高二數(shù)學選修第一冊2020(A版)_《用空間向量研究距離、夾角問題_》高考通關(guān)練

1、1 / 12用空間向量研究距離、夾角問題高考通關(guān)練一、選擇題1.（2020 湖南婁底雙峰一中高二期中）已知正三棱柱111abca bc 的側(cè)棱長與底面邊長相等，則11ab 與側(cè)面11acc a 所成角的正弦值為（） 。a.64b.104c.22d.17182.(2020 河南焦作高二期末 )如圖，在四棱錐pabcd中，pd底面 abcd，四邊形 abcd 為正方形，且1pdab，g 為abc 的重心，則 pg 與底面 abcd所成的角滿足（）a.4b.2 34cos17c.2 2tan3d.3sin33.(2020 福建泉州高二期末 )在正方體1111abcdabc d 中，動點 m 在線段1

2、ac 上（包括1a ，c 兩端點） ，e，f 分別為1,ddad 的中點。若異面直線ef 與 bm 所成的角為，則的取值范圍為（）2 / 12a.,6 3b.,43c.,62d.,4 24.(2020 江寧沈陽二中離二（上）期末)已知直三棱柱111abcab c 的各棱長均為1，棱1bb 所在的直線上的動點m 滿足1bmbb ，am 與側(cè)面11bbc c 所成的角為，若2,22，則的范圍是（）a.,12 6b.,64c.,43d.5,3 125.(2020 湖北八校第一次聯(lián)考 )在三棱錐pabc中，pa底面 abc，acbc，若2ac，二面角pbca的大小為 60 ，三棱錐pabc的體積為4

3、63，則直線 pb 與平面 pac 所成角的正弦值為（）a.22b.323 / 12c.33d.63二、填空題6.(2020 湖 北 襄 陽 四 中 月 考 ) 如 圖 ， 在 正 三 棱 柱111abcabc 中 ，12abacaa，e，f 分別是 bc，11ac 的中點。設(shè) d 是線段11bc （包括兩個端點）上的動點，若直線bd 與 ef 所成的角的余弦值為104，則線段 bd 的長為_ 。7.（2020 湖北仙桃中學月考） 如圖，正三角形 abc 與正三角形 bcd 所在的平面互相垂直，則直線cd 與平面 abd 所成角的正弦值為 _。8.(2020 四川成都龍泉一中月考 )已知點 e

4、， f 分別在正方體1111abcdabc d 的棱11,bb cc 上，且112,2b eeb cffc ，則平面 aef 與平面 abc 所成的二面角的正切值等于 _。三、解答題9.（2020 湖北武漢調(diào)研）如圖，在三棱柱111abcabc 中，h 是正方形11aab b的中心，112 2,aac h平面11aab b，且15c h，則二面角111aacb 的余弦值是_。4 / 1210.(2020 廣東五校協(xié)作體診斷考試)如圖，在四面體abcd 中，平面abc平面acd，,30abbc adcdcad。若二面角cabd為 60 ，求異面直線 ad 與 bc 所成角的余弦值。5 / 12參

5、考答案一、選擇題1.答案： a解析：建立如圖所示的空間直角坐標系（o 為 ac 的中點） ，設(shè)正三棱柱的側(cè)棱長為 2，則(0,0,0),( 3,0,0),(0, 1,0)oba，1( 3,0,2)b，則1( 3,1,2),(3,0,0)abbo。又 bo 為側(cè)面11acc a的一個法向量，所以1116sincos,4|ab boab boabbo。2.答案： b解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則(0,0,1),(1,0,0),(1,1,0), (0,1,0)pabc，所以2 22 2,0 , 13 33 3gpg。易知平面 abcd 的一個法向量為(0,0,1)n，則22213 17cos

6、,1722( 1)33pg n，所 以pg與 平 面abcd所 成 角 的 余 弦 值 為23 172 3411717。6 / 123.答案： a解析：以 d 為原點，1,da dc dd 的方向分別為 x 軸，y 軸，z 軸的正方向建立空間直角坐標系（圖略） ，設(shè)2da，則1(1,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(0,2,0),(2,0,2),febca所以1(1,0, 1),( 2,0,0),(2, 2,2)efbcca，設(shè)1(01)cmca， 則(2 , 2 ,2 ),(22, 2 ,2 )cmbmbccm，則 cos|cos,|bm ef，即222cos2(22)822111

7、(01),32 321122 333當時，cos取到最大值32，當1時，cos取到最小值12，又0,2，所以的取值范圍為,6 3，故選 a。4.答案： b解析：取 bc 的中點 o，建立如圖所示的空間直角坐標系,oxyz 則31130,0,0,2222amam，。平面11bbc c 的一個法向量為(0,1,0)n，232sin| cos,|1am n。7 / 12212,2 ,sin,22264。5.答案： c解析：以點 c 為坐標原點，,ca cb方向為 x 軸、y 軸正方向， z 軸平面 acb，建立空間直角坐標系，如圖所示，由已知2,(0,0,0),(2,0,0)acca。pa底面 ab

8、c，bc平面 abc，pabc。又,acbc paaca，bc平面 pac，bcpc，acp即二面角pbca的平面角。又二面角pbca的大小為 60 ，60pca。在 rtpac 中，2,90 ,60 ,acpacpca2 3,pa即(2,0,23)p，122 32 32pacs。三棱錐pabc的體積為4 63，114 6|2 3 |333pabcpacvsbcbc，| 2 2,bc，即(0,22,0)b。bc平面 pac，平面 pac 的一個法向量(0,1,0)n，又( 2,22, 2 3),| 2 6pbpb，2 23cos,3| |2 6n pbn pbnpb，直線 pb 與平面 pac

9、 所成的角,2n pb。3sinsin,cos,23n pbn pb。8 / 12二、填空題6.答案： 2 2解析：以 e 為坐標原點， ea，ec 所在直線分別為 x，y 軸，平面11bccb 內(nèi)垂直于bc的 直 線 為z軸 建 立 空 間 直 角 坐 標 系 。 如 圖 。 則3 1(0,0,0),2 ,(0, 1,0)22efb，設(shè)(0, ,2)( 11)dtt，則3 1,2 ,(0,1,2)22efbdt。設(shè)直線 bd 與 ef 所成的角為，則214|102cos4|5 (1)4tef bdefbdt，解得1t，所以22|222 2bd。7.答案：155解析：取 bc 的中點 o，連接

10、 ao，do，建立如圖所示的空間直角坐標系oxyz。9 / 12設(shè)1bc，則310,0,0,022ab，130,0,0,022cd，所以133 1310,0,0222222babdcd。設(shè)平面 abd 的一個法向量為( , , )nx y z ，則0,0,n ban bd所以130,22310,22yzxy取1,3,1xyz則，所以(1,3,1)n，所以15cos,5n cd，因此直線 cd 與平面 abd 所成角的正弦值為155。8.答案：23解析：如圖，建立空間直角坐標系。設(shè)平面abc 的法向量為1(0,0,1)n，平面aef的 法 向 量 為2( , , )nx y z 。 設(shè) 正 方

11、體 的 棱 長 為1 ， 則(1,0,0)a，121,1,0,1,33ef，所以110,1,1,0,33aeef，則10,310,3yzxz取1x，則1,3yz。故2(1 , 1,3)n所以1212123 11cos,11nnnnn n，10 / 12所以平面 aef 與平面 abc 所成的二面角的平面角滿足3 11cos11，所以22sin,11所以2tan3。9.答案：27解析：如圖，建立空間直角坐標系bxyz，則(0,0,0)b，111(2 2,0,0),(2,2,5),(2 2,22,0),(0,22,0),( 2,2,5)acabc。所以11111(2,2,5),(0,22,0),(

12、 2 2,0,0)acaaab。設(shè)平面11aac 的法向量111,mx y z ，則1110,0,m acm aa即11112250,2 20 xyzy。取15x，可得平面11aac 的一個法向量為(5,0,2)m。設(shè)平面111ab c 的法向量為222,nxyz則11110,0,n acn a b即22222250,2 20 xyzx。取25y，可得平面111a bc 的一個法向量為(0,5,2)n。于是22cos,|777m nm nm n。觀 察 圖 形 可 知 要 求 的 二 面 角111aacb 的 平 面 角 為 鈍 角 ， 所 以 二 面 角111aacb 的余弦值為27。11

13、/ 12三、解答題10.答案：見解析解析：如圖，過線段ac 的中點 f 作fmac，交 ab 于 m。已知adcd，平面 abc平面 acd 易知 fc，fd，fm 兩兩垂直，以 f 為原點，射線 fm，fc，fd 分別為 x 軸、y 軸、z軸的非負半軸，建立空間直角坐標系。不妨設(shè)2ad， 由,30cdadcad， 易知(0,3,0),(0,3,0),(0,0,1)acd，則(0, 3,1)ad。顯然向量(0,0,1)k是平面 abc 的一個法向量。已知二面角cabd為 60 ，故可取平面 abd 的一個單位法向量( , )nl m n ，使得,60n k，從而12n。由 nad ，有30mn，從而36m。由2221lmn，得63l。設(shè)點