高考復(fù)習(xí)方案全國人教數(shù)學(xué)歷年高考真題與模擬題分類匯編 N單元 選修4系列理科 Word版含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料2019.5數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)n n 單元單元選修選修 4 4 系列系列n1n1選修選修 4-14-1幾何證明選講幾何證明選講15n1n1 (幾何證明選講選做題)如圖 13 所示，在平行四邊形abcd中，點e在ab上且eb2ae，ac與de交于點f，則cdf的面積aef的面積_圖 13159本題考查相似三角形的性質(zhì)定理，面積比等于相似比的平方eb2ae，ae13ab13cd.又四邊形abcd是平行四邊形，aefcdf，cdf的面積aef的面積cdae29.15n1n1 (選修 41：幾何證明選講)如圖 13，p為o外一點，過p點作o的兩條切線，切點分別為a，b，過pa的中點q作割線交

2、o于c，d兩點，若qc1，cd3，則pb_圖 13154由切線長定理得qa2qcqd1(13)4，解得qa2.故pbpa2qa4.12n1n1 如圖 13 所示，已知ab，bc是o的兩條弦，aobc，ab 3，bc2 2，則o的半徑等于_圖 1312.32設(shè)圓的半徑為r， 記ao與bc交于點d， 依題可知ad1.由相交弦定理可得1(2r1) 2 2，解得r32.22n1n1 選修 41：幾何證明選講如圖 17 所示，ep交圓于e，c兩點，pd切圓于d，g為ce上點且pgpd，連接dg并延長交圓于點a，作弦ab垂直ep，垂足為f.(1)求證：ab為圓的直徑；(2)若acbd，求證：abed.圖

3、1722證明：(1)因為pdpg，所以pdgpgd.由于pd為切線，故pdadba，又因為pgdega，所以dbaega，所以dbabadegabad，從而bdapfa.又afep，所以pfa90，所以bda90，故ab為圓的直徑(2)連接bc，dc.由于ab是直徑，故bdaacb90.在 rtbda與 rtacb中，abba，acbd，從而得 rtbdartacb，于是dabcba.又因為dcbdab，所以dcbcba，故dcab.因為abep，所以dcep，dce為直角，所以ed為直徑，又由(1)知ab為圓的直徑，所以edab.22n1n1 選修 41：幾何證明選講如圖 16，四邊形abc

4、d是o的內(nèi)接四邊形，ab的延長線與dc的延長線交于點e，且cbce.圖 16(1)證明：de；(2)設(shè)ad不是o的直徑，ad的中點為m，且mbmc，證明：ade為等邊三角形22證明：(1)由題設(shè)知a，b，c，d四點共圓，所以dcbe.由已知得cbee，故de.(2)設(shè)bc的中點為n，連接mn，則由mbmc知mnbc，故o在直線mn上又ad不是o的直徑，m為ad的中點，故omad，即mnad，所以adbc，故acbe.又cbee，故ae，由(1)知，de，所以ade為等邊三角形22n1n1 選修 41：幾何證明選講如圖 14，p是o外一點，pa是切線，a為切點，割線pbc與o相交于點b，c，pc

5、2pa，d為pc的中點，ad的延長線交o于點e，證明：(1)beec；(2)adde2pb2.圖 1422證明：(1)連接ab，ac.由題設(shè)知papd，故padpda.因為pdadacdca，padbadpab，dcapab，所以dacbad，從而beec.因此beec.(2)由切割線定理得pa2pbpc.因為papddc，所以dc2pb，bdpb.由相交弦定理得addebddc，所以adde2pb2.15圖 13bn1n1(幾何證明選做題)如圖 13，abc中，bc6，以bc為直徑的半圓分別交ab，ac于點e，f，若ac2ae，則ef_15 b3b由題意，可知aefacb，又aa，所以aef

6、acb，所以aeacefbc.因為ac2ae，bc6，所以ef3.6n1n1圖 12如圖 12 所示，abc是圓的內(nèi)接三角形，bac的平分線交圓于點d，交bc于點e，過點b的圓的切線與ad的延長線交于點f.在上述條件下，給出下列四個結(jié)論：bd平分cbf；fb2fdfa；aecebede；afbdabbf.則所有正確結(jié)論的序號是()abcd6d如圖所示，13，24，且12，43，bd平分cbf，abfbdf.abbdafbf，abbfafbd.afbfbfdf，bf2afdf.故正確14n1n1 過圓外一點p作圓的切線pa(a為切點)，再作割線pbc依次交圓于b，c.若pa6，ac8，bc9，則

7、ab_14 4根據(jù)題意， 作出圖形如圖所示， 由切割線定理， 得pa2pbpcpb(pbbc)，即 36pb(pb9)pb3，pc12.由弦切角定理知pabpca，又apbcpa，pabpca，abcapbpa，即abpbcapa3864.n2n2選修選修 4-24-2矩陣矩陣21n2n2 ()選修 42：矩陣與變換已知矩陣a a的逆矩陣(1)求矩陣a a；(2)求矩陣a a1的特征值以及屬于每個特征值的一個特征向量21. ()解：(1)因為矩陣a a是矩陣a a1的逆矩陣，且|a a1|221130，所以a a132112.(2)矩陣a a1的特征多項式為f()|2112|243(1)(3)

8、，令f()0，得矩陣a a1的特征值為11 或23，所以111)是矩陣a a1的屬于特征值11 的一個特征向量，211)是矩陣a a1的屬于特征值23 的一個特征向量n3n3選修選修 4-44-4參數(shù)與參數(shù)方程參數(shù)與參數(shù)方程13n3n3 在以o為極點的極坐標(biāo)系中，圓4sin和直線sina相交于a，b兩點若aob是等邊三角形，則a的值為_13 3將4sin與sina轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程分別為x2(y2)24 與ya.聯(lián)立ya，x2（y2）24，得x2a24a，且 0a4.aob為等邊三角形，a23(a24a)，解得a3 或a0(舍)4n3n3 以平面直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸，建立

9、極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系中取相同的長度單位已知直線l的參數(shù)方程是xt1，yt3(t為參數(shù))，圓c的極坐標(biāo)方程是4cos，則直線l被圓c截得的弦長為()a. 14b2 14c. 2d2 24 d直線l的普通方程為yx4， 圓c的直角坐標(biāo)方程是(x2)2y24， 圓心(2，0)到直線l的距離d|204|2 2，所以直線l被圓c截得的弦長為 2 22（ 2）222.3n3n3 曲線x1cos，y2sin(為參數(shù))的對稱中心()a在直線y2x上b在直線y2x上c在直線yx1 上d在直線yx1 上3b曲線方程消參化為(x1)2(y2)21，其對稱中心點為(1，2)，驗證知其在直線y2x上21 n3n3()選

10、修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知直線l的參數(shù)方程為xa2t，y4t(t為參數(shù))， 圓c的參數(shù)方程為x4cos，y4sin(為參數(shù))(1)求直線l和圓c的普通方程；(2)若直線l與圓c有公共點，求實數(shù)a的取值范圍21.()解：(1)直線l的普通方程為 2xy2a0，圓c的普通方程為x2y216.(2)因為直線l與圓c有公共點，故圓c的圓心到直線l的距離d4，解得2 5a2 5.14n3n3 (坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，曲線c1和c2的方程分別為sin2cos和sin1.以極點為平面直角坐標(biāo)系的原點， 極軸為x軸的正半軸， 建立平面直角坐標(biāo)系，則曲線c1和c2交點的直角坐標(biāo)為_14(1，

11、1)本題主要考查將極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法將曲線c1的方程sin 2cos化為直角坐標(biāo)方程為y2x，將曲線c2的方程sin1 化為直角坐標(biāo)方程為y1.由y2x，y1，解得x1，y1.故曲線c1和c2交點的直角坐標(biāo)為(1，1)16n3n3 (選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程)已知曲線c1的參數(shù)方程是xt，y3t3(t為參數(shù))以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c2的極坐標(biāo)方程是2，則c1與c2交點的直角坐標(biāo)為_16.(3，1)由xt，y3t3，消去t得y33x(x0)，即曲線c1的普通方程是y33x(x0)；由2，得24，得x2y24，即曲線c2的直角坐標(biāo)方程是x2y24.

12、聯(lián)立y33x（x0） ，x2y24，解得x 3，y1.故曲線c1與c2的交點坐標(biāo)為(3，1).11n3n3 在平面直角坐標(biāo)系中，傾斜角為4的直線l與曲線c：x2cos，y1sin(為參數(shù))交于a，b兩點，且|ab|2.以坐標(biāo)原點o為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則直線l的極坐標(biāo)方程是_11cossin1依題意可設(shè)直線l：yxb， 曲線c：x2cos，y1sin的普通方程為(x2)2(y1)21.由|ab|2 可知圓心(2，1)在直線l：yxb上，即l：yx1，所以l的極坐標(biāo)方程是cossin10.11n3n3 (2)(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)若以直角坐標(biāo)系的原點為極點，x軸的非負(fù)半軸為極

13、軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0 x1)的極坐標(biāo)方程為()a1cossin，02b1cossin，04ccossin，02dcossin，0411(2)a依題意，方程y1x的極坐標(biāo)方程為(cossin)1，整理得1cossin.因為 0 x1，所以 0y1，結(jié)合圖形可知，02.23n3n3 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程將圓x2y21 上每一點的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2 倍，得曲線c.(1)寫出c的參數(shù)方程；(2)設(shè)直線l：2xy20 與c的交點為p1，p2，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過線段p1p2的中點且與l垂直的直線的極坐標(biāo)方程23 解： (1)設(shè)(x1，

14、y1)為圓上的點， 在已知變換下變?yōu)閏上點(x，y)， 依題意， 得xx1，y2y1，由x21y211 得x2y221，即曲線c的方程為x2y241.故c的參數(shù)方程為xcost，y2sint(t為參數(shù))(2)由x2y241，2xy20，解得x1，y0或x0，y2.不妨設(shè)p1(1，0)，p2(0，2)，則線段p1p2的中點坐標(biāo)為12，1，所求直線的斜率k12，于是所求直線方程為y112x12 ，化為極坐標(biāo)方程，并整理得2cos4sin3，即34sin2cos.23n3n3 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程已知曲線c：x24y291，直線l：x2t，y22t(t為參數(shù))(1)寫出曲線c的參數(shù)方程，直線

15、l的普通方程；(2)過曲線c上任意一點p作與l夾角為 30的直線，交l于點a，求|pa|的最大值與最小值23解：(1)曲線c的參數(shù)方程為x2cos，y3sin(為參數(shù))，直線l的普通方程為 2xy60.(2)曲線c上任意一點p(2cos，3sin)到l的距離d55|4cos3sin6|，則|pa|dsin 302 55|5sin()6|，其中為銳角，且 tan43.當(dāng) sin()1 時，|pa|取得最大值，最大值為22 55.當(dāng) sin()1 時，|pa|取得最小值，最小值為2 55.23n3n3 選修 44：坐標(biāo)系與參數(shù)方程在直角坐標(biāo)系xoy中，以坐標(biāo)原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系

16、，半圓c的極坐標(biāo)方程為2cos，0，2 .(1)求c的參數(shù)方程；(2)設(shè)點d在c上，c在d處的切線與直線l：y 3x2 垂直，根據(jù)(1)中你得到的參數(shù)方程，確定d的坐標(biāo)23解：(1)c的普通方程為(x1)2y21(0y1)可得c的參數(shù)方程為x1cost，ysint，(t為參數(shù)，0t)(2)設(shè)d(1cost，sint)由(1)知c是以g(1，0)為圓心，1 為半徑的上半圓因為c在點d處的切線與l垂直，所以直線gd與l的斜率相同，tant 3，t3.故d的直角坐標(biāo)為1cos3，sin3 ，即32，32 .15 cn3n3(坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題)在極坐標(biāo)系中，點2，6 到直線sin61 的距離是_

17、15c1c點2，6 的極坐標(biāo)可化為xcos2cos6 3，ysin2sin61，即點2，6 在平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)為( 3，1)直線sin6 sincos6cossin61， 即該直線在直角坐標(biāo)系中的方程為x 3y20， 由點到直線的距離公式得所求距離為d| 3 32|12（ 3）21.自選模塊 2 n3n3 (1)在極坐標(biāo)系ox中， 設(shè)集合a(，)|04， 0cos，求集合a所表示區(qū)域的面積；(2)在直角坐標(biāo)系xoy中，直線l：x4tcos4，ytsin4(t為參數(shù))，曲線c：xacos，y2sin(為參數(shù))，其中a0.若曲線c上所有點均在直線l的右下方，求a的取值范圍解：(1)在cos兩

18、邊同乘，得2cos.化成直角坐標(biāo)方程，得x2y2x，即x122y214.所以集合a所表示的區(qū)域為：由射線yx(x0)，y0(x0)，圓x122y214所圍成的區(qū)域，如圖所示的陰影部分，所求面積為1618.(2)由題意知，直線l的普通方程為xy40.因為曲線c上所有點均在直線l的右下方，故對r r，有acos2sin40恒成立，即a24cos()4其中 tan2a恒成立，所以a244.又a0，得 0a23.15n3n3 已知直線l的參數(shù)方程為x2t，y3t(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線c的極坐標(biāo)方程為sin24cos0(0，02)，則直線l與曲線c的公共點的

19、極徑_15.5由題意， 得直線l的普通方程為xy10， 曲線c的平面直角坐標(biāo)方程為y24x，聯(lián)立直線l與曲線c的方程，解得x1，y2，所以直線l與曲線c的公共點的極徑 （10）2（20）2 5.n4n4選修選修 4-54-5 不等式選講不等式選講21 n4n4 ()選修 45：不等式選講已知定義在 r r 上的函數(shù)f(x)|x1|x2|的最小值為a.(1)求a的值；(2)若p，q，r是正實數(shù)，且滿足pqra，求證：p2q2r23.21.()解：(1)因為|x1|x2|(x1)(x2)|3，當(dāng)且僅當(dāng)1x2 時，等號成立，所以f(x)的最小值等于 3，即a3.(2)由(1)知pqr3，又p，q，r

20、是正實數(shù)，所以(p2q2r2)(121212)(p1q1r1)2(pqr)29，即p2q2r23.8n4n4、j2j2 設(shè)集合a(x1，x2，x3，x4，x5)|xi1，0，1，i1，2，3，4，5，那么集合a中滿足條件“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”的元素個數(shù)為()a60b90c120d1308d本題考查排列組合等知識，考查的是用排列組合思想去解決問題，主要根據(jù)范圍利用分類討論思想求解由“1|x1|x2|x3|x4|x5|3”考慮x1，x2，x3，x4，x5的可能取值，設(shè)集合m0，n1，1當(dāng)x1，x2，x3，x4，x5中有 2 個取值為 0 時，另外 3 個從n中取，共有 c2523

21、種方法；當(dāng)x1，x2，x3，x4，x5中有 3 個取值為 0 時，另外 2 個從n中取，共有 c3522種方法；當(dāng)x1，x2，x3，x4，x5中有 4 個取值為 0 時，另外 1 個從n中取，共有 c452 種方法故總共有 c2523c3522c452130 種方法，即滿足題意的元素個數(shù)為 130.9n4n4 不等式|x1|x2|5 的解集為_9(，3 本題考查絕對值不等式的解法|x1|x2|5 的幾何意義是數(shù)軸上的點到 1 與2 的距離之和大于等于 5 的實數(shù)，所以不等式的解為x3 或x2，即不等式的解集為(，3 若關(guān)于x的不等式|ax2|3 的解集為x53x13 ，則a_133依題意可得3

22、ax23，即1ax5 ，而53x13，即13x5，所以a3.11n4n4 (1)(不等式選做題)對任意x，yr r，|x1|x|y1|y1|的最小值為()a1b2c3d411 (1)c易知|x1|x|1， 當(dāng)且僅當(dāng) 0 x1 時等號成立； |y1|y1|2,當(dāng)且僅當(dāng)1y1 時等號成立故|x1|x|y1|y1|3.24n4n4 選修 45：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)2|x1|x1，g(x)16x28x1.記f(x)1 的解集為m，g(x)4的解集為n.(1)求m；(2)當(dāng)xmn時，證明：x2f(x)x214.24解：(1)f(x)3x3，x1，） ，1x，x（，1）.當(dāng)x1 時，由f(x)3x31

23、 得x43，故 1x43；當(dāng)x1 時，由f(x)1x1 得x0，故 0 x0，b0，且1a1bab.(1)求a3b3的最小值(2)是否存在a，b，使得 2a3b6？并說明理由.24.解：(1)由ab1a1b2ab，得ab2，當(dāng)且僅當(dāng)ab 2時等號成立故a3b32a3b342，當(dāng)且僅當(dāng)ab2時等號成立所以a3b3的最小值為 4 2.(2)由(1)知，2a3b2 6ab4 3.由于 4 36，從而不存在a，b，使 2a3b6.24n4n4 選修 45：不等式選講設(shè)函數(shù)f(x)|x1a|xa|(a0)(1)證明：f(x)2；(2)若f(3)5，求a的取值范圍24解：(1)證明：由a0，有f(x)|x

24、1a|xa|x1a（xa）|1aa2，所以f(x)2.(2)f(3)|31a|3a|.當(dāng)a3 時，f(3)a1a，由f(3)5 得 3a5 212.當(dāng) 0a3 時，f(3)6a1a，由f(3)5 得1 52a3.綜上，a的取值范圍是1 52，5 212.15 an4n4(不等式選做題)設(shè)a，b，m，nr r，且a2b25，manb5，則m2n2的最小值為_15a. 5a由柯西不等式可知(a2b2)(m2n2)(manb)2，代入數(shù)據(jù)，得m2n25，當(dāng)且僅當(dāng)anbm時，等號成立，故m2n2的最小值為 5.自選模塊 1n4n4 (1)解不等式 2|x2|x1|3；(2)設(shè)正數(shù)a，b，c滿足abca

25、bc，求證：ab4bc9ac36，并給出等號成立條件解：(1)當(dāng)x1 時，2(2x)(x1)3，得x2，此時x1；當(dāng)1x2 時，2(2x)(x1)3，得x0，此時1x2 時，2(x2)(x1)3，得x8，此時x8.綜上所述，原不等式的解集是(，0)(8，)(2)證明：由abcabc，得1ab1bc1ca1.由柯西不等式，得(ab4bc9ac)1ab1bc1ca(123)2，所以ab4bc9ac36，當(dāng)且僅當(dāng)a2，b3，c1 時，等號成立16n4n4 若不等式|2x1|x2|a212a2 對任意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_16.1，12令f(x)|2x1|x2|，則當(dāng)x5；當(dāng)2x12時，

26、f(x)2x1x2x3，故52f(x)5；當(dāng)x12時，f(x)2x1x23x152.綜合可知f(x)52，所以要使不等式恒成立，則需a212a252，解得1a12.1 已知點p所在曲線的極坐標(biāo)方程為2cos，點q所在曲線的參數(shù)方程為x1t，y42t(t為參數(shù))，則|pq|的最小值是()a2b.4551c1d.45511d易知點p在圓x2y22x0 上，圓心為(1，0)，半徑為 1，點q在直線 2xy20 上，故|pq|的最小值是|22|514551.4 在直角坐標(biāo)系xoy中，曲線c1的參數(shù)方程為x2cos，y 3sin(為參數(shù))在極坐標(biāo)系(與直角坐標(biāo)系xoy取相同的長度單位，且以原點o為極點，以x軸的正半軸為極軸)中，直線c2的方程為(cossin)10，則曲線c1與c2的交點的個數(shù)為_4 2由題意， 曲線c1的參數(shù)方程x2cos，y 3sin(為參數(shù))可化為一般方程x24y231，直線c2的極坐標(biāo)方程(cossin)10 可化為普通方程xy10.聯(lián)立兩個方程，消去y可得x24（x1）23