勾股定理-學案

1、學習必備歡迎下載勾股定理適用學科中學數(shù)學適用年級中學二年級適用區(qū)域全國課時時長（分鐘） 120 分鐘學問點1、 勾股定理2、 勾股定理的逆定理學習目標1、 把握勾股定理的概念2、 嫻熟把握勾股定理及其逆定理，并能嫻熟應用學習重點1、 勾股定理的概念2、 勾股定理的應用與其逆定理的應用是考試的重點；學習難點嫻熟應用勾股定理及其逆定理學習過程一、復習預習勾股定理是三角形中的一個重點學問，也是數(shù)學中的一個很重要、很常用的一個學問點；另外，勾股定理及其逆定理的運用也是解決直角三角形的問題種常用到的一種方法，同學要嫻熟把握勾股定理的使用；二、學問講解考點/ 易錯點 1勾股定理的概念與應用概念：假如直角三

2、角形的兩直角邊長分別為a， b，斜邊長為c ，那么 a 2b 2c 2留意：1 、學習并把握勾股定理的含義，即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；2、在進行運算時， 要能夠嫻熟的進行精確的運算，熟記常用的數(shù)的平方和常見的勾股數(shù)；有 3、4、5； 6、8、10； 5、12、13 等.考點/ 易錯點 2勾股定理的逆運用定義：假如三角形三邊長a,b,c滿意 a 2b 2c 2 ；，那么這個三角形是直角三角形；勾股定理是直角三角形中的一個重要的學問點，在勾股定理的學習中，要把握其含義與應用， 要能依據(jù)勾股定理求出其它未知量；另外， 勾股定理的逆定理是證明一個三角形是否為直角三角形的一種常用的方法

3、；三、例題精析【例題 1】學習必備歡迎下載【題干】 在始終角三角形中有兩邊長分別是3、4，就其第三邊長為【答案】【解析】 注意分類討論 ；4既可以是直角邊又可以是斜邊，分兩種情況討論【例題 2】【題干】 印度數(shù)學家拜斯迦羅（公元 1114 1185 年）的著作中， 有個好玩的“荷花問題”，是以詩歌的形式顯現(xiàn)的：湖靜浪平六月天，荷花半尺出水面；忽來一陣狂風急，吹倒花兒水中偃.湖面之上不復見，入秋漁翁始發(fā)覺；殘花離根二尺遙 ，試問水深尺如干？問題：這是一道數(shù)學詩，你能讀懂詩意，求出水深是多少尺嗎？【答案】 設(shè)水深為x 尺，就荷花高為（x+0.5）尺，如圖形成直角三角形xx+0.5222x由勾股定理

4、可列方程：x2 x0.5，解之： x=3.752【解析】 此題只要是將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題【例題 3】222【題干】已知：在 abc中， a、 b、 c的對邊分別是a、b、c ，滿意 a +b +c+338=10a+24b+26c；試判定 abc的外形；【答案】【解析】 移項，配成三個完全平方；三個非負數(shù)的和為0，就都為 0；已知 a、b、c ，利用勾股定理的逆定理判定三角形的外形為直角三角形；【例題 4】【題干】 已知：在 abc中， a、 b、 c 的對邊分別是a、b、c，a=n2 1， b=2n， c=n2=nn1（ n 1）求證： c=90°；【答案】 由于 a22+b =

5、 （ n2 1） 2（ 2n） 24 2n21， c2=（ n2 1） 2=4 2n2 1，從而學習必備歡迎下載2a +b22，從而得知 abc為直角三角形，進而c=90°，故命題獲證=c【解析】 運用勾股定理的逆定理判定一個三角形是否是直角三角形的一般步驟：先判定那條邊最大；分別用代數(shù)方法運算出a2+b2 和 c2 的值；判定a2+b2 和 c2 是否相等，如相等，就是直角三角形；如不相等，就不是直角三角形；要證 c=90°，只要證 abc是直角三角形，并且c 邊最大；依據(jù)勾股定理的逆定理只要證明a2+b2=c2 即可；由于 a222 1）2（2n）242n2 1，c22

6、1）24 2n2 1，從而 a222，+b =（ n故命題獲證；=n=（ n= n+b =c【例題 5】【題干】 已知：如圖，在abc 中， cd 是 ab 邊上的高，且cd2=ad·bd； 求證： abc是直角三角形；【答案】 ac2=ad2+cd2， bc2=cd2+bd2 ac2+bc2=ad2+2cd2+bd222=ad +2ad· bd+bd=（ ad+bd） 2=ab2【解析】 勾股定理逆定理的應用【例題 6】【題干】 如圖， 已知四邊形abcd中， b=90 °，ab=3，bc=4，cd=12，ad=13，求四邊形abcd的面積 .22222【答案】

7、解：連接ac，在 rt abc中， ac=abbc=3 4 =25， ac=5. 在 acd 中， ac 2 cd2=25 122=169，而 ab 2=132=169， ac2 cd2=ad2， acd=9°0 故 s 四邊形 abcd=sabc sacd=ab· bcac·cd=×3×4×5×12=6 30=36.答：四邊形abcd的面積為： 36.【解析】 依據(jù)題目所給數(shù)據(jù)特點，聯(lián)想勾股數(shù)，連接ac，可實現(xiàn)四邊形向三角形轉(zhuǎn)化，并學習必備歡迎下載運用勾股定理的逆定理可判定acd是直角三角形 .【例題 7】【題干】 如下圖

8、，南北向mn為我國領(lǐng)域，即mn以西為我國領(lǐng)海，以東為公海. 上午 9 時 50分，我反走私a 艇發(fā)覺正東方向有一走私艇c 以 13 海里 / 時的速度偷偷向我領(lǐng)海開來，便立刻通知正在mn線上巡邏的我國反走私艇b. 已知 a、c兩艇的距離是13 海里， a、b 兩艇的距離是 5 海里； 反走私艇測得離b 艇的距離是12 海里 . 如走私艇c 的速度不變， 最早會在什么時間進入我國領(lǐng)海？0【答案】 設(shè) mn交 ac于 e，就bec=9. 0又 ab2+bc2=52+122=169=132=ac2，0 abc是直角三角形， abc=90 .又 mnce，走私艇c 進入我領(lǐng)海的最近距離是線段ce的長，

9、2222就 ce+be=144，（ 13-ce） +be=25，得 26ce=288，ce=，÷13=0.85 （小時） ， 0.85 ×60=51（分） .9 時 50 分+51 分=10 時 41 分.答：走私艇最早在10 時 41 分進入我國領(lǐng)海.【解析】 為減小摸索問題的“跨度”，可將原問題分解成下述“子問題”：（ 1） abc是什么類型的三角形？（2）走私艇 c 進入我領(lǐng)海的最近距離是多少？（3）走私艇 c 最早會在什么時間進入？這樣問題就可迎刃而解.【例題 8】【題干】 如圖， ab 為一棵大樹，在樹上距地面10m 的 d處有兩只猴子，它們同時發(fā)覺地面上的 c

10、處有一筐水果，一只猴子從d 處上爬到樹頂a 處，利用拉在a 處的滑繩ac，滑到 c處，另一只猴子從d 處滑到地面b，再由 b 跑到 c，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹高 ab.學習必備歡迎下載【答案】 解：設(shè) ad=x米，就 ab為（ 10+x）米， ac為（ 15- x）米， bc為 5 米，222x+10+5 =15-x，解得 x=2 ， ab=10+x=12（米）答：樹高ab為 12 米；【解析】 勾股定理的應用四、課堂運用【基礎(chǔ)】1. 如圖， e、f 分別是正方形abcd中 bc和 cd邊上的點，且ab=4， ce=bc， f 為 cd的中點，連接af、ae，問 aef是什么三角形

11、？請說明理由.2. 如圖，矩形oabc的邊 oa長為 2，邊 ab 長為 1，oa在數(shù)軸上，以原點o為圓心，對角線ob的長為半徑畫弧，交正半軸于一點，就這個點表示的實數(shù)是（）a、2.5b、22c、3d、53. 如圖，在 rt abc中， acb=90 °點， d 是斜邊 ab的中點， de ac，垂足為 e，如 de=2， cd=25 ，就 be的長為學習必備歡迎下載4. 如圖 , 在直角梯形abcd中，ab cd,ad dc,ab=bca,e且bc. 求證： ad=ae； 如 ad=8， dc=4，求 ab的長 .【鞏固】1. 如下列圖，有一塊塑料模板abcd，長為 10 ，寬為4

12、 ，將你手中足夠大的直角三角板 phf的直角頂點p 落在 ad邊上 不與 a、d 重合 并在 ad上平行移動：能否使你的三角板兩直角邊分別通過點b 與點 c？如能，請你求出這時ap的長；如不能，請說明理由.再次移動三角板位置，使三角板頂點p 在 ad上移動，直角邊ph始終通過點b， 另始終角邊pf 與 dc的延長線交于點q，與 bc交于點 e，能否使 ce=2？如能， 請你求出這時ap的長；如不能，請說明理由.2. 如圖，矩形abcd的對角線ac=10， bc=8，就圖中五個小矩形的周長之和為（）a、14b、 16c、20d、 28學習必備歡迎下載23. 矩形 abcd的對角線相交于點o，ab

13、=4cm，aob=60 °，就矩形的面積為cm4.【拔高】1. 如圖，在a中bc，acb=90 °a，c=bc， p 是abc內(nèi)的一點，且pb=1，pc=2， pa=3，求 bpc的度數(shù)2. 如下列圖， 圓柱的底面周長為6cm，ac是底面圓的直徑，高 bc 6cm ，點 p 是母線 bc上一點且pc 23bc 一只螞蟻從a 點動身沿著圓柱體的表面爬行到點p 的最短距離是（）a（ 46 ） cm b 5cmc 35cmd 7cm3. 如圖梯形abcd中，ad bca、b cd，ac丄 bd于點 o，bac 60 °，如bc6 ，就此梯形的面積為（）學習必備歡迎下載a

14、、2b、13c、26d、234. 我國漢代數(shù)學家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一副“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”（如圖 1）圖 2 由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成記圖中正方形abcd，正方形 efgh，正方形 mnkt的面積分別為s1，s2，s3，如 s1+s2+s3=10，就 s2 的值是 103課程小結(jié)2221勾股定理的逆定理：假如三角形的三邊長a、b、c 滿意 a b c是直角三角形，那么這個三角形2222. 滿意 a +b =c用的勾股數(shù)的三個正整數(shù)， 稱為勾股數(shù) 勾股數(shù)擴大相同倍數(shù)后，仍為勾股數(shù) 常有 3、4、5； 6、 8、10； 5、12、 13 等.3. 應

15、用勾股定理的逆定理時，先運算較小兩邊的平方和，再把它和最大邊的平方比較.4. 判定一個直角三角形，除了可依據(jù)定義去證明它有一個直角外，仍可以采納勾股定理的逆定理，即去證明三角形兩條較短邊的平方和等于較長邊的平方，這是代數(shù)方法在幾何中的應用.課后作業(yè)【基礎(chǔ)】1. 如下列圖，四邊形abcd中，dc abb，c=1， ab=ac=ad=2 就 bd的長為（）學習必備歡迎下載a.14b.15c.32d.232. 如圖， 在直角三角形abc中， c=90 °，ab=10，ac=8，點 e、f 分別為 ac和 ab的中點，就 ef=（）a、3b、4c、5d、63. 如圖，在rt abc中，c=9

16、0 °，如bc=3， ac=4，就 ab 的長是54.如圖，在a中bc，ad bc，垂足為d，b=60 °，c=45 °（1）求 bac的度數(shù)（2）如 ac=2，求 ad的長【鞏固】1. 已知小龍、阿虎兩人均在同一地點，如小龍向北直走160 公尺，再向東直走80 公尺后，可到神仙百貨，就阿虎向西直走多少公尺后，他與神仙百貨的距離為340 公尺？（）a、100b、180c、220d、260學習必備歡迎下載2. 如下列圖，在矩形abcd中， ab=， bc=2，對角線ac、bd 相交于點o，過點 o 作 oe垂直 ac交 ad于點 e，就 ae的長是（）a、b、c、1d、1.53. 如圖，等腰梯形abcd中，ad bca，b=dc，ad=3，ab=4， b=60 °就，梯形的面積是 （）a、103b、203c、6+43d、12+834. 如圖，在等腰直角三角形abc中，abc=90 °d，為 ac邊上中點，過d點 de丄 df，交 ab于 e，交 bc于 f，如 ae=4， fc=3，求 ef 長【拔高】1. 一個長方體的三視圖如下列圖，如其俯視圖為正方形，就這個長方體的表面積為（）a 66b 48c 48236d 573 2左視圖4主視圖俯視圖學習必備歡迎下載2. 如圖， 由四個邊