波動光學方法

1、1 波動理論是一種比幾何光學方法更為嚴格的分析波動理論是一種比幾何光學方法更為嚴格的分析方法方法, ,其嚴格性在于其嚴格性在于: : 1 1）從光波的本質(zhì)特性從光波的本質(zhì)特性電磁波出發(fā)電磁波出發(fā), ,通過求解通過求解電磁波所遵從的麥克斯韋方程電磁波所遵從的麥克斯韋方程, ,導出電磁場的場分導出電磁場的場分布布, ,具有理論上的嚴謹性具有理論上的嚴謹性; ; 2 2）適用于各種折射率分布的單模光和多模光波導。適用于各種折射率分布的單模光和多模光波導。2HBED ,麥克斯韋方程麥克斯韋方程00/BDtDHtBE 無源空間麥克斯韋方程組的微分形式（1）（2）（3）（4）3 邊界條件：電場 的邊界條件

2、E021EEnttEE21磁場 的邊界條件H（在無耗媒質(zhì)中）021HHnttHH21電位移矢量 的邊界條件DnnDDDDn2121 0磁感應強度 的邊界條件BnnBBBBn2121 04 分離變量1)1)電矢量與磁矢量分離電矢量與磁矢量分離: : 可得到只與電場強度E E(x,y,z,t)有關的方程式及只與磁場強度H H(x,y,z,t)有關的方程式；2)2)時、空坐標分離時、空坐標分離: : 亥姆霍茲方程，是關于E E(x,y,z)和H H(x,y,z)的方程式；3)3)空間坐標縱、橫分離：空間坐標縱、橫分離：波導場方程，是關于E E(x,y)和H H(x,y)的方程式；4)4)邊界條件：邊

3、界條件：在兩種介質(zhì)交界面上電磁場矢量的E E(x,y)和H H(x,y)切向分量要連續(xù)。52EEHt 0 EEED 5對（對（1）式兩邊取旋度，并利用恒等式）式兩邊取旋度，并利用恒等式 2EEE 得又EE將及EHt（5）代入（5）式得0222EtEE6若介質(zhì)常數(shù)隨空間的變化是緩慢的1/0222EtEE第三項可看成是微擾項，在零級近似下可略去于是0222tEE同樣可以得到0222tHH上兩式即為分離變量得到的電磁場的波動方程22cn7時、空坐標分離:各直角分量滿足波動方程022222tcn考慮角頻率為的單色波 tiertr ,代入上式得02022kn上式稱為標量亥母霍茲方程。該方程不適用于圓柱坐

4、標該方程不適用于圓柱坐標在一般情況下（不限于直角坐標）002222HkHEkE矢量亥母霍茲方程8對于沿z方向傳播的波)(exp)(exp00zktiHHzktiEEzz亥母霍茲方程可以表示為002202222222022222HkknHyxEkknEyxzz 空間坐標縱、橫分離：波導場方程用來分析在x、y兩個相互垂直方向上受限制的導波問題 c22-kz2n2 k02-kz2 kzn(r)k0cosqz 波導場方程波導場方程：是波動光學方法的最基本方程。它是一個典型的本征方程,其本征值為c或kz、qz。當給定波導的邊界條件時,求解波導場方程可得本征解及相應的本征值。通常將本征解定義為“模式”90

5、),(),(),(),(22yxHyxEyxHyxEtc可表示為可表示為1）每一個模式對應于沿光波導軸向傳播的一種電磁波;2）每一個模式對應于某一本征值并滿足全部邊界條件;3）模式具有確定的相速群速和橫場分布. 模式是波導結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表模式是波導結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。征。給定的波導中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的,外界激勵源只能激勵起光波導中允許存在的模式而不會改變模式的固有性質(zhì)。10電磁波模式的基本特征：模式的場矢量E(x,y)和H(x,y)具有六個場分量: Ex、Ey、Ez和Hx、Hy、Hz 或 Er、E、Ez和Hr,H,Hzl只有當這六個場分量全部求出方可認為模式

6、的場分布唯一確定。 l利用麥克斯韋方程，場的橫向分量可由縱向分量Ez和Hz來表示.11模式場分量與縱橫關系式l根據(jù)場的縱向分量Ez和Hz的存在與否,可將模式命名為: (1)橫電磁模(TEM): EzHz0; (2)橫電模(TE): Ez0, Hz0; (3)橫磁模(TM): Ez0,Hz0; (4)混雜模(HE或EH):Ez0, Hz0。l 光纖中存在的模式多數(shù)為HE(EH)模,有時也出現(xiàn)TE(TM)模。12模式的命名時諧平面波 相速 群速13角頻率為的單色平面波沿著矢量k的方向傳播時，可用函數(shù)表示為rktiAtrexp,其中玻矢0022nknk也稱為傳播常數(shù)波陣面方程常數(shù)rkt0k為自由空間波數(shù)頻率在左右的很窄范圍的單色平面波的疊加，稱為準單色平面波，也就是通常所說的波群或波包。在介質(zhì)中不同頻率的單色波相速不同，波包在傳播過程中會發(fā)生形變，通常把波包中心的傳播速度叫做群速 dkdvg波面沿傳播方向移動的速度稱為相速，用vp表示由0kd