函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用

1、函數(shù)與方程及函數(shù)的應(yīng)用一、選擇題1(2013·濟(jì)南模擬)函數(shù)yx3與yx2圖象的交點(diǎn)為(a，b)，則a所在的區(qū)間是( )A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】 設(shè)f(x)x3x2，則f(1)111210，f(2)23070，從而f(1)f(2)0，故選B.【答案】 B2已知函數(shù)f(x)()xlog3x，若實(shí)數(shù)x0是方程f(x)0的解，且0<x1<x0，則f(x1)的值( )A恒為負(fù) B等于零C恒為正 D不大于零【解析】 當(dāng)x>0時(shí)，f(x)()xlog3x是減函數(shù)，又x0是方程f(x)0的根，即f(x0)0.當(dāng)0<x1<x0時(shí)，f(

2、x1)>f(x0)0.【答案】 C3(2013·廣州模擬)已知函數(shù)f(x)axxb的零點(diǎn)x0(n，n1)(nZ)其中常數(shù)a，b滿足2a3,3b2，則n的值是( )A2 B1C0 D1【解析】 2a3,3b2，a>1,0<b<1，則f(x)在R上是增函數(shù)又f(1)1b<0，f(0)1b>0，f(x)在(1,0)內(nèi)有唯一零點(diǎn)，取n1.【答案】 B4(2013·黃岡模擬)已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)，又是周期為3的周期函數(shù)，當(dāng)x時(shí)，f(x)sin x，f0，則函數(shù)f(x)在區(qū)間0,6上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是( )A3 B5 C7 D9【解析】

3、對R上的奇函數(shù)f(x)，有f(0)0；又f(1)sin 0；再由T3，f(3)f(03)f(0)0；f(6)f(33)f(3)0；f(4)f(13)f(1)0；f(2)f(23)f(1)0，f(2)f(2)0；f(5)f(23)f(2)0.因?yàn)閒0，所以fff0.綜上可知f(x)在區(qū)間0,6上的零點(diǎn)為0,1，2,3,4，5,6，共9個(gè)，故選D.【答案】 D5(2013·煙臺模擬)已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)x的零點(diǎn)按從小到大的順序排成一個(gè)數(shù)列，則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為( )Aan Bann(n1)Cann1 Dan2n2【解析】 g(x)f(x)x當(dāng)1x0時(shí)，由x3x0得x0，

4、則x0是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)0x1時(shí)，1x10，則g(x)f(x1)x1(x1)3x1令g(x)0，即(x1)3(x1)0得x1，即x1是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)當(dāng)1x2時(shí)，0x11，1x20，g(x)f(x1)x1f(x2)x2(x2)3(x2)令g(x)0，即(x2)3(x2)0得x2，即x2是函數(shù)g(x)的一個(gè)零點(diǎn)同理可依次得到函數(shù)的零點(diǎn)分別為4,5,6，故選C.【答案】 C二、填空題6若函數(shù)f(x)2|x1|m有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_【解析】 令f(x)0，得m()|x1|，|x1|0，0<()|x1|1，即0<m1.【答案】(0,17(2013·宜昌模擬

5、)在某條件下的汽車測試中，駕駛員在一次加滿油后的連續(xù)行駛過程中從汽車儀表盤得到如下信息：時(shí)間油耗(升/100公里)可繼續(xù)行駛距離(公里)10：009.530011：009.6220注：油耗，可繼續(xù)行駛距離平均油耗從以上信息可以推斷在10：0011：00這一小時(shí)內(nèi)_(填上所有正確判斷的序號)行駛了80公里；行駛不足80公里；平均油耗超過9.6升/100公里；平均油耗恰為9.6升/100公里；平均車速超過80公里/小時(shí)【解析】實(shí)際用油為7.38(升)，行駛距離7.38÷9.6×10076.875(公里)，所以錯(cuò)誤，正確設(shè)L為已用油量，L為一個(gè)小時(shí)內(nèi)的用油量，S為已行駛距離，S為

6、一個(gè)小時(shí)內(nèi)已行駛的距離得LL9.6S9.6S,9.5SL9.6S9.6S，L0.1S9.6S，9.69.6.所以正確，錯(cuò)誤由知錯(cuò)誤【答案】8(2013·蘇州模擬)設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)則關(guān)于x的函數(shù)y2f2(x)3f(x)1的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_【解析】由y2f2(x)3f(x)10得f(x)或f(x)1，如圖畫出f(x)的圖象，由f(x)知有4個(gè)根，由f(x)1知有3個(gè)根，故共有7個(gè)零點(diǎn)【答案】7三、解答題9已知函數(shù)f(x)ln x2x6.(1)證明函數(shù)f(x)有且只有一個(gè)零點(diǎn)；(2)求該零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間，使這個(gè)區(qū)間的長度不超過.【解】f(x)的定義域?yàn)?0，)，且f(x)是增函數(shù)

7、(1)f(2)ln 22<0，f(3)ln 3>0，f(2)·f(3)<0.f(x)在(2,3)上至少有一個(gè)零點(diǎn)又f(x)在(0，)上是增函數(shù)，從而f(x)在(0，)上有且只有一個(gè)零點(diǎn)(2)由f(2)<0，f(3)>0.f(x)的零點(diǎn)x0(2,3)取x1，f()ln 1ln ln e<0，f·f(3)<0，x0(，3)取x2，fln ln ln e>0，f·f<0，x0且|，即為符合條件的區(qū)間10已知函數(shù)f(x)x22exm1，g(x)x(x>0)(1)若g(x)m有零點(diǎn)，求m的取值范圍；(2)確定m的取

8、值范圍，使得g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根【解】(1)g(x)x22e(x>0)，當(dāng)且僅當(dāng)x時(shí)取等號當(dāng)xe時(shí)，g(x)有最小值2e.因此g(x)m有零點(diǎn)，只需m2e.當(dāng)m2e，)時(shí)，g(x)m有零點(diǎn)(2)若g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根則函數(shù)g(x)與f(x)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)如圖所示，作出函數(shù)g(x)x(x>0)的大致圖象f(x)x22exm1(xe)2m1e2.其對稱軸xe，f(x)maxm1e2.若函數(shù)f(x)與g(x)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)必須有m1e2>2e，即m>e22e1.即g(x)f(x)0有兩個(gè)相異實(shí)根m的取值范圍是(e22e1，)11某創(chuàng)業(yè)投資公司

9、擬投資開發(fā)某種新能源產(chǎn)品，估計(jì)能獲得10萬元到1 000萬元的投資利益現(xiàn)準(zhǔn)備制定一個(gè)對科研課題組的獎(jiǎng)勵(lì)方案：資金y(單位：萬元)隨投資收益x(單位：萬元)的增加而增加，且資金不超過9萬元，同時(shí)獎(jiǎng)金不超過收益的20%.(1)請分析函數(shù)y2是否符合公司要求的獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，并說明原因；(2)若該公司采用函數(shù)模型y作為獎(jiǎng)勵(lì)函數(shù)模型，試確定最小的正整數(shù)a的值【解】(1)對于模型yf(x)2，當(dāng)x10,1 000時(shí)，f(x)是增函數(shù)f(x)maxf(1 000)22<9，f(x)9恒成立但當(dāng)x10時(shí)，f(10)2>，不滿足f(x).故函數(shù)模型y2不符合公司要求(2)對于模型yg(x)10.當(dāng)3a20>0，即a>時(shí)函數(shù)遞增，為使g(x)9對于x10,1 0