后，以每小時(shí)10 千米的速度騎自行車追逐甲；幾小時(shí)后乙能追上甲？（適于高年級(jí)程度）解：求乙?guī)仔r(shí)追上甲，先求乙每小時(shí)能追上甲的路程，是：10-5=5 （千米）再看，相差的路程9 千米中含有多少個(gè)5 千米，即得到乙?guī)仔r(shí)追上甲；9÷5=1.8 （小時(shí)）綜合算式：9÷（ 10-5 ）=9÷5=1.8 （小時(shí)）答略；*例 2甲、乙二人在相距6 千米的兩地，同時(shí)同向動(dòng)身；乙在前，每小時(shí)行5 千米；甲在后，每小時(shí)的速度是乙的1.2 倍；甲幾小時(shí)才能追上乙？（適于高年級(jí)程度）解：甲每小時(shí)行：5×1.2=6 （千米）甲每小時(shí)能追上乙：

35、6-5=1 （千米）相差的路程6 千米中，含有多少個(gè)1 千米，甲就用幾小時(shí)追上乙；6÷1=6 （小時(shí)）答：甲 6 小時(shí)才能追上乙；*例 3甲、乙二人環(huán)繞一條長400 米的環(huán)形跑道練習(xí)長跑；甲每分鐘跑350 米，乙每分鐘跑250 米；二人從起跑線動(dòng)身，經(jīng)過多長時(shí)間甲能追上乙？（適于高年級(jí)程度）解：此題的運(yùn)動(dòng)路線是環(huán)形的；求追上的時(shí)間是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平常所說的 “落一圈 ”，這一圈相當(dāng)于在直線上的400 米，也就是追及的路程；因此，甲追上乙的時(shí)間是：400÷（350-250 ）=400÷100=4（分鐘） 答略；*例 4在解放戰(zhàn)爭的一次戰(zhàn)爭中，我軍偵察

36、到敵軍在我軍南面6 千米的某地，正以每小時(shí) 5.5 千米的速度向南逃跑，我軍立刻以每小時(shí)8.5 千米的速度追擊敵人；在追上敵人后，只用半小時(shí)就全殲敵軍；從開頭追擊到全殲敵軍，共用了多長時(shí)間？（適于高 年級(jí)程度）解：敵我兩軍行進(jìn)的速度差是：8.5-5.5=3 （千米 /小時(shí)）我軍追上敵軍用的時(shí)間是：6÷3=2 （小時(shí)） 從開頭追擊到全殲敵軍，共用的時(shí)間是：2+0.5=2.5 （小時(shí)）綜合算式：60÷（8.5-5.5 ） +0.5=6÷3+0.5=2.5 （小時(shí)）答略；*例 5一排解放軍從駐地動(dòng)身去執(zhí)行任務(wù)，每小時(shí)行5 千米；離開駐地3 千米時(shí)，排長命令通訊員騎自行車

37、回駐地取地圖；通訊員以每小時(shí)10 千米的速度回到駐地， 取了地圖立刻返回；通訊員從駐地動(dòng)身，幾小時(shí)可以追上隊(duì)伍？（適于高年級(jí)程度）解：通訊員離開隊(duì)伍時(shí)，隊(duì)伍已離開駐地3 千米；通訊員的速度等于隊(duì)伍的2 倍（ 10÷5=2 ），通訊員返回到駐地時(shí)，隊(duì)伍又前進(jìn)了（3÷2）千米；這樣，通訊員需追及 的距離是（ 3+3÷2 ）千米，而速度差是（10-5 ）千米 /小時(shí)；依據(jù)“距離差 ÷速度差 =時(shí)間”可以求出追及的時(shí)間；（ 3+3÷2） ÷（ 10-5 ）=4.5 ÷5=0.9 （小時(shí)）答略；（三）相離問題相離問題就是兩個(gè)人或物體向

38、相反方向運(yùn)動(dòng)的應(yīng)用題，也叫做相背運(yùn)動(dòng)問題；解相離問題一般遵循“兩個(gè)人或物體動(dòng)身地之間的距離+速度和 ×時(shí)間=兩個(gè)人或物體之間的距離 ”；例 1 哥哥由家向東到工廠去上班，每分鐘走85 米，弟弟同時(shí)由家往西到學(xué)校去上學(xué)，每分鐘走75 米；幾分鐘后二人相距960 米？（適于四年級(jí)程度）解：二人同時(shí)、同地相背而行，只要求出速度和，由“時(shí)間=距離÷速度和 ”即可求出所行時(shí)間；因此，得：960÷（85+75 ）=960÷160=6（分鐘） 答略；例 2 甲、乙二人從同一城鎮(zhèn)某車站同時(shí)動(dòng)身，相背而行；甲每小時(shí)行6 千米，乙每小時(shí)行 7 千米； 8 小時(shí)后，甲、乙二人

39、相距多少千米？（適于四年級(jí)程度） 解：先求出二人速度之和，再乘以時(shí)間就得到二人之間的距離；（ 6+7）×8=13×8=104 （千米）答略；*例 3東、西兩鎮(zhèn)相距69 千米；張、王二人同時(shí)自兩鎮(zhèn)之間的某地相背而行，6 小時(shí)后二人分別到達(dá)東、西兩鎮(zhèn)；已知張每小時(shí)比王多行1.5 千米；二人每小時(shí)各行多少千米？動(dòng)身地距東鎮(zhèn)有多少千米？（適于高年級(jí)程度）解：由二人6 小時(shí)共行69 千米，可求出他們的速度和是（69÷6）千米/小時(shí)；張每 小時(shí)比王多行1.5 千米，這是他們的速度差；從而可以分別求出二人的速度；張每小時(shí)行：（69÷6+1.5 ） ÷2=（1

40、1.5+1.5 ）÷2=13÷2=6.5 （千米）王每小時(shí)行：6.5-1.5=5 （千米）動(dòng)身地距東鎮(zhèn)的距離是：6.5 ×6=39 （千米）答：張每小時(shí)行6.5 千米，王每小時(shí)行5 千米；動(dòng)身地到東鎮(zhèn)的距離是39 千米；解流水問題的方法流水問題是討論船在流水中的行程問題，因此，又叫行船問題；在學(xué)校數(shù)學(xué)中涉及到的題目，一般是勻速運(yùn)動(dòng)的問題；這類問題的主要特點(diǎn)是，水速在船逆行和順行中的作用不同；流水問題有如下兩個(gè)基本公式：順?biāo)俣?= 船速+ 水速（ 1 ）逆水速度 = 船速- 水速（2 ）這里， 順?biāo)俣仁侵复標(biāo)叫袝r(shí)單位時(shí)間里所行的路程；船速是指船本身的速度，也

41、就是船在靜水中單位時(shí)間里所行的路程；水速是指水在單位時(shí)間里流過的路程；公式（ 1）說明， 船順?biāo)叫袝r(shí)的速度等于它在靜水中的速度與水流速度之和；這是由于順?biāo)畷r(shí)，船一方面按自己在靜水中的速度在水面上行進(jìn)，同時(shí)這艘船又在按著水的流淌速度前進(jìn)，因此船相對(duì)地面的實(shí)際速度等于船速與水速之和；公式（ 2）說明， 船逆水航行時(shí)的速度等于船在靜水中的速度與水流速度之差；依據(jù)加減互為逆運(yùn)算的原理，由公式（1）可得：水速 = 順?biāo)俣?- 船速（ 3 ）船速 = 順?biāo)俣?- 水速（ 4 ）由公式（ 2 ）可得：水速 = 船速 - 逆水速度（ 5 ）船速 = 逆水速度 + 水速（ 6 ）這就是說，只要知道了船在靜

42、水中的速度、船的實(shí)際速度和水速這三者中的任意兩個(gè)，就可以求出第三個(gè)；另外，已知某船的逆水速度和順?biāo)俣龋钥梢郧蟪龃俸退?；由于順?biāo)俣染褪谴倥c水速之和，逆水速度就是船速與水速之差，依據(jù)和差問題的算法，可知：船速 = （順?biāo)俣? 逆水速度）÷ 2（ 7 ）水速 = （順?biāo)俣? 逆水速度）÷ 2（ 8）*例 1 一只漁船順?biāo)?5 千米，用了5 小時(shí)，水流的速度是每小時(shí)1 千米；此船在靜水中的速度是多少？（適于高年級(jí)程度）解：此船的順?biāo)俣仁牵?5÷5=5 （千米 /小時(shí)）由于 “順?biāo)俣?=船速+水速”，所以，此船在靜水中的速度是“順?biāo)俣?-水速”；5-

43、1=4 （千米 /小時(shí)）綜合算式：25÷5-1=4 （千米 /小時(shí)）答：此船在靜水中每小時(shí)行4 千米；*例 2 一只漁船在靜水中每小時(shí)航行4 千米，逆水4 小時(shí)航行 12 千米；水流的速度是每小時(shí)多少千米？（適于高年級(jí)程度）解：此船在逆水中的速度是：12÷4=3 （千米 /小時(shí)）由于逆水速度 =船速-水速，所以水速 =船速-逆水速度，即：4-3=1 （千米 /小時(shí)）答：水流速度是每小時(shí)1 千米；*例 3 一只船， 順?biāo)啃r(shí)行20 千米，逆水每小時(shí)行12 千米；這只船在靜水中的速度和水流的速度各是多少？（適于高年級(jí)程度）解：由于船在靜水中的速度=（順?biāo)俣?+逆水速度） &

44、#247;2，所以，這只船在靜水中的速度是：（ 20+12 ）÷2=16 （千米 /小時(shí)）由于水流的速度=（順?biāo)俣?-逆水速度） ÷2，所以水流的速度是：（20-12 ） ÷2=4 （千米 /小時(shí)）答略；*例 4 某船在靜水中每小時(shí)行18 千米，水流速度是每小時(shí)2 千米；此船從甲地逆水航行到乙地需要15 小 時(shí)；求甲、乙兩地的路程是多少千米？此船從乙地回到甲地需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度）解：此船逆水航行的速度是：18-2=16 （千米 /小時(shí)）甲乙兩地的路程是：16×15=240 （千米）此船順?biāo)叫械乃俣仁牵?8+2=20 （千米 /小時(shí)）此船從

45、乙地回到甲地需要的時(shí)間是：240÷20=12 （小時(shí)）答略；*例 5 某船在靜水中的速度是每小時(shí)15 千米，它從上游甲港開往乙港共用8 小時(shí)；已知水速為每小時(shí)3 千 米；此船從乙港返回甲港需要多少小時(shí)？（適于高年級(jí)程度）解：此船順?biāo)乃俣仁牵?5+3=18 （千米 /小時(shí)）甲乙兩港之間的路程是：18×8=144 （千米）此船逆水航行的速度是：15-3=12 （千米 /小時(shí)）此船從乙港返回甲港需要的時(shí)間是：144÷12=12 （小時(shí)）綜合算式：（ 15+3 ）×8÷（15-3 ）=144÷12=12 （小時(shí)）答略；*例 6 甲、乙兩個(gè)碼頭相距144 千米，一艘汽艇