平面幾何中最值問(wèn)題的探究

1、    平面幾何中最值問(wèn)題的探究    魏華摘要：當(dāng)研究某幾何元素在題中給定的條件下動(dòng)時(shí)，求某個(gè)量的最大值或者最小值被稱作平面幾何的最值問(wèn)題。常見(jiàn)模型有：兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短；兩邊之差小于第三邊；利用勾股定理其中一邊為定值，求一邊最大即求另一邊最?。弧皩④婏嬹R問(wèn)題”“隱形圓問(wèn)題”。關(guān)鍵詞：幾何最值；平面幾何；隱形圓；幾何模型；最小值中圖分類號(hào)：g633.6文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：a文章編號(hào)：1992-7711（2021）15-0101一、課題解讀當(dāng)我們研究平面幾何的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，某元素在給定的條件下動(dòng)時(shí)，求某個(gè)量的最大值或者最小值被稱作平面幾何的最值問(wèn)題。線段

2、的長(zhǎng)短，圖形的周長(zhǎng)、面積，角的度數(shù)，線段和差都可以是這個(gè)幾何量。這類問(wèn)題可以以初中課本所學(xué)的特殊三角形、四邊形、圓、平面直角坐標(biāo)系為背景，可以把方程、不等式、函數(shù)等重要知識(shí)聯(lián)系在一起考查。近幾年與隱形圓的結(jié)合使考題變得更綜合且具有挑戰(zhàn)性。它能較全面地考查一個(gè)學(xué)生的應(yīng)變能力、分析問(wèn)題及實(shí)踐操作解決問(wèn)題的能力還有空間想象能力。最值問(wèn)題常見(jiàn)有兩類：1.函數(shù)解法，建立一個(gè)函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)特有的增減性結(jié)合背景條件給定的范圍求最值；2.幾何解法，將題目中的幾何最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化成我們常見(jiàn)的幾何模型，常見(jiàn)的模型有：兩點(diǎn)之間線段最短；垂線段最短；兩邊之差小于第三邊；利用勾股定理其中一邊為定值，求一邊最大即求另一

3、邊最小；“將軍飲馬問(wèn)題”“隱形圓問(wèn)題”。題目中至少有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)是最值問(wèn)題的必要條件，因?yàn)樵趧?dòng)的過(guò)程中才會(huì)出現(xiàn)極限位置也就是我們說(shuō)的最值。比如飲馬問(wèn)題，折點(diǎn)就是那個(gè)必須存在的動(dòng)點(diǎn)，并且它的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，只要能發(fā)現(xiàn)這個(gè)模型，就可以作一個(gè)定點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，利用基本事實(shí)“兩點(diǎn)之間線段最短”求解即可。當(dāng)然，點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是可以變的，比如，當(dāng)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)圓或圓弧時(shí)，也就是本文重點(diǎn)要研究的“隱形圓求最值”了。二、方法探究1.常見(jiàn)類型（1）點(diǎn)在圓周上動(dòng)，研究它到圓外（或圓內(nèi)）一定點(diǎn)的最值：利用圓特有的性質(zhì)，若點(diǎn)g是圓外一定點(diǎn)，連接點(diǎn)g和圓心交圓于p、m兩點(diǎn)，則pg、mg為最小和最大值。（2）點(diǎn)在圓周上動(dòng)

4、，研究它到圓外一直線距離的最值：過(guò)圓心作定直線的垂線垂足為g交圓于p，m兩點(diǎn)，則pg、mg為最大和最小值。2.如何發(fā)現(xiàn)圓此類題一般條件隱藏較深，于是如何由條件的固定搭配發(fā)現(xiàn)圓，就成了解決本類題的關(guān)鍵。一旦這個(gè)隱形圓出現(xiàn)，就會(huì)使問(wèn)題思路豁然開(kāi)朗，計(jì)算簡(jiǎn)單便捷，過(guò)程清晰明了，引人入勝。（1）利用圓的定義可以構(gòu)造一個(gè)隱形圓：若已知中給出的動(dòng)點(diǎn)滿足到一定點(diǎn)距離是定值，則此動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是以這個(gè)定點(diǎn)為圓心的圓或者圓弧。例：如圖（1）rtabc中，c=90°，ac=8，bc=10，ac上一點(diǎn)f，cf=5，e為邊bc上一點(diǎn)，將cef沿直線ef翻折，c落在p處，問(wèn)點(diǎn)p到邊ab的最小值。解析：本題表

5、面上是動(dòng)點(diǎn)p隨著點(diǎn)e在動(dòng)，但是認(rèn)真審題不難發(fā)現(xiàn)在動(dòng)的過(guò)程中，點(diǎn)p到點(diǎn)f的距離不變，永遠(yuǎn)等于pf，由定義可以發(fā)現(xiàn)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)軌跡為以點(diǎn)f為圓心，cf為半徑的圓，而bc邊為圓外一定直線符合第二類。（2）利用圓周角定理推論可以構(gòu)造一個(gè)隱形圓：若題目中有一條固定的邊所對(duì)的角始終為直角，則直角頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一個(gè)以定邊為直徑的圓或者圓弧。例：如圖（2）正方形abcd中邊長(zhǎng)是8 cm，點(diǎn)e、f分別在邊bc、cd上，ae、bf相交于點(diǎn)o，且be=cf，求co的最小值。解析：由已知不難發(fā)現(xiàn)abebcf，可證明線段bf與ae垂直。所以在點(diǎn)e、f位置改變的過(guò)程中，點(diǎn)o的位置也在改變，但是它們始終垂直，也就是線段a

6、b所對(duì)的aob是一個(gè)定值90°，由圓周角定理可以判斷動(dòng)點(diǎn)o的運(yùn)動(dòng)軌跡為以ab為直徑的圓弧，而點(diǎn)c為圓外一個(gè)定點(diǎn)符合第一類。（3）利用圓周角定理可以構(gòu)造隱形圓：若題目中有一條定邊所對(duì)的角始終是一個(gè)定角，則這個(gè)角頂點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡就是一段圓弧。例題：如圖（3）已知等邊三角形abc，邊長(zhǎng)為5，若p為abc內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，且滿足apb= 120°，求線段pc長(zhǎng)度的最小值。解析：題目中很明顯告訴我們動(dòng)點(diǎn)p，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中apb是個(gè)定值120°，由圓周角定理可知，動(dòng)點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)軌跡為以ab為弦的一段圓弧。c為圓外一定點(diǎn)符合第一類。所以解這類題的核心思路是：狠抓不變量，即題中是否存在定點(diǎn)、定角、定長(zhǎng)，有了上述方法的歸納，相信審題的目的就更明確，發(fā)現(xiàn)圓就更迅速，求最值就更快了。（作者單位：河北省張家口市宣化第四中學(xué)075000）中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究2021年15期中學(xué)課程輔導(dǎo)·教學(xué)研究的其它文章數(shù)學(xué)思維