2.3等差數(shù)列前n項和(一)

1、1. 掌握等差數(shù)列前n 項和公式及其獲取思路 .2.經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程，體驗從特殊到一般的研究方法，學(xué)會觀察、歸納、反思.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個量ai, d,n, an, Sn的關(guān)系，能夠由其中三個求另外兩個.知識點一等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)思考 高斯用 1+2+3+ + 100 = (1 + 100)+(2+99)+ + (50+51)= 101X 50 迅速求出了 等差數(shù)列前100項的和.但如果是求1+2+3+ n,不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項怎么辦？ 答案不知道共有奇數(shù)項還是偶數(shù)項導(dǎo)致不能配對.但我們可以采用倒序相加來回避這個問題：設(shè)$口=1+2+3+-+(門1)+5又 Sn= n+

2、 (n- 1) + (n- 2) + 2+ 1, /.2Sn=(1 + n)+2 + (n-1)+- + (n-1) + 2 + (n+1),1- 2Sn= n(n+ 1), .0 n n+1 - Sn=2-梳理“倒序相加法”可以推廣到一般等差數(shù)列求前n項和，其方法如下：Sn= a + a2 + a3+ + an1 + an=a1 + (a + d) + (a+ 2d)+ a + (n 2)d + a1 + (n 1)d;Sn= an+ an1+ an 2+ + a2 + a1=an+ (an d) + (an 2d) + + an (n 2)d + an (n 1)d.兩式相加，得 2Sn=

3、 n(a1 + an),由此可得等差數(shù)列an的前n項和公式&=n a1 + an根據(jù)等差數(shù)列的通項公式an= ai+ (n- 1)d,n n 1代入上式可得 Sn= nai + 2d.知識點二等差數(shù)列前n項和公式的特征思考1等差數(shù)列an中，若已知a2=7,能求出前3項和S3嗎？令 3 ai+a3- ai + a3 -答案S3=2= 3 X -2 = 3a2 = 21.思考2我們對等差數(shù)列的通項公式變形：an=a+(n1)d=dn+(a1一d),分析出通項公式與一次函數(shù)的關(guān)系.你能類比這個思路分析一下Sn= na1+n n1 d嗎？答案 按n的降哥展開Sn=na1 + n n2_ 1 d

4、 =2n2+一倒 是關(guān)于n的二次函數(shù)形式，且常 數(shù)項為0.梳理 等差數(shù)列an的前n項和Sn,有下面幾種常見變形：(1)Sn=n a12A(2)Sn=2n2+(a12)n;£ 2n+(a1一 d)(S是公差為d的等差數(shù)列).知識點三等差數(shù)列前n項和公式的性質(zhì)思考如果an是等差數(shù)列，那么 a1+a2+ a1o, an+a12+ a20, a21+a22+ a30是等差數(shù)列嗎？答案(a11 + a12+ + a2o) 一(a1 + a2+ + ao)=(a11 一 a1)+ (a2 a2) + + (a20 ao)=104埸454 040d =由,類似可得10個(a21 + a22+ +

5、a30) 一 (a1+a12+ + a20) = 100d. a1+a2+ a1o, an+a12+ a20, a21+a22+ a3。是等差數(shù)列.梳理(1)Sm, S2m, S3m分別為等差數(shù)列 an的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm, S2m-Sm, S3m S2m也成等差數(shù)列，公差為m2d.堂 nSf 禺n- 11 220,由這些條件能確(2)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(nC N*),則S2n= n(an+ an+ 1),且S偶一S奇=旭，=_an-Sf 禺a(chǎn)n+1(3)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n1(nC N*),則 S2n 1 = (2n 1)an,且 S 奇一 S 偶=2門，S 奇=門

6、2門，S 偶=(n1) an,類型一等差數(shù)列前n項和公式的應(yīng)用 命題角度1方程思想 例1已知一個等差數(shù)列an的前10項的和是310,前20項的和是定這個等差數(shù)列的前 n項和的公式嗎？解 方法一由題意知S10=310, S20= 1 220,n n 1將它們代入公式 Sn = na1 +2 - d，10a +45d = 310, 得到20a1+ 190d =1 220,a1= 4, 解方程組得d = 6.n n 1.s Sn= nx 4 +2 x 6 = 3n2 + n.、10 a + a0方法一S10=2=310? a+a10=62,I20 a1+ a20S20=2=1 220? a1 + a

7、20= 122,一得 a20 aio= 60, . 10d=60, d = 6，ai = 4.n n 12Sn= na1 + 2d= 3n2 + n.反思與感悟(1)在解決與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的問題時，要注意方程思想和整體思想的運用;(2)構(gòu)成等差數(shù)列前n項和公式的元素有a1，d, n, anSn,知其三能求其二.跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中，已知d=2an = 11,Sn= 35,求 ai和 n.an= a1 + n 1 d,解由n n-1Snna1 +2d,a1+ 2 n- 1 = 11,得na1 +n n 12X2=35,解方程組得n = 5,ai= 3n= 7, 或a1 = 1.命題角

8、度2實際應(yīng)用例2某人用分期付款的方式購買一件家電,價格為1150元，購買當(dāng)天先付150元，以后每月的這一天都交付 50元，并加付欠款利息,月利率為1%.若交付150元后的一個月開始算分期付款的第一個月，則分期付款的第10個月該交付多少錢？全部貸款付清后，買這件家電實 際花費多少錢?解設(shè)每次交款數(shù)額依次為a1，a2,，a20,貝U a1= 50+ 1 000X 1%=60（元）, a2= 50+（1 000- 50）X 1% = 59.5（元）, a10= 50+（1 000-9X 50）X 1%= 55.5（元）, 即第10個月應(yīng)付款55.5元.由于an是以60為首項，以一0.5為公差的等差數(shù)

9、列，60+ 60- 19X 0.5所以有 S20=2X 20 = 1 105（元），即全部付清后實際付款1 105+ 150= 1 255（元）.反思與感悟 建立等差數(shù)列的模型時，要根據(jù)題意找準(zhǔn)首項、公差和項數(shù)或者首項、末項和項數(shù).本題是根據(jù)首項和公差選擇前n項和公式進(jìn)行求解.跟蹤訓(xùn)練2甲、乙兩物體分別從相距 70 m的兩處同時相向運動，甲第 1分鐘走2 m,以后 每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙每分鐘走5 m.（1）甲、乙開始運動后幾分鐘相遇？（2）如果甲、乙到達(dá)對方起點后立即返回，甲繼續(xù)每分鐘比前1分鐘多走1 m,乙繼續(xù)每分鐘走5 m,那么開始運動幾分鐘后第二次相遇？解（1）設(shè)n分鐘后第1次

10、相遇，依題意，n n 1有 2n+2- + 5n = 70,整理得 n2+13n140= 0.解之得n=7, n=20（舍去）.所以第1次相遇是在開始運動后 7分鐘.（2）設(shè)n分鐘后第2次相遇，依題意，n n 1有 2n+ 2+ 5n = 3X 70,整理得 n2+ 13n-420= 0.解之得n=15, n=- 28（舍去）.所以第2次相遇是在開始運動后 15分鐘.類型二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應(yīng)用例3 （1）等差數(shù)列an的前m項和為30,前2m項和為100,求數(shù)列an的前3m項的和S3m；Sn 7n 2- a5 一（2）兩個等差數(shù)列an, bn的前n項和分別為Sn和Tn,已知TnM_nj，

11、求b5的值.解（1）方法一 在等差數(shù)列中，' Smi, S2m Sm, S3mS2m 成等差數(shù)列， 30,70, S3m 100 成等差數(shù)列.2X 70=30+ (S3m- 100),S3m= 210.方法二在等差數(shù)列中，Sm，舞Sm成等差數(shù)列, III 21113111.2S2m Sm S3 m2m m + 3m.即 S3m=3(S2mSm)= 3 x (10030)=210.1a1+ a9(2)b5=12 b+ b9a5 29 a1 a929 b1 b92-S9 7X9+2T99+365=12.反思與感悟等差數(shù)列前n項和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過程中，如果運用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡、化難

12、為易、事半功倍的效果.跟蹤訓(xùn)練3 設(shè)an為等差數(shù)列，3為數(shù)列an的前n項和，已知Sz=7, S15=75, Tn為數(shù)列Si ,-的前n項和，求Tn.解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,1 ，則 Sn= na1 +2n(n 1)d,- S7=7, S15= 75,7a1+ 21d=7,15a1+ 105d= 75,a1 + 3d= 1, 即a1 + 7d=5ai = - 2解得d= 1.Sn 115 n- = ai+2(n1)d = 2n2,Sn+1Sn_ 1"：=2'，數(shù)列Sn是等差數(shù)列，其首項為- 2,公差為2,n n 11 19.Tn=nx ( 2) + -2-x 2 = 4

13、4n.1 .在等差數(shù)列an中，若$0=120,則a1+a10的值是()A. 12B. 24C. 36D. 48答案 B10 a1+ a10解析由Sw=2,/口S10 120得 a1+ a10= = z= 24.552.記等差數(shù)列的前 n項和為Sn,若S2 = 4, S4=20,則該數(shù)列的公差 d等于(A. 2B. 3C. 6D. 7答案 BS2= 2ai + d = 4, 解析方法一由S4= 4ai + 6d = 20,解得d=3.方法二 由 S4S2= a3 + a4= ai+2d+a2+2d= S2+4d,所以 204=4+4d,解得 d= 3.3 .在一個等差數(shù)列中，已知 aio=10,

14、則Si9 =.答案 190解析Sl9 =19 ai+ ai919 aio+ aio=19aio = 19X 10= 190.4 .已知等差數(shù)列an中,3,1 一，一(1)ai=2, d= - 2, Sn= - 15,求 n 及 an； (2)ai=1, an=- 512, Sn=- 1 022,求 d.，.c 31 nnT.&= nx 2+(_2)x-2=15,整理得 n2-7n-60=0,解得n= 12或n=5(舍去)，31ai2= 2+ (12-1)x(-2)=- 4. n = 12, an= ai2= 4.n ai + ann 1 512(2)由 Sn = -2=2= 1 022

15、,解得n= 4.又由 an = ai + (ni)d,即一512=1 + (4 1)d,解得 d=- 171.1 .求等差數(shù)列前n項和公式的方法稱為倒序相加法，在某些數(shù)列求和中也可能用到.2 .等差數(shù)列的兩個求和公式中，一共涉及ai, an, Sn, n, d五個量.若已知其中三個量，通過方程思想可求另外兩個量.在利用求和公式時，要注意整體思想的應(yīng)用，注意下面結(jié)論的運用：若 m+n = p+q,貝U an + am= ap+ aq（n, m, p, q C N*）; 若 m + n= 2p,貝U an+ am = 2ap.3 .本節(jié)基本思想：方程思想，函數(shù)思想，整體思想，分類討論思想.40分鐘

16、課時作業(yè)一、選擇題1 .在等差數(shù)列an中，若a2+a8=8,則該數(shù)列的前 9項和S9等于（）A. 18B. 27C. 36D. 45答案 C解析 S9= 2（a+ag） = 2（a2+as） = 36.ai2.在等差數(shù)列an中，若Sio=4S5,則d等于（）1A.2B. 21C-D. 44答案 A解析由題意得11 L 10ai+'X 10x 9d= 4(5ai + 2x 5X 4d),10ai + 45d=20ai + 40d,-10a1 = 5d, ' = .3.已知等差數(shù)列an中，a2+a8+2a3a8 = 9,且 an<0,則 $1。為()A. 9B. 11C. -

17、 13D. 15答案 D解析 由 a3+a2+2a3a8= 9 得(a3+a8)2= 9, an<0, . . a3 + a8 = 3, ' So=10a1+a1010 a3+a810X 3=-15.4.設(shè)等差數(shù)列an的前 n 項和為 Sn,若 S3=9, S6=36,則 a7+a8+a9等于(A. 63B. 45C. 36D. 27答案 B解析 數(shù)列an為等差數(shù)列，則 S3, S6-S3, S9S6為等差數(shù)列，即 2(S6 S3)= S3+ (S9 S6),- S3=9, S6-S3=27, .&&= 45.即 a7+ a8+ a9 = Ss S6= 45.5.

18、在小于100的自然數(shù)中，所有被 7除余2的數(shù)之和為()A. 765B. 665C. 763D. 663答案 B解析 a1 = 2, d=7,2+(n-1)X7<100,n<15,1，n=14, &4= 14X 2+2X 14X 13X 7=665.6.含2n+1項的等差數(shù)列，其奇數(shù)項的和與偶數(shù)項的和之比為()A 2n+ 1b n+ 1答案 B解析 S奇=n+1 ai + a2n+iS偶= a1+a2n+1 = a2+a2n,7.等差數(shù)列an的前n項和為A. 38n+ 1D-2nn a2+ a2nSn,已知B.am-1 + am + 1 am= 0 , S2m 1= 38,則

19、 m 等于()20D.C. 10答案 C解析 因為an是等差數(shù)列，所以 am-1 + am+1= 2am,由 am-1 + am+1 am= 0, 得 2am am = 0,由 S2m 1 = 38 知 amW 0 ,所以 am = 2 ,又 S2m 1 = 38 ,2m1 a + a2m 1= 38,即(2m1)X2=38, 解得m= 10,故選C.二、填空題8 .現(xiàn)有200根相同的鋼管，把它們堆成正三角形垛，要使剩余的鋼管盡可能少，那么剩余鋼 管的根數(shù)為 答案 101,解析鋼管排列方式是從上到下各層鋼管數(shù)組成了一個等差數(shù)列，最上面一層鋼管數(shù)為n n+ 1，鋼管總數(shù)為1 + 2+3+n=-2

20、-當(dāng) n=19 時，$9= 190.當(dāng) n=20 時，S20=210>200.，n=19時，剩余鋼管根數(shù)最少，為 10根.S3 1S69 .設(shè)Sn是等差數(shù)列an的刖n項和，右3=3，則3;=. S6 3S123答案130解析 方法一S- 3al+3d =1,S6 6ai+15d 3ai = 2d,S66ai+15d12d+15d3S12 12a1 +66d 24d+66d 10.方法二由呈=1Ss 3'得 S6=3S3.S3, S6S3, S9-S6,S12 S9仍然是等差數(shù)列，公差為（S6 S3）S3= S3 ,從而 S9 S6 = S3+2S3= 3S3? S9= 6S3,S

21、12- S9= S3+3S3=4S3? S12=10S3,.S6_'S12=10.10 .設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S3=3, S6=24,則a9=答案 15解析設(shè)等差數(shù)列的公差為d,3X2則 S3= 3a1 + 2 d=3a1 +3d=3,即 aI+ d= 1,6X 5S6= 6a1 + 2 d = 6a1 + 15d = 24,即 2a1 + 5d=8.a1 + d = 1,I2a1+ 5d = 8,a1 = 1,解得d = 2.故 a9=ai + 8d = 1+8X 2=15.三、解答題11 .已知等差數(shù)列an的前三項依次為 a,4,3a,前k項和Sk=2 550,求a及k.解 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,a +3a=2X4,則由題意得d = 4 a,a=2,k k-1ka+2d= 2 550，d = 2,（注：k= 51 舍）k=50,a = 2, k= 50.12. 一個等差數(shù)列的前 10項和為100,前100項和為10,求前110項之和.解方法設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,前n項和為Sn,n n 1貝U Sn= na1 +2 d.10X 9 10a1 + 2-d