懷化學(xué)院省級(jí)精品課程-高等代數(shù)教案：第三章線性方程組

1、第三章線性方程組§1消元法一、線性方程組的初等變換現(xiàn)在爭(zhēng)論一般線性方程組.所謂一般線性方程組是指形式為a11 x1 a21 x1a12 x2a 22 x2a1n xn a 2n xnb1 ,b2 ,1a s1 x1as 2 x2a sn xnbs的 方 程 組 ， 其 中x1 , x2 , xn代 表 n 個(gè) 未 知 量 ， s 是 方 程 的 個(gè) 數(shù) ，aij i1,2,s; j1,2, n 稱為線性方程組的系數(shù)，b j j1,2, s 稱為常數(shù)項(xiàng) .方程組中未知量的個(gè)數(shù)n 與方程的個(gè)數(shù)s 不肯定相等 .系數(shù)aij的第一個(gè)指標(biāo)i 表示它在第 i 個(gè)方程，其次個(gè)指標(biāo)j 表示它是xj

2、的系數(shù) .所 謂 方程 組 1 的 一 個(gè) 解 就 是 指 由 n 個(gè) 數(shù)k1 , k2 , kn組 成 的 有 序 數(shù) 組k1 , k2 , k n ，當(dāng)x1 , x2 , xn 分別用k1 , k2 , kn 代入后， 1中每個(gè)等式都變成恒等式 . 方程組 1 的解的全體稱為它的解集合.解方程組實(shí)際上就是找出它全部的解，或者說，求出它的解集合.假如兩個(gè)方程組有相同的解集合，它們就稱為同解的.明顯，假如知道了一個(gè)線性方程組的全部系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，那么這個(gè)線性方程組就基本上確定了 .準(zhǔn)確地說，線性方程組 1可以用下面的矩陣a11 a 21a12 a22a1nb1a2nb22a s1a s2a sn

3、bs來表示 .實(shí)際上，有了2之后，除去代表未知量的文字外線性方程組1就確定了，而采納什么文字來代表未知量當(dāng)然不是實(shí)質(zhì)性的.在中學(xué)所學(xué)代數(shù)里學(xué)過用加減 消元法和代入消元法解二元、三元線性方程組.實(shí)際上，這個(gè)方法比用行列式解 線性方程組更有普遍性 .下面就來介紹如何用一般消元法解一般線性方程組.例如，解方程組2 x1x23 x31 ,4 x12 x25x34 ,2 x1x22 x35 .其次個(gè)方程組減去第一個(gè)方程的2 倍，第三個(gè)方程減去第一個(gè)方程，就變成2 x1x24 x22 x23 x31 ,x32 ,x34 .其次個(gè)方程減去第三個(gè)方程的2 倍，把其次第三兩個(gè)方程的次序互換，即得2 x1x2 2

4、 x23 x31 ,x34 ,x36 .這樣，就簡(jiǎn)潔求出方程組的解為（9，-1，-6） .分析一下消元法， 不難看出，它實(shí)際上是反復(fù)地對(duì)方程組進(jìn)行變換，而所用的變換也只是由以下三種基本的變換所構(gòu)成：1. 用一非零數(shù)乘某一方程；2. 把一個(gè)方程的倍數(shù)加到另一個(gè)方程；3. 互換兩個(gè)方程的位置 .定義 1 變換 1，2，3 稱為線性方程組的初等變換.二、線性方程組的解的情形消元的過程就是反復(fù)施行初等變換的過程.下面證明，初等變換總是把方程組變成同解的方程組 .下面我們來說明，如何利用初等變換來解一般的線性方程組.對(duì)于方程組 1，第一檢查x1 的系數(shù) .假如x1 的系數(shù)a11 , a21 ,as1 全

5、為零，那么方程組 1 對(duì)x1 沒有任何限制，x1 就可以取任何值，而方程組1 可以看作x2 , xn 的方程組來解 .假如x1 的系數(shù)不全為零，那么利用初等變換3，可以設(shè)a110.利用初等變換 2，分別把第一個(gè)方程的ai1a11倍加到第 i 個(gè)方程 i2 , n .于是方程組 1就變成a11 x1a12 x2 a 22 x2a1n xn a2 n xnb1 ,b2 ,3a s2 x2其中asn xnbs ,aijaijai1a11a1 j , i2 , s, j2 , n這樣，解方程組 1的問題就歸結(jié)為解方程組a 22 x2a s2 x2a2n xna sn xnb2 ,bn4的問題 .明顯4

6、的一個(gè)解，代入 3的第一個(gè)方程就定出x1 的值，這就得出 3的一個(gè)解； 3的解明顯都是 4的解.這就是說， 方程組 3有解的充要條件為方程組4有解，而 3與1是同解的，因之，方程組1有解的充要條件為方程組4有解.對(duì)4再按上面的考慮進(jìn)行變換，并且這樣一步步作下去，最終就得到一個(gè)階梯形方程組 .為了爭(zhēng)論起來便利，不妨設(shè)所得的方程組為c11 x1c12 x2 c22 x2c1r xrc2 r xrc1n xnc2n xnd1 ,d2 ,crr xrcrn xn0d r ,dr 1 ,500 ,00 .其中 cii0 , i1, 2, r .方程組 5 中的“ 0=0”這樣一些恒等式可能不顯現(xiàn)，也可能

7、顯現(xiàn)，這時(shí)去掉它們也不影響5的解.而且1與5是同解的 .現(xiàn)在考慮 5的解的情形 .如5中有方程 0dr 1 ，而 d r 10 .這時(shí)不管x1 , x2 , xn 取什么值都不能使它成為等式 .故5無解，因而 1無解.當(dāng) d r 1 是零或5中根本沒有“ 0=0”的方程時(shí)，分兩種情形：1） rn .這時(shí)階梯形方程組為c11 x1c12 x2c1n xnd1 ,c22 x2c2 n xnd 2 ,6cnn xnd n ,其中 cii0 , i1, 2, n .由最終一個(gè)方程開頭，xn , xn 1, x1 的值就可以逐個(gè)地唯一打算了 .在這個(gè)情形，方程組 6也就是方程組 1有唯獨(dú)的解 .例 1

8、解線性方程組2 x1x23 x31 ,4 x12 x25x34 ,2） r2 x1n .這時(shí)階梯形方程組為x22 x35 .c11 x1c12 x2c1r xrc1,r1 xr 1c1n xnd1 ,c22 x2c2 r xrc2,r1 xr 1c2 n xnd2 ,crr xrcr ,r1 xr 1crn xnd r ,其中 cii0 , i1, 2, r .把它改寫成c11 x1c12 x2c1r xrd1c1,r1 xr 1c1n xn ,c22 x2c2 r xrd2c2, r1 xr 1c2 n xn ,7crr xrd rcr , r1 xr 1crn xn .由此可見，任給xr

9、1 , xn 一組值，就唯獨(dú)地定出x1 , x2 , xr的值，也就是定出方程組 7的一個(gè)解 .一般地，由 7我們可以把x1 , x2 , xr 通過xr 1 , xn 表示出來，這樣一組表達(dá)式稱為方程組1的一般解 ，而 xr 1 , xn 稱為一組 自由未知量 .例 2 解線性方程組2x1x23 x31 ,4x1 2x12x2x25 x34 ,4 x31 .從這個(gè)例子看出，一般線性方程組化成階梯形，不肯定就是5的樣子，但是只要把方程組中的某些項(xiàng)調(diào)動(dòng)一下，總可以化成5的樣子 .以上就是用消元法解線性方程組的整個(gè)過程.總起來說就是，第一用初等變換化線性方程組為階梯形方程組，把最終的一些恒等式“0

10、=0” 假如顯現(xiàn)的話 去掉 .假如剩下的方程當(dāng)中最終的一個(gè)等式是零等于一非零的數(shù)，那么方程組無解，否就有解 .在有解的情形下， 假如階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù) r 等于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組有唯獨(dú)的解；假如階梯形方程組中方程的個(gè)數(shù) r 小于未知量的個(gè)數(shù)，那么方程組就有無窮多個(gè)解 .定理 1 在齊次線性方程組a11 x1 a 21 x1a12 x2a 22 x2a1n xn0 ,a2 n xn0 ,as1 x1a s2 x2a snxn0中，假如 sn ，那么它必有非零解 .矩陣a11 a21a12 a 22a1nb1a 2nb210a s1a s 2a snbs稱為線性方程組 1的增廣矩陣 .

11、明顯，用初等變換化方程組1成階梯形就相當(dāng)于用初等行變換化增廣矩陣10成階梯形矩陣 .因此，解線性方程組的第一步工作可以通過矩陣來進(jìn)行， 而從化成的階梯形矩陣就可以判別方程組有解仍是無解，在有解的情形，回到階梯形方程組去解.例 3 解線性方程組2 x1 4 x1 2 x1x22 x2x23 x31 ,5 x34 ,4 x30 .§2n 維向量空間定義 2所謂數(shù)域 p 上一個(gè) n 維向量就是由數(shù)域p 中 n 個(gè)數(shù)組成的有序數(shù)組a1 , a2 , an 1ai 稱為向量 1的重量 .用小寫希臘字母,來代表向量 .定義 3 假如 n 維向量 a1 , a2 , an ,b1 ,b2 , bn

12、 的對(duì)應(yīng)重量都相等，即aibii1, 2,n .就稱這兩個(gè)向量是相等的，記作.n 維向量之間的基本關(guān)系是用向量的加法和數(shù)量乘法表達(dá)的.定義 4 向量 a1b1, a2b2 , anbn 稱為向量 a1 , a2 , an ,b1 ,b2 , bn 的和，記為由定義立刻推出：交換律：.2結(jié)合律：.3定義 5 重量全為零的向量0,0,0稱為零向量，記為0;向量 a1,a2 ,an 稱為向量a1 ,a2 , an 的負(fù)向量，記為.明顯對(duì)于全部的，都有0.40 .525是向量加法的四條基本運(yùn)算規(guī)律.定義 6定義 7 設(shè) k 為數(shù)域 p 中的數(shù)，向量 ka1 , ka2 ,kan 稱為向量a1 ,a2

13、, an 與數(shù) k 的數(shù)量乘積，記為k由定義立刻推出：k kk,6kl kl,7klkl ,81.969是關(guān)于數(shù)量乘法的四條基本運(yùn)算規(guī)章.由69或由定義不難推出：01k 00 ,10,110 .12假如 k0 ,0 ，那么k0 .13定義 8 以數(shù)域 p 中的數(shù)作為重量的n 維向量的全體，同時(shí)考慮到定義在它們上面的加法和數(shù)量乘法，稱為數(shù)域p 上的 n 維向量空間 .在 n3 時(shí)， 3 維實(shí)向量空間可以認(rèn)為就是幾何空間中全體向量所成的空間.以上已把數(shù)域p 上全體 n 維向量的集合組成一個(gè)有加法和數(shù)量乘法的代數(shù)結(jié)構(gòu)，即數(shù)域 p 上 n 維向量空間 .向量通常是寫成一行：a1 , a2 , an .

14、有時(shí)也可以寫成一列：a1 a 2.a n為了區(qū)分，前者稱為行向量，后者稱為列向量；它們的區(qū)分只是寫法上的不同.§ 3線性相關(guān)性一般向量空間除只有一個(gè)零向量構(gòu)成的零空間外，都含有無窮多個(gè)向量， 這些向量之間有怎樣的關(guān)系，對(duì)于弄清向量空間的結(jié)構(gòu)至關(guān)重要；一、線性相關(guān)與線性無關(guān)兩個(gè)向量之間最簡(jiǎn)潔的關(guān)系是成比例. 所謂向量與成比例就是說有一數(shù)k 使k.定義 9向量稱為向量組1 ,2 ,s 的一個(gè)線性組合，假如有數(shù)域p 中的數(shù) k1 , k2 , ks ，使k11k22k ss ,其中 k1 , k2 , ks 叫做這個(gè)線性組合的系數(shù).例如，任一個(gè) n 維向量a1 , a2 , an 都是向量

15、組11, 0 ,20 ,1, 0 , 0 ,（1）的一個(gè)線性組合 .n0 ,0 ,1向量1 ,2 ,n 稱為 n 維單位向量 .零向量是任意向量組的線性組合.當(dāng)向量是向量組1 ,2 ,s 的一個(gè)線性組合時(shí)，也說可以經(jīng)向量組1 ,2 ,s 線性表出 .定義 10假如向量組1,2 ,t 中每一個(gè)向量i i1,2 ,t 都可以經(jīng)向量 組1 ,2 ,s 線 性 表出 ， 那 么 向 量 組1 ,2 ,t 就稱 為 可以 經(jīng)向 量組1 ,2 ,s 線性表出 . 假如兩個(gè)向量組相互可以線性表出，它們就稱為等價(jià).由定義有，每一個(gè)向量組都可以經(jīng)它自身線性表出. 同時(shí)，假如向量組1 ,2 ,t 可以經(jīng)向量組1

16、,2 ,s 線性表出，向量組1 ,2 ,s 可以經(jīng)向量組1 ,2 ,p 線性表出，那么向量組1 ,2 ,t 可以經(jīng)向量組線性表出 .向量組之間等價(jià)具有以下性質(zhì)：1）反身性：每一個(gè)向量組都與它自身等價(jià).2 ）對(duì)稱性：假如向量組1 ,2 ,s 與1,2 ,t 等價(jià)，那么向量組1 ,2 ,t 與1,2 ,s 等價(jià).3）傳遞性：假如向量組1 ,2 ,s 與1 ,2 ,t 等價(jià)，1 ,2 ,t 與1 ,2 ,p 等價(jià)，那么向量組1,2 ,s 與1 ,2 ,p 等價(jià).例 1 判定向量能否由向量組1,組合2 ,3 線性表出，如能，寫出它的一個(gè)線性2,1,3,4 ，11,2,3,1,25,5,12,11,31

17、,3,6,3解：設(shè)k11k22k33 ，即有方程組：k1 2k1 3k15k2 5k2 12k2k323k316k33（1）k111k23k34對(duì)方程組（ 1）的增廣矩陣作初等行變換化為最簡(jiǎn)行階梯陣151225311263027990000113406220000a311512015551512031115213301113300000000所以方程組（ 1）有解（1）的一般解為：2k1k3332k1 k313， k3 為自由求知量1 ,3令 k31，得（ 1）的一個(gè)特解（ 1,0，1），從而有13 .例 2：向量組11,0,20,1與向量組11,1,21,3 等價(jià).解：設(shè)11,0k11k22

18、 k1 , k1 k2 ,3k2 k1k2 , k13k2 k 1k21，3k12，故31.kk13k2012211222設(shè)20,1k 1k2k11k22 ,0k1，12 ，故11.kk13k2112211222又112 ,2132 ,故這兩個(gè)向量組等價(jià)定義 11假如向量組1 ,2 ,s s2 中有一個(gè)向量是可以由其余的向量的線性表出，那么向量組1,2 ,s 線性相關(guān) .從定義可以看出，任意一個(gè)包含零向量的向量組肯定是線性相關(guān)的. 向量組1 ,2 線性相關(guān)就表示1k2 或者2k1 這兩個(gè)式子不肯定能同時(shí)成立.在 p 為實(shí)數(shù)域， 并且是三維時(shí)， 就表示向量1 與2 共線. 三個(gè)向量1 ,2 ,3

19、 線性相關(guān)的幾何意義就是它們共面.定義 11 向量組1 ,2 ,s s1 稱為線性相關(guān)的，假如有數(shù)域p 中不全為零的數(shù)k1 , k2 , ks ，使k11k22kss0這兩個(gè)定義在 s2 的時(shí)候是一樣的 .定義12 一向量組1 ,2 ,s s1) 不線性相關(guān)，即沒有不全為零的數(shù)k1 , k2 , ks ，使k11k22kss0就稱為線性無關(guān)；或者說，一向量組1 ,2 ,s 稱為線性無關(guān)，假如由k11k22kss0可以推出k1k2ks0由定義有，假如一向量組的一部分線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組就線性相關(guān). 換句話說，假如一向量組線性無關(guān)， 那么它的任何一個(gè)非空的部分組也線性無關(guān). 特殊地， 由于兩個(gè)

20、成比例的向量是線性相關(guān)的，所以， 線性無關(guān)的向量組中肯定不能包含兩個(gè)成比例的向量.定義 11包含了由一個(gè)向量組構(gòu)成的向量組的情形.單獨(dú)一個(gè)零向量線性相關(guān)，單獨(dú)一個(gè)非零向量線性無關(guān).不難看出，由 n 維單位向量1 ,2 ,n 組成的向量組是線性無關(guān)的.詳細(xì)判定一個(gè)向量組是線性相關(guān)仍是線性無關(guān)的問題可以歸結(jié)為解方程組的問題 . 要判定一個(gè)向量組i ai 1 , ai 2 , ain i1, 2 , s2是否線性相關(guān)，依據(jù)定義11，就是看方程x11x22xss03有無非零解 .3式按重量寫出來就是a11 x1 a12 x1a21 x2 a 22 x2a s1 xs0 ,as 2 xs0 ,4a1n

21、x1a 2n x2asn xs0.因之，向量組1 ,2 ,s 線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方程組4 只有零解 .例 3判定p 3 的向量11,2,3,22,1,0,31,7,9是否線性相關(guān)；例 4在向量空間p x 里，對(duì)于任意非負(fù)整數(shù)n1, x, x 2 , x n線性無關(guān) .例 5 如向量組1 ,2 ,3 線性無關(guān)，就向量組 2 12 ,253 ,433 1 也線性無關(guān) .線性相關(guān)性的有關(guān)性質(zhì)1）單獨(dú)一個(gè)向量線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是零向量；單獨(dú)一個(gè)向量線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)它是非零向量2) 兩個(gè)向量1 ,2 線性相關(guān)1 ,2 成比例3）一向量組線性相關(guān)的充要條件是其中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表出

22、4）一個(gè)向量組中如部分向量線性相關(guān)，就整個(gè)向量組也線性相關(guān)；一個(gè)向量組如線性無關(guān)，就它的任何一個(gè)部分組都線性無關(guān)（由定義即可得之）5）假如向量組1 ,2 ,s 線性無關(guān)， 而向量組1,2 ,s ,線性相關(guān)，就可經(jīng)向量組1 ,2 ,s 線性表出（p155 習(xí)題 3）6） 向量組i程組ai1 ,ai 2 ,ain ,i1,2, s 線性無關(guān)的充要條件是齊次線性方a11 x1a12 x1a21 x2a 22 x2as1 xs0a s2 xs0（2）a1 n x1a 2n x2a sn xs0只有零解；向量組iai1, ai 2 , ain , i1,2, s 線性相關(guān)的充要條件是齊次線性方程組（ 2

23、）有非零解特殊地：向量組i向量組i ai1 , ai 2 , ain , iai1, ai 2 , ain , i1,2, n線性無關(guān)行列式1,2, n 線性相關(guān)行列式aij0 ；aij0 7） 如向量組iai1 , ai 2 , ain , i1,2, s 線性無關(guān)，就向量組iai1, ai 2 , ain , ai,n1 , i1,2, s也線性無關(guān) （向量 組1 ,2 ,s 常 稱為向 量 組1 ,2,s 的延 伸 組 ， 而1 ,2 ,s 稱為1,2 ,s 的縮短組 ）反之，如向量組1,2 ,s 線性相關(guān)，就向量組1 ,2 ,s 也線性相關(guān)因（ 2）僅有零解，a11 x1 a12 x1

24、a1n x1a21 x2a 22 x2a2n x2as1 x s0as2 xs0asn xs0，也僅有零解a1n1 x1a 2n1 x2asn1 x s0定理 2 設(shè)1 ,2 ,r 與1 ,2 ,s 是兩個(gè)向量組 . 假如1）向量組1,2 ,r 可以經(jīng)1 ,2 ,s 線性表出，2）rs，那么向量組1,2 ,r 必線性相關(guān) .證：由 1，有sit jijj 1t1i1t2 i2t sis ,i1,2,r要證1 ,2 ,r 線性相關(guān)，即證有不全為0 的數(shù)k1, k2 , kr ，使k11k22k rr0 rrs作線性組合x11x 22xrrxiii 1i 1xit j ij j 1x1 t111t

25、212ts1s x2 t121t222t s2s xr t1 r1t2 r2t srs rssrxit jijxi t jij（ * ）i 1 j 1j 1i 1t11 x1t12 x2t1r xr 1t 21 x1t 22 x2t2r xr 2t s1x1t s2 x2t sr xr s如存在不全為 0 的數(shù)x1 , x2, xr ，t1 x11tx1 22t r x r01作齊次線性方程組t2 x11tx2 22 t r x r02（ 3）ts1x1 tsx 22tsr x r0假如（3）有非零解k1 , k2 , kr ，由（ * ）式，就存在不全為0 的數(shù) k1 , k2 , kr使：

26、k11k22krr0 ，就向量組1 ,2 ,r 線性相關(guān)而在（ 3）中方程的個(gè)數(shù)s未知量的個(gè)數(shù)r，所以（ 3）有非零解從而1,2 ,r 線性相關(guān)推論1假如向量組1,2 ,r 可以經(jīng)向量組1 ,2 ,s 線性表出，且1 ,2 ,r 線性無關(guān)，那么 rs.推論 2 任意 n1 個(gè)n 維向量必線性相關(guān) .任意 n1 個(gè) n 維向量1 ,2 ,n 可 由單位向量1 ,2 ,n 線 性表示，n1 > n ,由定理 2，1 ,2 ,n 必線性相關(guān)推論 3 兩個(gè)線性無關(guān)的等價(jià)的向量組，必含有相同個(gè)數(shù)的向量.（反之不然即含向量個(gè)數(shù)相同的兩個(gè)線性無關(guān)的向量組未必等價(jià)反例 ：向量組1 0,1,0,20,1,

27、1 與向量組10,1,0,21, ,10均為含兩個(gè)向量的線性無關(guān)向量組，但它們不等價(jià) ）定理 2 的幾何意義是清晰的：在三維向量的情形，假如s2 ，那么可以由向量1,2 線性表出的向量當(dāng)然都在1,2 所在的平面上，因而這些向量是共面的，也就是說，當(dāng)r2 時(shí)，這些向量線性相關(guān) . 兩個(gè)向量組1 ,2 與1,2 等價(jià)，就意味著它們?cè)谕黄矫嫔?二、極大線性無關(guān)組定義 13 一向量組的一個(gè)部分組稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組， 假如這個(gè)部分組本身是線性無關(guān)的， 并且從這個(gè)向量組中任意添一個(gè)向量 假如仍有的話 ，所得的部分向量組都線性相關(guān) .一個(gè)線性無關(guān)向量組的極大線性無關(guān)組就是這個(gè)向量組本身.極大線性無關(guān)組

28、的一個(gè)基本性質(zhì)是，任意一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià) .例 6看 p 3 的向量組11,0,0,20,1,0,31,1,0在這里1 ,2 線性無關(guān)，而312 ，所以1 ,2 是一個(gè)極大線性無關(guān)組 . 另一方面，1,3 ，2 ,3 也都是向量組1 ,2 ,3 的極大線性無關(guān)組.由上面的例子可以看出，向量組的極大線性無關(guān)組不是唯獨(dú)的. 但是每一個(gè)極大線性無關(guān)組都與向量組本身等價(jià)，因而，一向量組的任意兩個(gè)極大線性無關(guān)組都是等價(jià)的 .定理 3 一向量組的極大線性無關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.定理 3說明，極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)與極大線性無關(guān)組的挑選無關(guān)，它直接反映了向量組本身的性質(zhì). 因此有

29、定義 14 向量組的極大線性無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)向量組的秩.一向量組線性無關(guān)的充要條件是它的秩與它所含向量的個(gè)數(shù)相同.每一向量組都與它的極大線性無關(guān)組等價(jià). 由等價(jià)的傳遞性可知，任意兩個(gè)等價(jià)向量組的極大線性無關(guān)組也等價(jià). 所以，等價(jià)的向量組必有相同的秩.如向量組1,2 ,r 可經(jīng)向量組1 ,2 ,s 線性表出，就秩1 ,2 ,r 秩1 ,2 ,s .證明：因的極大無關(guān)組1 ,2 ,r 可由1,2 ,s 的極大無關(guān)組線性表示，由推論 1 有秩1 ,2 ,r 秩1 ,2 ,s .含有非零向量的向量組肯定有極大線性無關(guān)組，且任一個(gè)線性無關(guān)的部分向量都能擴(kuò)充成一極大線性無關(guān)組. 全部由零向量組

30、成的向量組沒有極大線性無關(guān)組. 規(guī)定這樣的向量組的秩為零.現(xiàn)在把上面的概念與方程組的解的關(guān)系進(jìn)行聯(lián)系，給定一個(gè)方程組a11x1 a 21 x1a12 x2a 22 x2a1n xn a 2n xnd1 ,d 2 , a1 a2 a s1x1as 2 x2a sn xnd s , as 各個(gè)方程所對(duì)應(yīng)的向量分別是1 a11 , a12 , a1n , d1 ,2a21 , a22 , a2n ,d 2 ,s as1 , as 2 , asn , ds .設(shè)有另一個(gè)方程b1 x1b2 x2bn xnd , b它 對(duì) 應(yīng) 的 向 量 為b1 ,b2 ,bn , d . 就是1 ,2 ,s 的 線 性

31、 組 合 ，l11l 22l ss 當(dāng)且僅當(dāng) bl 1 a1 l 2 a2 l s as ，即方程 b是方程 a1 , a2 , as 的線性組合 . 簡(jiǎn)潔驗(yàn)證，方程組 a1 , a2 , as 的解一定滿意 b.進(jìn)一步設(shè)方程組b11 x1 b21 x1b12 x2b22 x2b1n xn b2n xnc1 ,c2 ,b1 b 2 br 1 x1br 2 x2brn xncr , b r 它的方程所對(duì)應(yīng)的向量為1 ,2 ,r . 如1 ,2 ,r 可經(jīng)1 ,2 ,s 線性表出，就方程組 a1 , a2 , as 的解是方程組b1 , b2 , br 的解. 再進(jìn)一步，當(dāng)1 ,2 ,s 與1 ,

32、2 ,r 等價(jià)時(shí)，兩個(gè)方程組同解.例 7 （1）設(shè)1 ,2 ,3 線性無關(guān)，證明1,12 ,123 也線性無關(guān)；對(duì) n 個(gè)線性無關(guān)向量組1 ,2 ,n ，以上命題是否成立？（ 2 ） 當(dāng)1 ,2 ,3 線 性 無 關(guān) ， 證 明12 ,23 ,31 也 線 性 無 關(guān) ， 當(dāng)1 ,2 ,n 線性無關(guān)時(shí)，12 ,23 ,n 1n ,n1 是否也線性無關(guān)？例 8 設(shè)在向量組1 ,2 ,n 中， 10 且每個(gè)i 都不能表成它的前 i1 個(gè)向量1,2 ,i 1 的線性組合，證明1 ,2 ,n 線性無關(guān) .§4矩陣的秩一、矩陣的秩假如把矩陣的每一行看成一個(gè)向量，那么矩陣就可以認(rèn)為是由這些向量組

33、成 的.同樣，假如把每一列看成一個(gè)向量，那么矩陣也可以認(rèn)為是由列向量組成的.定義 15 所謂矩陣的行秩就是指矩陣的行向量組的秩；矩陣的列秩就是矩陣的列向量組的秩 .例 1 設(shè) a1131021400050000,1 ,2 ,3 ,4 記 a 的行向量 ,1234 記 a 的列向量 . 求 a 的行秩和列秩 .100110011解： a21 , 3 3 102140005000500000000,3 3 1 2 21 020411,1,1, 20,2,4, 0,0,5做 成 的 三 階 子 式 不 為0,從 而,3,123線性無關(guān) ,于是它的反向延長(zhǎng)向量組1 ,2 ,3 也線性無關(guān) .因40 ,

34、故41 ,2 ,3 ,4 線性相關(guān) .a 的行向量組1,2 ,3 ,4 的極大無關(guān)組為1 ,2 ,3 .1110 ,22 ,440151做成的三階子式不為0,從而1 ,2, 線性無關(guān) ,于是它的反向延長(zhǎng)向量組1 ,2,4 也線性無關(guān) .1331221 0 ,7131222, 從 而 a 的 列 向 量 組1234 的極大無關(guān)組為1 ,2,4 .從而 a 的行秩a 的列秩 =3.矩陣 a 的行秩等于列秩，這點(diǎn)不是偶然的.引理 假如齊次線性方程組a11 x1 a 21 x1a12 x2a22 x2a1n xn0 ,a 2n xn0 ,（1）as1 x1a s 2 x2a sn xn0的系數(shù)矩陣a1

35、1aa 21a12 a 22a1n a 2n的行秩 rn ，那么它有非零解 .a s1a s2asn證明： 因 a 的行秩 = r , 不妨設(shè)1 ,2 ,r 是 a 的行向量組1 ,2 ,s 的極大無關(guān)組 , 就r 1 ,s 可由1 ,2 ,r 線性表示 , 從而1 齊次線性方程組a11 x1a21 x1a12 x2a22 x2a1 n xn0a2 n xn02ar 1 x1a r 2 x2asn xn0同解, 因2 的方程的個(gè)數(shù) rn 未知量的個(gè)數(shù) , 由定理 1, 2 有非 0 解., 從而1有非 0 解.因 a 的行向量是 n 維向量 , 所以必有 a 的行秩n , 引理的逆否命題 :如

36、（ 1）只有零解，就 rn .定理 4 矩陣的行秩與列秩相等 .a1 1a 1 2a n 1證明：設(shè)aa2 1a 2 2a n 2as1as 2asn不 妨 設(shè)1 ,r是 a 的 列 向 量 組1,2 ,s 的 極 大 無 關(guān) 組 , 就x11xrr0 僅有零解 ,即齊次線性方程組a11 x1a21 x1a12 x2a22 x2a1 r xr0a2 r xr02as1 x1as2 x2a sr xr0僅有零解 ,2的系數(shù)矩陣的 :行秩=列秩=未知量的個(gè)數(shù) = r ，不妨設(shè)1a11 , a12 ,a1r ,rar 1 , ar 2 , arr 為系數(shù)矩陣的行向量的極大無關(guān)組 ,從而1 ,r 線性

37、無關(guān) ,故它們的延長(zhǎng)組 :1a11 , a12 , a1r , a1r 1, a1n ,rar 1 , ar 2 , arr, arr 1 , arn 也線性無關(guān) ,從而 a 的行秩ra 的列秩 .平行的 ,從 a 的行向量組的極大無關(guān)組動(dòng)身,可證 a 的列秩a 的行秩 , 從而a 的行秩a 的列秩 .由于行秩等于列秩，所以下面就統(tǒng)稱為矩陣的秩.二、矩陣的秩與行列式的聯(lián)系定理 5nn 矩陣a11 a 21aa12 a 22a1n a 2na n1an 2a nn的行列式為零的充要條件是a 的秩小于 n .（ a0r an ， a 也稱為 滿秩矩陣）證明: “”:設(shè) r a < n ,就

38、a 的行向量線性無關(guān) ,當(dāng) n1時(shí),因一個(gè)向量線性相關(guān)0 ,故 a00 .當(dāng) n >1,a至 少 有 一 行 向 量 可 由 其 余 行 向 量 線 性 表 示 ,不 妨 設(shè)nk11kn 1n 1 ,作行初等變換 :rnk1r1 a11kn a121 rn 10 ,就a1naan 1,1an 1,20an 1,n000“”: 對(duì) n 作數(shù)學(xué)歸納法,nr a =0<1.1 時(shí),因 a0 , 知 a 僅有一個(gè)元素為0,故假設(shè)對(duì) n1 結(jié)論成立 ,來看 n 的情形 ,如 a 的第 1 列元素全為 0,就 r a < n .如果 a 的第 1 列元素不全為 0,至少有一元素非零 ,不妨設(shè)a110 ,作行初等變換 ,ra212a11r1 ,rnan1r1 ,a11a110就a0a22an2a12a21a12a11an1 a12a11a2nanna1na21a1n a11a n1 a1na11a11a22 an 2a 2n,ann其中:0, a, a =a21,0, a, a =an1.222 n21a11n 2nnn1a11因 a0 ,a22 aan2a2nann0 ,由歸納假設(shè)r < n1 ,故